WPROWADZENIE DO TEORII BŁĘDÓW I NIEPEWNOŚCI POMIARU

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "WPROWADZENIE DO TEORII BŁĘDÓW I NIEPEWNOŚCI POMIARU"

Transkrypt

1 Publikacja współfinansowana ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego WPROWADZENIE DO TEORII BŁĘDÓW I NIEPEWNOŚCI POMIARU 1. Błąd a niepewność pomiaru Pojęcia błędu i niepewności pomiaru są bardzo często ze sobą mylone. Zasadniczą różnicą między nimi jest fakt, że na błędy mamy wpływ i możemy je naprawić, ulepszając tym samym pomiar. Z kolei niepewność pomiaru jest parametrem, który charakteryzuje wątpliwość odnośnie wyniku przeprowadzonego pomiaru Błąd pomiaru W znaczeniu ilościowym przez błąd pomiaru rozumiemy różnicę między wartością zmierzoną x i i rzeczywistą x 0, błąd pomiaru = x i x 0 (1.1.1) Rozróżniamy trzy podstawowe rodzaje błędów: przypadkowy, systematyczny i gruby. Przy błędzie przypadkowym obserwujemy rozrzut wyników pomiaru wokół wartości rzeczywistej. Najczęściej źródłem błędu przypadkowego jest niedokładność i przypadkowość działania ludzkich zmysłów. Wykonując kolejny pomiar człowiek zrobi to nieco inaczej, stąd powstanie statystyczny rozrzut wyników. Celem zmniejszenia błędu przypadkowego można wielokrotnie powtórzyć pomiar i jako wynik przyjąć wartość średnią z uzyskanych wyników (równanie 3.1.1). Z błędem systematycznym mamy do czynienia, gdy przy powtarzaniu pomiaru występuje ta sama różnica między wartościami zmierzonymi a wartością rzeczywistą, natomiast rozrzut wyników poszczególnych pomiarów jest niewielki lub nie występuje w ogóle. O błędzie grubym mówimy, gdy różnica między wynikiem pomiaru i wartością rzeczywistą jest duża lub drastycznie duża. Błąd gruby pojawia się na skutek nieumiejętności użycia danego przyrządu, pomyłek przy odczytywaniu i zapisie wyników itp Niepewność pomiaru Zasady rachunku niepewności opisane zostały w pozycji Guide to the Expression of Uncertainty In Measurement opracowanej przez połączoną grupę roboczą organizacji standaryzacyjnych. W języku polskim pozycja ta została wydana w 1996 roku przez Główny Urząd Miar pod tytułem Wyrażanie niepewności pomiaru. Przewodnik. Zgodnie ze wspomnianym wyżej przewodnikiem [1] niepewność pomiaru definiuje się jako: związany z rezultatem pomiaru parametr, charakteryzujący rozrzut wyników, który można w uzasadniony sposób przypisać wartości mierzonej. W nomenklaturze występują dwa rodzaje niepewności: graniczna (zakreślająca maksymalny przedział, w którym z bardzo dużym prawdopodobieństwem znajdzie się wartość mierzona) oraz Biuro Projektu Politechnika Gdaoska Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej ul. G. Narutowicza 11/12, pok. 103 d tel.: Gdaosk

2 standardowa (będąca oszacowaniem odchylenia standardowego, a więc miarą średniego odchylenia wartości mierzonych od wartości rzeczywistej). Ta druga jest oficjalnie przyjętym i stosowanym terminem zgodnie z [1]. Niepewność standardowa 1 oznaczana jest symbolem u(x), gdzie symbol w nawiasie definiuje wielkość mierzoną i posiada taki sam wymiar jak wielkość mierzona. Analiza odchyleń pojedynczych pomiarów pozwala zauważyć, że nie są one jednakowo prawdopodobne. Zależność prawdopodobieństwa częstości występowania odchyleń od ich wartości zwana jest rozkładem prawdopodobieństwa. Opis dwóch najważniejszych rozkładów oraz zasadę przyjmowania poziomu ufności omówimy w oparciu o wstęp do obowiązującego obecnie na laboratorium fizycznym skryptu [2]. Dla dużej ilości prób (pomiarów) stosujemy rozkład Gaussa (normalny) natomiast dla małej ilości pomiarów stosujemy rozkład Studenta. Na Rys.1 przedstawione są wykresy obu rozkładów. Odchylenie standardowe S x w rozkładzie Gaussa należy rozumieć w tym sensie, że wartość rzeczywista x 0 znajduje się w przedziale <, > z prawdopodobieństwem p wynoszącym około 0,683 (prawdopodobieństwo to nazywa się poziomem ufności). Jest to wartość pola pod krzywą w granicach <, >. Gdy liczba przeprowadzonych pomiarów jest stosunkowo duża (n>9), zgodnie z rozkładem Gaussa odchylenie standardowe oblicza się ze wzoru (3.1.4) szerzej omówionego w dalszej części niniejszego opracowania. Rys.1: Wykresy obrazujące rozkłady prawdopodobieństwa: a) Rozkład Gaussa, b) Rozkład Studenta Jak wynika z Rys.1, krzywa Studenta jest bardziej spłaszczona w stosunku do krzywej Gaussa. Dlatego odchylenie standardowe w rozkładzie Studenta jest t n razy większe od odchylenia standardowego w rozkładzie normalnym. Wartość współczynnika t n (zwanego współczynnikiem krytycznym rozkładu Studenta) zależy od ilości pomiarów i od poziomu ufności. W Tab.1 przedstawione są wartości t n w zależności od liczby pomiarów n dla poziomu ufności p=0,683. Taki poziom ufności przyjmujemy przy opracowaniu pomiarów w laboratorium studenckim: n t n 1,84 1,32 1,20 1,14 1,11 1,09 1,08 1,07 1,06 1,05 Tab.1: Wartości współczynników krytycznych w zależności od ilości przeprowadzonych pomiarów dla rozkładu Studenta. W praktyce laboratoryjnej przyjmujemy założenie, że gdy liczba n pomiarów jest niewielka (6 n 11), do analizy statystycznej otrzymanych rezultatów i oceny niepewności przypadkowej wartości średniej stosuje się rozkład Studenta. Wówczas odchylenie standardowe S x wartości średniej oblicza się ze wzoru: (1.2.1) 1 W dalszej części instrukcji do określenia niepewności standardowej może być używane samo słowo niepewność bez przymiotnika. 2

3 Niepewność względna Jeśli niepewność standardowa (bezwzględna) zostanie podzielona przez wartość mierzoną, to uzyskamy niepewność względną, która jest z kolei wielkością bezwymiarową: ( ) Niepewność względna może być również wyrażona w procentach: ( ) Daje ona bardzo dobre wyobrażenie o stosunku niepewności do wartości mierzonej (a więc o dokładności pomiaru) i umożliwia porównywanie wielkości mających różny wymiar Niepewność rozszerzona Niepewność rozszerzona U została wprowadzona w [1] jako wielkość służąca do wnioskowania o zgodności wyników pomiarów z innymi rezultatami. Jest to niepewność standardowa rozszerzona tak, by w przedziale y U(y), y+u(y) znalazła się przeważająca część wyników pomiaru potrzebna do określonych zastosowań. Oblicza się ją poprzez przemnożenie wielkości złożonej u c (y) przez bezwymiarowy czynnik rozszerzenia k: ( ) W praktyce powszechnie przyjętą wartością jest k=2. 2. Prawo propagacji niepewności W związku z tym, że wiele wielkości fizycznych wyznacza się drogą pomiarów pośrednich, wielkości te stają się funkcją wielu zmiennych wyznaczanych bezpośrednio: y (x 1, x 2,., x k ). Przykładem może być wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła matematycznego, gdzie w trakcie eksperymentu dokonywane są pomiary długości i okresu drgań wahadła, a dopiero z nich wyliczane jest przyspieszenie ziemskie. W konsekwencji niepewność każdego z dokonywanych pomiarów u(x 1 ), u(x 2 ) itd. przenosi się na niepewność ostatecznie poszukiwanej wielkości fizycznej zgodnie z tzw. prawem propagacji niepewności. Sposób obliczania niepewności w tego typu sytacjach przedstawiony został poniżej: 2.1. Funkcja jednej zmiennej W przypadku funkcji jednej zmiennej y=f(x) niepewność u(y) obliczamy jako różniczkę funkcji y(x), czyli jako iloczyn pochodnej funkcji i niepewności u(x): (2.1.1) 2.2. Funkcja wielu zmiennych 3

4 W przypadku funkcji wielu zmiennych obliczamy różniczki cząstkowe dla poszczególnych zmiennych x 1, x 2,, x k (jak w przypadku funkcji jednej zmiennej) i tworzymy z nich sumę geometryczną: gdzie są kolejnymi pochodnymi cząstkowymi. (2.2.1) Obliczona w ten sposób niepewność nosi nazwę niepewności złożonej i oznaczana jest symbolem u c lub u c (y). Szczególnie wygodne zastosowanie prawa propagacji niepewności uzyskuje się, gdy zamiast niepewności bezwzględnych obliczamy złożoną niepewność względną: w(y)=u c (y)/ y. Robi się to zgodnie ze wzorem: (2.2.2) Niepewność maksymalna pomiaru wielkości złożonej W laboratorium studenckim dla uproszczenia bardzo często oblicza się tzw. niepewność maksymalną pomiaru wielkości złożonej y (x 1, x 2,., x k ). Robi się to zgodnie ze wzorem: ( ) Daje to szczególnie wygodne podejście do rachunku niepewności w przypadku funkcji o postaci iloczynu: ( ) Wówczas względna maksymalna niepewność pomiaru wielkości złożonej y (x 1, x 2,., x k ) wyraża się wzorem: ( ) 3. Ocena niepewności pomiarów bezpośrednich 3.1. Ocena niepewności pomiarowych typu A Niepewności pomiarowe typu A dotyczą serii pomiarów danej wielkości. Wykonywanie n pomiarów bezpośrednich jednej wielkości odpowiada w tej metodzie losowaniu n {x 1, x 2, x 3,, x n } elementów z nieskończonego zbioru, w którego skład wchodzą wszelkie możliwe wartości pomiaru. Wynikowi pomiarów w takiej sytuacji odpowiada zatem średnia arytmetyczna ze wszystkich wykonanych pomiarów. (3.1.1) W dalszej części rozważań będziemy przyjmować, że granice sum podanych we wzorach są zgodne z tymi w równaniu (3.1.1). Warto zauważyć, że korzystanie z zależności na średnią arytmetyczną jest zgodne z intuicją, przy im większa jest ilość przeprowadzonych pomiarów, tym wartość średniej coraz bardziej zbliża się do wartości x. 4

5 W celu podania rozrzutu wyników od wartości oczekiwanej x 0 (w przypadku pomiaru odpowiadającej właściwej jego wartości) musimy posłużyć się pojęciem estymatora odchylenia standardowego, który zgodnie z prawami statystyki możemy obliczyć ze wzoru: (3.1.2) Estymator ten jednak odpowiada niepewności jednego konkretnego pomiaru naszej mierzonej wielkości (odchyleniu od wartości oczekiwanej jednego losowego elementu zbioru). W celu obliczenia odchylenia standardowego dla wyniku całej serii pomiarów należy uwzględnić fakt, że w przypadku liczenia wartości średniej dochodzi do kompensacji odchyleń wynikających z rozbieżności pomiarów z wartością oczekiwaną. W związku z tym zależność pomiędzy estymatorem odchylenia standardowego, a estymatorem odchylenia standardowego średniej może być zapisana w następujący sposób: (3.1.3) Podstawiając we wzorze (3.1.3) zależność (3.1.2) otrzymujemy jawną zależność na estymator odchylenia standardowego średniej, który w naszym przypadku będzie odpowiadał niepewności pomiaru oznaczanej jako u(x). (3.1.4) Podane wyżej wielkości nazywane są estymatorami ze względu na to, że podają wartość właściwą odchylenia standardowego tylko w przypadku kiedy n co sprawia, że dla pomiarów skończonych podana przez nie wartość jest tylko wartością przybliżoną Ocena niepewności pomiaru typu B Ocenę niepewności pomiaru typu B stosujemy w wypadku, kiedy niemożliwa jest ocena niepewności metodami statystycznymi np. w przypadku wykonania tylko jednego pomiaru, bądź gdy pomiary nie wykazują rozrzutu. W celu oceny niepewności w tej metodzie eksperymentator zmuszony jest to wykorzystania tylko i wyłącznie wiedzy na temat badanego zjawiska i aparatury pomiarowej. W praktyce należy wykorzystać do oceny niepewności następujące elementy: Wiedzę na temat badanego obiektu, zjawiska, wielkości, Doświadczenie wynikające z poprzednich pomiarów daną oraz inną aparaturą, Informacji dotyczących sprzętu pomiarowego dostarczonych przez producenta, Wszelkie inne informacje mogące być pomocne w ocenie niepewności Zatem przy dokładnej analizie pomiaru możliwe jest uzyskanie dobrego przybliżenia niepewności pomiaru metodą typu B (w wielu przypadkach może ona być lepsza od oceny niepewności metodą typu A ze względu na uwzględnienie empirycznych zależności). W celu oceny niepewności typu B w największej mierze należy się skupić na sprzęcie pomiarowym, który eksperymentator będzie używał. Ważnym pojęciem w analizie niepewności pomiaru typu B jest niepewność wzorcowania Niepewność wzorcowania Niepewność wzorcowania jest głównym powodem rozbieżności wyników doświadczalnych z teorią w momencie, kiedy nie jest możliwa analiza statystyczna wyników. 5

6 W przypadku najprostszych przyrządów pomiarowych takich jak np. linijka, suwmiarka czy prosty termometr alkoholowy, producenci zwykle nie podają niepewności wzorcowania bądź kolokwialnie mówiąc dokładności pomiaru. W takim przypadku przyjmujemy, że niepewność wzorcowania jest równa tzw. działce elementarnej, czyli najmniejszej działce skali na danym przyrządzie. Na przykład w przypadku linijki będzie to 1mm, a w przypadku termometru lekarskiego 0,1 C. W przypadku pomiaru z niepewnością wzorcowania możemy przyjąć, że odchylenie standardowe takie pomiaru odpowiada odchyleniu standardowemu w rozkładzie jednostajnym prawdopodobieństwa. W związku z tym odchylenie standardowe takiego pomiaru wynosi: ( ) Oczywiście oprócz tak prostych przyrządów jak wymienione powyżej eksperymentator ma do czynienia również z innego rodzaju miernikami zarówno analogowymi jak i cyfrowymi. Dla różnych typów mierników wyznaczanie niepewności wzorcowania przebiega trochę inaczej Niepewność wzorcowania przyrządów analogowych W przypadku przyrządów analogowych niepewność wzorcowania jest obliczana w pierwszej kolejności na podstawie tzw. klasy przyrządu. Klasa przyrządu wyraża stosunek procentowy niepewności maksymalnej x do pełnego wychylenia miernika w danym zakresie. Oznacza to, że wartości odczytana z miernika może się różnić od wartości prawdziwej x 0 maksymalnie o. Niestety w większości przypadków pomiar miernikiem analogowym nie jest dokładny w tym sensie, że wskazówka miernika nie pokrywa się działką, ale znajduje się na przykład w jej 1/3. W związku z tym przy wyznaczaniu niepewności wzorcowania takiego miernika musimy uwzględnić to, że w sposób subiektywny oceniamy położenie wskazówki. Eksperymentator musi w takim przypadku sam ocenić o ile mógł się pomylić w odczycie. Niepewność wzorcowania (niepewność maksymalna) przyrządu analogowego jest sumą niepewności wynikającej z klasy i z odczytu, a niepewność standardową obliczamy ze wzoru: ( ) Niepewność wzorcowania przyrządów cyfrowych W przypadku przyrządów cyfrowych nie mamy do czynienia z niepewnością wynikającą z niedokładnego odczytu danej wielkości. Jednakże należy wziąć pod uwagę dokładność z jaką wyświetlacz cyfrowy podaje nam wartość mierzoną. Przeskok ostatniej cyfry na wyświetlaczu możemy nazwać działką elementarną miernika, jednakże istotnym faktem jest to, że nie możemy go utożsamać z niepewnością pomiaru miernika. W celu ustalenia niepewności wzorcowania miernika cyfrowego należy zwrócić się do instrukcji obsługi. Dla każdego miernika cyfrowego producent jest zobowiązany podać jego niepewność wzorcowania. Najczęściej jest to kombinacja wielkości mierzonej i zakresu miernika. ( ) Gdzie współczynniki C 1 i C 2 są wyznaczane przez producenta miernika. W celu obliczenia niepewności standardowej pomiaru takim miernikiem musimy skorzystać z zależności: ( ) Niepewność eksperymentatora 6

7 Poza niepewnościami wzorcowania wynikającymi z niedoskonałości używanych przyrządów pomiarowych sam eksperymentator może prowadzić do rozbieżności wyników pomiarów od wartości właściwej x 0. Eksperymentator na podstawie własnej wiedzy na temat pomiaru i jego warunków ocenia wartości niepewności maksymalnej eksperymentatora. W celu wyznaczenia odchylenia standardowego w przypadku niepewności eksperymentatora należy posłużyć się wzorem: ( ) Całkowita niepewność standardowa W większości przypadków przy ocenie niepewności typu B należy uwzględnić zarówno niepewność wzorcowania jak i niepewność eksperymentatora. W związku z tym całkowitą niepewność standardową w przypadku występowania tylko niepewności typu B obliczamy ze wzoru: ( ) W przypadku gdy obydwa typy niepewności występują jednocześnie korzystamy ze wzoru: ( ) Maksymalna niepewność W wielu przypadkach w celu uproszczenia obliczeń zamiast korzystać z całkowitej niepewności standardowej można skorzystać z niepewności maksymalnej opisanej w rozdziale niniejszego opracowania. 4. Metody zapisu niepewności pomiarowych 4.1. Metoda zapisu liczbowego W celu dokładnego zapisu wyniku liczbowego pomiaru doświadczalnego należy stosować się do ogólnie przyjętego kanonu zapisu. Pierwszą istotną kwestią jest ustalenie tzw. ostatniej cyfry znaczącej. Kiedy dokonujemy pomiaru, bądź gdy na podstawie pomiarów pośrednich wyznaczamy daną wielkość, w wielu przypadkach otrzymujemy wyniki w dużą ilością miejsc po przecinku co wcale nie musi oznaczać, że z taką dokładnością dokonaliśmy pomiaru. Wynik podajemy z taką liczbą miejsc po przecinku jaką obejmuje dokładność. Niepewność podajemy z dokładnością do dwóch cyfr znaczących. Zapisując wynik należy ponadto pamiętać, że zarówno wielkość mierzona jak i niepewność muszą posiadać tą samą jednostkę. Przykładem może być prosty pomiar przyspieszenia grawitacyjnego. Załóżmy, że wynik pomiaru g=9, m/s 2 przy niepewności maksymalnej bezwzględnej g=0.02 m/s 2. Wynik takiego pomiaru z uwzględnieniem niepewności pomiaru możemy zapisać jako: 7

8 4.2. Metoda zapisu graficznego W części eksperymentów ich wynikiem może nie być wartość liczbowa, ale wykres danych pomiarowych. Może on być wykonany zarówno na papierze milimetrowym jak i przy pomocy komputera. W obu przypadkach sposób oznaczenia niepewności pomiarów oraz zasady prezentacji wyników pozostają takie same. Pierwszym etapem przy sporządzaniu wykresu danych pomiarowych jest obranie odpowiedniej skali. Musi ona być dobrana w taki sposób, aby punkty pomiarowe znajdowały się na całym jego obszarze. Niedopuszczalne jest, aby punkty zajmowały np. ¼ obszaru. Istotnym faktem jest to, że osie na wykresie nie muszą rozpoczynać się od zera. Ponadto, na każdym wykresie, bez względu na to jaką metodę prezentacji wybierzemy, muszą znajdować się słupki bądź pola niepewności pomiarów dotyczące obu osi. Większość programów wykorzystywanych do obróbki danych pozwala na dodanie wielkości niepewności pomiarów do wykresów. Przykładowo możemy wykonać prosty wykres wielkości Y, której jednostkę przyjmujemy jako y od wielkości X, której jednostką jest x. Punkty pomiarowe, które należy nanieść na wykres to: Lp. X[x] Y[y] 1 13,7 116, ,2 2155, ,2 3472,4 6 33,7 838,2 7 63,1 5187,6 8 80, , ,7 Ponadto wiemy, że niepewność rozszerzona procentowa wynosi 10% dla wartości X oraz 15% dla Y. Wykres zależności możemy wykonać za pomocą programów komputerowych służących do obróbki danych, takich jak np. Origin for Windows 8

9 Y [y] X [x] Jedynymi liniami, które mogą się pojawić na wykresie, są proste bądź krzywe pochodzące z dopasowań punktów pomiarowych do znanych równań za pomocą aproksymacji, np. aproksymacji liniowej metodą najmniejszych kwadratów. 9

10 Y [y] ZLE X [x] Każdy przygotowywany wykres bez względu na wybraną metodę musi być wykonany w sposób dokładny i estetyczny. Ma on ilustrować wyniki pomiarów w sposób jasny dla osoby postronnej. 5. Regresja liniowa. Metoda najmniejszych kwadratów. Regresja liniowa jest to metoda estymowania zmiennej wartości y przy znanych wartościach innej zmiennej lub zmiennych x. Regresja w ogólności to problem estymacji warunkowej wartości oczekiwanej. Regresja liniowa jest nazywana liniową, gdyż zakładanym modelem zależności między zmiennymi zależnymi, a niezależnymi, jest funkcja liniowa. W przypadku jednej zmiennej y można wyznaczyć prostą regresji linowej w postaci: (5.1) Parametry prostej a i b można wyznaczyć, za pomocą tzw. metody najmniejszych kwadratów. Metoda najmniejszych kwadratów jest najpowszechniej stosowaną metodą analityczną. Swoją nazwę zawdzięcza kryterium jakości dopasowania takiego doboru parametrów prostej, by suma kwadratów różnic wartości eksperymentalnych y i obliczonych ax+b była jak najmniejsza. (5.2) To kryterium jest spełnione przy założeniu, że wszystkie punkty pomiarowe są obarczone jednakowym błędem przypadkowym o rozkładzie Gaussa. Zgodnie z zasadami analizy matematycznej w celu obliczenia kryterium minimum funkcji należy obliczyć pochodne po obu zmiennych oraz przyrównać je do zera: (5.3) 10

11 Wyznaczenie rozwiązania równań odpowiada rozwiązaniu układu równań liniowych dla a i b: (5.4) (5.5) gdzie n jest liczbą punktów pomiarowych. Rozwiązanie tego układu można zapisać w następujący sposób: 1. Wyznaczamy średnie wartości x oraz y (5.6) 2. Parametry a i b obliczamy na podstawie wzorów: (5.7) gdzie: (5.8) W celu obliczenia odchylenia standardowego dla dopasowania prostej metodą najmniejszych kwadratów obliczamy wielkość S y za pomocą wzoru: (5.9) Na podstawie obliczonej wartości S y można określić niepewność wyznaczenia współczynników prostej: (5.10) Powyższe wzory służą do ręcznego obliczania współczynników nachylenia prostej dla danego zbioru punktów pomiarowych. Dopasowania prostej można również dokonać za pomocą programu komputerowego np. Origin dla Windows 11

12 Y[y] X[x] y = ax+b Parametr Wartość Odchylenie stand A B R= Należy zwrócić uwagę, że program komputerowy w przypadku zdefiniowania niepewności pomiaru dla punktów pomiarowych przy wyliczaniu niepewności dopasowania prostej wkalkuluje je w wyniku. Ponadto poda również wartość R, która mówi o dokładności dopasowania prostej do punktów pomiarowych. Im wartość tego parametru jest bliższa jedności, tym dopasowanie jest lepsze. Literatura: [1] Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement, ISO, Switzerland Tłumaczenie: Wyrażanie niepewności pomiaru: Przewodnik, Główny Urząd Miar, Warszawa [2] J. Dudkiewicz, B. Kusz, I laboratorium z fizyki. Część 2, Gdańsk

LABORATORIUM Z FIZYKI

LABORATORIUM Z FIZYKI LABORATORIUM Z FIZYKI LABORATORIUM Z FIZYKI I PRACOWNIA FIZYCZNA C w Gliwicach Gliwice, ul. Konarskiego 22, pokoje 52-54 Regulamin pracowni i organizacja zajęć Sprawozdanie (strona tytułowa, karta pomiarowa)

Bardziej szczegółowo

Wstęp do teorii niepewności pomiaru. Danuta J. Michczyńska Adam Michczyński

Wstęp do teorii niepewności pomiaru. Danuta J. Michczyńska Adam Michczyński Wstęp do teorii niepewności pomiaru Danuta J. Michczyńska Adam Michczyński Podstawowe informacje: Strona Politechniki Śląskiej: www.polsl.pl Instytut Fizyki / strona własna Instytutu / Dydaktyka / I Pracownia

Bardziej szczegółowo

Niepewności pomiarów

Niepewności pomiarów Niepewności pomiarów Międzynarodowa Organizacja Normalizacyjna (ISO) w roku 1995 opublikowała normy dotyczące terminologii i sposobu określania niepewności pomiarów [1]. W roku 1999 normy zostały opublikowane

Bardziej szczegółowo

Określanie niepewności pomiaru

Określanie niepewności pomiaru Określanie niepewności pomiaru (Materiały do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu Materiałoznawstwo na wydziale Górnictwa i Geoinżynierii) 1. Wprowadzenie Pomiar jest to zbiór czynności mających na celu

Bardziej szczegółowo

Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych. Wykład tutora na bazie wykładu prof. Marka Stankiewicza

Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych. Wykład tutora na bazie wykładu prof. Marka Stankiewicza Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych Wykład tutora na bazie wykładu prof. Marka tankiewicza Po co zajęcia w I Pracowni Fizycznej? 1. Obserwacja zjawisk i efektów

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Fizyczne Inżynieria materiałowa. Publikacja współfinansowana ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Laboratorium Fizyczne Inżynieria materiałowa. Publikacja współfinansowana ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Laboratorium Fizyczne Inżynieria materiałowa Publikacja współfinansowana ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego błąd pomiaru = x i x 0 Błędy pomiaru dzielimy na: Błędy

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16 Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego

Bardziej szczegółowo

KARTA INFORMACYJNA PRZEDMIOTU

KARTA INFORMACYJNA PRZEDMIOTU Uniwersytet Rzeszowski WYDZIAŁ KIERUNEK Matematyczno-Przyrodniczy Fizyka techniczna SPECJALNOŚĆ RODZAJ STUDIÓW stacjonarne, studia pierwszego stopnia KARTA INFORMACYJNA PRZEDMIOTU NAZWA PRZEDMIOTU WG PLANU

Bardziej szczegółowo

Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych

Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych dla studentów Biologii A i B dr hab. Paweł Korecki e-mail: pawel.korecki@uj.edu.pl http://www.if.uj.edu.pl/pl/edukacja/pracownia_i/

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH Dr Benedykt R. Jany I Pracownia Fizyczna Ochrona Środowiska grupa F1 Rodzaje Pomiarów Pomiar bezpośredni - bezpośrednio

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do rachunku niepewności pomiarowej. Jacek Pawlyta

Wprowadzenie do rachunku niepewności pomiarowej. Jacek Pawlyta Wprowadzenie do rachunku niepewności pomiarowej Jacek Pawlyta Fizyka Teorie Obserwacje Doświadczenia Fizyka Teorie Przykłady Obserwacje Przykłady Doświadczenia Przykłady Fizyka Potwierdzanie bądź obalanie

Bardziej szczegółowo

Jak poprawnie napisać sprawozdanie z ćwiczeń laboratoryjnych z fizyki?

Jak poprawnie napisać sprawozdanie z ćwiczeń laboratoryjnych z fizyki? 1 Jak poprawnie napisać sprawozdanie z ćwiczeń laboratoryjnych z fizyki? Sprawozdania należny oddać na kolejnych zajęciach laboratoryjnych. Każde opóźnienie powoduje obniżenie oceny za sprawozdanie o 0,

Bardziej szczegółowo

Fizyka (Biotechnologia)

Fizyka (Biotechnologia) Fizyka (Biotechnologia) Wykład I Marek Kasprowicz dr Marek Jan Kasprowicz pokój 309 marek.kasprowicz@ur.krakow.pl www.ar.krakow.pl/~mkasprowicz Marek Jan Kasprowicz Fizyka 013 r. Literatura D. Halliday,

Bardziej szczegółowo

Teoria błędów. Wszystkie wartości wielkości fizycznych obarczone są pewnym błędem.

Teoria błędów. Wszystkie wartości wielkości fizycznych obarczone są pewnym błędem. Teoria błędów Wskutek niedoskonałości przyrządów, jak również niedoskonałości organów zmysłów wszystkie pomiary są dokonywane z określonym stopniem dokładności. Nie otrzymujemy prawidłowych wartości mierzonej

Bardziej szczegółowo

Graficzne opracowanie wyników pomiarów 1

Graficzne opracowanie wyników pomiarów 1 GRAFICZNE OPRACOWANIE WYNIKÓW POMIARÓW Celem pomiarów jest bardzo często potwierdzenie związku lub znalezienie zależności między wielkościami fizycznymi. Pomiar polega na wyznaczaniu wartości y wielkości

Bardziej szczegółowo

Dokładność pomiaru: Ogólne informacje o błędach pomiaru

Dokładność pomiaru: Ogólne informacje o błędach pomiaru Dokładność pomiaru: Rozumny człowiek nie dąży do osiągnięcia w określonej dziedzinie większej dokładności niż ta, którą dopuszcza istota przedmiotu jego badań. (Arystoteles) Nie można wykonać bezbłędnego

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Metrologii

Laboratorium Metrologii Laboratorium Metrologii Ćwiczenie nr 1 Metody określania niepewności pomiaru. I. Zagadnienia do przygotowania na kartkówkę: 1. Podstawowe założenia teorii niepewności. Wyjaśnić znaczenie pojęć randomizacja

Bardziej szczegółowo

Charakterystyka mierników do badania oświetlenia Obiektywne badania warunków oświetlenia opierają się na wynikach pomiarów parametrów świetlnych. Podobnie jak każdy pomiar, również te pomiary, obarczone

Bardziej szczegółowo

Temat: SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

Temat: SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH Temat: SZCOWNIE NIEPEWNOŚCI POMIROWYCH - Jak oszacować niepewność pomiarów bezpośrednich? - Jak oszacować niepewność pomiarów pośrednich? - Jak oszacować niepewność przeciętną i standardową? - Jak zapisywać

Bardziej szczegółowo

Laboratorium z Metrologii

Laboratorium z Metrologii Zachodniopomorski niwersytet Technologiczny w Szczecinie Wydział Elektryczny Katedra Sterowania i Pomiarów Zakład Metrologii Laboratorium z Metrologii Opracował: dr inż. A.Wollek 1 Prowadzący dr inż. Andrzej

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODAMI SYMULACYJNYMI

WYZNACZANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODAMI SYMULACYJNYMI WYZNACZANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODAMI SYMULACYJNYMI Stefan WÓJTOWICZ, Katarzyna BIERNAT ZAKŁAD METROLOGII I BADAŃ NIENISZCZĄCYCH INSTYTUT ELEKTROTECHNIKI ul. Pożaryskiego 8, 04-703 Warszawa tel. (0)

Bardziej szczegółowo

Podstawy niepewności pomiarowych Ćwiczenia

Podstawy niepewności pomiarowych Ćwiczenia Podstawy niepewności pomiarowych Ćwiczenia 1. Zaokrąglij podane wartości pomiarów i ich niepewności. = (334,567 18,067) m/s = (153 450 000 1 034 000) km = (0,0004278 0,0000556) A = (2,0555 0,2014) s =

Bardziej szczegółowo

Obliczanie niepewności rozszerzonej metodą analityczną opartą na splocie rozkładów wielkości wejściowych

Obliczanie niepewności rozszerzonej metodą analityczną opartą na splocie rozkładów wielkości wejściowych Obliczanie niepewności rozszerzonej metodą analityczną opartą na splocie rozkładów wejściowych Paweł Fotowicz * Przedstawiono ścisłą metodę obliczania niepewności rozszerzonej, polegającą na wyznaczeniu

Bardziej szczegółowo

Rozkład normalny, niepewność standardowa typu A

Rozkład normalny, niepewność standardowa typu A Podstawy Metrologii i Technik Eksperymentu Laboratorium Rozkład normalny, niepewność standardowa typu A Instrukcja do ćwiczenia nr 1 Zakład Miernictwa i Ochrony Atmosfery Wrocław, listopad 2010 r. Podstawy

Bardziej szczegółowo

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją

Bardziej szczegółowo

Sprawdzenie narzędzi pomiarowych i wyznaczenie niepewności rozszerzonej typu A w pomiarach pośrednich

Sprawdzenie narzędzi pomiarowych i wyznaczenie niepewności rozszerzonej typu A w pomiarach pośrednich Podstawy Metrologii i Technik Eksperymentu Laboratorium Sprawdzenie narzędzi pomiarowych i wyznaczenie niepewności rozszerzonej typu A w pomiarach pośrednich Instrukcja do ćwiczenia nr 4 Zakład Miernictwa

Bardziej szczegółowo

CECHOWANIE TERMOELEMENTU Fe-Mo I WYZNACZANIE PUNKTU INWERSJI

CECHOWANIE TERMOELEMENTU Fe-Mo I WYZNACZANIE PUNKTU INWERSJI INSTYTUT FIZYKI WYDZIAŁ INŻYNIERII PRODUKCJI I TECHNOLOGII MATERIAŁÓW POLITECHNIKA CZĘSTOCHOWSKA PRACOWNIA FIZYKI CIAŁA STAŁEGO Ć W I C Z E N I E N R FCS - 7 CECHOWANIE TERMOELEMENTU Fe-Mo I WYZNACZANIE

Bardziej szczegółowo

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW ODRZUCANIE WYNIKÓW OJEDYNCZYCH OMIARÓW W praktyce pomiarowej zdarzają się sytuacje gdy jeden z pomiarów odstaje od pozostałych. Jeżeli wykorzystamy fakt, że wyniki pomiarów są zmienną losową opisywaną

Bardziej szczegółowo

Precyzja a dokładność

Precyzja a dokładność Precyzja a dokładność Precyzja pomiaru jest miarą rzetelności przeprowadzenia doświadczenia, lub mówi nam jak powtarzalny jest ten eksperyment. Dokładność pomiaru jest miarą tego jak wyniki doświadczalne

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący

Bardziej szczegółowo

Ćw. nr 31. Wahadło fizyczne o regulowanej płaszczyźnie drgań - w.2

Ćw. nr 31. Wahadło fizyczne o regulowanej płaszczyźnie drgań - w.2 1 z 6 Zespół Dydaktyki Fizyki ITiE Politechniki Koszalińskiej Ćw. nr 3 Wahadło fizyczne o regulowanej płaszczyźnie drgań - w.2 Cel ćwiczenia Pomiar okresu wahań wahadła z wykorzystaniem bramki optycznej

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM METROLOGII. Analiza błędów i niepewności wyników pomiarowych. dr inż. Piotr Burnos

LABORATORIUM METROLOGII. Analiza błędów i niepewności wyników pomiarowych. dr inż. Piotr Burnos AKADEMIA GÓRICZO - HTICZA IM. STAISŁAWA STASZICA w KRAKOWIE WYDZIAŁ ELEKTROTECHIKI, ATOMATYKI, IFORMATYKI i ELEKTROIKI KATEDRA METROLOGII LABORATORIM METROLOGII Analiza błędów i niepewności wyników pomiarowych

Bardziej szczegółowo

O 2 O 1. Temat: Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego

O 2 O 1. Temat: Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego msg M 7-1 - Temat: Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Zagadnienia: prawa dynamiki Newtona, moment sił, moment bezwładności, dynamiczne równania ruchu wahadła fizycznego,

Bardziej szczegółowo

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych dr inż. Adam Kisiel kisiel@if.pw.edu.pl pokój 117b (12b) 1 Materiały do wykładu Transparencje do wykładów: http://www.if.pw.edu.pl/~kisiel/kadd/kadd.html Literatura

Bardziej szczegółowo

Wykład 9. Terminologia i jej znaczenie. Cenzurowanie wyników pomiarów.

Wykład 9. Terminologia i jej znaczenie. Cenzurowanie wyników pomiarów. Wykład 9. Terminologia i jej znaczenie. Cenzurowanie wyników pomiarów.. KEITHLEY. Practical Solutions for Accurate. Test & Measurement. Training materials, www.keithley.com;. Janusz Piotrowski: Procedury

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

Niepewność pomiaru masy w praktyce

Niepewność pomiaru masy w praktyce Niepewność pomiaru masy w praktyce RADWAG Wagi Elektroniczne Z wszystkimi pomiarami nierozłącznie jest związana Niepewność jest nierozerwalnie związana z wynimiarów niepewność ich wyników. Podając wyniki

Bardziej szczegółowo

Analiza niepewności pomiarów

Analiza niepewności pomiarów Teoria pomiarów Analiza niepewności pomiarów Zagadnienia statystyki matematycznej Dr hab. inż. Paweł Majda www.pmajda.zut.edu.pl Podstawy statystyki matematycznej Histogram oraz wielobok liczebności zmiennej

Bardziej szczegółowo

Tutaj powinny znaleźć się wyniki pomiarów (tabelki) potwierdzone przez prowadzacego zajęcia laboratoryjne i podpis dyżurujacego pracownika obsługi

Tutaj powinny znaleźć się wyniki pomiarów (tabelki) potwierdzone przez prowadzacego zajęcia laboratoryjne i podpis dyżurujacego pracownika obsługi Tutaj powinny znaleźć się wyniki pomiarów (tabelki) potwierdzone przez prowadzacego zajęcia laboratoryjne i podpis dyżurujacego pracownika obsługi technicznej. 1. Wstęp Celem ćwiczenia jest wyznaczenie

Bardziej szczegółowo

A. Metody opracowania i analizy wyników pomiarów K.Kozłowski i R Zieliński I Laboratorium z Fizyki część 1 Wydawnictwo PG.

A. Metody opracowania i analizy wyników pomiarów K.Kozłowski i R Zieliński I Laboratorium z Fizyki część 1 Wydawnictwo PG. A. Metody opracowania i analizy wyników pomiarów K.Kozłowski i R Zieliński I Laboratorium z Fizyki część 1 Wydawnictwo PG. B. Metodyka wykonywania pomiarów oraz szacowanie niepewności pomiaru. Celem każdego

Bardziej szczegółowo

HISTOGRAM. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH Liczba pomiarów - n. Liczba pomiarów - n k 0.5 N = N =

HISTOGRAM. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH Liczba pomiarów - n. Liczba pomiarów - n k 0.5 N = N = HISTOGRAM W pewnych przypadkach interesuje nas nie tylko określenie prawdziwej wartości mierzonej wielkości, ale także zbadanie całego rozkład prawdopodobieństwa wyników pomiarów. W takim przypadku wyniki

Bardziej szczegółowo

przybliżeniema Definicja

przybliżeniema Definicja Podstawowe definicje Definicje i podstawowe pojęcia Opracowanie danych doświadczalnych Często zaokraglamy pewne wartości np. kupujac telewizor za999,99 zł. dr inż. Ireneusz Owczarek CMF PŁ ireneusz.owczarek@p.lodz.pl

Bardziej szczegółowo

KORELACJE I REGRESJA LINIOWA

KORELACJE I REGRESJA LINIOWA KORELACJE I REGRESJA LINIOWA Korelacje i regresja liniowa Analiza korelacji: Badanie, czy pomiędzy dwoma zmiennymi istnieje zależność Obie analizy się wzajemnie przeplatają Analiza regresji: Opisanie modelem

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE PRACY WYJŚCIA ELEKTRONÓW Z LAMPY KATODOWEJ

WYZNACZANIE PRACY WYJŚCIA ELEKTRONÓW Z LAMPY KATODOWEJ INSTYTUT FIZYKI WYDZIAŁ INŻYNIERII PRODUKCJI I TECHNOLOGII MATERIAŁÓW POLITECHNIKA CZĘSTOCHOWSKA PRACOWNIA FIZYKI CIAŁA STAŁEGO Ć W I C Z E N I E N R FCS - WYZNACZANIE PRACY WYJŚCIA ELEKTRONÓW Z LAMPY

Bardziej szczegółowo

Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć)

Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć) Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć) 1. Populacja generalna a losowa próba, parametr rozkładu cechy a jego ocena z losowej próby, miary opisu statystycznego

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 3 REZONANS AKUSTYCZNY

ĆWICZENIE 3 REZONANS AKUSTYCZNY ĆWICZENIE 3 REZONANS AKUSTYCZNY W trakcie doświadczenia przeprowadzono sześć pomiarów rezonansu akustycznego: dla dwóch różnych gazów (powietrza i CO), pięć pomiarów dla powietrza oraz jeden pomiar dla

Bardziej szczegółowo

Statystyki: miary opisujące rozkład! np. : średnia, frakcja (procent), odchylenie standardowe, wariancja, mediana itd.

Statystyki: miary opisujące rozkład! np. : średnia, frakcja (procent), odchylenie standardowe, wariancja, mediana itd. Wnioskowanie statystyczne obejmujące metody pozwalające na uogólnianie wyników z próby na nieznane wartości parametrów oraz szacowanie błędów tego uogólnienia. Przewidujemy nieznaną wartości parametru

Bardziej szczegółowo

DOKUMENTACJA SYSTEMU ZARZĄDZANIA LABORATORIUM. Procedura szacowania niepewności

DOKUMENTACJA SYSTEMU ZARZĄDZANIA LABORATORIUM. Procedura szacowania niepewności DOKUMENTACJA SYSTEMU ZARZĄDZANIA LABORATORIUM Procedura szacowania niepewności Szacowanie niepewności oznaczania / pomiaru zawartości... metodą... Data Imię i Nazwisko Podpis Opracował Sprawdził Zatwierdził

Bardziej szczegółowo

Ruch jednostajnie przyspieszony wyznaczenie przyspieszenia

Ruch jednostajnie przyspieszony wyznaczenie przyspieszenia Doświadczenie: Ruch jednostajnie przyspieszony wyznaczenie przyspieszenia Cele doświadczenia Celem doświadczenia jest zbadanie zależności drogi przebytej w ruchu przyspieszonym od czasu dla kuli bilardowej

Bardziej szczegółowo

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Prowadząca: dr inż. Hanna Zbroszczyk e-mail: gos@if.pw.edu.pl tel: +48 22 234 58 51 www: http://hirg.if.pw.edu.pl/~gos/students/kadd Politechnika Warszawska Wydział

Bardziej szczegółowo

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją symbolami:

Bardziej szczegółowo

Projektowanie systemów pomiarowych. 02 Dokładność pomiarów

Projektowanie systemów pomiarowych. 02 Dokładność pomiarów Projektowanie systemów pomiarowych 02 Dokładność pomiarów 1 www.technidyneblog.com 2 Jak dokładnie wykonaliśmy pomiar? Czy duża / wysoka dokładność jest zawsze konieczna? www.sparkfun.com 3 Błąd pomiaru.

Bardziej szczegółowo

Walidacja metod analitycznych Raport z walidacji

Walidacja metod analitycznych Raport z walidacji Walidacja metod analitycznych Raport z walidacji Małgorzata Jakubowska Katedra Chemii Analitycznej WIMiC AGH Walidacja metod analitycznych (według ISO) to proces ustalania parametrów charakteryzujących

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

BŁĘDY W POMIARACH BEZPOŚREDNICH

BŁĘDY W POMIARACH BEZPOŚREDNICH Podstawy Metrologii i Technik Eksperymentu Laboratorium BŁĘDY W POMIARACH BEZPOŚREDNICH Instrukcja do ćwiczenia nr 2 Zakład Miernictwa i Ochrony Atmosfery Wrocław, listopad 2010 r. Podstawy Metrologii

Bardziej szczegółowo

Analiza korelacyjna i regresyjna

Analiza korelacyjna i regresyjna Podstawy Metrologii i Technik Eksperymentu Laboratorium Analiza korelacyjna i regresyjna Instrukcja do ćwiczenia nr 5 Zakład Miernictwa i Ochrony Atmosfery Wrocław, kwiecień 2014 Podstawy Metrologii i

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 1. Metody określania niepewności pomiaru

Ćwiczenie 1. Metody określania niepewności pomiaru Grzegorz Wielgoszewski Data wykonania ćwiczenia: Nr albumu 134651 7 października 01 Proszę podać obie daty. Grupa SO 7:30 Data sporządzenia sprawozdania: Stanowisko 13 3 listopada 01 Proszę pamiętać o

Bardziej szczegółowo

Statystyki: miary opisujące rozkład! np. : średnia, frakcja (procent), odchylenie standardowe, wariancja, mediana itd.

Statystyki: miary opisujące rozkład! np. : średnia, frakcja (procent), odchylenie standardowe, wariancja, mediana itd. Wnioskowanie statystyczne obejmujące metody pozwalające na uogólnianie wyników z próby na nieznane wartości parametrów oraz szacowanie błędów tego uogólnienia. Przewidujemy nieznaną wartości parametru

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji Statystyka dla jakości produktów i usług Six sigma i inne strategie Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji StatSoft Polska Wybrane zagadnienia analizy korelacji Przy analizie zjawisk i procesów stanowiących

Bardziej szczegółowo

Teoria błędów pomiarów geodezyjnych

Teoria błędów pomiarów geodezyjnych PodstawyGeodezji Teoria błędów pomiarów geodezyjnych mgr inŝ. Geodeta Tomasz Miszczak e-mail: tomasz@miszczak.waw.pl Wyniki pomiarów geodezyjnych będące obserwacjami (L1, L2,, Ln) nigdy nie są bezbłędne.

Bardziej szczegółowo

Niepewność pomiaru w fizyce.

Niepewność pomiaru w fizyce. Niepewność pomiaru w fizyce. 1. Niepewność pomiaru - wprowadzenie Każda badana doświadczalnie zależność fizyczna jest zależnością wyidealizowaną pomiędzy pewną liczbą wielkości fizycznych, to znaczy nie

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI

WYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI WYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI Regresja 1. Metoda najmniejszych kwadratów-regresja prostoliniowa 2. Regresja krzywoliniowa 3. Estymacja liniowej funkcji regresji 4. Testy istotności współczynnika regresji liniowej

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Podstaw Pomiarów

Laboratorium Podstaw Pomiarów Laboratorium Podstaw Pomiarów Dokumentowanie wyników pomiarów protokół pomiarowy Instrukcja Opracował: dr hab. inż. Grzegorz Pankanin, prof. PW Instytut Systemów Elektronicznych Wydział Elektroniki i Technik

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna i ekonometria

Statystyka matematyczna i ekonometria Statystyka matematyczna i ekonometria prof. dr hab. inż. Jacek Mercik B4 pok. 55 jacek.mercik@pwr.wroc.pl (tylko z konta studenckiego z serwera PWr) Konsultacje, kontakt itp. Strona WWW Elementy wykładu.

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d.

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby

Bardziej szczegółowo

Metrologia: definicje i pojęcia podstawowe. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie

Metrologia: definicje i pojęcia podstawowe. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie Metrologia: definicje i pojęcia podstawowe dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie Pojęcia podstawowe: Metrologia jest nauką zajmująca się sposobami dokonywania pomiarów oraz zasadami interpretacji

Bardziej szczegółowo

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Prowadząca: dr inż. Hanna Zbroszczyk e-mail: gos@if.pw.edu.pl tel: +48 22 234 58 51 konsultacje: poniedziałek, 10-11; środa: 11-12 www: http://www.if.pw.edu.pl/~gos/students/kadd

Bardziej szczegółowo

Szkoła Letnia STC Łódź mgr inż. Paulina Mikoś

Szkoła Letnia STC Łódź mgr inż. Paulina Mikoś 1 mgr inż. Paulina Mikoś Pomiar powinien dostarczyć miarodajnych informacji na temat badanego materiału, zarówno ilościowych jak i jakościowych. 2 Dzięki temu otrzymane wyniki mogą być wykorzystane do

Bardziej szczegółowo

RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH

RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH Piotr Konieczka Katedra Chemii Analitycznej Wydział Chemiczny Politechnika Gdańska Równoważność metod??? 2 Zgodność wyników analitycznych otrzymanych z wykorzystaniem porównywanych

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 1 Metody pomiarowe i opracowywanie danych doświadczalnych.

Ćwiczenie 1 Metody pomiarowe i opracowywanie danych doświadczalnych. Ćwiczenie 1 Metody pomiarowe i opracowywanie danych doświadczalnych. Ćwiczenie ma następujące części: 1 Pomiar rezystancji i sprawdzanie prawa Ohma, metoda najmniejszych kwadratów. 2 Pomiar średnicy pręta.

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl

Bardziej szczegółowo

INFORMATYKA W CHEMII Dr Piotr Szczepański

INFORMATYKA W CHEMII Dr Piotr Szczepański INFORMATYKA W CHEMII Dr Piotr Szczepański Katedra Chemii Fizycznej i Fizykochemii Polimerów WPROWADZENIE DO STATYSTYCZNEJ OCENY WYNIKÓW DOŚWIADCZEŃ 1. BŁĄD I STATYSTYKA błąd systematyczny, błąd przypadkowy,

Bardziej szczegółowo

Pobieranie prób i rozkład z próby

Pobieranie prób i rozkład z próby Pobieranie prób i rozkład z próby Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Pobieranie prób i rozkład z próby 1 / 15 Populacja i próba Populacja dowolnie określony zespół przedmiotów, obserwacji, osób itp.

Bardziej szczegółowo

Odchudzamy serię danych, czyli jak wykryć i usunąć wyniki obarczone błędami grubymi

Odchudzamy serię danych, czyli jak wykryć i usunąć wyniki obarczone błędami grubymi Odchudzamy serię danych, czyli jak wykryć i usunąć wyniki obarczone błędami grubymi Piotr Konieczka Katedra Chemii Analitycznej Wydział Chemiczny Politechnika Gdańska D syst D śr m 1 3 5 2 4 6 śr j D 1

Bardziej szczegółowo

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Książka jest nowoczesnym podręcznikiem przeznaczonym dla studentów uczelni i wydziałów ekonomicznych. Wykład podzielono na cztery części. W pierwszej

Bardziej szczegółowo

Doświadczalne wyznaczanie współczynnika sztywności (sprężystości) sprężyny

Doświadczalne wyznaczanie współczynnika sztywności (sprężystości) sprężyny Doświadczalne wyznaczanie współczynnika sztywności (sprężystości) Wprowadzenie Wartość współczynnika sztywności użytej można wyznaczyć z dużą dokładnością metodą statyczną. W tym celu należy zawiesić pionowo

Bardziej szczegółowo

Wykład Centralne twierdzenie graniczne. Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu

Wykład Centralne twierdzenie graniczne. Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu Wykład 11-12 Centralne twierdzenie graniczne Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu Centralne twierdzenie graniczne (CTG) (Central Limit Theorem - CLT) Centralne twierdzenie graniczne (Lindenberga-Levy'ego)

Bardziej szczegółowo

Oznacza to, że chcemy znaleźć minimum, a właściwie wartość najmniejszą funkcji

Oznacza to, że chcemy znaleźć minimum, a właściwie wartość najmniejszą funkcji Wykład 11. Metoda najmniejszych kwadratów Szukamy zależności Dane są wyniki pomiarów dwóch wielkości x i y: (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n ). Przypuśćmy, że nanieśliśmy je na wykres w układzie

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statystyk z próby

Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny

Bardziej szczegółowo

Opracowanie danych doświadczalnych część 1

Opracowanie danych doświadczalnych część 1 Opracowanie danych doświadczalnych część 1 Jan Kurzyk Instytut Fizyki Politechniki Krakowskiej wersja z 15.10.2010 Pomiar to zespół czynności, których celem jest uzyskanie miary danej wielkości fizycznej,

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA OPOLSKA

POLITECHNIKA OPOLSKA POLITECHNIKA OPOLSKA WYDZIAŁ MECHANICZNY Katedra Technologii Maszyn i Automatyzacji Produkcji Laboratorium Podstaw Inżynierii Jakości Ćwiczenie nr 4 Temat: Analiza korelacji i regresji dwóch zmiennych

Bardziej szczegółowo

Rozkłady zmiennych losowych

Rozkłady zmiennych losowych Rozkłady zmiennych losowych Dane zbierane podczas pomiarów zawsze układają się w pewien określony sposób. To w jaki, zależy przede wszystkim od zjawiska, które jest obserwowane. Sposób, w jaki układają

Bardziej szczegółowo

WZORCOWANIE URZĄDZEŃ DO SPRAWDZANIA LICZNIKÓW ENERGII ELEKTRYCZNEJ PRĄDU PRZEMIENNEGO

WZORCOWANIE URZĄDZEŃ DO SPRAWDZANIA LICZNIKÓW ENERGII ELEKTRYCZNEJ PRĄDU PRZEMIENNEGO Mirosław KAŹMIERSKI Okręgowy Urząd Miar w Łodzi 90-132 Łódź, ul. Narutowicza 75 oum.lodz.w3@gum.gov.pl WZORCOWANIE URZĄDZEŃ DO SPRAWDZANIA LICZNIKÓW ENERGII ELEKTRYCZNEJ PRĄDU PRZEMIENNEGO 1. Wstęp Konieczność

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ.. LABORATORIUM FIZYCZNE

WYDZIAŁ.. LABORATORIUM FIZYCZNE W S E i Z W WASZAWE WYDZAŁ.. LABOATOUM FZYCZNE Ćwiczenie Nr 10 Temat: POMA OPOU METODĄ TECHNCZNĄ. PAWO OHMA Warszawa 2009 Prawo Ohma POMA OPOU METODĄ TECHNCZNĄ Uporządkowany ruch elektronów nazywa się

Bardziej szczegółowo

LIV OLIMPIADA FIZYCZNA 2004/2005 Zawody II stopnia

LIV OLIMPIADA FIZYCZNA 2004/2005 Zawody II stopnia LIV OLIMPIADA FIZYCZNA 004/005 Zawody II stopnia Zadanie doświadczalne Masz do dyspozycji: cienki drut z niemagnetycznego metalu, silny magnes stały, ciężarek o masie m=(100,0±0,5) g, statyw, pręty stalowe,

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie z fizyki Doświadczalne wyznaczanie ogniskowej soczewki oraz współczynnika załamania światła

Ćwiczenie z fizyki Doświadczalne wyznaczanie ogniskowej soczewki oraz współczynnika załamania światła Ćwiczenie z fizyki Doświadczalne wyznaczanie ogniskowej soczewki oraz współczynnika załamania światła Michał Łasica klasa IIId nr 13 22 grudnia 2006 1 1 Doświadczalne wyznaczanie ogniskowej soczewki 1.1

Bardziej szczegółowo

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com Analiza korelacji i regresji KORELACJA zależność liniowa Obserwujemy parę cech ilościowych (X,Y). Doświadczenie jest tak pomyślane, aby obserwowane pary cech X i Y (tzn i ta para x i i y i dla różnych

Bardziej szczegółowo

BADANIE DRGAŃ TŁUMIONYCH WAHADŁA FIZYCZNEGO

BADANIE DRGAŃ TŁUMIONYCH WAHADŁA FIZYCZNEGO ĆWICZENIE 36 BADANIE DRGAŃ TŁUMIONYCH WAHADŁA FIZYCZNEGO Cel ćwiczenia: Wyznaczenie podstawowych parametrów drgań tłumionych: okresu (T), częstotliwości (f), częstotliwości kołowej (ω), współczynnika tłumienia

Bardziej szczegółowo

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie:

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie: ma postać y = ax + b Równanie regresji liniowej By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : xy b = a = b lub x Gdzie: xy = też a = x = ( b ) i to dane empiryczne, a ilość

Bardziej szczegółowo

Wstęp do ćwiczeń na pracowni elektronicznej

Wstęp do ćwiczeń na pracowni elektronicznej Wstęp do ćwiczeń na pracowni elektronicznej Katarzyna Grzelak listopad 2011 K.Grzelak (IFD UW) listopad 2011 1 / 25 Zajęcia na pracowni elektronicznej Na kolejnych zajęciach spotykamy się na pracowni elektronicznej

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Podstaw Elektrotechniki i Elektroniki

Laboratorium Podstaw Elektrotechniki i Elektroniki Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i utomatyki 1. Wstęp st. stacjonarne I st. inżynierskie, Energetyka Laboratorium Podstaw Elektrotechniki i Elektroniki Ćwiczenie nr 2 OBWODY NIELINIOWE PRĄDU

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia: równanie soczewki, ogniskowa soczewki, powiększenie, geometryczna konstrukcja obrazu, działanie prostych przyrządów optycznych.

Zagadnienia: równanie soczewki, ogniskowa soczewki, powiększenie, geometryczna konstrukcja obrazu, działanie prostych przyrządów optycznych. msg O 7 - - Temat: Badanie soczewek, wyznaczanie odległości ogniskowej. Zagadnienia: równanie soczewki, ogniskowa soczewki, powiększenie, geometryczna konstrukcja obrazu, działanie prostych przyrządów

Bardziej szczegółowo

Niepewność rozszerzona Procedury szacowania niepewności pomiaru. Tadeusz M.Molenda Instytut Fizyki, Uniwersytet Szczeciński

Niepewność rozszerzona Procedury szacowania niepewności pomiaru. Tadeusz M.Molenda Instytut Fizyki, Uniwersytet Szczeciński Niepewność rozszerzona Procedury szacowania niepewności pomiaru Tadeusz M.Molenda Instytut Fizyki, Uniwersytet Szczeciński Międzynarodowa Konwencja Oceny Niepewności Pomiaru (Guide to Expression of Uncertainty

Bardziej szczegółowo

POWTÓRZENIE - GEODEZJA OGÓLNA dział 9 ELEMENTY RACHUNKU WYRÓWNAWCZEGO

POWTÓRZENIE - GEODEZJA OGÓLNA dział 9 ELEMENTY RACHUNKU WYRÓWNAWCZEGO POWTÓRZENIE - GEODEZJA OGÓLNA dział 9 ELEMENTY RACHUNKU WYRÓWNAWCZEGO SPOSTRZEŻENIA JEDNAKOWO DOKŁADNE. Spostrzeżenia jednakowo dokładne to takie, które wykonane są: tym samym przyrządem, tą samą metodą

Bardziej szczegółowo

Aproksymacja funkcji a regresja symboliczna

Aproksymacja funkcji a regresja symboliczna Aproksymacja funkcji a regresja symboliczna Problem aproksymacji funkcji polega na tym, że funkcję F(x), znaną lub określoną tablicą wartości, należy zastąpić inną funkcją, f(x), zwaną funkcją aproksymującą

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys.

Ćwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys. Ćwiczenie M- Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego. Cel ćwiczenia: pomiar przyśpieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła fizycznego.. Przyrządy: wahadło rewersyjne, elektroniczny

Bardziej szczegółowo

Opracowanie danych pomiarowych

Opracowanie danych pomiarowych Rozdział 1 Opracowanie danych pomiarowych Andrzej Zięba Pomiary fizyczne mogą być dokonywane tylko ze skończoną dokładnością. Powodem tego jest niedoskonałość przyrządów pomiarowych i nieprecyzyjność naszych

Bardziej szczegółowo

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji

Bardziej szczegółowo

m 0 + m Temat: Badanie ruchu jednostajnie zmiennego przy pomocy maszyny Atwooda.

m 0 + m Temat: Badanie ruchu jednostajnie zmiennego przy pomocy maszyny Atwooda. msg M 1-1 - Temat: Badanie ruchu jednostajnie zmiennego przy pomocy maszyny Atwooda. Zagadnienia: prawa dynamiki Newtona, równania dynamiczne ruchu, siły tarcia, moment sił, moment bezwładności, opis kinematyczny

Bardziej szczegółowo