Z czterech wierzchołków w głąb geometrii

Transkrypt

1 Paweł Walczak Uniwersytet Łódzki 7 października 2009

2 Ogólny problem Problem Dla danej wielkości (funkcji, pola wektorowego, pola tensorowego) i danego niezmiennika geometrycznego (krzywizny pewnego typu, skręcenia itd.) znaleźć obiekt geometryczny (krzywą, powierzchnię, foliację itd.), dla którego niezmiennik ten pokrywa się z tą wielkością.

3 Krzywe płaskie Krzywe płaskie (1) Ciągły obraz odcinka lub okręgu na płaszczyźnie to krzywa płaska. Obraz okręgu to krzywa zamknięta.

4 Krzywe płaskie Krzywe płaskie (2) Krzywa zamknięta bez samoprzecięć to krzywa zwyczajna (lub krzywa Jordana).

5 Krzywe płaskie Okrąg ściśle styczny, krzywizna Pośród okręgów stycznych do krzywej w danym punkcie jest jeden (tu: czerwony), którego styczność z krzywą jest najlepsza. Nazywa się go ściśle stycznym, a odwrotność jego promienia R (czasem opatrzoną znakiem) nazywa się krzywizną krzywej w tym punkcie: κ = 1/R.

6 Funkcje i ich punkty krytyczne Punkty lokalnego maksimum, lokalnego minimum i punkty przegięcia funkcji f : (a, b) R nazywamy punktami krytycznymi. Takie punkty x 0 można scharakteryzować równością f (x 0 ) = 0 (patrz: Analiza matematyczna 1). Twierdzenie Każda funkcja ciągła na okręgu ma conajmniej dwa punkty krytyczne.

7 Twierdzenie o czterech wierzchołkach Definicja Punkty krytyczne funkcji krzywizny κ nazywamy wierzchołkami krzywej płaskiej. Twierdzenie (S. Mukhopadhyaya, Bull. Calcutta Math. Soc., 1909) Każda płaska krzywa zwyczajna posiada conajmniej cztery (sic!) wierzchołki.

8 Koło minimalne (1) Lemat Każdy ograniczony zbiór płaski A zawiera się w jedynym kole o najmniejszym promieniu. Dowód. (1) Istnienie. Niech R oznacza kres dolny zbioru promieni wszystkich kół zawierających A. Istnieje ciąg kół K(p n, r n ) o środkach p n p i promieniach r n R zawierających A. Koło K(p, R) zawiera A. (2) Jednoznaczność. Przecięcie dwóch kół K 1 i K 2 o jednakowych promieniach R jest zawarte w kole K o promieniu r < R. (rysunek poniżej).

9 Koło minimalne (2)

10 Dowód twierdzenia (1) Dowód twierdzenia. Jeśli krzywa Γ jest zawarta w kole minimalnym K o promieniu R, to ma z brzegiem C tego koła przynajmniej dwa punkty wspólne (rysunek).

11 Dowód twierdzenia (2) W punktach tych krzywizna κ 1/R. Punkty te dzielą krzywa Γ na dwa łuki Γ 1 i Γ 2. Na każdym z nich krzywizna κ osiąga minimum 1/R (w przeciwnym razie Γ nie byłaby krzywą Jordana (!)). Punkty minimum dzielą krzywą Γ na dwa nowe łuki Γ 1 i Γ 2. Na każdym z nich funkcja κ osiaga maksimum: te dwa maksima oraz znalezione poprzednio minima dostarczają czterech wierzchołków.

12 Twierdzenie odwrotne W roku 2005 opublikowano (Proc. Amer. Mat. Soc., tom 133, str ) następuja ce twierdzenie Björna Dahlberga ( 1998): Twierdzenie Każda funkcja f : C R na okręgu C posiadająca cztery punkty krytyczne (dwa minima i dwa maksima lokalne położone na przemian) jest funkcją krzywizny pewnej płaskiej krzywej Jordana.

13 Foliacje Definicja Foliacją k-wymiarową n-wymiarowej rozmaitości M nazywamy rodzinę F k-wymiarowych podrozmaitości L (zwanych liśćmi) ułożonych lokalnie jak na poniższym rysunku.

14 Foliacje - c.d Definicja Jeżeli n k = 1 (foliacja F ma tzw. kowymiar równy 1) i D jest obszarem na M nasyconym, tj. będącym sumą (mnogościową) pewnej rodziny liści, to D nazywamy dodatnim, odp. ujemnym, gdy istnieje pole wektorowe X na D prostopadłe do F skierowane do wewnątrz (odp., na zewnątrz) D we wszystkich punktach brzegu D obszaru D. Końcowym efektem kilkunastu lat ( ) badań zainicjowanych przez P.W. jest twierdzenie następujące (G. Oshikiri, A characterization of mean curvature functions of codimension-one foliations, Tohoku Math. J., 49 (1997), ):

15 Twierdzenie Niech F będzie foliacją kowymiaru 1 na zwartej rozmaitości M, f : M R. Równoważne są następujące warunki (1) i (2): (1) istnieje na M struktura riemannowska g, dla której funkcja f pokrywa się ze średnią krzywizną liści foliacji F, (2.1) f 0 lub istnieją na M takie punkty x i y, że f (x)f (y) < 0 oraz (2.2) dla dowolnego obszaru dodatniego D istnieje punkt z D taki, że f (z) > 0. Podstawowymi narzędziami w dowodzie są: twierdzenie Stokesa i twierdzenie Hahna-Banacha!!! Podobny wynik dla foliacji kowymiaru > 1 można znaleźć w pracy P. Schweitzer, P.W., Prescribing mean curvature vectors for foliations, Illinois J. Math., 48 (2004),

16 Otwarty problem Przypomnijmy, że (Kneser, 1923) jednowymiarowe foliacje płaskiego pierścienia kołowego A składają się z elementów następujących trzech rodzajów:

17 Otwarty problem - c.d. Problem Dla każdego z powyższych typów foliacji pierścienia A, scharakteryzować te funkcje f : A R, które są funkcjmi krzywizny liści pewnej foliacji tego typu.

18 Zakończenie Powodzenia! Viel Glück! Good luck! Bonne chance!