Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 5: Krzywe i ich krzywizna
|
|
- Wacław Kwiatkowski
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 5: Krzywe i ich krzywizna P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl Instytut Matematyki, Uniwersytet Warszawski MISH UW, semestr zimowy P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Krzywe i krzywizna / 26
2 W stronę geometrii. Cele na 2-3 spotkania: 1 Porozmawiać o krzywych, powierzchniach i ich uogólnieniach; 2 Dowiedzieć się, co to krzywizna, 3 Zobaczyć kilka starych i nowych twierdzeń o krzywych i powierzchniach; 4 Nieco później: dowiedzieć się, co to jest rachunek wariacyjny. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Krzywe i krzywizna / 26
3 Dwa cytaty na początek: The greatest mathematicians, as Archimedes, Newton, and Gauss, always united theory and applications in equal measure. Everyone knows what a curve is, until he has studied enough mathematics to become confused through the countless number of possible exceptions. Felix Klein, P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Krzywe i krzywizna / 26
4 Dygresja: Felix Klein i jego wkład w geometrię 1872 (w wieku 23 lat!) profesura w Erlangen; wielki wpływ na rozwój geometrii; tzw. program erlangeński: są różne geometrie; każda z nich bada tylko te własności figur, które są zachowane przez przekształcenia, należące do ustalonej grupy przekształceń (danej) przestrzeni. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Krzywe i krzywizna / 26
5 Co to jest grupa? Co Klein miał na myśli? Zbiór G z wyróżnionym działaniem, które spełnia trzy warunki: 1 istnienie jedynki : istnieje takie e G, że e x = x e = x dla każdego x G; 2 łączność mnożenia : (x y) z = x (y z) dla x, y, z G; 3 istnienie elementu odwrotnego: dla każdego x G istnieje dokładnie jeden element x 1 G taki, że x x 1 = x 1 x = e. Przykłady grup: 1 R \ {0} z mnożeniem; Z = {0, ±1, ±2,...} z dodawaniem; 2 zbiór izometrii płaszczyzny; = składanie przekształceń; 3 zbiór wszystkich obrotów w przestrzeni, działanie jw. Izometrie zachowują wszystkie odległości, ale można badać np. przekształcenia zachowujące kąty, itp., itd. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Krzywe i krzywizna / 26
6 Kluczowe pojęcia współczesnej geometrii Rozmaitość P. Strzelecki (IM) Rzut oka Krzywe i krzywizna / 26
7 Kluczowe pojęcia współczesnej geometrii Rozmaitość Krzywizna P. Strzelecki (IM) Rzut oka Krzywe i krzywizna / 26
8 Kluczowe pojęcia współczesnej geometrii Rozmaitość np. okrąg, sfera, torus, zbiór wszystkich obrotów przestrzeni trójwymiarowej, zbiór wszystkich położeń litery F w przestrzeni,... w ogólności: wszystko, co w małej skali wygląda w każdym miejscu (z grubsza) tak, jak fragment przestrzeni euklidesowej, ale może jest jakoś zakrzywione, posklejane itp. Krzywizna P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Krzywe i krzywizna / 26
9 Kluczowe pojęcia współczesnej geometrii Rozmaitość np. okrąg, sfera, torus, zbiór wszystkich obrotów przestrzeni trójwymiarowej, zbiór wszystkich położeń litery F w przestrzeni,... w ogólności: wszystko, co w małej skali wygląda w każdym miejscu (z grubsza) tak, jak fragment przestrzeni euklidesowej, ale może jest jakoś zakrzywione, posklejane itp. Krzywizna sposób pomiaru zakrzywienia, określający lokalne i globalne cechy rozmaitości, m.in. to, na ile odbiega ona od jakiegoś symetrycznego, eleganckiego modelu. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Krzywe i krzywizna / 26
10 Przykłady rozmaitości cd. 1 rozmaitości jednowymiarowe: krzywe gładkie, bez dziobków, zagięć, załamań i samoprzecięć np. okrąg i prosta 2 rozmaitości dwuwymiarowe: sfera, torus, precel, butelka Kleina, wstęga Möbiusa; ogólnie: wszelkie powierzchnie gładkie, bez ostrych szpiców, zagięć, kantów etc. 3 rozmaitości trójwymiarowe, np. sfera S 3 jest zbiorem tych punktów (x, y, z, t) przestrzeni czterowymiarowej R 4, które spełniają x 2 + y 2 + z 2 + t 2 = itd. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Krzywe i krzywizna / 26
11 Przykład: torus i jego zanurzenia w R 3 Różne homeomorficzne obrazy torusa. Torus to powierzchnia rodzaju 1. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Krzywe i krzywizna / 26
12 Powierzchnia rodzaju 2: precel P. Strzelecki (IM) Rzut oka Krzywe i krzywizna / 26
13 Klasyfikacja powierzchni dwustronnych, zwartych, bez brzegu (XIX wiek) Dla każdej liczby n powierzchnia rodzaju n powstaje ze sfery przez doklejenie dwóch rączek. Innych powierzchni zwartych, bez brzegu, dwustronnych, nie ma. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Krzywe i krzywizna / 26
14 Przykład powierzchni jednostronnej: wstęga Moebiusa (M.C. Escher, Moebius band II, 1963 rok) P. Strzelecki (IM) Rzut oka Krzywe i krzywizna / 26
15 Przestroga: definicje to poważna rzecz Mówienie językiem potocznym o matematyce bywa niebezpieczne. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Krzywe i krzywizna / 26
16 Przestroga: definicje to poważna rzecz Mówienie językiem potocznym o matematyce bywa niebezpieczne. Przykład. Liczb naturalnych jest nieskończenie wiele. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Krzywe i krzywizna / 26
17 Przestroga: definicje to poważna rzecz Mówienie językiem potocznym o matematyce bywa niebezpieczne. Przykład. Liczb naturalnych jest nieskończenie wiele. Zatem, są wśród nich tak duże, że nie zdołam ich zdefiniować, choćbym pokazywał slajdy do wieczora, prawda? P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Krzywe i krzywizna / 26
18 Przestroga: definicje to poważna rzecz Mówienie językiem potocznym o matematyce bywa niebezpieczne. Przykład. Liczb naturalnych jest nieskończenie wiele. Zatem, są wśród nich tak duże, że nie zdołam ich zdefiniować, choćbym pokazywał slajdy do wieczora, prawda? A wśród tych liczb, których nie zdołam zdefiniować, choćbym pokazywał slajdy przez cały wykład, jest najmniejsza. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Krzywe i krzywizna / 26
19 Przestroga: definicje to poważna rzecz Mówienie językiem potocznym o matematyce bywa niebezpieczne. Przykład. Liczb naturalnych jest nieskończenie wiele. Zatem, są wśród nich tak duże, że nie zdołam ich zdefiniować, choćbym pokazywał slajdy do wieczora, prawda? A wśród tych liczb, których nie zdołam zdefiniować, choćbym pokazywał slajdy przez cały wykład, jest najmniejsza. I właśnie ją zdefiniowałem na jednym slajdzie! (Wyjaśnienie: trzeba odróżniać badany język od metajęzyka, w którym prowadzi się badania). P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Krzywe i krzywizna / 26
20 Co to jest krzywa? Generalne stanowisko matematyków prawie do końca XIX w.: koń jaki jest, każdy widzi Nieco poważniej: ciągły obraz odcinka Kłopot: to nie jest definicja tego, co chcemy. P. Strzelecki (IM) Rzut oka Krzywe i krzywizna / 26
21 Co to jest krzywa? Generalne stanowisko matematyków prawie do końca XIX w.: koń jaki jest, każdy widzi Nieco poważniej: ciągły obraz odcinka Kłopot: to nie jest definicja tego, co chcemy.definicja z poprzedniego punktu obejmuje, jak się okazuje, np. kwadrat, a także różne zbiory o fraktalnym kształcie. 1890: Giuseppe Peano konstruuje przykład funkcji ciągłej, przeprowadzającej odcinek [0, 1] na cały kwadrat. Krzywymi, tzn. ciągłymi obrazami odcinka, są też dywan Sierpińskiego i gąbka Mengera. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Krzywe i krzywizna / 26
22 Krzywa typu Peano: kilka stadiów konstrukcji Trzy początkowe kroki konstrukcji krzywej wypełniającej kwadrat. U góry: kopie wyjściowej łamanej. U dołu: to samo, z dodanymi połączeniami. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Krzywe i krzywizna / 26
23 Dywan Sierpińskiego (1916) Krzywa, dla której każdy punkt jest punktem rozgałęzienia; zbiór o ułamkowym wymiarze; Każda krzywa płaska wymiaru 1 jest homeomorficzna z jakimś podzbiorem dywanu. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Krzywe i krzywizna / 26
24 Dywan Sierpińskiego: kilka własności Dywan ma pole zero. Istotnie, pole usuniętych kwadratów: = 1 ) ( = = Dywan ma ułamkowy wymiar Hausdorffa. Jeśli chcemy przykryć dywan kwadratami mniejszymi trzykrotnie od ustalonych, to ich liczba rośnie 8 razy. Wymiar d to taka liczba, że 3 d = 8, stąd d = log 8/ log 3 1,89. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Krzywe i krzywizna / 26
25 Gąbka Mengera (1926) Nieskończone pole powierzchni; zerowa objętość; Wymiar ln 20 2,72; ln 3 Każdy punkt jest punktem rozgałęzienia P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Krzywe i krzywizna / 26
26 Może zatem inna definicja krzywej...? Na przykład: Krzywa to ciągły i różnowartościowy obraz odcinka. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Krzywe i krzywizna / 26
27 Może zatem inna definicja krzywej...? Na przykład: Krzywa to ciągły i różnowartościowy obraz odcinka. To wykluczy krzywą Peano, dywan i gąbkę. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Krzywe i krzywizna / 26
28 Może zatem inna definicja krzywej...? Na przykład: Krzywa to ciągły i różnowartościowy obraz odcinka. To wykluczy krzywą Peano, dywan i gąbkę.... Ale kilka innych patologii nadal zostanie: krzywe o dodatnim polu powierzchni (William Osgood, 1903) P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Krzywe i krzywizna / 26
29 Może zatem inna definicja krzywej...? Na przykład: Krzywa to ciągły i różnowartościowy obraz odcinka. To wykluczy krzywą Peano, dywan i gąbkę.... Ale kilka innych patologii nadal zostanie: krzywe o dodatnim polu powierzchni (William Osgood, 1903) albo tzw. nitka do pomiaru objętości. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Krzywe i krzywizna / 26
30 Może zatem inna definicja krzywej...? Na przykład: Krzywa to ciągły i różnowartościowy obraz odcinka. To wykluczy krzywą Peano, dywan i gąbkę.... Ale kilka innych patologii nadal zostanie: krzywe o dodatnim polu powierzchni (William Osgood, 1903) albo tzw. nitka do pomiaru objętości. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Krzywe i krzywizna / 26
31 Krzywe bez samoprzecięć, o dodatnim polu Konstrukcja krzywej Osgooda Knoppa (przybliżenia o numerach n = 1, 2, 3, 5, 7, 13). Jest to krzywa bez samoprzecięć, ale o dodatnim polu. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Krzywe i krzywizna / 26
32 Co to jest krzywa, 2. Dla bezpieczeństwa i wygody: odtąd słowo krzywa będzie oznaczać krzywą gładką być może ze skończoną liczbą samoprzecięć zamkniętą lub z końcami. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Krzywe i krzywizna / 26
33 Krzywizna krzywych płaskich i przestrzennych Krzywizna okręgu o promieniu R jest równa 1/R. Krzywizna każdej innej krzywej płaskiej w punkcie p to odwrotność promienia tego okręgu, który jest styczny do krzywej w p; najlepiej ze wszystkich okręgów przybliża krzywą w pobliżu p. Równoważnie: bierzemy w pobliżu p dwa inne punkty q, s na krzywej; opisujemy na trójkącie p, q, s okrąg o promieniu R(p, q, s); znajdujemy granicę wielkości 1/R(p, q, s) dla q, s p. Ta definicja jest dobra także w przestrzeni trójwymiarowej. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Krzywe i krzywizna / 26
34 Skręcenie krzywej przestrzennej Płaszczyzna ściśle styczna do krzywej (przestrzennej w punkcie p: ta płaszczyzna, która najlepiej przylega do krzywej w punkcie p. Tę płaszczyznę wyznaczają wektory prędkości i przyspieszenia (gdy poruszamy się wzdłuż krzywej ze stałą szybkością) Torsja (skręcenie): tempo, w jakim krzywa odgina się od swojej płaszczyzny ściśle stycznej. Proste twierdzenie. Jedyną krzywą płaską o stałej krzywiźnie jest okrąg. Jedyną krzywą przestrzenną o stałej krzywiźnie i stałym skręceniu jest linia śrubowa. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Krzywe i krzywizna / 26
35 Twierdzenia znane i mniej znane. Twierdzenie. Skręcenie i krzywizna wyznaczają krzywą przestrzenną z dokładnością do izometrii (a nawet: ruchu sztywnego). Pytanie: Ile jest krzywych przestrzennych o stałej krzywiźnie? Zaskakująco dużo! Twierdzenie (2007). Każdy węzeł ma model, który jest krzywą o stałej krzywiźnie. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Krzywe i krzywizna / 26
36 Twierdzenia znane i mniej znane. Twierdzenie. Skręcenie i krzywizna wyznaczają krzywą przestrzenną z dokładnością do izometrii (a nawet: ruchu sztywnego). Pytanie: Ile jest krzywych przestrzennych o stałej krzywiźnie? Zaskakująco dużo! Twierdzenie (2007). Każdy węzeł ma model, który jest krzywą o stałej krzywiźnie. Taki model można zrobić z łuków okręgów i linii śrubowych. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Krzywe i krzywizna / 26
37 Fragment przygód Gullivera oczami matematyka P. Strzelecki (IM) Rzut oka Krzywe i krzywizna / 26
38 Fragment przygód Gullivera oczami matematyka Twierdzenie (Kneser, Blaschke, ok. 1912). Każde jajko ma cztery rogi. Terminologia: rogi to lokalne maksima lub lokalne minima krzywizny. Jajko to gładka krzywa wypukła taka, która jest brzegiem zbioru wypukłego na płaszczyźnie. Założenie wypukłości można opuścić. Trzeba wtedy mówić o krzywiźnie ze znakiem. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Krzywe i krzywizna / 26
39 Liczba rogów jajka cd. Załóżmy, że α jest zamkniętą krzywą gładką na płaszczyźnie, a okrąg γ brzegiem najmniejszego koła zawierającego α. Inaczej: γ to okrąg opisany na α. Twierdzenie (Robert Osserman, 1985). Jeśli część wspólna α γ krzywej α i okręgu γ opisanego na niej ma co najmniej n składowych, to α ma co najmniej 2n rogów. Twierdzenie (B. Dahlberg, 1997). Każda funkcja ciągła na okręgu, która ma co najmniej dwa lokalne maksima i dwa lokalne minima, jest krzywizną pewnej płaskiej krzywej zamkniętej. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Krzywe i krzywizna / 26
40 Twierdzenie Farý ego Milnora (1951) Jeśli C[γ] = γ to γ nie jest zawęźlona. κ 4π, Uwaga: Dla łamanej C[γ] = suma kątów dopisanych. 4π jest optymalne: dla każdego ε > 0 i n N istnieje krzywa γ taka, że C[γ] < 4π + ε (np. węzeł torusowy o n skrzyżowaniach). P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Krzywe i krzywizna / 26
Z czterech wierzchołków w głąb geometrii
Paweł Walczak Uniwersytet Łódzki 7 października 2009 Ogólny problem Problem Dla danej wielkości (funkcji, pola wektorowego, pola tensorowego) i danego niezmiennika geometrycznego (krzywizny pewnego typu,
Bardziej szczegółowoPLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1
PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 Planimetria to dział geometrii, w którym przedmiotem badań są własności figur geometrycznych leżących na płaszczyźnie (patrz określenie płaszczyzny). Pojęcia
Bardziej szczegółowoGrupa klas odwzorowań powierzchni
Grupa klas odwzorowań powierzchni Błażej Szepietowski Uniwersytet Gdański Horyzonty matematyki 2014 Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki 2014 1 / 36 Grupa klas odwzorowań
Bardziej szczegółowoRzut oka na współczesną matematykę spotkanie 3: jak liczy kalkulator i o źródłach chaosu
Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 3: jak liczy kalkulator i o źródłach chaosu P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl Instytut Matematyki, Uniwersytet Warszawski MISH UW, semestr zimowy 2011-12 P.
Bardziej szczegółowoKRZYŻÓWKA 2. 11. Może być np. równoboczny lub rozwartokątny. Jego pole to a b HASŁO:
KRZYŻÓWKA.Wyznaczają ją dwa punkty.. Jego pole to π r² 3. Jego pole to a a 4.Figura przestrzenna, której podstawą jest dowolny wielokąt, a ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku. 5.Prosta mająca
Bardziej szczegółowoWybrane zagadnienia teorii continuów
Wybrane zagadnienia teorii continuów Mirosława Reńska, Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW Prezentacja wykładu Warszawa, maj 2011, (prezentacja dostępna na stronie http://www.mimuw.edu.pl/
Bardziej szczegółowoKrzywa uniwersalna Sierpińskiego
Krzywa uniwersalna Sierpińskiego Małgorzata Blaszke Karol Grzyb Streszczenie W niniejszej pracy omówimy krzywą uniwersalną Sierpińskiego, zwaną również dywanem Sierpińskiego. Pokażemy klasyczną metodę
Bardziej szczegółowoGeometria w R 3. Iloczyn skalarny wektorów
Geometria w R 3 Andrzej Musielak Str 1 Geometria w R 3 Działania na wektorach Wektory w R 3 możemy w naturalny sposób dodawać i odejmować, np.: [2, 3, 1] + [ 1, 2, 1] = [1, 5, 2] [2, 3, 1] [ 1, 2, 1] =
Bardziej szczegółowoGeometrie Wszechświata. 5. Czwarty wymiar materiały do ćwiczeń
Geometrie Wszechświata. 5. Czwarty wymiar materiały do ćwiczeń Projekt Matematyka dla ciekawych świata spisał: Michał Korch 30 marzec 2017 Prezentacja multimedialna do wykładu. 1 Zadania łatwe 1. Narysuj
Bardziej szczegółowoDydaktyka matematyki, IV etap edukacyjny (ćwiczenia) Ćwiczenia nr 7 Semestr zimowy 2018/2019
Dydaktyka matematyki, IV etap edukacyjny (ćwiczenia) Ćwiczenia nr 7 Semestr zimowy 2018/2019 Zadanie z wykładu i ćwiczeń Dany jest ciąg rekurencyjny: x 1 = 1, x n+1 = x n 2 + 1 x n dla n 1. Ograniczoność.
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI POLITECHNICZNEJ KLASA 2
WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI POLITECHNICZNEJ KLASA 2 I. GEOMETRIA ANALITYCZNA: Wektor w układzie współrzędnych.
Bardziej szczegółowo1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia.
1. Elementy logiki i algebry zbiorów 1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. Funkcje zdaniowe. Zdania z kwantyfikatorami oraz ich zaprzeczenia.
Bardziej szczegółowoKONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM. Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie
KONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM ETAP I TEST II Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie 1. A. Stosunek pola koła wpisanego w kwadrat o boku długości 6 do pola koła opisanego na tym kwadracie
Bardziej szczegółowoREALIZACJA TREŚCI PODSTAWY PROGRAMOWEJ PRZEZ PROGRAM MATEMATYKA Z PLUSEM
REALIZACJA TREŚCI PODSTAWY PROGRAMOWEJ PRZEZ PROGRAM MATEMATYKA Z PLUSEM Treści nauczania wg podstawy programowej Podręcznik M+ Klasa I Klasa II Klasa III 1. Liczby wymierne dodatnie. Uczeń: 1) odczytuje
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
Bardziej szczegółowoA-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty
A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty T 1 przestrzeni. Czym ta aksjomatyka różni się od aksjomatyki zbiorów otwartych? A-2. Wyprowadź z aksjomatów topologii
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoTEST A. A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty
TEST A A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty T 1 przestrzeni. Czym ta aksjomatyka różni się od aksjomatyki zbiorów otwartych? A-2. Ile różnych zbiorów otwartych
Bardziej szczegółowoPodstawowe pojęcia geometryczne
PLANIMETRIA Podstawowe pojęcia geometryczne Geometria (słowo to pochodzi z języka greckiego i oznacza mierzenie ziemi) jest jednym z działów matematyki, którego przedmiotem jest badanie figur geometrycznych
Bardziej szczegółowoFRAKTALE I SAMOPODOBIEŃSTWO
FRAKTALE I SAMOPODOBIEŃSTWO Mariusz Gromada marzec 2003 mariusz.gromada@wp.pl http://multifraktal.net 1 Wstęp Fraktalem nazywamy każdy zbiór, dla którego wymiar Hausdorffa-Besicovitcha (tzw. wymiar fraktalny)
Bardziej szczegółowoSTEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH
STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI 2 proste
Bardziej szczegółowoGeometria. Rodzaje i własności figur geometrycznych:
Geometria Jest jednym z działów matematyki, którego przedmiotem jest badanie figur geometrycznych i zależności między nimi. Figury geometryczne na płaszczyźnie noszą nazwę figur płaskich, w przestrzeni
Bardziej szczegółowoMatematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy
Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy Wariant nr (klasa I 4 godz., klasa II godz., klasa III godz.) Klasa I 7 tygodni 4 godziny = 48 godzin Lp. Tematyka zajęć
Bardziej szczegółowoKrzywe stożkowe Lekcja II: Okrąg i jego opis w różnych układach współrzędnych
Krzywe stożkowe Lekcja II: Okrąg i jego opis w różnych układach współrzędnych Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej Okrąg Okrąg jest szczególną krzywą stożkową. Wyznacza nam koło, które jest podstawą
Bardziej szczegółowoPytania do spr / Własności figur (płaskich i przestrzennych) (waga: 0,5 lub 0,3)
Pytania zamknięte / TEST : Wybierz 1 odp prawidłową. 1. Punkt: A) jest aksjomatem in. pewnikiem; B) nie jest aksjomatem, bo można go zdefiniować. 2. Prosta: A) to zbiór punktów; B) to zbiór punktów współliniowych.
Bardziej szczegółowoGeometria Różniczkowa I
Geometria Różniczkowa I wykład drugi Powierzchnie zanurzone, o których rozmawialiśmy na poprzednim wykładzie są bardzo istotną klasą przykładów rozmaitości różniczkowych. Pod koniec dzisiejszego wykładu
Bardziej szczegółowoRozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.)
Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. godz. = 76 godz.) I. Funkcja i jej własności.4godz. II. Przekształcenia wykresów funkcji...9 godz. III. Funkcja
Bardziej szczegółowoWykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2
Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych
Bardziej szczegółowoPLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3
DEFINICJE PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3 Czworokąt to wielokąt o 4 bokach i 4 kątach. Przekątną czworokąta nazywamy odcinek łączący przeciwległe wierzchołki. Wysokością czworokąta nazywamy
Bardziej szczegółowoGeometria Struny Kosmicznej
Spis treści 1 Wstęp 2 Struny kosmiczne geneza 3 Czasoprzestrzeń struny kosmicznej 4 Metryka czasoprzestrzeni struny kosmicznej 5 Wyznaczanie geodezyjnych 6 Wykresy geodezyjnych 7 Wnioski 8 Pytania Wstęp
Bardziej szczegółowo11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2).
1. Narysuj poniższe figury: a), b), c) 2. Punkty A = (0;1) oraz B = (-1;0) należą do okręgu którego środek należy do prostej o równaniu x-2 = 0. Podaj równanie okręgu. 3. Znaleźć równanie okręgu przechodzącego
Bardziej szczegółowoMechanika. Wykład 2. Paweł Staszel
Mechanika Wykład 2 Paweł Staszel 1 Przejście graniczne 0 2 Podstawowe twierdzenia o pochodnych: pochodna funkcji mnożonej przez skalar pochodna sumy funkcji pochodna funkcji złożonej pochodna iloczynu
Bardziej szczegółowoUkłady współrzędnych
Układy współrzędnych Układ współrzędnych matematycznie - funkcja przypisująca każdemu punktowi danej przestrzeni skończony ciąg (krotkę) liczb rzeczywistych zwanych współrzędnymi punktu. Układ współrzędnych
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA)
GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA) WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. Na początek omówimy
Bardziej szczegółowoCiągi liczbowe wykład 3
Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel 3 kwietnia 203 Definicja (ciągu liczbowego). Ciagiem liczbowym nazywamy funkcję odwzorowuja- ca zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych. Wartość
Bardziej szczegółowoZad.3. Jakub Trojgo i Jakub Wieczorek. 14 grudnia 2013
Zad.3 Jakub Trojgo i Jakub Wieczorek 14 grudnia 2013 W pierwszej części naszej pracy będziemy chcieli zbadać ciągłość funkcji f(x, y) w przypadku gdy płaszczyzna wyposażona jest w jedną z topologii: a)
Bardziej szczegółowo1.. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE Poziom (K) lub (P)
Wymagania edukacyjne dla klasy IIIc technik informatyk 1.. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE rok szkolny 2014/2015 zaznacza kąt w układzie współrzędnych, wskazuje jego ramię początkowe i końcowe wyznacza wartości
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA WYKAZ UMIEJĘTNOŚCI WYMAGANYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA KLASY DRUGIEJ
MATEMATYKA WYKAZ UMIEJĘTNOŚCI WYMAGANYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY 1. SUMY ALGEBRAICZNE DLA KLASY DRUGIEJ 1. Rozpoznawanie jednomianów i sum algebraicznych Obliczanie wartości liczbowych wyrażeń algebraicznych
Bardziej szczegółowoRozdział VII. Przekształcenia geometryczne na płaszczyźnie Przekształcenia geometryczne Symetria osiowa Symetria środkowa 328
Drogi Czytelniku 9 Oznaczenia matematyczne 11 Podstawowe wzory 15 Rozdział I. Zbiory. Działania na zbiorach 21 1. Zbiór liczb naturalnych 22 1.1. Działania w zbiorze liczb naturalnych 22 1.2. Prawa działań
Bardziej szczegółowoWymagania przedmiotowe dla klasy 3as i 3b gimnazjum matematyka
Wymagania przedmiotowe dla klasy 3as i 3b gimnazjum matematyka TEMAT 5. Przekątna kwadratu. Wysokość trójkąta równobocznego 6. Trójkąty o kątach 90º, 45º, 45º oraz 90º, 30º, 60º 1. Okrąg opisany na trójkącie
Bardziej szczegółowostr 1 WYMAGANIA EDUKACYJNE ( ) - matematyka - poziom podstawowy Dariusz Drabczyk
str 1 WYMAGANIA EDUKACYJNE (2017-2018) - matematyka - poziom podstawowy Dariusz Drabczyk Klasa 3e: wpisy oznaczone jako: (T) TRYGONOMETRIA, (PII) PLANIMETRIA II, (RP) RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA, (ST)
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowoRAMOWY ROZKŁAD MATERIAŁU Z MATEMATYKI DLA KLAS I-III LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO PRZY CKU NR 1
RAMOWY ROZKŁAD MATERIAŁU Z MATEMATYKI DLA KLAS I-III LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO PRZY CKU NR 1 Zakres podstawowy Kl. 1-60 h ( 30 h w semestrze) Kl. 2-60 h (30 h w semestrze) Kl. 3-90 h (45 h w semestrze)
Bardziej szczegółowoKońcoworoczne kryteria oceniania dla klasy II z matematyki przygotowały mgr Magdalena Murawska i mgr Iwona Śliczner
Końcoworoczne kryteria oceniania dla klasy II z matematyki przygotowały mgr Magdalena Murawska i mgr Iwona Śliczner Semestr I Rozdział: Potęgi i pierwiastki zapisuje w postaci potęgi iloczyn tych samych
Bardziej szczegółowoO geometrii nieeuklidesowej. Andrzej Kotański
O geometrii nieeuklidesowej Andrzej Kotański Plan 1. Rys historyczny 2. Zaprzeczenie piątego pewnika Euklidesa 3. Modele geometrii eliptycznej i hiperbolicznej 4. Modele Beltramiego i Poincarego 5. Kąt
Bardziej szczegółowoTEORIA WĘZŁÓW. Natalia Grzechnik 10B2
TEORIA WĘZŁÓW Natalia Grzechnik 10B2 Słowem wstępu zastosowanie teorii węzłów Biologiczna rola węzłów w białkach Wyznaczanie topologii białek Kryptografia Biofizyka Opis struktur DNA, RNA, białek DNA a
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EGZAMINACYJNE DLA KLASY III GIMNAZJUM
WYMAGANIA EGZAMINACYJNE DLA KLASY III GIMNAZJUM TEMAT WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 2. System dziesiątkowy 1. Liczby wymierne dodatnie. Uczeń: 1) zaokrągla rozwinięcia dziesiętne
Bardziej szczegółowoI semestr WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA VI. Wymagania na ocenę dopuszczającą. Dział programu: Liczby naturalne
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA VI Wymagania na ocenę dopuszczającą I semestr Dział programu: Liczby naturalne Oblicza różnice czasu proste Wymienia jednostki opisujące prędkość, drogę, czas. Rozwiązuje
Bardziej szczegółowoInformatyk i matematyk: dwa spojrzenia na jedno zadanie (studium przypadku) Krzysztof Ciebiera, Krzysztof Diks, Paweł Strzelecki
Informatyk i matematyk: dwa spojrzenia na jedno zadanie (studium przypadku) Krzysztof Ciebiera, Krzysztof Diks, Paweł Strzelecki Zadanie (matura z informatyki, 2009) Dane: dodatnia liczba całkowita R.
Bardziej szczegółowoPlanimetria 1 12 godz.
Planimetria 1 1 godz. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego 1 definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30º, 45º, 60º Trygonometria zastosowania Rozwiązywanie
Bardziej szczegółowoZadania optymalizacyjne w szkole ponadgimnazjalnej. Materiały do przedmiotu Metodyka Nauczania Matematyki 2 (G-PG). Prowadzący dr Andrzej Rychlewicz
Zadania optymalizacyjne w szkole ponadgimnazjalnej. Materiały do przedmiotu Metodyka Nauczania Matematyki 2 G-PG). Prowadzący dr Andrzej Rychlewicz Przeanalizujmy następujące zadanie. Zadanie. próbna matura
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI
WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie I. ZBIORY I.1. Działania na zbiorach I.2. Relacje między
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne klasa druga.
Wymagania edukacyjne klasa druga. TEMAT WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ 1. POTĘGI Potęga o wykładniku naturalnym Iloczyn i iloraz potęg o jednakowych podstawach Potęgowanie potęgi Potęgowanie
Bardziej szczegółowoStereometria bryły. Wielościany. Wielościany foremne
Stereometria bryły Stereometria - geometria przestrzeni trójwymiarowej. Przedmiotem jej badań są własności brył oraz przekształcenia izometryczne i afiniczne przestrzeni. Przyjęte oznaczenia: - Pole powierzchni
Bardziej szczegółowoKORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI. PRACA KONTROLNA nr 1
KORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1 październik 000r 1. Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego wynosi 040. Jeśli pierwszy wyraz tego ciągu zmniejszymy o 17, a jego
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki
Wymagania edukacyjne z matematyki Poziom podstawowy Klasa IIIb r.szk. 2014/2015 PLANIMETRIA(1) rozróżnia trójkąty: ostrokątne, prostokątne, rozwartokątne stosuje twierdzenie o sumie miar kątów w trójkącie
Bardziej szczegółowoPG im. Tadeusza Kościuszki w Kościerzycach Przedmiot
KARTA MONITOROWANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ KSZTAŁCENIA OGÓLNEGO III etap edukacyjny PG im. Tadeusza Kościuszki w Kościerzycach Przedmiot matematyka Klasa......... Rok szkolny Imię i nazwisko nauczyciela
Bardziej szczegółowoWymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy drugiej TECHNIKUM
Zespól Szkół Ogólnokształcących i Zawodowych w Ciechanowcu 23 czerwca 2017r. Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy drugiej TECHNIKUM Strona 1 z 9 1. Geometria płaska trójkąty zna
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania.
Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Arkadiusz Męcel Uwagi początkowe W trakcie zajęć przyjęte zostaną następujące oznaczenia: 1. Zbiory liczb: R - zbiór liczb rzeczywistych; Q - zbiór
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI DLA KLASY II A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ w Publicznym Gimnazjum Integracyjnym nr 47 w Łodzi
ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI DLA KLASY II A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ w Publicznym Gimnazjum Integracyjnym nr 47 w Łodzi Rozkład materiału nauczania został opracowany na podstawie programu
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.
Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika
Bardziej szczegółowoPodstawa programowa przedmiotu MATEMATYKA. III etap edukacyjny (klasy I - III gimnazjum)
Podstawa programowa przedmiotu MATEMATYKA III etap edukacyjny (klasy I - III gimnazjum) Cele kształcenia wymagania ogólne: I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje i tworzy teksty o
Bardziej szczegółowoUłamki i działania 20 h
Propozycja rozkładu materiału Klasa I Razem h Ułamki i działania 0 h I. Ułamki zwykłe II. Ułamki dziesiętne III. Ułamki zwykłe i dziesiętne. Przypomnienie wiadomości o ułamkach zwykłych.. Dodawanie i odejmowanie
Bardziej szczegółowoFRAKTALE. nie tworzą się z przypadku. Są tworzone naturalnie przez otaczającą nas przyrodę, bądź za pomocą
Małgorzata Mielniczuk FRAKTALE Poniższy referat będzie traktować o fraktalach, majestatycznych wzorach, których kręte linie nie tworzą się z przypadku. Są tworzone naturalnie przez otaczającą nas przyrodę,
Bardziej szczegółowoWymagania egzaminacyjne z matematyki na studia w Akademii Świętokrzyskiej im. J. Kochanowskiego w Kielcach (wszystkie kierunki) Algebra
Wymagania egzaminacyjne z matematyki na studia w Akademii Świętokrzyskiej im. J. Kochanowskiego w Kielcach (wszystkie kierunki) Egzamin wstępny z matematyki na kierunek Matematyka będzie przeprowadzony
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki klasa 2 (oddział gimnazjalny)
edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki klasa 2 (oddział gimnazjalny) Stopień Rozdział 1. Potęgi i pierwiastki zapisuje w postaci potęgi iloczyn
Bardziej szczegółowoKatalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne
rozpoznaje figury podobne zna własności figur podobnych rozpoznaje trójkąty prostokątne podobne Rozdział 6. Figury podobne zna cechy podobieństwa trójkątów prostokątnych podobnych podaje skalę podobieństwa
Bardziej szczegółowo1. Potęga o wykładniku naturalnym Iloczyn i iloraz potęg o jednakowych podstawach Potęgowanie potęgi 1 LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH
TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ UWAGI 1. POTĘGI 1. Potęga o wykładniku naturalnym 2-3 2. Iloczyn i iloraz potęg o jednakowych podstawach 3. Potęgowanie potęgi
Bardziej szczegółowoPODSTAWY RACHUNKU WEKTOROWEGO
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Skalar Definicja Skalar wielkość fizyczna (lub geometryczna)
Bardziej szczegółowoELEMENTY TEORII WĘZŁÓW
Łukasz Janus 10B2 ELEMENTY TEORII WĘZŁÓW Elementarne deformacje węzła Równoważność węzłów Węzły trywialne Ruchy Reidemeistera Twierdzenie o równoważności węzłów Grafy Powtórzmy Diagram węzła Węzły reprezentuje
Bardziej szczegółowoRozkład figury symetrycznej na dwie przystające
Rozkład figury symetrycznej na dwie przystające Tomasz Tkocz 10 X 2010 Streszczenie Tekst zawiera notatki do referatu z seminarium monograficznego Wybrane zagadnienia geometrii. Całość jest oparta na artykule
Bardziej szczegółowoUniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu. Egzamin wstępny z matematyki
Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Egzamin wstępny z matematyki lipca 2006 roku Zestaw I wariant A Czas trwania egzaminu: 240 minut 1. Dane są zbiory liczbowe A = {x; x R x < 2}, B = {x; x R x +
Bardziej szczegółowoPlanimetria 1 12 godz.
Planimetria godz. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30º, 45º, 60º Trygonometria zastosowania Rozwiązywanie
Bardziej szczegółowo9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI
BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Ekstrema i monotoniczność funkcji Oznaczmy przez D f dziedzinę funkcji f Mówimy, że funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy dla każdego
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4
Bardziej szczegółowoPodstawowe pojęcia. Co w matematyce możemy nazwać. węzłem, a co. splotem?
Magdalena Czarna Podstawowe pojęcia Co w matematyce możemy nazwać węzłem, a co splotem? Podstawowe pojęcia Węzeł to krzywa zamknięta (splątany okrąg) w przestrzeni 3-wymiarowej. W związku z tym węzłem
Bardziej szczegółowoKatalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne
rozpoznaje figury podobne zna własności figur podobnych rozpoznaje trójkąty prostokątne podobne Rozdział 6. Figury podobne zna cechy podobieństwa trójkątów prostokątnych podobnych podaje skalę podobieństwa
Bardziej szczegółowo6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).
6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco
Bardziej szczegółowoV Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej
V Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej Rozwiązania - klasy drugie 1. Znaleźć wszystkie pary liczb całkowitych (x, y) spełniające nierówności x + 1 + y 4 x + y 4 5 x 4 + y 1 > 4. Ważne jest zauważenie,
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne klasa trzecia.
TEMAT Wymagania edukacyjne klasa trzecia. WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Lekcja organizacyjna System dziesiątkowy System rzymski Liczby wymierne i niewymierne
Bardziej szczegółowoZagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste
Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste Liczby naturalne Liczby całkowite. Liczby wymierne Liczby niewymierne Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej Pierwiastek
Bardziej szczegółowoMłodzieżowe Uniwersytety Matematyczne. dr Michał Lorens
Młodzieżowe Uniwersytety Matematyczne Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego ODLEGŁOŚĆ NA POWIERZCHNI WIELOŚCIANU dr Michał Lorens 28.04.2012 Projekt
Bardziej szczegółowoPrzedmiotowy system oceniania Wymagania na poszczególne oceny,,liczy się matematyka
Przedmiotowy system oceniania Wymagania na poszczególne oceny,,liczy się matematyka I. Potęgi i pierwiastki. Klasa II 1. Zapisuje w postaci potęgi iloczyn tych samych czynników i odwrotnie. 2. Oblicza
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY 1. FUNKCJA KWADRATOWA rysuje wykres funkcji i podaje jej własności sprawdza algebraicznie, czy dany punkt należy
Bardziej szczegółowoZbiory wypukłe i stożki
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 28 kwietnia 2016 Hiperpłaszczyzna i półprzestrzeń Definicja Niech a R n, a 0, b R. Zbiór H(a, b) = {x R n : (a x) = b} nazywamy hiperpłaszczyzną, zbiory {x R
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY III GIMNAZJUM W ZSPiG W CZARNYM DUNAJCU NA ROK SZKOLNY 2016/2017 ROCZNE
WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY III GIMNAZJUM W ZSPiG W CZARNYM DUNAJCU NA ROK SZKOLNY 2016/2017 ROCZNE Przekształcenia algebraiczne Równania i układy równań Pojęcie funkcji. Własności funkcji. WYRAŻENIA
Bardziej szczegółowoSpis treści. Przedmowa do wydania piątego
Zadania z matematyki wyższej. Cz. 1, [Logika, równania liniowe, wektory, proste i płaszczyzny, ciągi, szeregi, rachunek różniczkowy, funkcje uwikłane, krzywe i powierzchnie] / Roman Leitner, Wojciech Matuszewski,
Bardziej szczegółowoDział I FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE
MATEMATYKA ZAKRES PODSTAWOWY Rok szkolny 01/013 Klasa: III Nauczyciel: Mirosław Kołomyjski Dział I FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE Lp. Zagadnienie Osiągnięcia ucznia. 1. Miara kąta. Sprawnie operuje pojęciami:
Bardziej szczegółowoWymagania programowe z matematyki na poszczególne oceny w klasie III A i III B LP. Kryteria oceny
Wymagania programowe z matematyki na poszczególne oceny w klasie III A i III B LP Przygotowane w oparciu o propozycję Wydawnictwa Nowa Era 2017/2018 Kryteria oceny Znajomość pojęć, definicji, własności
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki do programu pracy z podręcznikiem Matematyka wokół nas
Wymagania edukacyjne z matematyki do programu pracy z podręcznikiem Matematyka wokół nas klasa I 1)Działania na liczbach: dopuszczający: uczeń potrafi poprawnie wykonać cztery podstawowe działania na ułamkach
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA. WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I, II, III Bożena Tarnowiecka, Arkadiusz Wolski. KLASA I Wymagania
MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I, II, III Bożena Tarnowiecka, Arkadiusz Wolski Treści zapisane kursywą (i oznaczone gwiazdką) wykraczają poza podstawę programową. Nauczyciel może je realizować,
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA. kurs uzupełniający dla studentów 1. roku PWSZ. w ramach»europejskiego Funduszu Socjalnego« Adam Kolany.
MATEMATYKA kurs uzupełniający dla studentów 1. roku PWSZ w ramach»europejskiego Funduszu Socjalnego«Adam Kolany rozkład materiału Projekt finansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU Z MATEMATYKI DLA KLASY IV SP NA PODSTAWIE PROGRAMU DKW /99 Liczę z Pitagorasem
ROZKŁAD MATERIAŁU Z MATEMATYKI DLA KLASY IV SP NA PODSTAWIE PROGRAMU DKW 4014 180/99 Liczę z Pitagorasem Lp. Dział programu Tematyka jednostki metodycznej Uwagi 1 2 3 4 Lekcja organizacyjna I Działania
Bardziej szczegółowoCiagi liczbowe wykład 4
Ciagi liczbowe wykład 4 dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy, r. akad. 2016/2017 Definicja (ciagu liczbowego) Ciagiem liczbowym nazywamy funkcję
Bardziej szczegółowoVIII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
VIII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (18 października 01 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Miary α, β, γ kątów pewnego trójkąta spełniają warunek
Bardziej szczegółowowymagania programowe z matematyki kl. III gimnazjum
wymagania programowe z matematyki kl. III gimnazjum 1. Liczby i wyrażenia algebraiczne Zna pojęcie notacji wykładniczej. Umie zapisać liczbę w notacji wykładniczej. Umie porównywać liczy zapisane w różny
Bardziej szczegółowoZabawa z odległościami
Konferencja SEM Gdzie jest matematyka? Zabawa z odległościami Joanna Jaszuńska Soczewka, 28 listopada 2010 Zabawa z odległościami 1 Joanna Jaszuńska Odległość punktu od figury Odległość punktu A od figury
Bardziej szczegółowoLista 1 - Funkcje elementarne
Lista - Funkcje elementarne Naszkicuj wykresy funkcji: a) y = sgn, y = sgn ; b) y = ; c) y = 2 Przedstaw w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji potęgowej y = α dla: a) α =, 2, 3, 4; b) α =,, 2;
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE III GIMNAZJUM
WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE III GIMNAZJUM OCENA ŚRÓDROCZNA: NIEDOSTATECZNY ocenę niedostateczny otrzymuje uczeń, który
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU DLA 3 KLASY GIMNAZJUM
ROZKŁAD MATERIAŁU DLA 3 KLASY GIMNAZJUM TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE (26 h) 1. Lekcja organizacyjna 1 2. System dziesiątkowy 2-4 3. System rzymski 5-6 WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE
Bardziej szczegółowo