przybliżeniema Definicja

Transkrypt

1 Podstawowe definicje Definicje i podstawowe pojęcia Opracowanie danych doświadczalnych Często zaokraglamy pewne wartości np. kupujac telewizor za999,99 zł. dr inż. Ireneusz Owczarek CMF PŁ ireneusz.owczarek@p.lodz.pl /13 Liczba przybliżonaa nazywa się liczbę różniac a się nieznacznie od dokładnej liczbya i zastępujac a ja w obliczeniach. Błędem liczby przybliżoneja nazywa się różnicę a pomiędzy dokładna wartościa wielkościaijej przybliżeniema aa a. 1 dr inż. Ireneusz Owczarek Opracowanie danych doświadczalnych 2 dr inż. Ireneusz Owczarek Opracowanie danych doświadczalnych Bład przybliżenia Definicje i podstawowe pojęcia Definicja Bład względny Jeżeli znak błędu nie jest znany, to stosuje się pojęcie błędu bezwzględnego. Błędem bezwzględnym a liczby przybliżonejanazywa się wartość bezwzględna różnicy pomiędzy liczba dokładnaailiczb a przybliżonaa a A a. Często a nazywane jest maksymalnym błędem bezwzględnym i wówczas stosuje się zapis Aa± a. Błędem względnymδa liczby a będacej przybliżeniem wartościanazywa się iloraz błędu bezwzględnego do dokładnej bezwzględnej wartościa δa a A. Gdy nie jest znana dokładna wartośća δa a a. Liczby dokładne to liczby znane i ściśle określone, np.π (tak zapisana!). 3 dr inż. Ireneusz Owczarek Opracowanie danych doświadczalnych 4 dr inż. Ireneusz Owczarek Opracowanie danych doświadczalnych

2 Liczby przybliżone Stopień dokładności Stopień dokładności Liczby przybliżone to wyniki pomiarów (w tym wartość pomiaru i bład pomiarowy), dane tablicowe (większość stałych matematycznych i fizycznych), np. 3,14 (liczbaπ, tak zapisana!). Przykład: Jaka dokładność ma liczbaπ zapisana z trzema cyframi znaczacymi? Bład przybliżenia (względny) ma wartość Cyfra znaczaca δa p 3,14 π π 100%0,051%. to każda cyfra różna od zera, a cyfra zero (albo zera) wówczas, gdy znajduje się pomiędzy cyframi różnymi od zera albo na końcu zapisu. W zapisie dziesiętnym liczby, cyframi znaczacymi sa jej wszystkie cyfry z pominięciem poczatkowych zer. Przykłady 1 liczba 3, 5793 ma 5 cyfr znaczacych, 2 liczba 10, 07 ma 4 cyfry znaczace, 3 liczba 0, 0461 ma 3 cyfry znaczace, 4 liczba ma 9 cyfr znaczacych, jednak lepiej zapisać w postaci z2. cyframi znaczacymi , 1,5 10 8, 0, , 5 liczba480,00 ma5cyfr znaczacych, lub dla2cyfr znaczacych 4,8 10 2, 6 liczba1000 w zapisie : z1. cyfra znaczac a , z2. cyframi znaczacymi 1,0 10 3, z3. cyframi znaczacymi 1, , 7 liczba0, w zapisie z3. cyframi znaczacymi ma postać0,706. Stopień dokładności przybliżenia to liczba cyfr znaczacych. 5 dr inż. Ireneusz Owczarek Opracowanie danych doświadczalnych 6 dr inż. Ireneusz Owczarek Opracowanie danych doświadczalnych Zaokraglanie liczb Zasady zaokraglania liczb Zasady tworzenia wykresów Układ współrzędnych O liczbie pominiętych cyfr znaczacych decyduje pożadan a dokładność przybliżenia, wynikajaca z różnych potrzeb. Przy zaokraglaniu stosuje się następujace reguły: 1 Jeżeli pierwsza z odrzucanych cyfr jest mniejsza niż5, to liczba zaokraglona pozostaje bez zmian. 1263,55 dla 3. cyfr znaczacych 1, , 2 Jeżeli pierwsza z odrzucanych cyfr jest większa niż5, to ostatnia cyfrę liczby uproszczonej zwiększamy o ,55 dla 2. cyfr znaczacych 1,3 10 3, Głównym zadaniem graficznej prezentacji danych jest zbadanie, czy określone dane eksperymentalne odpowiadaja modelom teoretycznym obserwowanych zjawisk (program Logger Pro lub Opra). Sporzadzaj ac wykres należy stosować się do poniższych reguł: Rodzaj wykresu winien być dostosowany do prezentowanego zagadnienia. Osie wykresu należy opisać przedstawiajac symbol i jednostkę wielkości fizycznej, pamiętajac o tym, że powinny to być jednostki podstawowe układu SI (lub ich wielokrotności). Punkty pomiarowe należy zaznaczyć wyraźnie i jednoznacznie (w postaci miniatur prostych figur geometrycznych krzyżyk, kółko, trójkat). 3 Jeżeli pierwsza z odrzucanych cyfr równa jest5, to ostatnia cyfra liczby przybliżonej pozostaje bez zmian, gdy jest parzysta, zostaje zwiększona o1, gdy jest nieparzysta. 1263,55 dla 5. cyfr znaczacych 1263,6. 7 dr inż. Ireneusz Owczarek Opracowanie danych doświadczalnych 8 dr inż. Ireneusz Owczarek Opracowanie danych doświadczalnych

3 Zasady tworzenia wykresów... Układ współrzędnych Dopasowanie prostej do zbioru punktów doświadczalnych Punktów pomiarowych nie wolno łaczyć ze soba (by nie powstała linia łamana). Należy dopasować punkty pomiarowe wykresem znanej zależności (pomiędzy punktami pomiarowymi poprowadzić linię gładka ). Układ współrzędnych musi posiadać podziałkę. Skalę wykresu należy tak dobrać, by był on przejrzysty i dobrze wykorzystywał powierzchnię papieru. Celem dopasowania jest nie tylko uzyskanie efektu wizualnego, ale przede wszystkim uzyskanie wartości parametrówaibopisujacych prosta yax+b, oraz ich błędów (niepewności pomiarowe) a i b. Metoda graficzna polega na wykonaniu wykresu, a następnie na wykreśleniu prostej tak, by odległości prosta punkty eksperymentalne były średnio jak najmniejsze. Rysunek: Zależność względnej zmiany okresu drgań wahadła matematycznego od amplitudy drgań. 9 dr inż. Ireneusz Owczarek Opracowanie danych doświadczalnych 10 dr inż. Ireneusz Owczarek Opracowanie danych doświadczalnych Prezentacja wyników Jest najpowszechniej stosowana metoda analityczna. Swoja nazwę zawdzięcza kryterium jakości dopasowania takiego doboru parametrów prostej, by suma kwadratów różnic wartości eksperymentalnychy i i obliczonychax i+b była jak najmniejsza S 2 n [y i (ax i+b)] 2 min.. i1 Obliczenia wykonane na podstawie pomiarów ujętych w tabeli należy przedstawić za pomoca programu, np. OPRA5 lub Logger Pro. Rozwiazanie odpowiedniego układu równań pozwala znaleźć wartości szukanych współczynników oraz ich błędów bezwzględnych: oraz współczynnika korelacjir. a a, b b, Jeżelir>0,95, to między wielkościamixiy występuje bardzo mocny zwiazek. 11 dr inż. Ireneusz Owczarek Opracowanie danych doświadczalnych 12 dr inż. Ireneusz Owczarek Opracowanie danych doświadczalnych

4 Sposób opracowania sprawozdania Przykład obliczeń Moduł Younga Sprawozdanie poza strona tytułowa musi zawierać następujace elementy: 1 Objaśnienia występujacych w ćwiczeniu symboli wielkości fizycznych (ewentualnie krótki opis metody). 2 Tabelkę lub tabelki pomiarowe z zatwierdzonymi przez prowadzacego ćwiczenia wynikami pomiarów. 3 Wzory według, których prowadzi się obliczenia wyznaczanych wielkości. 4 Wykresy badanej zależności, z uwzględnieniem metody najmniejszych kwadratów. 5 Obliczenia zawierajace podstawienia wartości mierzonych wielkości z uwzględnieniem działań na jednostkach. 6 Wynik końcowy. E 4l πd 2 a 4 1,52m π 0, m 2 8, m/n 0, N a maksymalny bład ( l EE + d ) l d + a a ( 0, N 0,02m +0, m +0, m/n m 2 1,52m 0, m 8, m/n 0, N Wynik obliczeń E ( ) 0,23±0, N ) 13 dr inż. Ireneusz Owczarek Opracowanie danych doświadczalnych 14 dr inż. Ireneusz Owczarek Opracowanie danych doświadczalnych Właściwe przybliżanie liczb Wynik końcowy Wynik końcowy i wnioski Przeprowadzone obliczenia rachunkowe powinny być na tyle dokładne, aby nie wpływały na końcowy wynik pomiaru. Wskazówki, jakimi należy kierować się w obliczeniach: 1 Nie można stosować do wyników pośrednich reguł upraszczania przewidzianych dla zapisu końcowego wyniku pomiaru. Potrzebne w dalszych obliczeniach wyniki powinny mieć stosownie większa dokładność zapisu. 2 Obliczenia niepewności powinny być prowadzone z dokładnościa co najmniej do3lub4cyfr znaczacych. 3 Bład pomiarowy (w zapisie wyniku końcowego) należy zaokraglić do1 lub co najwyżej2cyfr znaczacych. 4 Wynik pomiaru zaokraglamy do tej pozycji dziesiętnej, na której znajduje się pierwsza od prawej cyfra zaokraglonego błędu pomiarowego. Przykład: Niech obliczony bład pomiarowy przyspieszenia ziemskiego zaokraglony do 4 cyfr znaczacych: g 0, m s 2 Prawidłowo zaokraglony bład pomiaru przyspieszenia ziemskiego: Wartość przyspieszenia ziemskiego : i wartość zaokraglona Końcowy wynik pomiarów: g 0,39 m s 2 lub g 0,4 m s 2. g 9, m s 2 g 9,68 m s 2 lub g 9,7 m s 2. g zg± g(9,68±0,39) m s 2 lub g zg± g(9,7±0,4) m s 2 15 dr inż. Ireneusz Owczarek Opracowanie danych doświadczalnych 16 dr inż. Ireneusz Owczarek Opracowanie danych doświadczalnych

5 Dyskusja wyników i wnioski Wynik końcowy i wnioski Kolejność przy ustalaniu sposobu zapisu wyniku końcowego 1 Zaokralić bład do jednej (czasami dwóch) cyfr znaczacych. 2 Zapisać wynik z taka sama dokładnościa jak zapisano bład. Wymagana jest interpretacja i uzasadnienie uzyskanych wyników, podanie mechanizmów odpowiedzialnych za określone wyniki oraz ich porównanie z innymi wynikami. Szczególna uwagę należy zwrócić na występowanie błędów pomiarowych i ich wpływ na wynik końcowy. Należy ocenić korelację liniowa uzyskanej zależności. 17 dr inż. Ireneusz Owczarek Opracowanie danych doświadczalnych