Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony

Transkrypt

1 Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM Matematyka Poziom rozszerzony Listopad W kluczu są prezentowane przykładowe prawidłowe odpowiedzi. Należy również uznać odpowiedzi ucznia, jeśli są inaczej sformułowane, ale ich sens jest synonimiczny wobec schematu, oraz inne odpowiedzi, nieprzewidziane w kluczu, ale poprawne.. Zdający sprowadzi wyrażenie do najprostszej postaci ^9x- 4h^x+ h ^ h^x+ h^x+ h ^x+ h^ h^x+ h, x+ x = - x+ $ x = = ^ h - ^x+ h ^x- h^x+ h^x+ h x - gdzie x!, x!-, x!-. pokonanie zasadniczych trudności Zdający zapisze iloraz w postaci sumy dwóch składników, z których jeden jest liczbą całkowitą. Np.: ( x- ) + = = + x- x- x - rozwiązanie do końca, ale z usterkami Zdający rozważy tylko dzielniki liczby, będące liczbami naturalnymi, lub nie sprawdzi, czy znalezione liczby należą do dziedziny wyrażenia. Zdający zauważy, że wartość wyrażenia jest liczbą całkowitą, gdy x- jest dzielnikiem. x- = lub x- =- Zdający zapisze odpowiedź. x= lub x= obie te liczby należą do dziedziny wyrażenia.. rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego Zdający wyróżni przedziały: -,-, -, 4h, 4, ). ] g Zdający zapisze równanie w poszczególnych przedziałach. Np.: x! (-,- ) -x- + x- 4= x! -, 4h x! 4, ) x+ + x- 4= x+ - x+ 4= pokonanie zasadniczych trudności Zdający rozwiąże równania. Zdający ustali, że dla x! (-,- ) równanie nie ma, dla dla x! -, 4h x! 4, ) przedziału spełnia równanie. równanie nie ma, równane jest tożsamościowe każda liczba rzeczywista należąca do tego pkt pkt pkt pkt pkt pkt

2 Zdający poda odpowiedź: Do przedziału 4, ) należy co najmniej jedna liczba niewymierna, np. 9. Liczba ta należy do zbioru rozwiązań równania.. rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego Zdający obliczy długość r promienia okręgu i jego średnicę d. rr= r r=, d= Zdający zauważy, że przekątna trapezu jest prostopadła do jednego z ramion (kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty) i obliczy długość x tego ramienia. x + =, x= pokonanie zasadniczych trudności Zdający obliczy wysokość trapezu. $ h= $, h= Zdający zauważy, że trapez jest równoramienny i obliczy długość krótszej podstawy. 9 b= Zdający obliczy pole trapezu. 9 P= d + $ n = 9 4. rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego Zdający zapisze wielomian W( x) za pomocą wielomianu niezerowego Q( x), wielomianu P( x) i reszty R( x) = ax+ bx+ c. W( x) = Q( x) $ P( x) + ax + bx+ c Zdający zauważy, że reszta z dzielenia wielomianu W( x) przez x- a jest równa W( a) i zapisze odpowiednie równości. a+ b+ c= a- b+ c=- 4a- b+ c= pokonanie zasadniczych trudności Zdający rozwiąże otrzymany układ równań. a=, b=, c=- Zdający zapisze resztę. R( x) = x+ x-. rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego Zdający obliczy wyróżnik trójmianu. D= ^m- h - 4^m- 7h= m - 4m+ pkt pkt pkt pkt pkt pkt pkt pkt

3 Zdający zapisze wyróżnik np. w postaci D= ^m- 7h+ 4 i stwierdzi, że wartość tego wyrażenia jest zawsze dodatnia, zatem równanie ma dla każdej liczby rzeczywistej m dwa różne pierwiastki. pokonanie zasadniczych trudności Zdający zapisze warunek podany w zadaniu, wykorzystując np. wzory Viete a. x x + = ^x xx ( m 7) m + x h - = -( m- $ - = - m+ 9 Zdający zapisze sumę kwadratów pierwiastków równania w postaci x + x = ( m- ) +. Zdający stwierdzi, że wartość wyrażenia ^m- h + jest najmniejsza, gdy m=. pkt pkt pkt. rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego Zdający obliczy wysokość H graniastosłupa i długość x jego krawędzi podstawy. x+ H= x+ ( x+ ) = x=, H=8 Zdający sporządzi rysunek graniastosłupa, zaznaczając odpowiedni przekrój lub narysuje odpowiedni trójkąt. pkt pkt c a x pokonanie zasadniczych trudności Zdający obliczy długość c przekątnej ściany bocznej graniastosłupa i długość ramienia a trójkąta, będącego przekrojem. c= + 8= a= + 4= Zdający stwierdzi, że rozpatrywany przekrój jest trójkątem równoramiennym o podstawie i ramieniu i obliczy wysokość tego trójkąta. h= - = 7 Zdający obliczy pole przekroju. P = $ $ 7= pkt pkt

4 7. rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego Zdający przekształci rozpatrywane wyrażenie, wykorzystując odpowiednie wzory. cos( a+ b) $ cos a- b = cosa cosb- sina sinb cosa cosb+ sina sinb = = cosa cosb- sina sinb ] g ] g] g Zdający wykorzysta związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta do zapisania wyrażenia za pomocą jednej funkcji trygonometrycznej. Np.: cos a cos b- sin a sin b= cos a cos b-^- cos ah^- cos bh. pokonanie zasadniczych trudności Zdający przekształci otrzymane wyrażenie do postaci cosa+ cosb-. Zdający zauważy, że cos a+ cos b G, zatem cos a+ cos b- G. 8. rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego Zdający wykaże, że utworzone w ten sposób czworokąty są kwadratami C jest rombem, w którym każdy kąt ma miarę 9, jest więc kwadratem. Podobnie następne czworokąty są kwadratami. pkt pkt pkt pkt Zdający wykaże, że pole każdego z następnych kwadratów jest równe połowie pola kwadratu, z którego powstał. pokonanie zasadniczych trudności Zdający zauważy, że ciąg pól tworzonych kwadratów jest ciągiem geometrycznym o pierwszym wyrazie 8 i ilorazie. Zdający zastosuje wzór na sumę m wyrazów ciągu geometrycznego, tworząc i rozwiązując odpowiednie równanie. m -b l 8 $ = 4 - m - b l = 4 b l m m= = 4 Zdający wyznaczy liczbę n. n= - = pkt pkt pkt 4

5 9. rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego Zdający zapisze za pomocą wyrażenia algebraicznego prawdopodobieństwo wyciągnięcia dwóch skarpetek zielonych. x liczba skarpetek zielonych P( ZZ) x x- = $ x Zdający zapisze za pomocą wyrażenia algebraicznego prawdopodobieństwo wyciągnięcia dwóch skarpetek różnych kolorów. x x x x P( RK) = $ $ x + x pokonanie zasadniczych trudności Zdający zapisze odpowiednie równanie i sprowadzi je do najprostszej postaci. x x- x x x x $ + = $ $ x x + x x- 9 4x + = x - Zdający rozwiąże równanie obliczy liczbę skarpetek zielonych. x=4 Zdający poda liczbę wszystkich skarpetek: 4+ 8=.. rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego Zdający zapisze równanie okręgu ^x- h + ^y- h = 7 i zauważy, że każdy punkt ] g leżący na osi OX ma współrzędne x,. Zdający wyznaczy współrzędne przecięcia okręgu z osią OX. ^x- h + = 7 ( x- ) - = x- - 4= lub x= lub x=- A=], g B= (-, ) x- + 4= pokonanie zasadniczych trudności Zdający wyznaczy długość odcinka AB : AB= 8 oraz odległość d punktu C od osi OX. pkt pkt pkt pkt pkt pkt pkt $ 8 $ d = 4 d= rozwiązanie do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności (np. błędy rachunkowe)

6 Zdający wyznaczy pierwszą współrzędną punktu C, wiedząc, że druga współrzędna jest równa lub -. + = x= lub x=- lub ^- h+ = Zdający poda współrzędne punktu C. C, lub C= ^-, - h =] g pkt. rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego Zdający zauważy, że wykres funkcji f powstał w wyniku przekształcenia przez symetrię względem osi OX wykresu funkcji sin ax oraz dwukrotnego rozciągnięcia go wzdłuż osi OY. Okresem funkcji sin ax jest r, stąd a=. Zdający zapisze wzór funkcji. f( x) = ( - sin x) =- sin x pokonanie zasadniczych trudności Zdający zapisze i przekształci odpowiednie równanie - sin x=- sin x= r r x= + kr lub x= r- + kr, k! C Zdający poda rozwiązanie równania. r r x= + kr lub x= + kr dla k! C pkt pkt pkt