Podstawy działań na wektorach - dodawanie

Transkrypt

1 Podstawy działań na wektorach - dodawanie Metody dodawania wektorów można podzielić na graficzne i analityczne (rachunkowe). 1. Graficzne (rysunkowe) dodawanie dwóch wektorów. Założenia: dane są dwa wektory i o znanych kierunkach, zwrotach i wartościach (nie są znane współrzędne obu wektorów). Tym samym jest określony kąt jaki tworzą ich kierunki - niech mniejszy z kątów pomiędzy nimi wynosi ( ). kierunki obu wektorów nie są do siebie równoległe ( ). Szukany jest wektor: Metoda równoległoboku Na wektorach i (łącząc ich początki) należy zbudować równoległobok. Wektor będący sumą wektorów i leży na przekątnej równoległoboku wychodzącego z wierzchołka, gdzie wektory i zostały połączone. Koniec (grot) utworzonego wektora znajduje się w nowoutworzonym wierzchołku równoległoboku. Jeżeli jest dana skala rysunku, to wartość wektora tego wektora przez daną skalę rysunku. można obliczyć, mnożąc zmierzoną linijką długość Metoda wieloboku sznurowego Do końca dowolnego z rozpatrywanych wektorów (dodawanie wektorów jest przemienne!), na przykład wektora doczepiamy początek wektora (zachowując kierunki, wartości i zwroty obu wektorów wyjściowych!). Aby otrzymać wektor ( ) należy połączyć początek pierwszego z wektorów ( ) z końcem wektora. Zwrot (grot) tak otrzymanego wektor znajduje się przy grocie ostatniego z "doklejonych" wektorów, w tym przypadku wektora. Podstawy działań na wektorach - dodawanie wektorów Strona 1

2 Uwaga: a. Metodą równoległoboku nie można dodawać wektorów równoległych do siebie. b. jeżeli dodajemy więcej niż dwa wektory, to do końca pierwszego (dowolnie wybranego) wektora doczepiamy początek kolejnego z wektorów, do końca tego wektora doczepiamy początek trzeciego itd.. Zawsze należy zachować kierunki, wartości (długości) i zwroty przenoszonych wektorów! Po zbudowaniu wieloboku sznurowego ( łamanej ), tzn. połączeniu w wyżej opisany sposób wszystkich dodawanych wektorów, należy połączyć strzałką (wektorem) początek rysunku (początek pierwszego z rysowanych wektorów) z końcem ostatniego z dodawanych wektorów. Zwrot (grot) tak otrzymanego wektora znajduje się przy grocie ostatniego z rysowanych wektorów. Metoda ta jest szczególnie użyteczna, jeżeli dodajemy (lub odejmujemy!) więcej niż dwa wektory o dowolnych kierunkach i zwrotach. Przykład dla trzech wektorów. W każdym z trzech pokazanych na rysunku przypadkach, kolejność dodawania wektorów była inna, ale każdy z otrzymanych wektorów, będący sumą wektorów wyjściowych ma (na każdym z rysunków) taką samą długość, kierunek i zwrot. Wynika stąd, że dodawanie wektorów jest przemienne! c. Metodę równoległoboku można wykorzystać przy znajdowaniu składowych wektora o zadanej wartości, kierunku i zwrocie, jeżeli znane są kierunki tych składowych. Niech dany będzie wektor oraz kierunki i, na których szukane są składowe tego wektora (rys. 1), tzn. takie wektory i, że zachodzi: rys. 1 rys. 2 Jeżeli wykreślony zostanie równoległobok, którego przekątną jest wektor (kierunki boków wyznaczają półproste i ), to wyznaczone boki równoległoboku (wychodzące z początku wektora ) zawierają szukane wektory składowe i. Mierząc długości obu wektorów i znając skalę rysunku, można wyznaczyć wartość obu składowych. Na rysunku nr 2 widać wyraźnie, że wartość składowej jest większa niż wartość wektora wyjściowego! (nie jest to regułą!). Podstawy działań na wektorach - dodawanie wektorów Strona 2

3 2. Analityczne (rachunkowe) dodawanie dwóch wektorów. Założenie: dane są dwa wektory i o dowolnych znanych kierunkach, zwrotach i wartościach (nie są znane współrzędne obu wektorów). Tym samym jest określony kąt jaki tworzą ich kierunki - niech mniejszy z kątów pomiędzy nimi wynosi ( ) Szukaną wartość wektora można znaleźć z zależności: [1] Uwaga: a. z wzoru [1] można obliczyć wartość wektora, natomiast nie wynika z niego zwrot, kierunek i punkt przyłożenia tego wektora. b. Konieczna jest znajomość wartości funkcji cosinus dla danego kąta. Przykłady dla szczególnych przypadków: (cos0 = 1) wektory mają taki sam kierunek i zwrot Z [1]: z wzoru skróconego mnożenia Wniosek: wartość sumy dwóch wektorów o takich samych kierunkach i zwrotach jest równa sumie wartości obu wektorów. Metodą graficzną: (cos180 = 1) wektory mają taki sam kierunek i przeciwny zwrot Z [1]: z wzoru skróconego mnożenia Wniosek: wartość sumy dwóch wektorów o takich samych kierunkach i przeciwnych zwrotach jest równa wartości bezwzględnej z różnicy wartości obu wektorów składowych. Metodą graficzną: Podstawy działań na wektorach - dodawanie wektorów Strona 3

4 (cos90 = 0) wektory mają kierunki wzajemnie prostopadłe Z [1]: Wniosek: wartość sumy dwóch wektorów o kierunkach wzajemnie prostopadłych jest równa pierwiastkowi kwadratowemu z sumy kwadratów wartości obu wektorów (jak długość przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym - co wynika z twierdzenia Pitagorasa). Metodą graficzną: lub metoda wieloboku sznurowego metoda równoległoboku Założenie: 3. Analityczne (rachunkowe) dodawanie wektorów o znanych współrzędnych. danych jest dwuwymiarowych wektorów o znanych współrzędnych Problem: jak obliczyć wartość wektora będącego sumą wektorów? Aby wyznaczyć wartość wektora wystarczy wyznaczyć wartości jego współrzędnych i, po czym skorzystać z zależności: jest sumą odpowiednich współrzędnych wektorów skła- Można wykazać, że każda ze współrzędnych wektora dowych, tzn.: [2a] [2b] Uwaga: analogicznie postępuje się w przypadku wektora trójwymiarowego: [2c] Podstawy działań na wektorach - dodawanie wektorów Strona 4

5 Przykład. W dwuwymiarowym układzie współrzędnych dane są cztery wektory: X -5 a. Oblicz współrzędne każdego z wektorów. b. Zapisz każdy z wektorów wykorzystując wersory osi. c. Oblicz długość (wartość) każdego z wektorów. Podstawy działań na wektorach - dodawanie wektorów Strona 5

6 d. Oblicz analitycznie współrzędne wektora będącego sumą tych wektorów. e. Oblicz analitycznie wartość wektora. f. Oblicz graficznie wartość sumy tych wektorów (metoda wieloboku sznurowego). Ponieważ przesunięcie równoległe nie zmienia wartości współrzędnych wektora, to graficzne "sklejanie" wektorów metodą wieloboku sznurowego można zacząć od dowolnego punktu na układzie współrzędnych. Na przykład od punktu. Dodatkowo dodawanie wektorów jest przemienne, tzn. można je dodawać w dowolnej kolejności. Na przykład: X -5 Zgodnie z zasadą wieloboku sznurowego, przesuwamy równolegle do wybranego punktu (w tym przypadku o współrzędnych ) początek pierwszego z wybranych wektorów (tzn. ). Do grotu tego wektora doczepiamy początek kolejnego z dodawanych wektorów przesuwając go równolegle (tzn. ). Do grotu wektora doczepiamy (po równoległym przesunięciu) początek następnego z dodawanych wektorów, tzn.. Ostatnim z dodawanych wektorów jest wektor. Tak jak poprzednio przesuwamy go równolegle, tak by jego początek znalazł się przy grocie poprzednio dodanego wektora (tzn. ). Na koniec łączymy punkt startowy, tzn. z grotem ostatniego z dodawanych wektorów (tzn. ), jest to poszukiwany wektor. Grot tak otrzymanego wektora znajduje się zawsze przy grocie ostatniego z dodawanych wektorów. W rozpatrywanym przypadku jest to punkt o współrzędnych. Wartość wektora można odczytać mierząc jego długość linijką i przeliczając według długości jednostki miary na osi. W tym przypadku jego długość wynosi, natomiast skala rysunku:. Stąd: Długość wektora także obliczyć jako długość odcinka łączącego punkt startowy z punktem końcowym. Jak widać z rysunku, współrzędne poszukiwanego wektora mają takie same wartości, jak otrzymane metodą analityczną: Podstawy działań na wektorach - dodawanie wektorów Strona 6

7 Uwagi i wnioski: a. Metody graficzne są użyteczne przy dodawaniu więcej niż dwóch wektorów, jeżeli znamy kierunki, zwroty i wartości wektorów dodawanych, natomiast nie znamy wartości ich składowych (w wybranym układzie odniesienia). b. Wynik otrzymany metodami graficznymi jest zazwyczaj przybliżony, z uwagi na niedokładności związane z rysowaniem wektorów wyjściowych i ich przesuwaniem równoległym. c. Metodę równoległoboku można stosować do znajdowania sumy wektorów, które na żadnym etapie konstrukcji nie mają kierunków równoległych. d. Metoda równoległoboku jest użyteczna przy znajdowaniu składowych wektora na zadanych kierunkach (nierównoległych). e. Ogólną metodą znajdowania sumy dowolnych wektorów jest metoda równoległoboku sznurowego. Jeżeli punkt końcowy konstrukcji jest tożsamy z punktem początkowym, to wartość sumy tych wektorów wynosi zero. Grot wektora wypadkowego jest położony zawsze przy grocie ostatniego z dodawanych wektorów. f. Wartość wektora o znanych składowych jest równa pierwiastkowi kwadratowemu z sumy kwadratów jego składowych. g. Dodawanie wektorów (tak jak i skalarów) jest przemienne. h. Jeżeli dodajemy wektory o znanych składowych, to każda ze składowych wektora wypadkowego jest równa sumie odpowiednich składowych wektorów wyjściowych. Podstawy działań na wektorach - dodawanie wektorów Strona 7