Analiza niepewności pomiarowych i opracowanie wyników. Chemia C

Transkrypt

1 Analiza niepewności pomiarowych i opracowanie wyników dr Anna Majcher 5 marca 2015 Chemia C I Pracownia Fizyczna, WFAiIS UJ

2 Po co nam niepewności pomiarowe? Pytania: Jak daleko jest stąd do najbliższego przystanku? Ile wynosi wzrost Buki? Psze pani, a ile będzie trwał ten wykład? Czy możemy podać prawdziwą wartość wielkości, o którą pytamy? Wielkość zmierzona, podana bez wartości niepewności pomiarowej jest bezwartościowa!

3 Po co nam niepewności pomiarowe? Pytania: Jak daleko jest stąd do najbliższego przystanku? Ile wynosi wzrost Buki? Psze pani, a ile będzie trwał ten wykład? Czy możemy podać prawdziwą wartość wielkości, o którą pytamy? Poprawne odpowiedzi powinny brzmieć: Do najbliższego przystanku jest 530 metrów plus/minus 50 metrów. Buka ma 25 plus/minus 5 cm wzrostu. Wykład będzie trwał 55 minut plus/minus 11 minut. Wielkość zmierzona, podana bez wartości niepewności pomiarowej jest bezwartościowa!

4 Po co nam niepewności pomiarowe? Niepewność pomiaru - definicja Jest to parametr związany z wartościami (serią) pomiaru danej wielkości fizycznej w stałych warunkach, które można w uzasadniony sposób przypisać wartości mierzonej, i charakteryzujący ich rozrzut w przedziale, wewnątrz którego można z zadowalającym prawdopodobieństwem usytuować wartość wielkości mierzonej. [1] To znaczy: zmierzyłam tę wielkość, wynosi tyle a tyle, przy czym mogłam się pomylić o wartość tej niepewności. Jest to swoiste wyrażenie swojej pokory i chęci pozostania jak najbliżej prawdy.

5 Źródła niepewności Smutna wiadomość Wartości prawdziwej nie poznamy nigdy! Możemy ją jedynie oszacować z pewną dokładnością. W jaki sposób zwiększyć tę dokładność (czyli jak najmniej się pomylić)? Przykład Chcę zmierzyć liczbę kroków stąd do Dziekanatu. Zwiększę dokładność, zwiększając liczbę prób, tzn. przejdę tę drogę kilkanaście razy i policzę średnią. Na tym przykładzie możemy powiedzieć, że są różne źródła niepewności:

6 Źródła niepewności Smutna wiadomość Wartości prawdziwej nie poznamy nigdy! Możemy ją jedynie oszacować z pewną dokładnością. W jaki sposób zwiększyć tę dokładność (czyli jak najmniej się pomylić)? Przykład Chcę zmierzyć liczbę kroków stąd do Dziekanatu. Zwiększę dokładność, zwiększając liczbę prób, tzn. przejdę tę drogę kilkanaście razy policzę średnią. Na tym przykładzie możemy powiedzieć, że są różne źródła niepewności: Podziałka - w ten sposób nie zmierzę tej odległości dokładniej, niż 1 krok. Będzie pewien statystyczny rozrzut wokół średniej wartości (o tym za chwilę) - np. 124, 136, 129, 121, 125, 125, 118 itd... Mogę myśleć o niebieskich migdałach lub o czymś kwantowym i zapomnę liczyć - np. nagle wyjdzie mi 55 kroków (błędy grube)

7 Źródła niepewności Błędy grube Drastycznie duże odchyłki, wynikające przeważnie z błędu ludzkiego przy odczycie lub zapisie (np. niewłaściwy rząd wielkości). Takie punkty pomiarowe odrzucamy. Niepewności systematyczne Tu wrzucamy wszystkie niepewności związane z przyrządem pomiarowym: wielkość naszej podziałki - np. jeden krok, jedna milisekunda, jeden milimetr, zegar może się spieszyć, lub np. obliczamy ją w oparciu o klasę przyrządu pomiarowego. To źródło ma tendencję do tworzenia w przybliżeniu stałej różnicy (w jedną stronę) pomiędzy (nieznaną) wartością rzeczywistą, a wynikami pomiarów. Niepewności przypadkowe Tworzone, jak sama nazwa wskazuje, przypadkiem (drgnięcie ręki przy pomiarze, zakłócenia, szumy) - które mogę działać w jedną lub drugą stronę, więc mają tendencję do tworzenia symetrycznego rozrzutu wokół wartości rzeczywistej.

8 Jak oceniać niepewności pomiarowe? GUS [1] wyróżnia dwa typy: Typ A - Analiza statystyczna serii pomiarów (niepewności przypadkowe) Wtedy, gdy istnieje możliwość przeprowadzenia w identycznych warunkach pomiarowych wielu niezależnych obserwacji jednej z wielkości wejściowych. Jeżeli rozdzielczość procesu pomiarowego jest wystarczająca, otrzymane wyniki charakteryzuje zauważalny rozrzut. Typ B - Brak serii pomiarowej (niepewności systematyczne) Gdy do dyspozycji mamy np. tylko jeden pomiar (niemożliwe jest przeprowadzenie serii). Do tego typu niepewności zalicza się: dane uzyskane z wcześniej przeprowadzonych pomiarów, posiadane doświadczenie lub ogólna znajomość zachowania się i właściwości odpowiednich materiałów i przyrządów pomiarowych, specyfikacje producenta, dane uzyskane ze świadectw wzorcowania i z innych certyfikatów, niepewności związane z danymi odniesienia, uzyskane z podręczników. Często ocena jest przeprowadzana szacunkowo!

9 Błędy grube Post na forum: moja mikrofalówka się zepsuła! Przeskakuje ze 100 s od razu na 59 s. Myślicie, że przyjmą mi to na gwarację? Wszystkie pomiary obarczone błędem grubym należy odrzucić.

10 Niepewności systematyczne Przesuwanie wyniku w jedna stronę. Np. przy odczycie temperatury (ćwiczenie M16): T ( O C)

11 Niepewności statystyczne Food for thought: próba uchwycenia rzeczywistej wartości mierzonej wielkości przypomina strzelanie do tarczy:

12 Niepewności statystyczne Spróbujmy zwizualizować w jednym wymiarze, jak bardzo rozrzucone są wyniki na prawo i lewo od środka:

13 Będzie to wyglądać mniej-więcej tak: Niepewności statystyczne

14 Okazuje się, że można to opisać tzw. funkcją Gaussa: Niepewności statystyczne

15 Niepewności statystyczne y = 1 ( σ 2π exp (x x 0) 2 ) 2σ 2

16 Niepewności statystyczne Pytanie pierwsze: Jak to ma się do naszych pomiarów? Przyjmujemy, że wielkością najbardziej zbliżoną do wartości rzeczywistej [estymatorem wartości oczekiwanej] jest średnia arytmetyczna pomiarów. Czyli zakładamy, że: x 0 = x = 1 n x i n i=1. Wielkością najlepiej opisującą niepewność wyniku jest odchylenie standardowe średniej arytmetycznej: Zakładamy, że σ = S x = 1 n (x i x) 2 n(n 1) i=1

17 Niepewności statystyczne Pytanie drugie: Czy σ wystarczająco dobrze określi nam margines niepewności pomiarowej? Przyjęcie niepewności pomiarowej x stat = 1σ daje nam pewność, że z prawdopodobieństwem 68.3% zawrzemy w zakresie < x 1σ, x + 1σ> wartość rzeczywistą!

18 Niepewności statystyczne Pytanie drugie: Czy σ wystarczająco dobrze określi nam margines niepewności pomiarowej? Jeżeli przyjmiemy x stat = 2σ, to mamy pewność, że prawdopodobieństwo objęcia naszym zakresem < x 2σ, x + 2σ> wartości rzeczywistej wyniesie 95.4%! Znacznie lepiej.

19 Niepewności statystyczne Pytanie drugie: Czy σ wystarczająco dobrze określi nam margines niepewności pomiarowej? Dla x stat = 3σ prawdopodobieństwo objęcia wartości rzeczywistej zakresem < x 3σ, x + 3σ> wyniesie 99.7%! Nie jest to już tak spektakularna różnica, jak przy zmianie z 1 do 2σ, więc zwyczajowo przyjmujemy x stat = 2σ.

20 Niepewności statystyczne Pytanie trzecie: A co, jeżeli pomiarów jest mało (n<10)? Dla małych serii pomiarowych odchylenie standardowe jest zaniżone! Z pomocą przychodzą nam współczynniki Studenta-Fischera. n 1 α = α = α = α - tzw. poziom istotności. Określa maksymalne ryzyko błędu, jakie badacz jest skłonny zaakceptować. 1 α to z kolei tzw. poziom ufności.

21 Obliczanie całkowitej niepewności pomiarowej Co zrobić, gdy i statystyczny rozrzut, i niepewność systematyczna mają znaczenie? Podsumujmy: Umiemy już policzyć x stat = Odpowiedni współczynnik S x. Całkowitą niepewność systematyczną (od przyrządu) otrzymamy w następujący sposób: x syst = D 3, gdzie D zależy od przyrządu pomiarowego. Zwykle jest to tzw. klasa przyrządu wartość odczytu lub np. zakres miernika + współczynnik podziałka. Należy zawsze upewnić się, jaka jest niepewność systematyczna naszych przyrządów pomiarowych! Całkowitą niepewność naszego pomiaru obliczymy więc jako sumę geometryczną tych dwóch niepewności: x = xstat 2 + x2 syst. Uwaga: tak robimy w przypadku, gdy chcemy pożenić te dwa typy niepewności - czyli w powyższy sposób traktujemy niepewność systematyczną w sposób statystyczny, tzn. x stat i x syst są podobnej wielkości. W przypadku, gdy mamy tylko jeden pomiar (typ B GUSu), pozostajemy przy wartości x = D.

22 Obliczanie całkowitej niepewności pomiarowej Przykład: pomiar wartości napięcia. Wykonałam 8 pomiarów napięcia: n U(V) Widać, że pomiar nr. 5 jest obarczony błędem grubym odrzucamy go. Pozostaje 7 użytecznych pomiarów. Obliczam średnią arytmetyczną z pozostałych 7 pomiarów: Ū = V Obliczam odchylenie standardowe średniej arytmetycznej: SŪ = V. Wybieram poziom ufności 95%. Szukam więc odpowiedniego współczynnika Studenta-Fischera (n=7, 1 α = 0.957), wynosi on Moje x stat = V. Na woltomierzu napisane jest: ± 0.3% rdg ± 1dgt. Czyli 0.3% razy wartość zmierzona (wstawię Ū) plus podziałka, czyli 0.01 V. Po obliczeniu: D = V. Więc x syst = D 3 = V Całkowita niepewność pomiarowa: x = xstat 2 + x2 syst = V.

23 Sztuka zaokrąglania niepewności pomiarowych Zapis wyniku poprzedniego pomiaru: U = V ± V wygląda dość paskudnie. Zaokrąglamy zawsze do dwóch miejsc znaczących niepewności! To znaczy poprawny zapis wyniku w tym przypadku to: U = (2.389 ± 0.021) V lub U = 2.389(21) V. Uwaga o zaokrąglaniu Wyliczoną wartość średnią zmierzonej wielkości zaokrąglamy normalnie, natomiast niepewność zaokrąglamy zawsze w górę!

24 Sztuka prezentacji niepewności pomiarowych Wyniki pomiarów i obliczeń najlepiej podawać w jednostkach, dla których wartość liczbowa zawarta jest przedziale od 0.01 do Można używać: przedrostków, (µ, m, M, G) itd. lub notacji potęgowej. Przykłady: m = ± g m = ± mg I = ± A I = 46 ± 11µA n = ± n = (3.41 ± 0.22) 10 6 Chodzi o to, żeby wyniki Państwa pracy były eleganckie i dawały się czytać.

25 Pomiary pośrednie Co zrobić w przypadku, kiedy mamy jakąś zależność? Np. za pomocą stopera i wahadła matematycznego chcemy wyznaczyć np. przyspieszenie ziemskie? Teoria: wielkość, którą chcemy wyznaczyć jest funkcją kilku zmiennych: F = F (x 1, x 2, x 3 ) Czyli: poprzez pomiar x 1, x 2 i x 3, każde z odpowiednią niepewnością x 1, x 2 i x 3 chcemy wyznaczyć wielkość F z odpowiednią niepewnością F. Propagacja niepewności Niepewność propaguje się tak, jak pochodna względem danej zmiennej. To znaczy, że niepewność F otrzymamy w sposób następujący: F = ( ) F 2 ( ) F 2 ( ) F 2 x 1 + x 2 + x 3. x 1 x 2 x 3 x1, x 2, x 3 Istnieją inne sposoby obliczania niepewności w pomiarach pośrednich (np. różniczka zupełna, różniczka logarytmiczna), ale na potrzeby naszej Pracowni wystarczy powyższy wzór.

26 Pomiary pośrednie Jak to wszystko zastosować w praktyce? Wzór na okres wahadła matematycznego: Przykład: pomiar przyspieszenia ziemskiego g za pomocą wahadła matematycznego. T = 2π l g, stąd g = l ( ) 2π 2. T Założmy, że wyznaczyliśmy l = ( ± 0.010) cm i T = (1.27 ± 0.25)s. Obliczamy teraz g z tych pomiarów jako równe g = m s 2. Oraz niepewność: g = (( = 2π T ( g l l ) 2 + ( g T T ) 2 ) ) 2 2 l + ( 2l (2π)2 T 3 T Po wstawieniu wartości wychodzi g = m s 2. Ostatecznie, po zastosowaniu sztuki zaokrąglania: ) 2 g = 9.75 ± 0.40 m s 2 Widać, że wartość tablicowa 9.81 m s 2 mieści się w naszym przedziale - zgadza się w granicach niepewności pomiarowej.

27 Wykresy Przykład: pomar zależności natężenia prądu od przyłożonego napięcia. Przykład złego wykresu: Wykres poprawny: Zamienione osie (trzeba pamiętać, czego wykres od czego robimy). Brak podpisów na osiach. Brak jednostek. Połączone punkty na wykresie. Brak słupków błędu. Poprawnie podpisane osie wraz z jednostkami Słupki błędu Dopasowana zależność liniowa (o tym za chwilę) zamiast łączenia punktów. Ładnie dopasowana skala.

28 Regresja liniowa Mówiąc po ludzku: mamy zestaw punktów pomiarowych w postaci (x i, y i ). Chcemy znaleźć taką prostą postaci y = a x + b, żeby jak najmniej mijała się z prawdą - czyli, żeby oszacowywała zależność pomiędzy x a y z jak najmniejszym błędem. Co może być miarą tego błędu? Miarą błędu może być suma odległości pomiędzy zmierzonymi wartościami y i a szacowanymi przez naszą prostą za pomocą x i. A ponieważ punkty mogą być zarówno nad, jak i pod prostą, sumujemy nie same odległości, a ich kwadraty, które są zawsze dodatnie. Chodzi nam o to, żeby ta suma była jak najmniejsza. Metoda regresji liniowej jest nazywana także metodą najmniejszych kwadratów. Definicja Regresja liniowa ma na celu wyliczenie takich współczynników regresji (współczynników w modelu liniowym), aby model jak najlepiej przewidywał wartość zmiennej zależnej, aby błąd oszacowania był jak najmniejszy.

29 Regresja liniowa To się da policzyć! Minimalizujemy wspomnianą już sumę kwadratów odległości ze względu na a i b: χ 2 = n (y i (a x i + b)), i=1 musi być (χ2 ) = 0 i (χ2 ) = 0. a b Tak wyglądają gotowe wzory na współczynniki prostej y = a x + b: Na współczynnik a: n n x i y i n n x i y i i=1 i=1 i=1 a = n n ( n ) 2 xi 2 x i i=1 i=1 Na współczynnik b: ( n ) b = 1 n y i a x i n i=1 i=1 Są też wzory na niepewności wyznaczenia a i b, ale nie zmieściłyby się na slajdzie. Chiwla na refleksję: Jakie to szczęście, że mamy komputery i nie musimy liczyć tego ręcznie... To są najprostsze wzory na współczynniki regresji liniowej bez uwzględniania niepewności pojedynczych pomiarów x i y. Jest też tzw. regresja ważona, którą stosuje się, gdy każdy punkt pomiarowy jest obarczony inną niepewnością.

30 Regresja liniowa Wróćmy na chwilę do naszego przykładu: Usłużny program Origin wyliczył nam współczynniki: a = ( ± ) ma mv = ( ± ) 1 Ω b = ( ± )mA Wiemy, że a = 1. Za pomocą wcześniej R znanych wzorów wyznaczmy sobie opór układu wraz z niepewnością: R = ( ± )Ω = 10.00(16)Ω

31 Bibliografia [1] Wyrażanie niepewności pomiaru. Przewodnik, Główny Urząd Miar, Warszawa 1999, ISBN X [2] I PRACOWNIA FIZYCZNA, redakcja naukowa Andrzej Magiera, Instytut Fizyki, Uniwersytet Jagielloński, 2010 [3] Pracownia fizyczna wspomagana komputerem, Henryk Szydłowski, Wydawnictwo Naukowe PWN, 2012

32 Ciekawostka na koniec - wyniki matury z matematyki...

33 Pytania? Zakończenie