LABORATORIUM Populacja Generalna (PG) 2. Próba (P n ) 3. Kryterium 3σ 4. Błąd Średniej Arytmetycznej 5. Estymatory 6. Teoria Estymacji (cz.

Transkrypt

1 LABORATORIUM 4 1. Populacja Generalna (PG) 2. Próba (P n ) 3. Kryterium 3σ 4. Błąd Średniej Arytmetycznej 5. Estymatory 6. Teoria Estymacji (cz. I)

2 WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE (STATISTICAL INFERENCE) Populacja generalna zbiór dowolnych elementów, nieidentycznych z punktu widzenia danej cechy, który jest obiektem zainteresowania statystyki. Próba (statystyczna) podzbiór populacji generalnej, powinna być miniaturą populacji. Jest ona bezpośrednim przedmiotem badań (wnioskowanie statystyczne)

3 ZMIENNA LOSOWA CIĄGŁA Populacja Generalna (PG) funkcja gęstości prawdopodobieństwa : f(x) - <x < Próba (P n ) 1) mała n<30 2) duża n 30 Parametry PG: Estymatory: Wartość oczekiwana (, EX) Średnia arytmetyczna (, x sr ) Wariancja ( 2, V(X) ) Wariancja z próby (kwadrat odchylenia standardowego)

4 Kryterium 3 2* 0,15 % na 1000 wyników przeciętnie 3 znajdują się poza przedziałem ( -3, +3 )

5 ĆWICZENIE 1 Celem określenia przeciętnej masy (wartości oczekiwanej) cegieł produkowanych w cegielni pobrano losowo partię (próbę) 10-ciu cegieł ich masa wynosiła w kg: 3,12; 3,40; 2,41; 2,84; 3,32; 2,96; 3,47; 3,21; 3,06; 3,28 1. Wprowadzić wartości do kolumny ECELA bez wyniku wątpliwego 2,41 : 2. Wyznaczyć średnią arytmetyczną- x sr (Excel:ŚREDNIA) oraz błąd standardowy s (Excel:ODCHYLENIE STANDARDOWE) 3. Stosując kryterium 3 podjąć decyzję czy wynik 2,41 odrzucić lub nie ( sprawdzić czy wynik ten znajduje się w przedziale: x sr -3s, x sr +3s ) 4. Jeśli w wyniku pktu 3 stwierdzono, że brak jest podstaw do odrzucenia wyniku wątpliwego, dołączyć go do pozostałych i obliczyć: x sr oraz s

6 ESTYMATORY µ i σ 2 ESTYMATOREM WARTOŚCI OCZEKIWANEJ µ=ex Jest: ŚREDNIA ARYTMETYCZNA ESTYMATOREM WARIANCJI jest: KWADRAT ODCHYLENIA STANDARDOWEGO Z PRÓBY, s 2 (BŁĘDU STANDARDOWEGO)

7 ROZKŁAD ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ PRÓB Przykład: Populacja generalna: wielokrotne (nieskończone) rzuty kością do gry. Niech zmienną losową będą liczby oczek w każdym pojedynczym rzucie. Rozkład zmiennej losowej podany jest w Tabeli 1. Tabela 1 Parametry rozkładu populacji: x p(x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 Przypuśćmy, że nie znamy µ, celem jej oszacowania wyznaczamy z prób o liczebności n=2. Zwykle ograniczamy się do jednej próby, lecz aby określić jak dokładnie przybliża µ, określmy dla wszystkich możliwych prób o n=2.

8 ROZKŁAD ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ PRÓB c.d POPULACJA Nieskończenie wiele wyników: 1, 2, 3, 4, 5, 6 Parametry: µ =3,5 σ 2 =2,92 Tabela 2 wyniki wszystkich prób n=2 Próba Próba Próba 1; 1 1,0 1; 2 1,5 1; 3 2,0 1; 4 2,5 1; 5 3,0 1; 6 3,5 2; 1 1,5 2; 2 2,0 2; 3 2,5 2; 4 3,0 2; 5 3,5 2; 6 4,0 3; 1 2,0 3; 2 2,5 3; 3 3,0 3; 4 3,5 3; 5 4,0 3; 6 4,5 4; 1 2,5 4; 2 3,0 4; 3 3,5 4; 4 4,0 4; 5 4,5 4; 6 5,0 5; 1 3,0 5; 2 3,5 5: 3 4,0 5; 4 4,5 5; 5 5,0 5; 6 5,5 6; 1 3,5 6; 2 4,0 6; 3 4,5 6; 4 5,0 6; 5 5,5 6; 6 6,0 PRÓBA Tabela 3 Rozkład 1,0 1/36 1,5 2/36 2,0 3/36 2,5 4/36 3,0 5/36 3,5 6/36... w próbach 4,0 5/36 4,5 4/36 5,0 3/36 5,5 2/36 6,0 1/36 =1,0

9 ROZKŁAD ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ PRÓB c.d OGÓLNIE: (dla populacji) ma w przybliżeniu rozkład normalny! n=2

10 ROZKŁAD ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ OGÓLNIE: σ śr2 = = x śr ma rozkład normalny N(μ, σ śr )

11 ROZKŁAD ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ PRÓB DLA PRÓBY:

12 ROZKŁAD ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ PRÓB c.d

13 Estymacja wartości oczekiwanej ( ) P.G. populacja generalna X- zmienna losowa; f(x) funkcja gęstości prawdopodobieństwa -wartość oczekiwana; - odchylenie standardowe P n - próba n-elementowa ; x sr N(, sr )

14 Estymacja wartości oczekiwanej ( ) Poziom ufności Przedział ufności P ( - z α/2 < z < z α/2 ) = 1 α

15 TEORIA ESTYMACJI I ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA dla μ: μ=x sr ±Δμ Dane: próba losowa: P (n), poziom ufności: 1-α 3. ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA : PRÓBA LOSOWA P (n) (n-elementowa) Gdy: σ znane (jest to słuszne też dla małej próby) Gdy: σ nieznane TYLKO dla dużej próby Mała (n <30) z α z N(0,1) : ROZKLAD.N.S.ODW (wstawić α/2, uzyskujemy -z α ) t α z rozkładu t-studenta ROZKŁAD.T.ODW (prawdopodobieństwo: α/2, stopnie swobody: k=n-1 uzyskujemy t α )

16 ZADANIA (1) Celem określenia przeciętnej masy (wartości oczekiwanej) cegieł produkowanych w cegielni pobrano losowo partię (próbę) 9-ciu cegieł ich masa wynosiła w kg: 3,12; 3,40; 2,84; 3,32; 2,96; 3,47; 3,21; 3,06; 3,28 1. Obliczyć: x sr oraz s(x). 2. Wyznaczyć błąd standardowy średniej arytmetycznej s( x ) s( x) n 6. Oszacować wartość przeciętną populacji- (estymacja punktowa) z uwzględnieniem błędu bezwzględnego: x s( x sr ) oraz błędu względnego w % : sr x *100% sr sr s( x x sr ) sr [kg]

17 ZADANIA (c.d.) 1. Dokonano 100 pomiarów ciśnienia wody na ostatnim piętrze budynku i uzyskano p sr =2,21 atm; s 2 = 4,41 atm 2. Wyznaczyć przedział ufności wartości oczekiwanej p, przyjmując poziom ufności 1- : a) 0,99; b) 0.98; c) 0,95. Odp: a) ( 1,67 ; 2,75) b) (1,72; 2,70); c) (1,80; 2,62). 2. Przeprowadzono 10 pomiarów grubości spieku ceramicznego i uzyskano wyniki w mm: 7,0; 7,5; 8,5; 8,0; 6,0 ; 7,5; 6,5; 5,5; 7,5; 6,0. Wyznaczyć przedział ufności w przypadkach: A) σ = 1mm; 1-α; a) 0,99; b) 0,98; c) 0,95 B) wykonać analog. obliczenia gdy nieznane oraz 1-α; a) 0,99; b) 0,98; c) 0,9

18 ZADANIA (3) Celem określenia przeciętnej masy (wartości oczekiwanej) cegieł produkowanych w cegielni pobrano losowo partię (próbę) 10-ciu cegieł ich masa wynosiła w kg: 3,12; 3,40; 2,41; 2,84; 3,32; 2,96; 3,47; 3,21; 3,06; 3,28 1. Wprowadzić wartości do kolumny ECELA bez wyniku wątpliwego 2,41 : 2. Wyznaczyć średnią arytmetyczną- x sr (Excel:ŚREDNIA) oraz błąd standardowy s (Excel:ODCHYLENIE STANDARDOWE) 3. Stosując kryterium 3 podjąć decyzję czy wynik 2,41 odrzucić lub nie ( sprawdzić czy wynik ten znajduje się w przedziale: x sr -3s, x sr +3s ) 4. Jeśli w wyniku pktu 3 stwierdzono, że brak jest podstaw do odrzucenia wyniku wątpliwego, dołączyć go do pozostałych i obliczyć: x sr oraz s 5. Wyznaczyć błąd standardowy średniej arytmetycznej s( x ) 6. Oszacować wartość przeciętną populacji- (estymacja punktowa) z uwzględnieniem błędu bezwzględnego: x s( x sr ) kg oraz błędu względnego w % s( xsr) xsr *100% x sr sr sr s( x) n