I Liceum Ogólnokształcące w Warszawie

Transkrypt

1 I Liceum Ogólnokształcące w Warszawie.. Imię i Nazwisko... Klasa... Liczba uzyskanych punktów PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI... Wynik procentowy... Ocena szkolna POZIOM ROZSZERZONY 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 16 stron (zadania 1 11). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu zespołu nadzorującego egzamin. 2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi wpisuj w miejscu na to przeznaczonym. 3. Pamiętaj, że pominiecie argumentacji lub istotnych obliczeń w rozwiązaniu zadania otwartego może spowodować, że za to rozwiązanie nie będziesz mógł dostać pełnej liczby punktów. Czas pracy: 4. Pisz czytelnie i używaj tylko długopisu lub pióra z czarnym 180 minut tuszem lub atramentem. 5. Nie używaj korektora, a błędne zapisy wyraźnie przekreśl. 6. Pamiętaj, że zapisy w brudnopisie nie będą oceniane. PRZED MATURĄ Listopad Możesz korzystać z zestawu wzorów matematycznych, cyrkla i linijki oraz kalkulatora. 8. Na karcie odpowiedzi wpisz swój numer PESEL i przyklej naklejkę z kodem. Liczba punktów do uzyskania: Nie wpisuj żadnych znaków w części przeznaczonej dla egzaminatora.

2 2 Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony Zadanie 1. (6 pkt) Dana jest funkcja =, gdzie R\4. a) Wyznacz wszystkie punkty należące do wykresu funkcji, których obie współrzędne są liczbami pierwszymi. b) Podaj zbiór tych argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości nieujemne. c) Naszkicuj wykres funkcji, gdzie =. Y X a) 2 = " $ = 2, 3 = = 5, 5 = = 7. Dla 5 < 0 " $ Jedyne punkty spełniając warunek to: 2,2 i 3,5. b) 0 czyli Rozwiązaniem nierówności jest przedział: 2, 4. c) = * + = R\ 2,4 1 2,4 = 1, 2 4, +

3 Zadanie 2. (4 pkt) Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony Ciąg,, gdzie, -, określony jest następująco: 2 = = 3 3, 1 Wyznacz wszystkie wartości k, dla których suma. początkowych wyrazów ciągu (,) jest większa od /0 ". 3 Dany ciąg jest geometryczny o ilorazie 4 = 2 " i 2 = 2. Suma, wyrazów wyraża się wzorem 5 3 = : Otrzymujemy nierówność: 3 2 /0 > ":;7 " " 2 /0 < 3 ostatecznie, > 6. :;7 " = 3 2 " :;7 Odp., 7, 8, 9,

4 4 Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony Zadanie 3. (4 pkt) W trapezie prostokątnym ABC* na rysunku poniżej dane są: A* = 8 DE, *C = 7DE oraz AC = 13 DE. Oblicz: a) miarę kąta ostrego trapezu przy wierzchołku A, b) długość odcinka łączącego środki ramion tego trapezu. E x D 7 C y 8 K 13 L A B Niech H* =x a AH = I mamy wtedy układ równań: (7 + ) + I = 13 + I = 8. Którego rozwiązaniem jest para liczb: = 4 J I = 4 3. Niech BA* = M. Z trójkąta AED mamy: NJ, HA* = 2. Zatem NJ,M = 60. AB + *C FG = 2 = = 18 2 = 9 Odp. FG = 9 i M = 60

5 Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony 5 Zadanie 4. (4 pkt) Wykaż, że jeśli > 1, I > 1 i P > 1, to Q P + Q R P 4 Q R P. Zauważamy, że założeń zadania wynika Q P > 0 Q R P > 0 Q R P > 0 oraz Q U > 0 Q U I > 0. Rozpatrzmy różnicę lewej i prawej strony danej nierówności: Q P + Q R P 4Q R P = 2 VW+ X + 2 VW+ X R VW+ X R = 2 VW+ X + 2 VW+ X R VW+ X VW+ X R. Niech : Q U = Q U I = Y. Po podstawieniu otrzymujemy nierówność: 2 Z + 2 Z Z[ = (Z[)\ Z[(Z[). Każdy z czynników w mianowniku jest dodatni a licznik jest nieujemny zatem (Z[)\ Z[(Z[) 0. Ostatecznie: Q P + Q R P 4Q R P co mieliśmy udowodnić.

6 6 Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony Zadanie 5. (5 pkt) Wyznacz wszystkie wartości, dla których ciąg 1, 2, + 3 ) jest malejącym ciągiem arytmetycznym. Zapiszmy warunki zadania: 2 ^ 1^ = i 2 ^ 1^ < 0 i < 0. Rozwiążmy pierwsze równanie: ^ 1^ = 4. Mamy trzy możliwe przypadki: (, 3 _ ( 3,1) , + ). Których rozwiązaniem jest przedział: 3,1. Z pozostałych warunków wynika: ^ 1^ > 2 i + 3 < 2 czyli (, 1) (3, + ) i ( 5, 1) więc ( 5,1). Część wspólna: 3,1 ( 5,1) = 3, 1) Ostatecznie: b c, d).

7 Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony 7 Zadanie 6. (4 pkt) W czworokącie wypukłym ABC* (zobacz rysunek poniżej) dane są kąty: A*C = ABC = 90 oraz *CB = 135. Wykaż, że ef gh = D C O B A Z ABC : DQN ACB = fh kl a z ABC: NJ, BCj = \ gh = ef fh fh. Pomnóżmy stronami otrzymane równości: NJ, BCj DQN ACB = fh gh ef fh. BCj = ACB = 2"$ a fh gh ef fh = ef gh. otrzymaliśmy równość ef gh czyli ef gh 2"$ 2"$ = 2NJ, DQN 2"$ 2"$ = NJ, DQN, Ostatecznie: ef = NJ,135 = sin( ) = NJ,45 =. gh Udowodniliśmy, że: ef gh =

8 8 Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony Zadanie 7. (5 pkt) Jednym z pierwiastków wielomianu p stopnia trzeciego jest liczba 1, a suma pozostałych dwóch pierwiastków jest równa 0. Do wykresu tego wielomianu należy punkt A3, 1. Wiedząc, że reszta z dzielenia wielomianu p przez dwumian 2) jest równa 2, wyznacz wzór tego wielomianu i uporządkuj go malejąco. Jednym z pierwiastków wielomianu trzeciego stopnia jest liczba 1. Możemy zatem napisać q(b) = (b d)(rb s + tb + u). Pozostałe dwa pierwiastki są pierwiastkami trójmianu + Y + D z wzorów Viet a mamy 2 + = [ Z a ponieważ ich suma jest równa 0 to t = v. Do wykresu należy punkt A(3, 1) zatem (c d)(wr + ct + u) = d. Reszta z dzielenia p() przez ( 2) jest równa 2, czyli (s d)(xr + st + u) = s t = v Otrzymujemy układ równań: 1s(wr + ct + u) = d xr + st + u s Którego rozwiązaniem jest: = 2 Y = 0 D = 4. Ostatecznie: q(b) = d s bc d s bs xb + x

9 Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony 9

10 10 Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony Zadanie 8. (4 pkt) Wyznacz wszystkie wartości parametru y (y z), dla których równanie 3DQN = (y + 1) DQN ma w przedziale 6 " {, 9 tylko trzy różne rozwiązania, z których dwa są ujemne, a jedno dodatnie. Równanie 3DQN = (y + 1) DQN możemy zastąpić alternatywą równań: 3DQN = (y + 1) DQN = 0 DQN = y DQN = 0 Rozwiązaniem równania DQN = 0 w danym przedziale jest =, który jest ujemny. Aby pozostałe dwa rozwiązania spełniały warunki zadania musi być spełniona nierówność: 0 < ~ 2 " < 1. Stąd 1 < y < 2. Odp: d < y < 2

11 Zadanie 9. (4 pkt) Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony 11 Ze zbioru liczb 0, 1, 1, 3, 3, 5, 5,, 2, + 1, 2, 1, gdzie, jest ustaloną liczbą naturalną, większą od 4, losujemy jednocześnie trzy liczby. Niech A oznacza zdarzenie: suma wylosowanych liczb nie ulegnie zmianie, jeżeli w wylosowanych liczbach zmienimy 2 znaki na przeciwne. Wiedząc, że (A) =, oblicz,. 2"" Aby zdarzenie A = 2,, " spełniało warunki zadania muszą być spełnione dwie równości: 2 = " = 0. Zdarzenie 2 polega na wylosowaniu jednej liczby z + d danych liczb ze zbioru 1,3,,2, + 1. Liczbę " i liczbę mamy narzucone czyli mamy tylko jeden sposób wyboru. A =, + 1 a Ω = 6 2n Z klasycznej definicji prawdopodobieństwa: (A) = 9 = ( ") ( ) ( 2)., = (2n + 3) (2n + 2) (2n + 1) (2n + 3) (2n + 1) 2 3 " Otrzymujemy równanie (2n + 3) (2n + 1) = n + 8n 396 = 0 n + 2n 99 = 0 = = 400 = 20 " = 1 ( ") ( 2) 133 n = 11 n = 9 Odp: = w

12 12 Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony Zadanie 10. (6 pkt) W trójkącie ABC, w którym A = 2, 2 oraz B = 4, 4, kąt przy wierzchołku B jest rozwarty. Bok AC zawiera sie w prostej.: 3I 4 = 0. Środek okręgu opisanego na trójkącie ABC znajduje się w odległości 10 od boku AC. Wyznacz równanie tego okręgu. B A O C Prosta AC ma równanie: 3I 4 = 0. Niech środek j okręgu opisanego na trójkącie ma współrzędne: j = (, Y). Aj = Bj oraz odległość j =, Y od prostej AC jest równa 10. Otrzymujemy układ: Y + 2 = 4 + Y 4 Z"[ = 10 2 \ " \ Po przekształceniach i rozpisaniu wartości bezwzględnej mamy: + Y 2 = 0 3Y 14 = 0 Czyli + Y 2 = 0 3Y + 6 = 0 = 5 Y = 3 = 0 Y = 2 Ponieważ kąt przy wierzchołku B jest rozwarty to warunek ten spełnia punkt j = (5, 3) bo punkty j i B muszą leżeć po przeciwnych stronach prostej AC. Dla punku B = (4,4) mamy: = 12 < 0, Dla punku j 2 = (5, 3) mamy: 5 3 ( 3) 4 = 10 > 0, Dla punku j = (0,2) mamy: = 10 < 0 Obliczmy kwadrat promienia: ˆ = (5 + 2) 2 + ( 3 + 2) 2 = = 50. Ostatecznie: (b ) s + (Š + c) s = v

13 Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony 13

14 14 Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony Zadanie 11. (4 pkt) Podstawą ostrosłupa jest romb, którego pole wynosi 800 DE, a kąt ostry rombu ma miarę 30. Wysokość ostrosłupa jest równa 24 DE, a spodek tej wysokości jest środkiem okręgu wpisanego w podstawę. Oblicz: a) promień tego okręgu, b) pole powierzchni bocznej ostrosłupa. S D O K r C A B Pole rombu możemy obliczyć ze wzoru: = AB NJ, BA*. Otrzymujemy równanie: AB 2 = 800 czyli AB = 40. Ponieważ wysokość rombu jest równa średnicy okręgu wpisanego w ten romb to mamy: = AB 2ˆ gdzie ˆ jest promieniem okręgu wpisanego w romb. Stąd = dv. Z jf5 mamy 5F = = 676 = 26 Pole jednej ściany jest równe: Œ = = 520. Pole powierzchni bocznej t = = svžv.

15 Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony 15 BRUDNOPIS

16 16 Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony BRUDNOPIS Materiały z matury próbnej wydawnictwa Pazdro z kwietnia 2012 roku.