PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

Transkrypt

1 PRÓNY EGZMIN MTURLNY Z NOWĄ ERĄ 04/05 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY ROZWIĄZNI ZDŃ I SCHEMTY PUNKTOWNI Copyright by Nowa Era Sp z oo

2 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania D C C C D D D Zadanie (0 ) I Wykorzystanie i tworzenie informacji 7 Liczby rzeczywiste Zdający oblicza błąd względny przybliżenia pkt za poprawną odpowiedź Zadanie (0 ) Liczby rzeczywiste Zdający wykonuje obliczenia procentowe D pkt za poprawną odpowiedź Zadanie (0 ) Wyrażenia algebraiczne Zdający używa wzorów skróconego mnożenia Liczby rzeczywiste Zdający posługuje się w obliczeniach pierwiastkami dowolnego stopnia i stosuje prawa działań na pierwiastkach pkt za poprawną odpowiedź z

3 Zadanie 4 (0 ) Wyrażenia algebraiczne Zdający używa wzorów skróconego mnożenia Równania i nierówności Zdający rozwiązuje nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą pkt za poprawną odpowiedź Zadanie 5 (0 ) I Wykorzystanie i tworzenie informacji Liczby rzeczywiste Zdający: ) posługuje się w obliczeniach pierwiastkami dowolnego stopnia i stosuje prawa działań na pierwiastkach 4) oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych pkt za poprawną odpowiedź Zadanie 6 (0 ) 4 Funkcje Zdający: 4) szkicuje wykresy funkcji wykładniczych dla różnych podstaw 4) na podstawie wykresu funkcji y f(x) szkicuje wykresy funkcji y f(x + a), y f(x) + a, y f(x), y f( x) pkt za poprawną odpowiedź z

4 Zadanie 7 (0 ) Liczby rzeczywiste Zdający: 6) wykorzystuje definicję logarytmu 4) stosuje prawa działań na potęgach o wykładnikach wymiernych pkt za poprawną odpowiedź Zadanie 8 (0 ) 44 Funkcje Zdający na podstawie wykresu funkcji y f(x) szkicuje wykresy funkcji y f(x + a), y f(x) + a, y f(x), y f( x) C pkt za poprawną odpowiedź Zadanie (0 ) 47 Funkcje Zdający interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej 5 Równania i nierówności Zdający rozwiązuje nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą 8 Liczby rzeczywiste Zdający posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej C pkt za poprawną odpowiedź 4 z

5 Zadanie 0 (0 ) 40 Funkcje Zdający interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, w postaci ogólnej i w postaci iloczynowej (o ile istnieje) pkt za poprawną odpowiedź Zadanie (0 ) 86 Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej Zdający oblicza odległość dwóch punktów na płaszczyźnie kartezjańskiej C pkt za poprawną odpowiedź Zadanie (0 ) 5 Ciągi Zdający wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym pkt za poprawną odpowiedź Zadanie (0 ) 54 Ciągi Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego pkt za poprawną odpowiedź 5 z

6 Zadanie 4 (0 ) Równania i nierówności Zdający wykorzystuje interpretację geometryczną układu równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi 47 Funkcje Zdający interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej pkt za poprawną odpowiedź Zadanie 5 (0 ) Liczby rzeczywiste Zdający oblicza wartości wyrażeń arytmetycznych (wymiernych) D pkt za poprawną odpowiedź Zadanie 6 (0 ) IV Użycie i tworzenie strategii 0 Elementy statystyki opisowej Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka Zdający oblicza prawdopodobieństwa w prostych sytuacjach, stosując klasyczną definicję prawdopodobieństwa pkt za poprawną odpowiedź Zadanie 7 (0 ) IV Użycie i tworzenie strategii 7 Planimetria Zdający korzysta z własności stycznej do okręgu D 6 z

7 pkt za poprawną odpowiedź Próbny egzamin maturalny z Nową Erą Zadanie 8 (0 ) I Wykorzystanie i tworzenie informacji 6 Trygonometria Zdający wykorzystuje definicje i wyznacza wartości funkcji sinus, cosinus i tangens kątów o miarach od 0 do 80 pkt za poprawną odpowiedź Zadanie (0 ) 7 Planimetria Zdający: ) stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym 4) korzysta z własności funkcji trygonometrycznych w łatwych obliczeniach geometrycznych, w tym ze wzoru na pole trójkąta ostrokątnego o danych dwóch bokach i kącie między nimi pkt za poprawną odpowiedź Zadanie 0 (0 ) 0 Elementy statystyki opisowej Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka Zdający zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych, niewymagających użycia wzorów kombinatorycznych, stosuje regułę mnożenia i regułę dodawania pkt za poprawną odpowiedź 7 z

8 Zadanie (0 ) III etap edukacyjny 4 Statystyka opisowa i wprowadzenie do rachunku prawdopodobieństwa Zdający wyznacza średnią arytmetyczną i medianę zestawu danych IV etap edukacyjny poziom podstawowy 0 Elementy statystyki opisowej Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka Zdający oblicza średnią ważoną i odchylenie standardowe zestawu danych (także w przypadku danych odpowiednio pogrupowanych), interpretuje te parametry dla danych empirycznych D pkt za poprawną odpowiedź Zadanie (0 ) III Modelowanie matematyczne III etap edukacyjny ryły Zdający oblicza pole powierzchni i objętość graniastosłupa prostego, ostrosłupa, walca, stożka, kuli pkt za poprawną odpowiedź Zadanie (0 ) Stereometria Zdający: ) rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą) 6) stosuje trygonometrię do obliczeń długości odcinków, miar kątów, pól powierzchni i objętości pkt za poprawną odpowiedź 8 z

9 Klucz oceniania zadań otwartych Zadanie 4 (0 ) I Wykorzystanie i tworzenie informacji 4 Funkcje Zdający: 7) szkicuje wykres funkcji kwadratowej, korzystając z jej wzoru ) odczytuje z wykresu własności funkcji 4) na podstawie wykresu funkcji y f(x) szkicuje wykresy funkcji y f(x + a), y f(x) + a, y f(x), y f( x) Przykładowe rozwiązania I sposób Rysujemy wykres funkcji fx ^ h x, a następnie przesuwamy go o 4 jednostki w prawo, otrzymując wykres funkcji gx ^ h ^x 4h Z wykresu odczytujemy, że g(x) > dla x! ^, h, ^6, + h f y g 0 x II sposób Z informacji o przesunięciu wnioskujemy, że gx ^ h ^x 4h i zapisujemy nierówność: ^x 4h > ^x 4h > ^x 4h > 4 x 8x + 6 > 4 albo ^x 4h > 4 x 4 > lub x 4 < x 8x + > 0 x > 6 lub x < D 6 x! ^, h, ^6, + h D x lub x + 6 x! ^, h, ^6, + h obu sposobów Zdający otrzymuje pkt gdy narysuje wykres funkcji gx ^ h ^x 4h lub zapisze nierówność ^x 4h > Zdający otrzymuje pkt gdy zapisze zbiór rozwiązań: x! ^, h, ^6, + h Zadanie 5 (0 ) 8 Równania i nierówności Zdający rozwiązuje proste równania wymierne prowadzące do równań liniowych lub kwadratowych z

10 Przykładowe rozwiązania I sposób Zakładamy, że x! i stosujemy wzór skróconego mnożenia ułamek i otrzymujemy x x, więc x ^x h^x+ h x + x, skracamy Zdający otrzymuje pkt gdy założy, że x! i uprości równanie do postaci x x Zdający otrzymuje pkt gdy wyznaczy rozwiązanie równania: x Uwaga Jeżeli zdający uprości równanie bez założenia x! i wyznaczy rozwiązanie równania: x, to otrzymuje punkt II sposób Zakładamy, że x! i przekształcamy równanie do postaci x ( x)(x + ), mnożymy wyrażenia w nawiasach i redukujemy wyrazy podobne x x x + x + x 0 x + x 6 0 Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe Δ 5, x, x Ponieważ x nie spełnia założenia, rozwiązaniem równania jest x Zdający otrzymuje pkt gdy założy, że x! i uprości równanie do postaci x + x 0 Zdający otrzymuje pkt gdy rozwiąże równanie kwadratowe, odrzuci rozwiązanie x i zapisze odpowiedź x Uwaga Jeżeli zdający nie napisze założenia x! i poda odpowiedź x, x, to otrzymuje punkt Zadanie 6 (0 ) 0 Elementy statystyki opisowej Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka Zdający oblicza prawdopodobieństwa w prostych sytuacjach stosując klasyczną definicję prawdopodobieństwa 0 z

11 Przykładowe rozwiązania I sposób (model klasyczny) Próbny egzamin maturalny z Nową Erą Z reguły mnożenia wyznaczamy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych, czyli X 0 $ 0 Niech oznacza zdarzenie polegające na wylosowaniu czarnych piłeczek Z reguły mnożenia obliczamy liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu, czyli 7$ 6 4 Prawdopodobieństwo zdarzenia jest zatem równe P ^ h 4 7 X 0 5 Zdający otrzymuje pkt gdy obliczy X 0 i 4 lub też X 45 i (w doświadczeniu losowym nie jest istotna kolejność losowania) Zdający otrzymuje pkt gdy obliczy prawdopodobieństwo P ^ h Uwagi Jeżeli zdający nie skróci ułamka i poda odpowiedź P ^ h 4 lub w innej równoważnej postaci, 0 to otrzymuje punkty Jeżeli zdający stosuje różne modele probabilistyczne do obliczenia X i, to otrzymuje 0 punktów Jeżeli z zapisu rozwiązania nie wynika jasno, że zdający rozróżnia pojęcia przestrzeni zdarzeń elementarnych oraz zbioru zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu (np pojawi się jedynie zapis 0 0 albo bez żadnego opisu czy powszechnie używanej symboliki), to otrzymuje 0 punktów 4 Jeżeli zdający uzyska wynik P() >, to otrzymuje 0 punktów II sposób (metoda drzewa) Losowanie z pudełka kolejno piłeczek bez zwracania możemy zilustrować za pomocą drzewa, gdzie b oznacza wylosowanie białej piłeczki, a cz czarnej piłeczki Pogrubiona gałąź drzewa odpowiada zdarzeniu polegającemu na wylosowaniu czarnych piłeczek 0 7 b cz 6 b cz b cz Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia jest równe P ^ h 7 $ Zdający otrzymuje pkt gdy narysuje drzewo i poprawnie zaznaczy prawdopodobieństwa przynajmniej na odcinkach gałęzi odpowiadającej zdarzeniu Zdający otrzymuje pkt gdy obliczy prawdopodobieństwo P ^ h z

12 Uwaga 7 6 Jeżeli zdający nie narysuje drzewa i zapisze P ^ h 0 $ 7 5, to otrzymuje punkty Zadanie 7 (0 ) 86 Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej Zdający oblicza odległość dwóch punktów Przykładowe rozwiązanie y (, ) (, ) 0 x Zaznaczamy dane punkty w układzie współrzędnych i rysujemy odcinek o końcach w tych punktach Oznaczamy długość odcinka przez a, wtedy a Zauważamy, że są dwie możliwości zaznaczony odcinek może być: bokiem kwadratu wtedy jego pole jest równe P a, przekątną kwadratu wtedy jego bok wynosi a i pole P Zdający otrzymuje pkt gdy poprawnie obliczy odległość między danymi punktami oraz pole tylko jednego kwadratu Zdający otrzymuje pkt gdy poprawnie obliczy pola obu kwadratów Zadanie 8 (0 ) V Rozumowanie i argumentacja 5 Liczby rzeczywiste Zdający wykorzystuje podstawowe własności potęg 4 Równania i nierówności Zdający rozwiązuje równania kwadratowe z jedną niewiadomą Przykładowe rozwiązania I sposób Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego: 7 8 Δ ^ h 4$ $ ^7 h 8$ Stąd Δ ^ $ h Ostatecznie Δ 5 $ < 0 Ponieważ Δ < 0, więc funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych z

13 Zdający otrzymuje pkt 8 gdy zapisze wyróżnik funkcji kwadratowej w postaci Δ 8$ Zdający otrzymuje pkt 8 gdy doprowadzi wyróżnik do postaci Δ 5 $ i zapisze wniosek: ponieważ Δ < 0, więc funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych II sposób Ponieważ a > 0, więc parabola będąca wykresem funkcji kwadratowej f ma ramiona skierowane do góry Zatem f nie ma miejsc zerowych, gdy druga współrzędna wierzchołka yw > Obliczamy: xw 4, y f x 7 w ^ wh $ Stąd y w ` j 5 Ostatecznie y 8 8 w $ > 0, więc funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych Zdający otrzymuje pkt 8 8 gdy zapisze drugą współrzędną wierzchołka w postaci y w lub gdy zauważy, że ramiona paraboli są skierowane do góry oraz zapisze wniosek: aby funkcja nie miała miejsc zerowych, musi być spełniony warunek y w > 0 (ale nie obliczy y w ) Zdający otrzymuje pkt 5 8 gdy obliczy yw 8 $ i zapisze wniosek: ponieważ parabola będąca wykresem funkcji f ma ramiona skierowane do góry i y w > 0, więc funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych Zadanie (0 ) III Modelowanie matematyczne 5 Ciągi Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego Przykładowe rozwiązanie Zarobki artka za każdy dzień pracy tworzą 40-wyrazowy ciąg arytmetyczny, w którym a 0 zł i r zł Wypłata po 8 tygodniach pracy jest równa sumie 40 wyrazów ciągu arytmetycznego $ 0+ $ Zatem S40 $ 40 40, więc po 8 tygodniach pracy artek otrzyma 40 zł Zdający otrzymuje pkt gdy zauważy, że zarobki za kolejne dni pracy tworzą 40-wyrazowy ciąg arytmetyczny, w którym a 0 zł i r zł Zdający otrzymuje pkt gdy obliczy wartość sumy S z

14 Zadanie 0 (0 ) IV Użycie i tworzenie strategii 7 Planimetria Zdający rozpoznaje trójkąty podobne i wykorzystuje (także w kontekstach praktycznych) cechy podobieństwa trójkątów Przykładowe rozwiązania I sposób E D cm C 8 cm Trójkąt E jest podobny do trójkąta DCE w skali k 4 Z zależności między polami figur DC podobnych mamy: P E k P DCE cm, więc P CD P E P DCE 0 cm II sposób E D cm F C 8 cm G Trójkąt E jest podobny do trójkąta DCE w skali k 4 Pole trójkąta DCE jest równe DC cm, więc wysokość EF cm Z podobieństwa rozważanych trójkątów otrzymujemy EG k EF 8cm, zatem wysokość FG trapezu CD jest równa 6 cm Stąd P CD 0 cm obu sposobów Zdający otrzymuje pkt gdy stwierdzi, że trójkąt E jest podobny do trójkąta DCE w skali k 4 Zdający otrzymuje pkt gdy obliczy pole trapezu P CD 0 cm Zadanie (0 4) III Modelowanie matematyczne III etap edukacyjny 77 Równania Zdający za pomocą równań lub układów równań opisuje i rozwiązuje zadania osadzone w kontekście praktycznym 4 z

15 Przykładowe rozwiązanie Zaczynamy od uzgodnienia jednostek: prędkość jest w oznaczenia: s odległość hali od domu, t czas pieszej wędrówki do hali, t 5 czas biegu do hali Na podstawie wzoru s v t otrzymujemy układ równań: s 4t * s 6`t j 5 4t 6`t j 5 t 5 6 h@ 4 Zatem odległość hali od domu Janka s 5 km 800 m km h, więc czas 4 min 5 h Wprowadzamy Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt m Uzgodnienie jednostek, np czas w godz lub prędkość w min i wprowadzenie oznaczeń, np: s odległość hali od domu, t czas pieszej wędrówki do hali, t 5 czas biegu do hali Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt s 4t Zapisanie układu równań, np: * s 6`t j 5 Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zapisanie równania z jedną niewiadomą, np: 4t 6`t j 5 Rozwiązanie pełne 4 pkt 4 Obliczenie odległości między domem Janka a halą: s 5 km 800 m Uwaga Zdający może wprowadzić inne oznaczenia i zapisać równoważny układ równań lub bezpośrednio s zapisać równanie z jedną niewiadomą, np s Zadanie (0 5) IV Użycie i tworzenie strategii 8 Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej Zdający: ) wyznacza równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty (w postaci kierunkowej lub ogólnej) 5) wyznacza współrzędne środka odcinka ) wyznacza równanie prostej, która jest równoległa lub prostopadła do prostej danej w postaci kierunkowej i przechodzi przez dany punkt 4) oblicza współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych 5 z

16 Przykładowe rozwiązania I sposób a) Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej : a 4 oraz współrzędne środka odcinka : S ` + +, j, stąd S `, j Prosta będąca osią symetrii trapezu równoramiennego CD jest prostopadła do i przechodzi przez punkt S, więc y x + b, $ + b, stąd b Oś symetrii trapezu ma postać y x+ b) Punkt O będący środkiem podstawy CD tego trapezu jest punktem przecięcia osi symetrii z podstawą CD Prosta CD jest równoległa do i przechodzi przez punkt C, więc y x+ b, 4 4 b $ +, stąd b Prosta CD jest zatem dana równaniem y x + Współrzędne punktu O obliczymy, rozwiązując układ równań zbudowany z równań prostej CD i osi symetrii trapezu CD: Z ] y x+ [ y x+ ] \ x Rozwiązaniem układu jest para * 5 5, czyli O `, y j jest środkiem podstawy CD Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Obliczenie współczynnika kierunkowego prostej : a lub współrzędnych punktu S `, j środka podstawy Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Wyznaczenie równania osi symetrii trapezu: y x + Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Wykorzystanie warunku równoległości lub prostopadłości do wyznaczenia równania prostej Z y ] x+ zawierającej podstawę CD: y x + i zapisanie układu równań [ y x+ ] \ Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania 4 pkt Rozwiązanie zadania do końca z błędem rachunkowym Rozwiązanie pełne 5 pkt 5 Obliczenie współrzędnych punktu O `, j środka podstawy CD trapezu CD II sposób b) Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej : a 4 Prosta CD jest równoległa 8 do i przechodzi przez punkt C, więc y x+ b, 4 $ 4 + b, stąd b Prosta CD jest więc dana równaniem y x+ 6 z

17 Następnie wyznaczamy współrzędne punktu D Należy on do prostej CD, więc jego współrzędne można zapisać w postaci D `d, d + j Trapez CD jest równoramienny, zatem zapisujemy równanie: D C ^d+ h + ` d+ + 4j ^4 8h + ^4 h Obie strony równania są nieujemne, więc możemy je podnieść do kwadratu: ^d+ h + ` d+ + 4j 5 Stąd po zastosowaniu wzorów skróconego mnożenia i redukcji wyrazów podobnych otrzymujemy: 5 4 d 4 + 0d+ 5 0 ; $ 5 d + 8d + 0 Δ 6, d 6, d Zatem są dwa takie punkty: D ( 6, ) oraz D (, ) Zauważmy (np na podstawie rysunku), że D nie spełnia warunków zadania, gdyż CD jest równoległobokiem Ze wzoru na środek odcinka wyznaczamy: 8 4 S ` + +, j `, j środek podstawy oraz O ` + +, j `, j środek podstawy CD a) Wyznaczamy równanie prostej OS osi symetrii trapezu CD : aos, + b, więc b, czyli równanie prostej OS: y x+ oś symetrii trapezu D D y O C 0 x S Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Obliczenie współczynnika kierunkowego prostej : a i wyznaczenie równania prostej CD: y x+ Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Wykorzystanie własności D C i zapisanie równania z jedną niewiadomą, np w postaci ^d+ h + ` d+ + 4j 5 Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Obliczenie współrzędnych punktów D ( 6, ) oraz D (, ) spełniających warunek D C i odrzucenie rozwiązania D Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania 4 pkt 5 Obliczenie współrzędnych punktu O `, j środka podstawy CD trapezu CD i poprzestanie na tym lub rozwiązanie do końca z błędami rachunkowymi (nawet na wcześniejszych etapach rozwiązania) 7 z

18 Rozwiązanie pełne 5 pkt Wyznaczenie równania osi symetrii trapezu: y x+ Zadanie (0 4) IV Użycie i tworzenie strategii Stereometria Zdający rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąt między odcinkami i płaszczyznami (między krawędziami i ścianami, przekątnymi i ścianami) 6 Trygonometria Zdający: 4) stosuje proste zależności między funkcjami sin a trygonometrycznymi: sin a+ cos a, tg a cos a oraz sin^0 c ah cos a ) wykorzystuje definicje i wyznacza wartości funkcji sinus, cosinus i tangens kątów o miarach od 0 do 80 Przykładowe rozwiązania I sposób a α x a Korzystamy ze wzorów cos(0 a) sina oraz sin a cos a i przekształcamy wyrażenie: cos (0 a) cos a sin a cos a cos x a Ponieważ cosa a, więc obliczamy x: x hpodstawy a Stąd cosa, zatem wartość wyrażenia cos (0 a) cos a cos a Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Wyznaczenie długości odcinka łączącego wierzchołek podstawy ze spodkiem wysokości: a x hpodstawy Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Przekształcenie wyrażenia cos (0 a) cos a do postaci sin a cos a Uwaga Jeśli zdający przekształci wyrażenie do postaci sin a cos a i nie obliczy wartości x, to otrzymuje punkt 8 z

19 Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Wyznaczenie cosa, zastosowanie jedynki trygonometrycznej i zapisanie wyrażenia w postaci cos a lub Wyznaczenie cosa, skorzystanie z jedynki trygonometrycznej i wyznaczenie sin a Rozwiązanie pełne 4 pkt Obliczenie wartości wyrażenia cos (0 a) cos a cos a lub Obliczenie wartości wyrażenia cos (0 a) cos a sin a cos a II sposób a α 0 o H α x a Wprowadzamy oznaczenia (np jak na rysunku) Obliczamy x: x hpodstawy a oraz z twierdzenia Pitagorasa H: c a m + H a, stąd H a 6 Z definicji funkcji x trygonometrycznych mamy: cosa H 6 a, cos(0 a) a Zatem wartość wyrażenia cos (0 a) cos a c 6 m c m Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Wyznaczenie długości odcinka łączącego wierzchołek podstawy ze spodkiem wysokości: a x hpodstawy Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa i obliczenie wysokości czworościanu: H a 6 Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt x Zastosowanie definicji funkcji trygonometrycznych i wyznaczenie: cosa a oraz H 6 cos(0 a) a Rozwiązanie pełne 4 pkt Obliczenie wartości wyrażenia: cos (0 a) cos a c 6 m c m z