STATYSTYKA MATEMATYCZNA

Transkrypt

1 STATYSTYKA MATEMATYCZNA 1. Wykład wstępny. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki 2. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez 5. Testy parametryczne 6. Testy nieparametryczne 7. Korelacja i regresja liniowa i nieliniowa 8. Analiza wariancji

2 WSTĘP 1. Populacja i próba danych 2. Parametr populacji i estymator 3. Ważne aspekty związane z tworzeniem prób danych i estymacją parametrów 4. Błąd próbkowania 5. Błąd standardowy estymatora i przedziały ufności

3 POPULACJA I PRÓBA DANYCH POPULACJA population Obserwacje dla wszystkich osobników danego gatunku / rasy PRÓBA DANYCH sample Obserwacje dotyczące wycinka populacji

4 PARAMETR POPULACJI I ESTYMATOR 2 POPULACJA Parametr parameter nieznany dotyczy całej populacji np. rzeczywista średnia masa ciała i jej odchylenie standardowe w populacji ryjówek, ˆ ˆ 2 PRÓBA DANYCH Estymator estimator znany wartość obliczona dla danej próby np. obliczona średnia masa ciała i jej odchylenie standardowe w próbie danych

5 PARAMETR POPULACJI I ESTYMATOR 2 E( ) E N i1 p X E( ) 2 i i POPULACJA Parametr nieznany dotyczy całej populacji np. rzeczywista średnia masa ciała i jej odchylenie standardowe w populacji ryjówek, ˆ 2 ˆ n i1 i1 n n i i n 1 2 PRÓBA DANYCH Estymator znany wartość obliczona dla danej próby np. obliczona średnia masa ciała i jej odchylenie standardowe w próbie danych

6 WAŻNE ASPEKTY ZWIĄZANE Z TWORZENIEM PRÓB DANYCH I ESTYMACJĄ PARAMETRÓW WYBÓR PRÓBY DANYCH Z POPULACJI 1. Liczebność próby danych 2. Replikacje 3. Wybór osobników z populacji do próby danych

7 WAŻNE ASPEKTY ZWIĄZANE Z TWORZENIEM PRÓB DANYCH I ESTYMACJĄ PARAMETRÓW LICZEBNOŚĆ PRÓBY DANYCH 1. Liczba obserwacji w próbie 2. Im większa próba danych tym dokładniej można oszacować wartości parametrów populacji 3. Wielkość próby danych zależy od: łatwości zdobywania obserwacji, kosztów, dostępności obserwacji 4. Analiza mocy - technika statystyczna pozwalająca na określenie minimalnej wielkości próby danych dla danego eksperymentu

8 WAŻNE ASPEKTY ZWIĄZANE Z TWORZENIEM PRÓB DANYCH I ESTYMACJĄ PARAMETRÓW WYBÓR PRÓBY DANYCH Z POPULACJI 1. Liczebność próby danych 2. Replikacje 3. Wybór osobników z populacji do próby danych

9 WAŻNE ASPEKTY ZWIĄZANE Z TWORZENIEM PRÓB DANYCH I ESTYMACJĄ PARAMETRÓW REPLIKACJE

10 WAŻNE ASPEKTY ZWIĄZANE Z TWORZENIEM PRÓB DANYCH I ESTYMACJĄ PARAMETRÓW REPLIKACJE 1. Stosowanie replikacji znacznie zwiększa wiarogodność wyciągniętych wniosków 2. Wybór osobników do każdej replikacji powinien być losowy 3. Idealnie każda próba danych powinna zawierać różne osobniki 4. Jeżeli technicznie trudno pobrać osobniki do replikacji i niektóre powtarzają się w poszczególnych próbach danych pseudoreplikacje

11 WAŻNE ASPEKTY ZWIĄZANE Z TWORZENIEM PRÓB DANYCH I ESTYMACJĄ PARAMETRÓW WYBÓR PRÓBY DANYCH Z POPULACJI 1. Liczebność próby danych 2. Replikacje 3. Wybór osobników z populacji do próby danych

12 WAŻNE ASPEKTY ZWIĄZANE Z TWORZENIEM PRÓB DANYCH I ESTYMACJĄ PARAMETRÓW TWORZENIE PRÓBY DANYCH WYBÓR LOSOWY Osobniki wybierane są bez stosowania selekcji Osobniki muszą reprezentować wszystkie warianty efektów działających na populację np. lokalizacja, wiek, płeć, ekspozycja na warunki środowiskowe, spokrewnienie NIELOSOWY Wybór wg spokrewnienia Wybór wg wartości cechy Eksperyment

13 POPULACJA I PRÓBA DANYCH NIELOSOWY WYBÓR OSOBNIKÓW Z POPULACJI DO PRÓBY DANYCH Wybór wg spokrewnienia Małe rodziny jednopokoleniowe (nuclear families) populacje ludzkie

14 POPULACJA I PRÓBA DANYCH NIELOSOWY WYBÓR OSOBNIKÓW Z POPULACJI DO PRÓBY DANYCH Wybór wg spokrewnienia Duże rodziny jednopokoleniowe Populacje zwierząt

15 POPULACJA I PRÓBA DANYCH NIELOSOWY WYBÓR OSOBNIKÓW Z POPULACJI DO PRÓBY DANYCH Wybór wg wartości cechy grupa doświadczalna grupa kontrolna (case-control)

16 POPULACJA I PRÓBA DANYCH NIELOSOWY WYBÓR OSOBNIKÓW Z POPULACJI DO PRÓBY DANYCH Eksperyment P: A B Zaplanowane: -warunki środowiskowe, -struktura genetyczna, -spokrewnienie -itp. F1: AB AB Wysoki koszt Wykorzystanie wszystkich osobników F2:

17 WAŻNE ASPEKTY ZWIĄZANE Z TWORZENIEM PRÓB DANYCH I ESTYMACJĄ PARAMETRÓW TWORZENIE PRÓBY DANYCH WYBÓR LOSOWY Osobniki wybierane są bez stosowania selekcji Osobniki muszą reprezentować wszystkie warianty efektów działających na populację np. lokalizacja, wiek, płeć, ekspozycja na warunki środowiskowe, spokrewnienie NIELOSOWY Wybór wg spokrewnienia Wybór wg wartości cechy Eksperyment

18 DYSKUSJA OSZACOWAĆ ŚREDNI WZROST MIESZKAŃCÓW WROCŁAWIA Jak zebrać próbę danych?

19 BŁĄD PRÓBKOWANIA

20 BŁĄD PRÓBKOWANIA 1. Nie możemy precyzyjnie określić wielkości błędu próbkowania 2. Możemy w przybliżeniu określić dokładność estymatora Błąd standardowy estymatora Przedziały ufności estymatora

21 BŁĄD STANDARDOWY JAK DOKŁADNY JEST DANY ESTYMATOR??? BŁĄD STANDARDOWY PRZEDZIAŁ UFNOŚCI

22 BŁĄD STANDARDOWY

23 BŁĄD STANDARDOWY ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ Błąd standardowy estymatora średniej: odchylenie standardowe rozkładu estymatora średniej s Jaki jest rozkład? Jak obliczyć S?

24 BŁĄD STANDARDOWY ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ Jaki rozkład ma estymator średniej? Dla dużych prób danych (N): rozkład estymatora średniej zbliża się do rozkładu normalnego estymator średniej zbliża się do prawdziwej wartości parametru próby niezależnie od rozkładu obserwacji w próbie danych

25 BŁĄD STANDARDOWY ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ Błąd standardowy estymatora średniej (standard error): odchylenie standardowe rozkładu estymatora średniej s Jaki jest rozkład? Jak obliczyć S?

26 BŁĄD STANDARDOWY ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ Jak obliczyć odchylenie standardowe rozkładu średniej (bez konieczności pobierania wielu prób danych)? Odchylenie standardowe w próbie danych: S S N S N i1 i N 1 2 Liczebność próby danych BŁĄD STANDARDOWY ŚREDNIEJ

27 BŁĄD STANDARDOWY JAK DOKŁADNY JEST DANY ESTYMATOR??? BŁĄD STANDARDOWY PRZEDZIAŁ UFNOŚCI

28 PRZEDZIAŁ UFNOŚCI ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ Przedział ufności dla estymatora średniej: przedział w jakim z określonym prawdopodobieństwem znajduje się prawdziwa wartość parametru min ma granice przedziału ufności

29 PRZEDZIAŁ UFNOŚCI ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ Jerzy Neyman

30 PRZEDZIAŁ UFNOŚCI ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ Jak obliczyć granice przedziału ufności? 1. Wariancja próby znana (lub próba bardzo liczna) min z S ma z S, z N(0,1) 2. Wariancja próby nieznana (obliczana na podstawie obserwacji w próbie) min t, N1 S ma t, N1 S, t rozkl.t Studenta z α ( t α ) wartości krytyczne: takie wartości zmiennej losowej, że prawdopodobieństwo, że zmienna przyjmie wartość mniejszą od z α ( t α ) lub większą od z α ( t α ), wynosi α P( z z )

31 PRZEDZIAŁ UFNOŚCI ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ Prawdopodobieństwo wystąpienia prawdziwej średniej w przedziale ufności, a długość przedziału 1. Przedział ufności 95% P Przedział ufności 99% P 0. 99

32 INTERPRETACJA WYKRESÓW

33 PODSUMOWANIE 1. Populacja i próba danych 2. Parametr populacji i estymator 3. Ważne aspekty związane z tworzeniem prób danych i estymacją parametrów 4. Błąd próbkowania 5. Błąd standardowy estymatora i przedziały ufności