Pracownia Astronomiczna. Zapisywanie wyników pomiarów i niepewności Cyfry znaczące i zaokrąglanie Przenoszenie błędu

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Pracownia Astronomiczna. Zapisywanie wyników pomiarów i niepewności Cyfry znaczące i zaokrąglanie Przenoszenie błędu"

Przybysław Stachowiak
4 lat temu
Przeglądów:

1 Pracownia Astronomiczna Zapisywanie wyników pomiarów i niepewności Cyfry znaczące i zaokrąglanie Przenoszenie błędu

2 Każdy pomiar obarczony jest błędami Przyczyny ograniczeo w pomiarach: Ograniczenia instrumentalne każdy przyrząd pomiarowy jest wykonany ze ograniczoną dokładnością. Błędy systematyczne są to błędy spowodowane przez czynnik, który nie zmienia się w trakcie pomiarów. Powodują systematyczne odchylenie pomiarów od wartości prawdziwej. Również wartośd średnia wyliczonej z wielu pomiarów będzie obciążona tymi błędami. Nie są uwzględniane w oszacowaniu niepewności pomiarowej, dlatego są wyjątkowo wredne (trudne do wykrycia). Błędy losowe wynikają z różnych przyczyn losowych, np. z niezauważonych drobnych zmian w czasie pomiarów. Prawdziwie losowe błędy nie mają wpływu na wartośd średniej liczonej z wielu pomiarów. Błąd człowieka błąd wynikający ze źle wykonanej pracy.

3 Błąd i niepewnośd pomiaru Te dwa terminy oznaczają: Błąd pomiaru różnica między wartością zmierzoną a warością prawdziwą (wzorcową, oczekiwaną). Niepewnośd pomiaru przedział, w którym z pewnym prawdopodobieostwem znajduje się prawdziwa wartośd wielkości mierzonej

4 Precyzja a dokładnośd pomiaru Pomiar precyzyjny kolejne niezależne pomiary tej samej jakości są bliskie siebie. Ich średnia może byd jednak odległa od wartości prawdziwej/wzorcowej. Pomiar dokładny kolejne niezależne pomiary są bliskie wartości prawdziwej/wzorcowej. x + x x x niska precyzja niska dokładnośd niska precyzja wysoka dokładnośd wysoka precyzja niska dokładnośd wysoka precyzja wysoka dokładnośd na powyższych rysunkach: - pojedynczy pomiar, x - wartośd średnia, + - wartośd prawdziwa

5 Zapisywanie wyników Każdy pomiar podawany jest łącznie z niepewnością. Pozwala to ocenę jego jakości. Przykład: Z pomiarów otrzymujemy, że masa obiektu może wynosid 1.54 kg, ale może to byd nieco mniej (1.51 kg) lub trochę więcej (1.57 kg). Taki pomiar zapiszemy M = 1.54 ± 0.03 kg Przy zapisie musimy pamiętad, że wynik musi byd zapisany zgodnie z precyzją, z jaką jest znany. Tu stosujemy zasadę cyfr znaczących: Zaokrąglany niepewnośd pomiarową do dwóch cyfr znaczących i dostosowujemy do niej precyzję zapisu pomiaru przez zaokrąglanie.

6 Cyfry znaczące Cyfry znaczące to te, które mają znaczenie fizyczne (są uzasadnione niepewnością pomiaru). Przykłady: dobrze: ± źle: ± 0.232, 10.5 ± 0.23, ± ± 43 wynik ma 4 cyfry znaczące, w tym 2 zera 4200 ± cyfry znaczące, zera nie są znaczące z powodu wielkości niepewności 4214 ± 1500 zły zapis, cyfry 14 nie mają znaczenia Istotne zasady: Niepewnośd pomiarowa powinna byd zapisana z dwiema cyframi znaczącymi. To zasada przyjęta np. w zapisywaniu stałych fizycznych podstawowych. Pozwala ona też minimalizowad błędy zaokrąglania. Wszystkie cyfry niezerowe są znaczące. Wszystkie zera między cyframi niezerowymi są znaczące (np tu wszystkie cyfry są znaczące). Zera poprzedzające nie są znaczące (np ma tylko 2 cyfry znaczące 5 i 6). Zera następujące po kropce dziesiętnej są znaczące (np ma 3 cyfry znaczące w tym koocowe zero). Zera następujące przed kropą dziesiętną mogą byd znaczące (np w powyższym przykładzie)

7 Zaokrąglanie Zasady zaokrąglania: Jeśli pierwsza cyfra do odrzucenia jest mniejsza niż 5, usuwany cyfry nieznaczące Jeśli pierwsza cyfra do odrzucenia jest większa niż 5, usuwając cyfry nieznaczące i podnosimy wartośd ostatniej cyfry znaczącej o Jeśli pierwsza cyfra do odrzucenia jest równa 5, zaokrąglamy ostatnią cyfrę znaczącą do najbliższej cyfry parzystej. To ogranicza wpływ zaokrąglania na wynik

8 Analiza statystyczna pomiarów Wielokrotna powtórzenie pomiaru pozwoli: lepiej oszacowad jaka może byd wartośd prawdziwa poznad niepewnośd naszych pomiarów Szczegóły analizy statystycznej pomiarów zależą od wielkości próby (ilości powtórzeo). Przy próbie poniżej 30 mamy (N liczba pomiarów, x wielkośd mierzona): wartośd średnia: zakres (rozrzut): x śr = x 1+x 2 + +x N N R = x max x min niepewnośd jednego pomiaru: x = R 2 niepewnośd wartości średniej: x śr = x N koocowy zapis wyniku: x = x śr ± x śr Zwiększenie liczby pomiarów zwiększa precyzję wartości średniej i zmniejsza jej niepewnośd.

9 liczba pomiarów Analiza statystyczna pomiarów Jeśli pomiar zaburzany jest tylko błędami losowymi, rozkład mierzonych wartości ma kształt rozkładu normalnego (patrz rysunek). Widad to przy dużej liczbie pomiarów. Stąd, przy próbie poniżej 30 mamy (N liczba pomiarów, x wielkośd mierzona): x śr wartośd średnia: x śr = x 1+x 2 + +x N N = N i=1 N x i niepewnośd jednego pomiaru: x = σ = N i=1 N 1 x i x śr 2 niepewnośd wartości średniej: x śr = σ N koocowy zapis wyniku x = x śr ± x śr Wartości x śr oraz σ są parametrami charakteryzującymi rozkład normalny.

10 Przenoszenie błędów Rozważmy taki przykład. Mierzymy długości boków prostokąta a i b. Każdy z tych pomiarów ma jakąś niepewnośd. Jeśli z tych pomiarów wyznaczymy obwód i pole prostokąta, to jaką niepewnością będą obciążone te wielkości? Możemy to obliczyd dzięki analizie przenoszenia błędów. Dodatkowym efektem tej analizy jest możliwośd wskazania źródła dominującego błędu i następnie jego zredukowania. W analizie konieczne jest obliczanie pochodnych cząstkowych (jeśli wartośd koocowa zależy od dwóch lub więcej zmiennych obciążonych błędem). funkcja dwóch zmiennych: f x, y pochodna cząstkowa po x: f(x,y) x pochodna cząstkowa po y: f(x,y) y (wartośd y traktujemy jak stałą) (wartośd x traktujemy jak stałą) Jeśli wartośd koocowa zależy od jednej zmiennej, liczymy zwykłą pochodną. funkcja jednej zmiennej: f x pochodna zwykła po x: df(x) dx

11 Przenoszenie błędów Ogólny wzór przenoszenia błędów umożlwiający oszacowanie niepewności wartości koocowej, która zależy od M zmiennych a 1, a 2,, a M (niezależnych od siebie!): wartośd koocowa: f a 1, a 2,, a M niepewności poszczególnych zmiennych: σ a1, σ a2,, σ am niepewnośd wartości koocowej: σ f = M j=1 f a j 2 σ aj 2 Kroki do wykonania, aby otrzymad σ f i zapisad koocowy wynik: Ustal od jakich zmiennych a zależy wartośd koocowa f, jaka jest postad funkcji opisującej tę zależnośd i jakie są niepewności σ a. Zapisz postad wszystkich potrzebnych pochodne cząstkowe f a j. Oblicz i posumuj wszystkie wyrażenia Wyciągnij pierwiastek z powyższej sumy. f a j 2 σ aj 2 Zaokrąglij: σ f do dwóch cyfr znaczących, a koocowy wynik f zgodnie z zaokrąglonym σ f Zapisz koocowy wynik w formie f ± σ f

12 Przenoszenie błędów, przykład (rozwiązany na zajęciach) Boki prostokąta mają wymiary: a = 1.25 ± 0.22, b = 4.44 ± 0.33 Oblicz: obwód P = 2 a + b powierzchnię S = a b oraz ich błędy σ P, σ S

Podobne dokumenty

Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych

Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych dla studentów Biologii A i B dr hab. Paweł Korecki e-mail: pawel.korecki@uj.edu.pl http://www.if.uj.edu.pl/pl/edukacja/pracownia_i/