Niepewność pomiaru w fizyce.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Niepewność pomiaru w fizyce."

Transkrypt

1 Niepewność pomiaru w fizyce. 1. Niepewność pomiaru - wprowadzenie Każda badana doświadczalnie zależność fizyczna jest zależnością wyidealizowaną pomiędzy pewną liczbą wielkości fizycznych, to znaczy nie uwzględnia wielu czynników, które mogą wpływać na przebieg doświadczenia. Biorąc pod uwagę dodatkowe czynniki, jak niedoskonałość samego przyrządu pomiarowego, wpływ osoby dokonującej pomiaru itp., jest sprawą oczywistą, że każdy pomiar obarczony jest pewną niedokładnością. Podanie samej wartości mierzonej wielkości fizycznej, bez podania jej niepewności, z punktu widzenia fizyki jest bezwartościowe, gdyż wyniki pomiarów wykonane przez rożne osoby czy różnymi metodami nie mogą być porównywane między sobą. Dlatego wynik ostateczny pomiaru należy przedstawić w postaci: (wartość wielkości mierzonej niepewność pomiarowa) jednostka np. Pomiar porównanie wielkości mierzonej z wielkością wzorcową przyjętą za jednostkę. W wyniku pomiaru otrzymuje się zawsze wartość przybliżoną rzeczywistej wartości mierzonej wielkości fizycznej. Podając wynik należy jednocześnie podać jego niepewność (dokładność). Czynniki wpływające na dokładność pomiaru: a. właściwości przyrządu tzn. jego czułość, bezwładność, klasa dokładności, b. wybrana metoda pomiaru, c. błędy związane z podłączeniem przyrządu, d. wpływ zmieniających się warunków otoczenia, e. błędy związane z odczytem wskazań, f. niereprezentatywne pobieranie próbek, tzn. mierzona próbka nie jest reprezentatywna dla definiowanej wielkości mierzonej, g. niedokładnie znane wartości stałych i innych parametrów użytych podczas przetwarzania danych. Uwaga: pojęcie błędu pomiaru nie jest tożsame z pojęciem niepewności pomiaru. W przypadku pojedynczego pomiaru bezpośredniego danej wielkości fizycznej, pod pojęciem błędu pomiaru rozumieć należy różnicę pomiędzy wartością zmierzoną i wartością rzeczywistą (dokładną) mierzonej wielkości fizycznej. Błędu tego nie można obliczyć, gdyż nie jest znana wartość dokładna mierzonej wielkości fizycznej! Można tylko jego wartość oszacować. Otrzymane wyniki pomiarów pozwalają tylko na podanie przedziału wartości, w którym powinna się znajdować wartość mierzonej wielkości fizycznej. Według Międzynarodowej Organizacji Normalizacyjnej ISO niepewność pomiaru (ang. uncertainty) definiuje się jako " parametr związany z wynikiem pomiaru, charakteryzujący rozrzut wartości, które można w uzasadniony sposób przypisać wielkości mierzonej". Parametrem takim może być na przykład odchylenie standardowe rozkładu wyników. Niepewność pomiaru w fizyce - teoria Strona 1

2 Błędy wykonanego pomiaru można podzielić na: a. błędy systematyczne - ich źródłem mogą być na przykład skale mierników (np. niewłaściwe ustawienie zera ), nieuwzględnienie wpływu czynników zewnętrznych (temperatura, wilgotność) na wartość wielkości mierzonej, przybliżony charakter wzorów stosowanych do wyznaczenia złożonej wielkości fizycznej. Błędy takie zawsze w taki sam sposób wpływają na wyniki pomiarów wykonanych za pomocą tej samej metody i aparatury pomiarowej w tych samych warunkach otoczenia. Można je ograniczyć udoskonalając pomiar, wprowadzając pewne poprawki. b. błędy przypadkowe - występują zawsze w czasie przeprowadzania pomiaru, a ponieważ ich źródłem są czynniki losowe (np. błąd paralaksy, refleks mierzącego, przypadkowo zmieniające się parametry otoczenia), to błędów tych nie można całkowicie wyeliminować. Błędy tego typu stają się widoczne podczas wielokrotnych pomiarów przyrządem, którego dokładność jest bardzo duża a błędy systematyczne wynikające z innych przyczyn są bardzo małe. c. błędy grube - ich źródłem są pomyłki popełnione w czasie pomiaru, np. pomylenie skali w mierniku wielozakresowym, błędne przeliczenie jednostek, chwilowa niesprawność układu pomiarowego itp. Stosunkowo łatwo je zauważyć w przypadku pomiarów wielokrotnych, gdyż wynik obarczony takim błędem znacząco się różni od innych wyników pomiarów. Takie wartości przed przystąpieniem do opracowywania wyników należy wyeliminować. Rodzaje niepewności pomiarowych: a. maksymalna - pozwala określić przedział, w którym mieszczą się wszystkie wyniki mierzonej wielkości fizycznej (po odrzuceniu wyników uznanych za błędy grube). W przedziale tym na pewno mieści się wartość rzeczywista mierzonej wielkości fizycznej. Uwaga: Za wartość najbardziej zbliżoną do wartości rzeczywistej mierzonej wielkości fizycznej można przyjąć wartość średniej arytmetycznej z otrzymanych wyników pomiarów: b. standardowa - jej wartość (zwana odchyleniem standardowym) określa rozrzut wyników wokół x wartości średniej mierzonej wielkości fizycznej. Można przyjąć, że zachodzi zależność: Niepewność pomiaru w fizyce - teoria Strona 2

3 c. względna - umożliwia porównanie jakości pomiaru tej samej wielkości fizycznej wykonanej różnymi metodami, w rożnych laboratoriach, jak również jakość pomiaru różnych wielkości fizycznych (np. zmierzono długość pewnego samochodu ciężarowego z niepewnością równą 2 cm i czas spadania swobodnego kulki z niepewnością równą 0,2 sekundy. Który z pomiarów był dokładniejszy?). Niepewność względną (maksymalną lub standardową) definiuje się jako iloraz wartości odpowiedniej niepewności bezwzględnej i wartości rzeczywistej mierzonej wielkości fizycznej (tak naprawdę, to wartości najbliższej wartości rzeczywistej). Uwaga: obie niepewności są niemianowane (nie posiadają jednostki); często wyraża się je w procentach. Przykład. Pomiar masy pewnego ciała i jej maksymalnej niepewności dał następujący wynik: Z kolei pomiar odległości między dwoma słupami i jej maksymalną niepewność zapisano jako: Który z pomiarów można uznać za dokładniejszy (obarczony mniejszą niepewnością względną)? Rozwiązanie: Z treści zadania wynika, że: Stąd: Wniosek końcowy: znacznie dokładniejszy jest pomiar odległości, gdyż jego maksymalna niepewność względna jest znacznie mniejsza (12,5 razy!). Niepewność pomiaru w fizyce - teoria Strona 3

4 2. Zasady zaokrąglania wyników pomiarów i ich niepewności Zasada główna - najpierw należy zaokrąglić wartość niepewności pomiaru, a dopiero potem wartość wyniku pomiaru badanej wielkości fizycznej! 2.1. Zaokrąglanie wartości niepewności bezwzględnej A. Wartość niepewności zaokrągla się zawsze w górę (!) do dwóch cyfr znaczących otrzymanej wartości. Na przykład: przed zaokrągleniem po zaokrągleniu a. b. c. d. e. f. Uwaga: Za pierwszą cyfrę znaczącą uważa się pierwszą niezerową cyfrę w wartości niepewności mierzonej wielkości fizycznej. B. Wartość niepewności należy zaokrąglić do jednej cyfry znaczącej, jeżeli nie zmieni to wartości niepewności o więcej niż 10%, tzn. jeśli: gdzie: wartość niepewności przed zaokrągleniem, wartość niepewności po zaokrągleniu do jednej cyfry znaczącej. Wskazówka: Zaokrąglać do jednej cyfry znaczącej należy, jeżeli po wstępnym zaokrągleniu do dwóch cyfr znaczących suma cyfr znaczących otrzymanej wartości niepewności jest równa lub większa od 10. Spośród podanych wyżej przykładów ( ) zaokrąglić do jednej cyfry znaczącej można w przypadku: d. f. Zaokrąglenie do jednej cyfry znaczącej w przypadku np. spowodowałoby, że: Spowodowałoby to wzrost wartości niepewności o około 67 %! Niepewność pomiaru w fizyce - teoria Strona 4

5 2.2. Zaokrąglanie wartości wyniku pomiaru A. Wynik pomiaru oblicza się o jedno miejsce dalej niż miejsce dziesiętne, na którym zaokrąglono niepewność, po czym należy zaokrąglić do tego miejsca dziesiętnego, do którego zaokrąglono niepewność. Uwaga; a. jeżeli ostatnia z cyfr znaczących w wyniku przed jego ostatecznym zaokrągleniem (tj. druga lub trzecia z nich jest równa 1,2,3 lub 4, to zaokrągla się w dół, jeżeli jest nią 6,7,8 lub 9, to zaokrągla się w górę, b. jeżeli ostatnią z cyfr jest 5 to: zaokrągla się w górę, jeżeli poprzedza ją cyfra nieparzysta, np., zaokrągla się w dół, jeżeli poprzedza ją cyfra parzysta, np.. B. Wyniki końcowe (wartość mierzonej wielkości fizycznej i jej niepewności) należy zapisywać tak, by niezerowe cyfry wartości niepewności znajdowały się na miejscach dziesiętnych i setnych (po przecinku) Przykłady zaokrąglania wyników pomiarów i ich niepewności bezwzględnych Otrzymane wartości podane bez zaokrągleń (błędny sposób przedstawiania) Po wstępnym zaokrągleniu (reguły 1 - A, 2 A) Ostateczne przedstawienie wyników (reguły 1 B, 2 B) m = (2,587 0,1156) kg m = (2,59 0,12) kg tak samo B = (0, ,000111) T B = (0, ,00012) T B = (4,79 0,12) 10-3 T I = (26,4521 0,782) A I = (26,45 0,79) A I = (26,4 0,8) A t = (127,451 2,428) s t = (127,4 2,5) s t = (12,74 0,25) 10 1 s = (7836, ,48) kg/m 3 = ( ) kg/m 3 = (7,8 0,2) 10 3 kg/m 3 p = ( , ,3) Pa p = ( ) Pa p = (7,59 0,13) 10 6 Pa v = (96,36 0,0171) 10 3 m/s v = (96,366 0,018) 10 2 m/s v = (963,66 0,18) 10 2 m/s Niepewność pomiaru w fizyce - teoria Strona 5

6 3. Niepewność pomiaru bezpośredniego Podział pomiarów: a. bezpośrednie (proste) - wykonuje się wprost za pomocą odpowiedniego przyrządu. Na przykład pomiar długości kredki za pomocą linijki, b. pośrednie (złożone) - polega na bezpośrednim zmierzeniu kilku wartości różnych wielkości fizycznych i obliczeniu wartości poszukiwanej wielkości na podstawie wzoru wiążącego wielkości mierzone bezpośrednio. Na przykład pomiar energii kinetycznej samochodu poprzez pomiar jego masy i prędkości jazdy. Uwagi wstępne. a. Klasa dokładności przyrządu określa maksymalną niepewność bezwzględną wskazania przyrządu odniesioną do zakresu skali, gdy użytkowany jest w warunkach znamionowych. Wartość tej niepewności można obliczyć następująco: [1] gdzie: - klasa dokładności przyrządu (liczba { znormalizowana}), - odpowiednio górny i dolny zakres skali pomiarowej przyrządu. Uwaga: W czasie doświadczeń przeprowadzanych na terenie szkoły, zazwyczaj za niepewność maksymalną można przyjąć wartość najmniejszej działki na skali urządzenia pomiarowego. Wtedy na przykład niepewność maksymalna pomiaru długości (długość mierzonego przedmiotu jest mniejsza od zakresu linijki!) wynosi dla "normalnej" linijki zazwyczaj 1 mm. Oznacza to, że dla przyrządów prostych (typu linijka, termometr itp.) za wartość niepewności maksymalnej można przyjąć wartość działki elementarnej przyrządu. Mierząc jednokrotnie długość kredki za pomocą np linijki można odczytać jej długość z wzorca (jakim jest linijka) oraz określić niepewność bezwzględną takiego pomiaru. W przypadku pokazany poniżej: wartość odczytana długości wynosi, natomiast wartość maksymalnej niepewności bezwzględnej pomiaru. Dlatego zapis końcowy pomiaru długości kredki powinien mieć zapis: Natomiast wartość względnej maksymalnej niepewności pomiaru wynosi: Niepewność pomiaru w fizyce - teoria Strona 6

7 W przypadku cyfrowych elektronicznych przyrządów pomiarowych wartość maksymalnej niepewności jest najczęściej podawana w instrukcji obsługi jako wartość zależna od wartości mierzonej wielkości fizycznej i zakresu pomiarowego z: gdzie: - współczynniki określone przez producenta przyrządu pomiarowego. Przykład. Dla pewnego multimetru: Stąd też przy pomiarze oporu R o wartości przy zakresie skali równej, z powyższego wzoru otrzymuje się: Uwaga: w czasie doświadczeń przeprowadzanych w pracowni, za wartość maksymalnej niepewności pomiarowej przyrządu cyfrowego można przyjąć wartość rzędu wielkości ostatniej wyświetlanej cyfry na przyrządzie. Jeżeli zatem omomierz wyświetla na przykład wartość 5,87 oma, to wartość maksymalnej niepewności takiego pomiaru wynosi 0,01 oma. b. W czasie doświadczeń zakładać będziemy zazwyczaj, że wartości błędów przypadkowych są wyraźnie większe od wartości błędów systematycznych. Niepewności związane z błędami przypadkowymi oblicza się metodami statystycznymi. c. Jeżeli w czasie pomiaru wielokrotnego błędy systematyczne mają większe wartości od błędów przypadkowych (brak rozrzutu wyników), to za niepewność maksymalną pomiaru przyjmować się będzie wartość działki elementarnej użytego przyrządu. Niepewność wielokrotnego pomiaru bezpośredniego tej samej wielkości fizycznej. Przy dużej liczbie pomiarów tej samej wielkości fizycznej za wartość najbliższą wartości rzeczywistej przyjmuje się średnią arytmetyczną z zmierzonych wartości (po uprzednim odrzuceniu wartości znacznie odbiegających od pozostałych {tzw. błędów grubych}). [2] Uwaga: wartość średnią wielkości fizycznej oznacza się często symbolem Średnia arytmetyczna obarczona jest pewną niepewnością, którą należy obliczyć. Najczęściej za niepewność średniej arytmetycznej uważa się tzw. odchylenie standardowe, którego wartość wyraża się wzorem (dla ): n s 2 xi x i 1 n n 1 n p i 1 2 i n n 1 [3] Wyrażenie nazywa się odchyleniem i-tego pomiaru od średniej arytmetycznej. Ostateczny wynik takiego pomiaru należy przedstawić w postaci: [4] Niepewność pomiaru w fizyce - teoria Strona 7

8 Wartość odchylenia standardowego można łatwo obliczyć korzystając na przykład z Excela lub kalkulatora umożliwiającego obliczenia statystyczne. Ręczne liczenie jest bardzo pracochłonne. Uwaga: a. Obliczoną wartość średniej arytmetycznej należy zaokrąglać do tego miejsca znaczącego, do którego są podane wartości otrzymanych wyników. b. W przedziale zawiera się około 68% wyników pomiarów. Oznacza to także, że mamy około 68% prawdopodobieństwo, że wartość rzeczywista mierzonej wielkości fizycznej mieści się w tym przedziale. c. W przedziale zawiera się około 95% wyników pomiarów. Oznacza to także, że mamy około 95% prawdopodobieństwo, że wartość rzeczywista mierzonej wielkości fizycznej mieści się w tym przedziale. d. W przedziale zawiera się 99,7% wyników pomiarów. Oznacza to także, że mamy 99,7% prawdopodobieństwo, że wartość rzeczywista mierzonej wielkości fizycznej mieści się w tym przedziale. Niepewność równa nazywa się maksymalną niepewnością średniej arytmetycznej. e. Jeżeli liczba pomiarów była niewielka ( ), otrzymaną wartość odchylenia standardowego należy pomnożyć przez tzw. współczynniki Studenta Fishera : [5] wartość zależy od liczby pomiarów i przyjętego tzw. poziomu istotności (określa on przyjęte prawdopodobieństwo, że wartość rzeczywista mierzonej wielkości fizycznej mieści się w obliczonym przedziale wartości). Wartości tych współczynników można znaleźć w odpowiednich tablicach statystycznych. f. Podczas obliczania niepewności średniej arytmetycznej, można skorzystać z metody uproszczonej. Za szukaną niepewność można przyjąć największe odchylenie od wartości średniej: Przykład: [6] Za pomocą stopera zmierzono okres drgań pewnego wahadła matematycznego. Otrzymano następujące wyniki (w sekundach): Wartość średnia dla tych pomiarów wynosi:. Po zaokrągleniu do dziesiątych części sekundy (tak jak podane są wyniki pomiarów!) mamy:. Największe odchylenie od wartości średniej daje piąty pomiar ( ) - wynosił ono. Zatem ostatecznie można zapisać, że: g. Jeżeli największe odchylenie od średniej arytmetycznej ma mniejszą wartość od działki elementarnej użytego przyrządu (w powyższym przykładzie najmniejsza działka na stoperze wynosiła ), to za niepewność średniej arytmetycznej należy przyjąć wartość tej działki! W powyższym przykładzie nie miało to miejsca! Niepewność pomiaru w fizyce - teoria Strona 8

9 Wartości współczynników poprawkowych Studenta-Fishera w zależności od liczby pomiarów n i poziomu ufności α Przez podane poniżej współczynniki poprawkowe należy pomnożyć odchylenie standardowe (obliczone z serii n pomiarów), aby otrzymać niepewność (błąd) średniej arytmetycznej (obliczonej dla tej samej serii pomiarów) dla danego poziomu ufności α. n n α 0,5 0,7 0,95 0, ,00 2,0 12,7 636,6 3 0,82 1,3 4,3 331,6 4 0,77 1,3 3,2 12,9 5 0,74 1,2 2,8 8,6 6 0,73 1,2 2,6 6,9 7 0,72 1,1 2,4 6,0 8 0,71 1,1 2,4 5,4 9 0,71 1,1 2,3 5,0 10 0,70 1,1 2,3 4,8 12 0,70 1,1 2,2 4,6 14 0,69 1,1 2,2 4,1 16 0,69 1,1 2,1 4,0 18 0,69 1,1 2,1 4,0 20 0,69 1,1 2,1 3,9 22 0,69 1,1 2,1 3,8 24 0,68 1,1 2,1 3,8 26 0,68 1,1 2,1 3,7 28 0,68 1,1 2,0 3,7 30 0,68 1,1 2,0 3,6 40 0,68 1,1 2,0 3,6 60 0,68 1,0 2,0 3, ,68 1,0 2,0 3,4 Niepewność pomiaru w fizyce - teoria Strona 9

10 4. Niepewność pomiaru pośredniego Pomiar pośredni (złożony) polega na bezpośrednim zmierzeniu kilku wartości różnych wielkości fizycznych i obliczeniu wartości poszukiwanej wielkości na podstawie wzoru wiążącego wielkości mierzone bezpośrednio. Zatem wzór pozwalający obliczyć mierzoną wielkość fizyczną fizyczne jest funkcją wiążącą ze sobą wielkości mierzone bezpośrednio. [1] Bardzo często w fizyce funkcja da się przedstawić w postaci iloczynu pewnych potęg wielkości fizycznych mierzonych bezpośrednio. Ogólnie można ją przedstawić w postaci: [2] gdzie: - wielkość fizyczna mierzona pośrednio, - pewna stała (liczba), - mierzone bezpośrednio wielkości fizyczne - wykładniki potęgowe występujące przy odpowiednich wielkościach fizycznych mierzonych bezpośrednio - liczba mierzonych bezpośrednio wielkości fizycznych. W takim przypadku wartość maksymalnej niepewności bezwzględnej takiego pomiaru można wyrazić wzorem: [3] gdzie: obliczona z wzoru [2] wartość mierzonej pośrednio wielkości fizycznej Z, maksymalna wartość niepewności bezwzględnej i-tej wielkości fizycznej mierzonej bezpośrednio, wartość i-tej wielkości fizycznej mierzonej bezpośrednio, wartość wykładnika potęgowego i-tej wielkości fizycznej mierzonej bezpośrednio (występującego we wzorze ]2]). Przykłady wzorów, które można przedstawić w postaci iloczynowej: Korzystając z wzoru [3] można zatem napisać, że Niepewność pomiaru w fizyce - teoria Strona 10

11 Jeżeli funkcja da się przedstawić w postaci [4] gdzie: wielkość fizyczna mierzona pośrednio, mierzone bezpośrednio wielkości fizyczne (o jednakowych jednostkach!), współczynniki liczbowe przy odpowiednich mierzonych bezpośrednio wielkościach to wartość maksymalnej niepewności bezwzględnej można obliczyć następująco: [5] gdzie: wartość niepewności bezwzględnej i-tej wielkości fizycznej mierzonej bezpośrednio, wartość bezwzględna współczynnika liczbowego przy i-tej wielkości fizycznej mierzonej bezpośrednio. Uwaga: obliczona (zgodnie z wzorem [3] lub [5]) wartość niepewności jest zazwyczaj zawyżona w porównaniu do faktycznej jej wartości. Dokładniejsze oszacowanie wymaga znajomości rachunku różniczkowego. Przykład wzoru w postaci zgodnej z [4]: Wtedy zgodnie z [5] otrzymuje się: Uwaga: Jeżeli równanie [3] zostanie obustronnie podzielone przez, to przyjmie ono postać: [6] Lewa strona jest niczym innym, jak maksymalną względną niepewnością pomiaru mierzonej wielkości fizycznej: Natomiast każda z wartości bezwzględnych (po stronie prawej) jest maksymalną względną niepewnością pomiaru każdej z wielkości fizycznych mierzonych bezpośrednio, przemnożoną przez wartość bezwzględną wykładnika potęgi przy rozpatrywanej wielkości fizycznej mierzonej bezpośrednio. Niepewność pomiaru w fizyce - teoria Strona 11

12 Zatem: [7] Wnioski: a. Maksymalna niepewność względna pomiaru pośredniego jest sumą maksymalnych niepewności względnych pomiarów bezpośrednich przemnożonych przez wartość bezwzględną wykładnika potęgi odpowiedniej wielkości fizycznej występującej w postaci iloczynowej wzoru wyjściowego. b. Znajomość wartości wyrażeń występujących po prawej stronie równania [7], pozwala określić, który z pomiarów bezpośrednich jest najmniej dokładny (ma największą maksymalną niepewność względną) i tym samym wiadomo, który z pomiarów bezpośrednich należy w pierwszej kolejności "poprawić", aby zmniejszyć niepewność pomiaru pośredniego. Przykład obliczeń dla pomiaru pośredniego wielkości fizycznej zgodnej z wzorem [2]. Mierząc ilość ciepła wydzielonego w grzałce (spełniającej prawo Ohma), podczas przepływu przez niego prądu elektrycznego, posłużono się zależnością: [8] W wyniku pomiarów bezpośrednich otrzymano następujące wartości: I = ( 5,10 0,25 ) A, R = ( 20,75 0,08 ), t = ( 600,5 0,5 ) s Porównując wzór [8] z wzorami [2] i [3] widać, że: Wartość ciepła wydzielonego, obliczona z wzoru [I], wynosi: Uwaga: w tym miejscu nie można jeszcze zaokrąglić ostatecznie wyniku pomiaru, gdyż nie jest znana wartość niepewności pomiaru, którą należy zaokrąglić jako pierwszą. Należy (na razie!) zachować taką wartość mierzonej pośrednio wielkości, której zapis będzie o dwa-trzy rzędy wielkości "dokładniejszy" od "najdokładniejszego" pomiaru wielkości mierzonej bezpośrednio. W rozpatrywanym przypadku oznacza to, że wartość (brana do kolejnych obliczeń) powinna być podana z dokładnością do czwartego lub piątego miejsca po przecinku. Dla powyższego przykładu wzór [3] przyjmie postać: Po podstawieniu danych liczbowych otrzymuje się: Uwaga: Policzone poszczególne wartości bezwzględne dają odpowiednio: Niepewność pomiaru w fizyce - teoria Strona 12

13 Widać zatem, że największą niepewność cząstkową do niepewności pomiaru ciepła wydzielonego w grzałce wnosi pomiar natężenia prądu, dlatego w pierwszej kolejności należałoby zwiększyć "dokładność" jego pomiaru. Wartość tę należy zaokrąglić (w górę!) do dwóch miejsc znaczących, co daje wynik: Można teraz zaokrąglić obliczoną wcześniej wartość pomiaru ciepła wydzielonego w grzałce: Ostatecznie wynik pomiaru można przedstawić w postaci: Maksymalna względna niepewność pomiaru (wyrażona w procentach) wynosi: Przykład obliczeń dla pomiaru pośredniego wielkości fizycznej zgodnej z wzorem [4]. Mierząc masę pewnego złożonego układu ciał posłużono się wzorem: W wyniku pomiarów bezpośrednich otrzymano: [9] Porównując wzór [9] z wzorami [4] i [5] widać, że: Po podstawieniu danych do wzoru [9] można obliczyć wartość szukanej masy: Dla rozpatrywanego przykładu wzór [5] przyjmuje postać: Po podstawieniu odpowiednich danych liczbowych otrzymuje się: Wartość tę należy zaokrąglić (w górę!) do dwóch miejsc znaczących, co daje wynik: Niepewność pomiaru w fizyce - teoria Strona 13

14 Uwaga: możliwe było zaokrąglenie do jednej cyfry znaczącej, gdyż drugie zaokrąglenie nie zwiększyło wartości maksymalnej niepewności pomiarowej o więcej niż 10% (dla rozpatrywanej sytuacji ) Ponieważ niepewność pomiaru została zaokrąglona do pierwszego miejsca po przecinku, to do tego samego miejsca należy zaokrąglić wartość pomiaru pośredniego masy: Ostatecznie wynik pomiaru można przedstawić w postaci: Maksymalna względna niepewność pomiaru (wyrażona w procentach) wynosi: UWAGA: W przypadku ogólnym wartość maksymalnej niepewności bezwzględnej pomiaru złożonego można wyrazić w postaci: gdzie : Δxi wartość maksymalnej niepewności bezwzględnej i-tej wielkości fizycznej mierzonej bezpśrednio, f/ xi wartość pochodnej cząstkowej funkcji Z liczonej względem zmiennej xi. Graficzna interpretacja wyników pomiarów i ich niepewności. Wprowadzenie Metodę graficznego przedstawiania wyników pomiarów wykorzystuje się, gdy mierzone są równocześnie dwie wielkości fizyczne, które są od siebie zależne. Na przykład mierzony jest jednocześnie czas ruchu ciała i jego położenie względem wybranego punktu odniesienia. Wtedy jedna z tych wielkości jest zmienną zależną a drugą niezależną. Dla powyższego przykładu zmienną zależną jest położenie ciała, natomiast zmienna niezależną czas ruchu. Inaczej mówiąc, w wybranych chwilach czasu mierzona jest odległość od wybranego punktu odniesienia. Wykres jest graficznym obrazem tej zależności. Niepewność pomiaru w fizyce - teoria Strona 14

15 Metodę graficzną przedstawiania wyników pomiarów wykorzystuje się w następujących sytuacjach: a. gdy badanej zależności nie można przedstawić w postaci "prostej" zależności matematycznej, jak na przykład zależność gęstości wody od jej temperatury. b. Gdy chcemy się dowiedzieć jaki typ zależności zachodzi między obu wielkościami. Czy na przykład zależność odległości ciała od wybranego punktu odniesienia w funkcji czasu, ma zależność liniową (ruch jednostajny) czy kwadratową (ruch jednostajnie zmienny). c. Gdy celem jest udowodnienie, że badane wielkości spełniają założony wcześniej typ zależności. Jeżeli na przykład zależność odległości ciała od wybranego punktu odniesienia w funkcji czasu będzie miała zależność liniową, to ciało to poruszało się ruchem jednostajnym. Wykresy należy wykonywać albo na odpowiednim tzw. papierze funkcyjnym (np. milimetrowy, logarytmiczny) lub za pomocą odpowiednich programów komputerowych (np. Excel). Sposób zaznaczania punktów pomiarowych na wykresie. Załóżmy, że w ogólności zmienną niezależną jest a zmienną zależną. Wtedy mamy do czynienia z zależnością funkcyjną (lub ). W efekcie każdego pojedynczego pomiaru otrzymuje wartość pomiaru wraz z jego pewną niepewnością; tzn.. Na odpowiednio wyskalowanym wykresie należy nanieść zarówno wartość pomiaru, jak i ich niepewności w postaci tzw. prostokątów niepewności. Na poniższym wykresie zaznaczono pojedynczy punkt pomiaru i jego niepewność. Prostokąt niepewności pomiarowej (kolor żółty) ma boki o długościach i. W analogiczny sposób należy nanieść pozostałe wyniki pomiarów i ich niepewności. Niepewność pomiaru w fizyce - teoria Strona 15

16 Uwaga: jeżeli wartość zmiennej niezależnej jest dokładnie znana (!), to na wykresie zaznaczamy niepewności tylko na osi zmiennej zależnej. Prostokąt niepewności staje się wtedy pionową kreską o długości. Z takim przypadkiem mamy do czynienia, gdy na przykład zmienna niezależna jest liczbą użytych oporników. Dopasowanie prostej do wyników pomiarów. Graficzna analiza zależności liniowej Założenie: każdy z pomiarów obarczony jest taką samą niepewnością pomiarową (takiej samej wielkości prostokąty niepewności). Wiemy, że badana zależność jest liniowa lub otrzymany wykres sugeruje taką zależność, zatem jej przebieg powinien mieć zapis:. Problem: jak obliczyć wartości współczynników i oraz ich niepewności. Sposób postępowania: 1. narysowanie układu współrzędnych, wyskalowanie obu osi (rodzaj wielkości fizycznych, jednostki wielkość działki elementarnej), 2. naniesienie wszystkich punktów pomiarowych i ich niepewności. Jeżeli, któryś z pomiarów znacznie odbiega od przebiegu linii wzdłuż której układają się pozostałe, to należy go odrzucić jako błąd gruby (na poniższym wykresie jest to prostokąt oznaczony kolorem pomarańczowym). Niepewność pomiaru w fizyce - teoria Strona 16

17 3. Jeżeli punkty układają się wzdłuż linii prostej (ocena "na oko"!), to rysuje się linię prostą tak prowadzoną, aby przechodziła przynajmniej przez 70%prostokątów i suma odległości współrzędnych punktów pomiarowych od tej linii była po obu stronach taka sama ("na oko"!). Jest to tzw. linia najlepszego dopasowania (linia czerwona na wykresie). Niepewność pomiaru w fizyce - teoria Strona 17

18 4. Określamy szeroki przedział wartości zmiennej niezależnej (argumentu) i odpowiadający temu przyrost wartości zmiennej zależnej (wartości funkcji). Współczynnik kierunkowy tak narysowanej prostej jest równy: [1] Uwaga: praktycznie nigdy współczynnik kierunkowy prostej nachylenia prostej (określonego względem osi x i odczytanemu kątomierzem!). nie jest bezpośrednio równy tangensowi kąta 5. Graficzne szacowanie wartości niepewności współczynników i Wykres zależności liniowej przechodzi przez punkt Jeżeli wiadomo, że zależność jest liniowa i przechodzi przez punkt, to dla zachodzi. Oznacza to, że dla szukanej zależności i. Na przykład zależność natężenia prądu płynącego przez odbiornik od przyłożonego napięcia elektrycznego między jego końcami. Wtedy dla mamy. Wybieramy dwa punkty końcowe i prowadzimy dwie proste o największym i najmniejszym kącie nachylenia. Proste te powinny przechodzić przez przeciwległe wierzchołki skrajnych prostokątów niepewności, tak jak pokazano poniżej. Niepewność pomiaru w fizyce - teoria Strona 18

19 Wtedy: oraz: 5.2. Wykres zależności liniowej nie przechodzącej przez punkt Jeżeli wiadomo, że zależność jest liniowa i nie przechodzi przez punkt, to dla zachodzi. Oznacza to, że dla szukanej zależności i. Na przykład zależność odległości ciała (poruszającego się ruchem jednostajnym prostoliniowym) od wybranego punktu odniesienia w funkcji czasu, jeżeli w chwili początkowej odległość od tego punktu była niezerowa. Narysować należy proste o maksymalnym i minimalnym nachyleniu mieszczące się w granicach skrajnych prostokątów niepewności pomiarowych, jak zostało pokazane poniżej. Niepewność pomiaru w fizyce - teoria Strona 19

20 Wtedy: Sposób wyznaczenia niepewności współczynnika jest taki sam, jak w punkcie 5.1. Uwaga: a. Aby bezspornie rozstrzygnąć, czy rozpatrywana zależność ma charakter liniowy, należy obliczyć tzw. współczynnik korelacji dany zależnością: Jeśli: to korelacja jest dodatnia, tzn. wzrostowi wartości towarzyszy wzrost wartości (funkcja rosnąca), to korelacja jest ujemna, tzn. wzrostowi wartości towarzyszy spadek wartości (funkcja malejąca), im wartość jest bliższa jeden, tym silniejsza jest zależność liniowa, Niepewność pomiaru w fizyce - teoria Strona 20

21 zazwyczaj przyjmuje się, że: brak związku liniowego, słaba zależność liniowa, umiarkowana zależność liniowa, dość silna zależność liniowa, bardzo silna zależność liniowa, to jest to zależność ściśle liniowa rosnąca, jeżeli jest to zależność ściśle liniowa malejąca. b. Jeżeli można uznać rozpatrywaną zależność za liniową ( ma wartość bliską 1), to wartości współczynników i można obliczyć analitycznie tzw. metodą najmniejszych kwadratów. Odpowiednie wzory można znaleźć w ogólnodostępnej literaturze. Wartości obu współczynników, jak i ich niepewności można obliczyć za pomocą tzw. regresji liniowej. Odpowiedni program zawiera np. Excel. Niepewność pomiaru w fizyce - teoria Strona 21

Dopasowanie prostej do wyników pomiarów.

Dopasowanie prostej do wyników pomiarów. Dopasowanie prostej do wyników pomiarów. Graficzna analiza zależności liniowej Założenie: każdy z pomiarów obarczony jest taką samą niepewnością pomiarową (takiej samej wielkości prostokąty niepewności).

Bardziej szczegółowo

Podstawy niepewności pomiarowych Ćwiczenia

Podstawy niepewności pomiarowych Ćwiczenia Podstawy niepewności pomiarowych Ćwiczenia 1. Zaokrąglij podane wartości pomiarów i ich niepewności. = (334,567 18,067) m/s = (153 450 000 1 034 000) km = (0,0004278 0,0000556) A = (2,0555 0,2014) s =

Bardziej szczegółowo

Wstęp do teorii niepewności pomiaru. Danuta J. Michczyńska Adam Michczyński

Wstęp do teorii niepewności pomiaru. Danuta J. Michczyńska Adam Michczyński Wstęp do teorii niepewności pomiaru Danuta J. Michczyńska Adam Michczyński Podstawowe informacje: Strona Politechniki Śląskiej: www.polsl.pl Instytut Fizyki / strona własna Instytutu / Dydaktyka / I Pracownia

Bardziej szczegółowo

Niepewności pomiarów

Niepewności pomiarów Niepewności pomiarów Międzynarodowa Organizacja Normalizacyjna (ISO) w roku 1995 opublikowała normy dotyczące terminologii i sposobu określania niepewności pomiarów [1]. W roku 1999 normy zostały opublikowane

Bardziej szczegółowo

Fizyka (Biotechnologia)

Fizyka (Biotechnologia) Fizyka (Biotechnologia) Wykład I Marek Kasprowicz dr Marek Jan Kasprowicz pokój 309 marek.kasprowicz@ur.krakow.pl www.ar.krakow.pl/~mkasprowicz Marek Jan Kasprowicz Fizyka 013 r. Literatura D. Halliday,

Bardziej szczegółowo

Temat: SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

Temat: SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH Temat: SZCOWNIE NIEPEWNOŚCI POMIROWYCH - Jak oszacować niepewność pomiarów bezpośrednich? - Jak oszacować niepewność pomiarów pośrednich? - Jak oszacować niepewność przeciętną i standardową? - Jak zapisywać

Bardziej szczegółowo

Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych. Wykład tutora na bazie wykładu prof. Marka Stankiewicza

Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych. Wykład tutora na bazie wykładu prof. Marka Stankiewicza Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych Wykład tutora na bazie wykładu prof. Marka tankiewicza Po co zajęcia w I Pracowni Fizycznej? 1. Obserwacja zjawisk i efektów

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM Z FIZYKI

LABORATORIUM Z FIZYKI LABORATORIUM Z FIZYKI LABORATORIUM Z FIZYKI I PRACOWNIA FIZYCZNA C w Gliwicach Gliwice, ul. Konarskiego 22, pokoje 52-54 Regulamin pracowni i organizacja zajęć Sprawozdanie (strona tytułowa, karta pomiarowa)

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH Dr Benedykt R. Jany I Pracownia Fizyczna Ochrona Środowiska grupa F1 Rodzaje Pomiarów Pomiar bezpośredni - bezpośrednio

Bardziej szczegółowo

Dokładność pomiaru: Ogólne informacje o błędach pomiaru

Dokładność pomiaru: Ogólne informacje o błędach pomiaru Dokładność pomiaru: Rozumny człowiek nie dąży do osiągnięcia w określonej dziedzinie większej dokładności niż ta, którą dopuszcza istota przedmiotu jego badań. (Arystoteles) Nie można wykonać bezbłędnego

Bardziej szczegółowo

Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych

Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych dla studentów Biologii A i B dr hab. Paweł Korecki e-mail: pawel.korecki@uj.edu.pl http://www.if.uj.edu.pl/pl/edukacja/pracownia_i/

Bardziej szczegółowo

Teoria błędów. Wszystkie wartości wielkości fizycznych obarczone są pewnym błędem.

Teoria błędów. Wszystkie wartości wielkości fizycznych obarczone są pewnym błędem. Teoria błędów Wskutek niedoskonałości przyrządów, jak również niedoskonałości organów zmysłów wszystkie pomiary są dokonywane z określonym stopniem dokładności. Nie otrzymujemy prawidłowych wartości mierzonej

Bardziej szczegółowo

KARTA INFORMACYJNA PRZEDMIOTU

KARTA INFORMACYJNA PRZEDMIOTU Uniwersytet Rzeszowski WYDZIAŁ KIERUNEK Matematyczno-Przyrodniczy Fizyka techniczna SPECJALNOŚĆ RODZAJ STUDIÓW stacjonarne, studia pierwszego stopnia KARTA INFORMACYJNA PRZEDMIOTU NAZWA PRZEDMIOTU WG PLANU

Bardziej szczegółowo

Tutaj powinny znaleźć się wyniki pomiarów (tabelki) potwierdzone przez prowadzacego zajęcia laboratoryjne i podpis dyżurujacego pracownika obsługi

Tutaj powinny znaleźć się wyniki pomiarów (tabelki) potwierdzone przez prowadzacego zajęcia laboratoryjne i podpis dyżurujacego pracownika obsługi Tutaj powinny znaleźć się wyniki pomiarów (tabelki) potwierdzone przez prowadzacego zajęcia laboratoryjne i podpis dyżurujacego pracownika obsługi technicznej. 1. Wstęp Celem ćwiczenia jest wyznaczenie

Bardziej szczegółowo

Graficzne opracowanie wyników pomiarów 1

Graficzne opracowanie wyników pomiarów 1 GRAFICZNE OPRACOWANIE WYNIKÓW POMIARÓW Celem pomiarów jest bardzo często potwierdzenie związku lub znalezienie zależności między wielkościami fizycznymi. Pomiar polega na wyznaczaniu wartości y wielkości

Bardziej szczegółowo

Ruch jednostajnie zmienny prostoliniowy

Ruch jednostajnie zmienny prostoliniowy Ruch jednostajnie zmienny prostoliniowy Przyspieszenie w ruchu jednostajnie zmiennym prostoliniowym Jest to taki ruch, w którym wektor przyspieszenia jest stały, co do wartości (niezerowej), kierunku i

Bardziej szczegółowo

przybliżeniema Definicja

przybliżeniema Definicja Podstawowe definicje Definicje i podstawowe pojęcia Opracowanie danych doświadczalnych Często zaokraglamy pewne wartości np. kupujac telewizor za999,99 zł. dr inż. Ireneusz Owczarek CMF PŁ ireneusz.owczarek@p.lodz.pl

Bardziej szczegółowo

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją

Bardziej szczegółowo

Jak poprawnie napisać sprawozdanie z ćwiczeń laboratoryjnych z fizyki?

Jak poprawnie napisać sprawozdanie z ćwiczeń laboratoryjnych z fizyki? 1 Jak poprawnie napisać sprawozdanie z ćwiczeń laboratoryjnych z fizyki? Sprawozdania należny oddać na kolejnych zajęciach laboratoryjnych. Każde opóźnienie powoduje obniżenie oceny za sprawozdanie o 0,

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI

FUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI FUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI DEFINICJA (funkcji elementarnych) Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: stałe potęgowe wykładnicze logarytmiczne trygonometryczne Funkcje, które można

Bardziej szczegółowo

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją symbolami:

Bardziej szczegółowo

WPROWADZENIE DO TEORII BŁĘDÓW I NIEPEWNOŚCI POMIARU

WPROWADZENIE DO TEORII BŁĘDÓW I NIEPEWNOŚCI POMIARU Publikacja współfinansowana ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego WPROWADZENIE DO TEORII BŁĘDÓW I NIEPEWNOŚCI POMIARU 1. Błąd a niepewność pomiaru Pojęcia błędu i niepewności

Bardziej szczegółowo

Ruch jednostajnie przyspieszony wyznaczenie przyspieszenia

Ruch jednostajnie przyspieszony wyznaczenie przyspieszenia Doświadczenie: Ruch jednostajnie przyspieszony wyznaczenie przyspieszenia Cele doświadczenia Celem doświadczenia jest zbadanie zależności drogi przebytej w ruchu przyspieszonym od czasu dla kuli bilardowej

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16 Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Fizyczne Inżynieria materiałowa. Publikacja współfinansowana ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Laboratorium Fizyczne Inżynieria materiałowa. Publikacja współfinansowana ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Laboratorium Fizyczne Inżynieria materiałowa Publikacja współfinansowana ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego błąd pomiaru = x i x 0 Błędy pomiaru dzielimy na: Błędy

Bardziej szczegółowo

Projektowanie systemów pomiarowych. 02 Dokładność pomiarów

Projektowanie systemów pomiarowych. 02 Dokładność pomiarów Projektowanie systemów pomiarowych 02 Dokładność pomiarów 1 www.technidyneblog.com 2 Jak dokładnie wykonaliśmy pomiar? Czy duża / wysoka dokładność jest zawsze konieczna? www.sparkfun.com 3 Błąd pomiaru.

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do rachunku niepewności pomiarowej. Jacek Pawlyta

Wprowadzenie do rachunku niepewności pomiarowej. Jacek Pawlyta Wprowadzenie do rachunku niepewności pomiarowej Jacek Pawlyta Fizyka Teorie Obserwacje Doświadczenia Fizyka Teorie Przykłady Obserwacje Przykłady Doświadczenia Przykłady Fizyka Potwierdzanie bądź obalanie

Bardziej szczegółowo

CECHOWANIE TERMOELEMENTU Fe-Mo I WYZNACZANIE PUNKTU INWERSJI

CECHOWANIE TERMOELEMENTU Fe-Mo I WYZNACZANIE PUNKTU INWERSJI INSTYTUT FIZYKI WYDZIAŁ INŻYNIERII PRODUKCJI I TECHNOLOGII MATERIAŁÓW POLITECHNIKA CZĘSTOCHOWSKA PRACOWNIA FIZYKI CIAŁA STAŁEGO Ć W I C Z E N I E N R FCS - 7 CECHOWANIE TERMOELEMENTU Fe-Mo I WYZNACZANIE

Bardziej szczegółowo

Odchudzamy serię danych, czyli jak wykryć i usunąć wyniki obarczone błędami grubymi

Odchudzamy serię danych, czyli jak wykryć i usunąć wyniki obarczone błędami grubymi Odchudzamy serię danych, czyli jak wykryć i usunąć wyniki obarczone błędami grubymi Piotr Konieczka Katedra Chemii Analitycznej Wydział Chemiczny Politechnika Gdańska D syst D śr m 1 3 5 2 4 6 śr j D 1

Bardziej szczegółowo

Doświadczalne wyznaczanie współczynnika sztywności (sprężystości) sprężyny

Doświadczalne wyznaczanie współczynnika sztywności (sprężystości) sprężyny Doświadczalne wyznaczanie współczynnika sztywności (sprężystości) Wprowadzenie Wartość współczynnika sztywności użytej można wyznaczyć z dużą dokładnością metodą statyczną. W tym celu należy zawiesić pionowo

Bardziej szczegółowo

Pomiar rezystancji metodą techniczną

Pomiar rezystancji metodą techniczną Pomiar rezystancji metodą techniczną Cel ćwiczenia. Poznanie metod pomiarów rezystancji liniowych, optymalizowania warunków pomiaru oraz zasad obliczania błędów pomiarowych. Zagadnienia teoretyczne. Definicja

Bardziej szczegółowo

Laboratorium z Metrologii

Laboratorium z Metrologii Zachodniopomorski niwersytet Technologiczny w Szczecinie Wydział Elektryczny Katedra Sterowania i Pomiarów Zakład Metrologii Laboratorium z Metrologii Opracował: dr inż. A.Wollek 1 Prowadzący dr inż. Andrzej

Bardziej szczegółowo

A. Metody opracowania i analizy wyników pomiarów K.Kozłowski i R Zieliński I Laboratorium z Fizyki część 1 Wydawnictwo PG.

A. Metody opracowania i analizy wyników pomiarów K.Kozłowski i R Zieliński I Laboratorium z Fizyki część 1 Wydawnictwo PG. A. Metody opracowania i analizy wyników pomiarów K.Kozłowski i R Zieliński I Laboratorium z Fizyki część 1 Wydawnictwo PG. B. Metodyka wykonywania pomiarów oraz szacowanie niepewności pomiaru. Celem każdego

Bardziej szczegółowo

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,. 1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE PRACY WYJŚCIA ELEKTRONÓW Z LAMPY KATODOWEJ

WYZNACZANIE PRACY WYJŚCIA ELEKTRONÓW Z LAMPY KATODOWEJ INSTYTUT FIZYKI WYDZIAŁ INŻYNIERII PRODUKCJI I TECHNOLOGII MATERIAŁÓW POLITECHNIKA CZĘSTOCHOWSKA PRACOWNIA FIZYKI CIAŁA STAŁEGO Ć W I C Z E N I E N R FCS - WYZNACZANIE PRACY WYJŚCIA ELEKTRONÓW Z LAMPY

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci

Bardziej szczegółowo

DOKŁADNOŚĆ POMIARU DŁUGOŚCI 1

DOKŁADNOŚĆ POMIARU DŁUGOŚCI 1 DOKŁADNOŚĆ POMIARU DŁUGOŚCI 1 I. ZAGADNIENIA TEORETYCZNE Niepewności pomiaru standardowa niepewność wyniku pomiaru wielkości mierzonej bezpośrednio i złożona niepewność standardowa. Przedstawianie wyników

Bardziej szczegółowo

Obliczanie niepewności rozszerzonej metodą analityczną opartą na splocie rozkładów wielkości wejściowych

Obliczanie niepewności rozszerzonej metodą analityczną opartą na splocie rozkładów wielkości wejściowych Obliczanie niepewności rozszerzonej metodą analityczną opartą na splocie rozkładów wejściowych Paweł Fotowicz * Przedstawiono ścisłą metodę obliczania niepewności rozszerzonej, polegającą na wyznaczeniu

Bardziej szczegółowo

Ruch jednowymiarowy. Autorzy: Zbigniew Kąkol Kamil Kutorasiński

Ruch jednowymiarowy. Autorzy: Zbigniew Kąkol Kamil Kutorasiński Ruch jednowymiarowy Autorzy: Zbigniew Kąkol Kamil Kutorasiński 017 Ruch jednowymiarowy Autorzy: Zbigniew Kąkol, Kamil Kutorasiński Dział Fizyki zajmujący się opisem ruchu ciał nazywamy kinematyką. Definicja

Bardziej szczegółowo

O 2 O 1. Temat: Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego

O 2 O 1. Temat: Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego msg M 7-1 - Temat: Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Zagadnienia: prawa dynamiki Newtona, moment sił, moment bezwładności, dynamiczne równania ruchu wahadła fizycznego,

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 1 Metody pomiarowe i opracowywanie danych doświadczalnych.

Ćwiczenie 1 Metody pomiarowe i opracowywanie danych doświadczalnych. Ćwiczenie 1 Metody pomiarowe i opracowywanie danych doświadczalnych. Ćwiczenie ma następujące części: 1 Pomiar rezystancji i sprawdzanie prawa Ohma, metoda najmniejszych kwadratów. 2 Pomiar średnicy pręta.

Bardziej szczegółowo

Metrologia: obliczenia na liczbach przybliżonych. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie

Metrologia: obliczenia na liczbach przybliżonych. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie Metrologia: obliczenia na liczbach przybliżonych dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie Cyfry znaczące reguły Kryłowa-Bradisa: Przy korzystaniu z przyrządów z podziałką przyjęto zasadę, że

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013 Dział LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą lub dostateczną, jeśli: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie z fizyki Doświadczalne wyznaczanie ogniskowej soczewki oraz współczynnika załamania światła

Ćwiczenie z fizyki Doświadczalne wyznaczanie ogniskowej soczewki oraz współczynnika załamania światła Ćwiczenie z fizyki Doświadczalne wyznaczanie ogniskowej soczewki oraz współczynnika załamania światła Michał Łasica klasa IIId nr 13 22 grudnia 2006 1 1 Doświadczalne wyznaczanie ogniskowej soczewki 1.1

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

Metodę poprawnie mierzonego prądu powinno się stosować do pomiaru dużych rezystancji, tzn. wielokrotnie większych od rezystancji amperomierza: (4)

Metodę poprawnie mierzonego prądu powinno się stosować do pomiaru dużych rezystancji, tzn. wielokrotnie większych od rezystancji amperomierza: (4) OBWODY JEDNOFAZOWE POMIAR PRĄDÓW, NAPIĘĆ. Obwody prądu stałego.. Pomiary w obwodach nierozgałęzionych wyznaczanie rezystancji metodą techniczną. Metoda techniczna pomiaru rezystancji polega na określeniu

Bardziej szczegółowo

Określanie niepewności pomiaru

Określanie niepewności pomiaru Określanie niepewności pomiaru (Materiały do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu Materiałoznawstwo na wydziale Górnictwa i Geoinżynierii) 1. Wprowadzenie Pomiar jest to zbiór czynności mających na celu

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH

RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH Piotr Konieczka Katedra Chemii Analitycznej Wydział Chemiczny Politechnika Gdańska Równoważność metod??? 2 Zgodność wyników analitycznych otrzymanych z wykorzystaniem porównywanych

Bardziej szczegółowo

Analiza korelacyjna i regresyjna

Analiza korelacyjna i regresyjna Podstawy Metrologii i Technik Eksperymentu Laboratorium Analiza korelacyjna i regresyjna Instrukcja do ćwiczenia nr 5 Zakład Miernictwa i Ochrony Atmosfery Wrocław, kwiecień 2014 Podstawy Metrologii i

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI

WYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI WYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI Regresja 1. Metoda najmniejszych kwadratów-regresja prostoliniowa 2. Regresja krzywoliniowa 3. Estymacja liniowej funkcji regresji 4. Testy istotności współczynnika regresji liniowej

Bardziej szczegółowo

FIZYKA LABORATORIUM prawo Ohma

FIZYKA LABORATORIUM prawo Ohma FIZYKA LABORATORIUM prawo Ohma dr hab. inż. Michał K. Urbański, Wydział Fizyki Politechniki Warszawskiej, pok 18 Gmach Fizyki, murba@if.pw.edu.pl www.if.pw.edu.pl/ murba strona Wydziału Fizyki www.fizyka.pw.edu.pl

Bardziej szczegółowo

Charakterystyka mierników do badania oświetlenia Obiektywne badania warunków oświetlenia opierają się na wynikach pomiarów parametrów świetlnych. Podobnie jak każdy pomiar, również te pomiary, obarczone

Bardziej szczegółowo

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych.

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 008/09. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. 15 listopada 008 r. Uwaga: Przyjmujemy,

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Metrologii

Laboratorium Metrologii Laboratorium Metrologii Ćwiczenie nr 3 Oddziaływanie przyrządów na badany obiekt I Zagadnienia do przygotowania na kartkówkę: 1 Zdefiniować pojęcie: prąd elektryczny Podać odpowiednią zależność fizyczną

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła prostego

Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła prostego Ćwiczenie M6 Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła prostego M6.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego poprzez analizę ruchu wahadła prostego. M6..

Bardziej szczegółowo

Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 1 d LO

Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 1 d LO Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 1 d LO Dział programowy. Zakres realizacji 1. Liczby, działania i procenty Liczby wymierne i liczby niewymierne-działania, kolejność

Bardziej szczegółowo

LIV OLIMPIADA FIZYCZNA 2004/2005 Zawody II stopnia

LIV OLIMPIADA FIZYCZNA 2004/2005 Zawody II stopnia LIV OLIMPIADA FIZYCZNA 004/005 Zawody II stopnia Zadanie doświadczalne Masz do dyspozycji: cienki drut z niemagnetycznego metalu, silny magnes stały, ciężarek o masie m=(100,0±0,5) g, statyw, pręty stalowe,

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza

MATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza MATeMAtyka 1 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe

Bardziej szczegółowo

Grupa: Zespół: wykonał: 1 Mariusz Kozakowski Data: 3/11/2013 111B. Podpis prowadzącego:

Grupa: Zespół: wykonał: 1 Mariusz Kozakowski Data: 3/11/2013 111B. Podpis prowadzącego: Sprawozdanie z laboratorium elektroniki w Zakładzie Systemów i Sieci Komputerowych Temat ćwiczenia: Pomiary podstawowych wielkości elektrycznych: prawa Ohma i Kirchhoffa Sprawozdanie Rok: Grupa: Zespół:

Bardziej szczegółowo

Rozkład normalny, niepewność standardowa typu A

Rozkład normalny, niepewność standardowa typu A Podstawy Metrologii i Technik Eksperymentu Laboratorium Rozkład normalny, niepewność standardowa typu A Instrukcja do ćwiczenia nr 1 Zakład Miernictwa i Ochrony Atmosfery Wrocław, listopad 2010 r. Podstawy

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY

ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY Numer lekcji 1 2 Nazwa działu Lekcja organizacyjna. Zapoznanie z programem nauczania i kryteriami wymagań Zbiór liczb rzeczywistych i jego 3 Zbiór

Bardziej szczegółowo

Ćw. nr 31. Wahadło fizyczne o regulowanej płaszczyźnie drgań - w.2

Ćw. nr 31. Wahadło fizyczne o regulowanej płaszczyźnie drgań - w.2 1 z 6 Zespół Dydaktyki Fizyki ITiE Politechniki Koszalińskiej Ćw. nr 3 Wahadło fizyczne o regulowanej płaszczyźnie drgań - w.2 Cel ćwiczenia Pomiar okresu wahań wahadła z wykorzystaniem bramki optycznej

Bardziej szczegółowo

Badanie charakterystyki prądowo-napięciowej opornika, żarówki i diody półprzewodnikowej z wykorzystaniem zestawu SONDa

Badanie charakterystyki prądowo-napięciowej opornika, żarówki i diody półprzewodnikowej z wykorzystaniem zestawu SONDa Badanie charakterystyki prądowo-napięciowej opornika, żarówki i diody półprzewodnikowej z wykorzystaniem zestawu SONDa Celem doświadczenia jest wyznaczenie charakterystyk prądowo-napięciowych oraz zależności

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

Analiza Danych Sprawozdanie regresja Marek Lewandowski Inf 59817

Analiza Danych Sprawozdanie regresja Marek Lewandowski Inf 59817 Analiza Danych Sprawozdanie regresja Marek Lewandowski Inf 59817 Zadanie 1: wiek 7 8 9 1 11 11,5 12 13 14 14 15 16 17 18 18,5 19 wzrost 12 122 125 131 135 14 142 145 15 1 154 159 162 164 168 17 Wykres

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 425. Wyznaczanie ciepła właściwego ciał stałych. Woda. Ciało stałe Masa kalorymetru z ciałem stałym m 2 Masa ciała stałego m 0

Ćwiczenie 425. Wyznaczanie ciepła właściwego ciał stałych. Woda. Ciało stałe Masa kalorymetru z ciałem stałym m 2 Masa ciała stałego m 0 2014 Katedra Fizyki Nazwisko... Data... Nr na liście... Imię... Wydział... Dzień tyg... Godzina... Ćwiczenie 425 Wyznaczanie ciepła właściwego ciał stałych Masa suchego kalorymetru m k = kg Opór grzałki

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie nr 254. Badanie ładowania i rozładowywania kondensatora. Ustawiony prąd ładowania I [ ma ]: t ł [ s ] U ł [ V ] t r [ s ] U r [ V ] ln(u r )

Ćwiczenie nr 254. Badanie ładowania i rozładowywania kondensatora. Ustawiony prąd ładowania I [ ma ]: t ł [ s ] U ł [ V ] t r [ s ] U r [ V ] ln(u r ) Nazwisko... Data... Wydział... Imię... Dzień tyg.... Godzina... Ćwiczenie nr 254 Badanie ładowania i rozładowywania kondensatora Numer wybranego kondensatora: Numer wybranego opornika: Ustawiony prąd ładowania

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Sprawdzenie narzędzi pomiarowych i wyznaczenie niepewności rozszerzonej typu A w pomiarach pośrednich

Sprawdzenie narzędzi pomiarowych i wyznaczenie niepewności rozszerzonej typu A w pomiarach pośrednich Podstawy Metrologii i Technik Eksperymentu Laboratorium Sprawdzenie narzędzi pomiarowych i wyznaczenie niepewności rozszerzonej typu A w pomiarach pośrednich Instrukcja do ćwiczenia nr 4 Zakład Miernictwa

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

DOKŁADNOŚĆ POMIARU DŁUGOŚCI

DOKŁADNOŚĆ POMIARU DŁUGOŚCI 1a DOKŁADNOŚĆ POMIARU DŁUGOŚCI 1. ZAGADNIENIA TEORETYCZNE: sposoby wyznaczania niepewności pomiaru standardowa niepewność wyniku pomiaru wielkości mierzonej bezpośrednio i złożona niepewność standardowa;

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Podstaw Pomiarów

Laboratorium Podstaw Pomiarów Laboratorium Podstaw Pomiarów Dokumentowanie wyników pomiarów protokół pomiarowy Instrukcja Opracował: dr hab. inż. Grzegorz Pankanin, prof. PW Instytut Systemów Elektronicznych Wydział Elektroniki i Technik

Bardziej szczegółowo

Precyzja a dokładność

Precyzja a dokładność Precyzja a dokładność Precyzja pomiaru jest miarą rzetelności przeprowadzenia doświadczenia, lub mówi nam jak powtarzalny jest ten eksperyment. Dokładność pomiaru jest miarą tego jak wyniki doświadczalne

Bardziej szczegółowo

Podstawy analizy niepewności pomiarowych w studenckim laboratorium podstaw fizyki

Podstawy analizy niepewności pomiarowych w studenckim laboratorium podstaw fizyki Podstawy analizy niepewności pomiarowych w studenckim laboratorium podstaw fizyki Włodzimierz Salejda Ryszard Poprawski Elektroniczna wersja opracowania dostępna w Internecie na stronach: http://www.if.pwr.wroc.pl/lpf/

Bardziej szczegółowo

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys.

Ćwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys. Ćwiczenie M- Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego. Cel ćwiczenia: pomiar przyśpieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła fizycznego.. Przyrządy: wahadło rewersyjne, elektroniczny

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie sprawności grzejnika elektrycznego i ciepła właściwego cieczy za pomocą kalorymetru z grzejnikiem elektrycznym

Wyznaczanie sprawności grzejnika elektrycznego i ciepła właściwego cieczy za pomocą kalorymetru z grzejnikiem elektrycznym Politechnika Łódzka FTIMS Kierunek: Informatyka rok akademicki: 2008/2009 sem. 2. grupa II Termin: 24 III 2009 Nr. ćwiczenia: 215 Temat ćwiczenia: Wyznaczanie sprawności grzejnika elektrycznego i ciepła

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyn i ich układów

Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyn i ich układów Ćwiczenie 63 Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyn i ich układów 63.1. Zasada ćwiczenia W ćwiczeniu określa się współczynnik sprężystości pojedynczych sprężyn i ich układów, mierząc wydłużenie

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. podstawowym dla uczniów technikum. część II

Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. podstawowym dla uczniów technikum. część II Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena w nauczaniu matematyki w zakresie podstawowym dla uczniów technikum część II Figury na płaszczyźnie kartezjańskiej L.p. Temat lekcji Uczeń demonstruje opanowanie

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE FIZYKA STOSOWANA II Liceum Ogólnokształcące im. Adama Asnyka w Bielsku-Białej

WYMAGANIA EDUKACYJNE FIZYKA STOSOWANA II Liceum Ogólnokształcące im. Adama Asnyka w Bielsku-Białej WYMAGANIA EDUKACYJNE FIZYKA STOSOWANA II Liceum Ogólnokształcące im. Adama Asnyka w Bielsku-Białej OSIĄGNIĘCIA UCZNIÓW Z ZAKRESIE KSZTAŁCENIA W kolumnie "wymagania na poziom podstawowy" opisano wymagania

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

HISTOGRAM. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH Liczba pomiarów - n. Liczba pomiarów - n k 0.5 N = N =

HISTOGRAM. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH Liczba pomiarów - n. Liczba pomiarów - n k 0.5 N = N = HISTOGRAM W pewnych przypadkach interesuje nas nie tylko określenie prawdziwej wartości mierzonej wielkości, ale także zbadanie całego rozkład prawdopodobieństwa wyników pomiarów. W takim przypadku wyniki

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 3 REZONANS AKUSTYCZNY

ĆWICZENIE 3 REZONANS AKUSTYCZNY ĆWICZENIE 3 REZONANS AKUSTYCZNY W trakcie doświadczenia przeprowadzono sześć pomiarów rezonansu akustycznego: dla dwóch różnych gazów (powietrza i CO), pięć pomiarów dla powietrza oraz jeden pomiar dla

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 Obszar określoności równania Jeżeli występująca w równaniu y' f ( x, y) funkcja f jest ciągła, to równanie posiada rozwiązanie. Jeżeli f jest nieokreślona w punkcie (x 0,

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I Pogrubieniem oznaczono wymagania, które wykraczają poza podstawę programową dla zakresu podstawowego.

WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I Pogrubieniem oznaczono wymagania, które wykraczają poza podstawę programową dla zakresu podstawowego. WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I Pogrubieniem oznaczono wymagania, które wykraczają poza podstawę programową dla zakresu podstawowego. 1. LICZBY RZECZYWISTE podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych,

Bardziej szczegółowo

Plan metodyczny do lekcji fizyki. TEMAT: Prawo Ohma. Opór elektryczny.

Plan metodyczny do lekcji fizyki. TEMAT: Prawo Ohma. Opór elektryczny. Opracowała mgr Renata Kulińska Plan metodyczny do lekcji fizyki. TEMAT: Prawo Ohma. Opór elektryczny. Cel ogólny: Badanie zależność natężenia prądu od napięcia w obwodzie prądu stałego. Sporządzenie wykresu

Bardziej szczegółowo

Ć W I C Z E N I E N R M-2

Ć W I C Z E N I E N R M-2 INSYU FIZYKI WYDZIAŁ INŻYNIERII PRODUKCJI I ECHNOLOGII MAERIAŁÓW POLIECHNIKA CZĘSOCHOWSKA PRACOWNIA MECHANIKI Ć W I C Z E N I E N R M- ZALEŻNOŚĆ OKRESU DRGAŃ WAHADŁA OD AMPLIUDY Ćwiczenie M-: Zależność

Bardziej szczegółowo

Wykład 9. Terminologia i jej znaczenie. Cenzurowanie wyników pomiarów.

Wykład 9. Terminologia i jej znaczenie. Cenzurowanie wyników pomiarów. Wykład 9. Terminologia i jej znaczenie. Cenzurowanie wyników pomiarów.. KEITHLEY. Practical Solutions for Accurate. Test & Measurement. Training materials, www.keithley.com;. Janusz Piotrowski: Procedury

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Powtórzenie wiadomości z klasy I. Temat: Ruchy prostoliniowe. Obliczenia

Powtórzenie wiadomości z klasy I. Temat: Ruchy prostoliniowe. Obliczenia Powtórzenie wiadomości z klasy I Temat: Ruchy prostoliniowe. Obliczenia Ruch jest względny 1.Ruch i spoczynek są pojęciami względnymi. Można jednocześnie być w ruchu względem jednego ciała i w spoczynku

Bardziej szczegółowo

Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie:

Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie: Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, 6 11 6 11, tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Uprośćmy najpierw liczby dane w treści zadania: 8 2, 2 2 2 2 2 2 6 11 6 11 6 11 26 11 6 11

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna

Geometria analityczna Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;(

FUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( Zad Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej Przykład y = ( x ) + 5 (postać kanoniczna) FUNKCJA KWADRATOWA Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( a 0) Aby ją uzyskać pozbywamy się

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

X WYKŁAD STATYSTYKA. 14/05/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

X WYKŁAD STATYSTYKA. 14/05/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 X WYKŁAD STATYSTYKA 14/05/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 10 ANALIZA KORELACJI Korelacja 1. Współczynnik korelacji 2. Kowariancja 3. Współczynnik korelacji liniowej definicja 4. Estymacja współczynnika

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON.

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Zadanie 6. Dane są punkty A=(5; 2); B=(1; -3); C=(-2; -8). Oblicz odległość punktu A od prostej l przechodzącej

Bardziej szczegółowo