Przetwarzanie sygnałów stochastycznych
|
|
- Dominika Orłowska
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Przetwarzanie sygnałów stochastycznych
2 Przejście sygnału stochastycznego przez układ LTI ξ ( t ) η( t) charakterystyka impulsowa układu wejściowy proces stochastyczny ( pobudzenie) wyjściowy proces stochastyczny ( reakcja ) η( t) = h( t) ξ ( t) h t ξ t η t Splot wiąże ze sobą procesy losowe i jest zdefiniowany za pomocą całki stochastycznej. Zastosowanie praktyczne znikome. W dalszych rozważaniach założymy stacjonarność i ergodyczność procesu wejściowego ξ (t), a co za tym idzie również stacjonarność i ergodyczność procesu wyjściowego η (t). x(t) wybrana realizacja zmiennej losowej ξ (t) (pobudzenie) y(t) reakcja na pobudzenie x(t) realizacja zmiennej losowej η (t)
3 Systemy z czasem ciągłym (analogowe) x( t ) y( t) Opis w dziedzinie częstotliwości: = = ( )d y t h t x t h α x t α α { } { } { } F x t = X j ω, F h t = H j ω, F y t = Y jω lub alternatywnie gdzie A( ω) = H ( ω) θ ( ω) = H ( ω) ( j ) = ( j ) ( j ) Y ω H ω X ω ( j ) = ( j ) Y ( ω) = θ ( ω) + X ( ω) Y ω A ω X ω arg j arg j j charakterystyka amplitudowa arg j charakterystyka fazowa
4 Zmiana statystyk po przejściu przez układ LTI x( t ) y( t) Wartość średnia T x( t) = lim x( t ) dt = mx = ξ = const T T T = = ( ) = ( ) = y t h t x t h α x t α dα h α x t α dα m h α dα x h α dα = H, y t = my = η lub y ( ) m = H m η = H ( ) ξ x
5 Funkcja autokorelacji i korelacji wzajemnej Funkcja autokorelacji T ψx τ x t x t τ t x t x t τ Rx τ T T = lim ( ) d = ( ) = T T ψ y τ y t y t τ t y t y t τ Ry τ T T = lim ( ) d = ( ) = T Funkcja korelacji T ψ yx τ y t x t τ t y t x t τ Ryx τ T T = lim ( ) d = ( ) = T * oznacza sprzężenie zespolone w przypadku sygnałów rzeczywistych można ją pominąć
6 x( t ) y( t) = = ( )d y t h t x t h α x t α α = ( ) = ( ) ( ) d = ( ) ( ) R τ y t x t τ h α x t α x t τ α h α x t α x t τ dα yx x x t α x t τ = x t α x t α τ α = R τ α yx = x ( ) d = h( τ ) Rx ( τ ) R τ h α R τ α α yx = R τ h τ R τ x
7 = ( )d y t h α x t α α ( ) = ( )d y t τ h α x t τ α α ( ) = ( ) d y t y t τ y t x t τ α h α α ( ) = ( + ) = ( + ) y t x t τ α y t x t ( τ α) Ryx τ α y = yx ( + ) d = Ryx ( τ α) h ( α)dα = h ( τ ) Ryx ( τ ) R τ R τ α h α α α α yx = R τ h τ R τ x y = ( ) R τ h τ h τ R τ x
8 Opis w dziedzinie częstotliwości: F F F F { h( t) } = H ( ω) yx y y = x = ( ) yx = ( ) R τ h τ R τ R τ h τ R τ R τ h τ h τ R τ j charakterystyka widmowa { } e j d t t ωt e j ωt d e j ωt h t = h t t = h t t = h t dt = H ( jω) { Rx ( τ )} = Sx ( ω) widmowa gęstość mocy sygnału x( t) R ( τ ) = S ω wzajem n widmowa gęstość mo { yx } yx x( t) a cy sygnałów i x y ( t) yx y = ( j ) x = ( j ) S ω H ω S ω S ω H ω S ω yx = ( j ) ( j ) = ( j ) S ω H ω H ω S ω H ω S ω y x x
9 Systemy z czasem dyskretnym x[ n ] y[ n] [ ] charakterystyka impulsowa systemu [ ], [ ] realizacje stacjonarnych dyskretnych procesów stochastycznych [ ] i [ ] h n x n y n ξ n η n Opis w dziedzinie częstotliwości: [ ] = [ ] [ ] = [ ] [ ] y n h n x n h p x n p { [ ]} [ ] p= { } { [ ]} F x n = X e, F h n = H e, F y n = Y e j Ω j Ω j Ω ( e j Ω j j ) = ( e Ω ) ( e Ω ) Y H X H jω = H ( z) j e charakterystyka widmowa systemu z= e Ω
10 Zmiana statystyk po przejściu przez układ LTI x[ n ] y[ n] Wartość średnia N x[ n] = lim x[ n] = mx = ξ = N N + n= N const x [ ] = [ ] [ ] = [ ] [ ] = [ ] [ ] = [ ] y n h n x n h p x n p h p x n p m h p p= p= p= p= [ ] ( e jω ), [ ] h p = H z = H = H y n = m = η z = Ω = y lub y m = H m η = H ξ x
11 Funkcja autokorelacji i korelacji wzajemnej Funkcja autokorelacji N ψx k lim x n x n k x n x n k Rx k N N + [ ] = [ ] [ ] = [ ] [ ] = [ ] n= N N ψ y k lim y n y n k y n y n k Ry k N N + [ ] = [ ] [ ] = [ ] [ ] = [ ] n= N Funkcja korelacji N ψ yx k lim y n x n k y n x n k Ryx k N N + [ ] == [ ] [ ] = [ ] [ ] = [ ] n= N * oznacza sprzężenie zespolone
12 x[ n ] y[ n] yx [ ] = [ ] [ ] = [ ] [ ] y n h n x n h p x n p [ ] = [ ] [ ] = [ ] [ ] [ ] = [ ] [ ] [ ] R k y n x n k h p x n p x n k h p x n p x n k p= p= p= [ ] [ ] = [ ] ( ) = [ ] x n p x n k x n p x n p k p Rx k p [ ] = [ ] [ ] = [ ] [ ] R k h p R k p h k R k yx x x p= y [ ] = [ ] [ ] = [ ] [ ] [ ] R k y n y n k y n h p x n k p p p p= [ ] = [ ] [ ] ( ) = [ ] [ ] = [ ] [ ] R k h p y n x n k p h p R k p h k R k y yx yx p= p=
13 yx y y [ ] = [ ] x [ ] [ ] = [ ] yx [ ] [ ] = [ ] [ ] [ ] R k h k R k R k h k R k R k h k h k R k x Opis w dziedzinie częstotliwości: F F F F jω { h[ k] } = H h [ k] = H x [ ] = x R [ ] = e charakterystyka widmowa { } jω ( e ) { R k } S ( Ω) widmowa gęstość mocy sygnału x[ n] { yx k } S yx ( Ω) wzajemna widmowa gęstość mocy sygnałów x[ n] i y[ n] yx y jω = ( e ) S Ω H S Ω jω = ( e ) S Ω H S Ω x yx jω jω jω = ( e ) ( e ) = ( e ) S Ω H H S Ω H S Ω y x x
14 Metody identyfikacji systemu LTI x( t ) y( t) Na podstawie obserwacji (pomiarów) pobudzenia x(t) i reakcji y(t) należy zidentyfikować układ, tzn. wyznaczyć jego charakterystykę impulsową lub, alternatywnie, charakterystyki widmowe (charakterystykę amplitudową i/lub fazową).
15 Metoda impulsowa Jako pobudzenie przykłada się do układu wąski impuls, czyli x( t ) A t e t = ( ) x t A t t t e { } st X s = L x t = A s Y s = H s X s 3 4 = st st st st st! 3! 4! st Jeżeli wybrać t dostatecznie małe, wówczas można przyjąć e st ( ) st = s Y s H s A AtH s L y( t) { } L { } y t = Y s At H s = At h t hˆ t = jest oszacowaniem charakterystyki impulsowej układu At Zalety: w niektórych sytuacjach jedyna możliwa do zastosowania (np. pomiary konstrukcji mechanicznych) Wady: mała dokładność
16 Metoda sinusoidalna Jako pobudzenie wybiera się przebieg sinusoidalny = sin( + ) x t X ω t ψ m x Wówczas reakcja (w stanie ustalonym) ma postać: = m sin( + y ) y t Y ω t ψ gdzie Ym = H ( jω ) X m = A( ω ) X m ψ = ψ + arg H ( jω ) = ψ + θ ( ω ) y x x Na podstawie pomiaru amplitudy i fazy reakcji można wyznaczyć punkt na charakterystyce amplitudowej i fazowej, przy pulsacji ω. Powtarzając procedurę przy różnych pulsacjach można odtworzyć ( punkt po punkcie ) przebieg charakterystyki amplitudowej i/lub fazowej w wymaganym zakresie częstotliwości. Zalety: prostota i dobra dokładność Wady: nie zawsze możliwa do zastosowania (wymagane specyficzne pobudzenie), duża czasochłonność
17 Metody korelacyjne x( t ) y( t) Pobudzeniem jest szerokopasmowy sygnał losowy, o funkcji autokorelacji R ( τ ) Wówczas R ( τ ) = h( τ ) R ( τ ) yx x Poprzez pomiar R τ z zależności tej można wyznaczyć h ( τ ). yx Jeżeli przyjąć, że pobudzenie x(t) jest białym szumem o wariancji, wówczas R x ( τ ) = σ xδ( τ ) i zależność na h τ upraszcza się do postaci: h τ = R yx σ x ( τ ) σ x x
18 Tę samą metodę można zastosować w dziedzinie częstotliwości = = ( j ) R τ h τ R τ S ω H ω S ω yx x yx x czyli H ( jω) = S S yx x ( ω) ( ω) Jeżeli pobudzenie x(t) jest białym szumem o wariancji σ x, wówczas S x ( ω) = σ x i wtedy H ( jω) = S yx σ ( ω) W celu wyznaczenia R wymagana jest jednoczesna yx τ lub S yx ω synchroniczna rejestracja sygnałów pobudzenia i reakcji x
19 Gdy nie ma możliwości wyznaczenia Ryx τ lub S yx ω (brak jednoczesnej rejestracji), można wykorzystać zależność y = ( j ) S ω H ω S ω Charakterystykę amplitudową można wyznaczyć jako x ( jω) A ω = H = S S y x ( ω) ( ω) Zalety metod korelacyjnych: pomiary są wykonywane na sygnałach dostępnych w danej sytuacji, metody mogą być stosowane przy dowolnych sygnałach, gdy nie ma możliwości pomiarów przy wybranym specyficznym pobudzeniu. Wady metod korelacyjnych: złożony system pomiarowy, niekiedy niepełna identyfikacja (tylko charakterystyka amplitudowa). Przedstawione metody identyfikacji systemu, po niewielkich modyfikacjach, można wykorzystać do identyfikacji systemów dyskretnych.
20 Detekcja sygnałów Detekcja wykrycie (identyfikacja) sygnału użytecznego występującego na tle zakłóceń Przykładowe obszary zastosowań: radiolokacja telekomunikacja sonar przetwarzanie sygnału mowy i obrazów automatyka geologia i sejsmologia fizyka, biologia, chemia kryminalistyka, zastosowania militarne
21 Model procesu detekcji Przestrzeń zdarzeń Przestrzeń sygnałów E e k S s i NADAJNIK k =,, K i =,, M Zakłócenia n TOR TRANSMISYJNY X D x d i ODBIORNIK i =,, M Przestrzeń obserwacji Przestrzeń decyzyjna
22 Przestrzeń zdarzeń E Przestrzeń E składa się z elementów ek, k =,, K. Zawiera zbiór K zdarzeń, z których każde powoduje wygenerowanie określonego sygnału. Zdarzenia e k mają zwykle charakter losowy. Mogą wystąpić z prawdopodobieństwem a priori: { } Pr e = P, k =,, K Prawdopodobieństwa P k mogą być znane lub nie Przykłady: k pojawienie się celu w obszarze zasięgu stacji radarowej, pojawienie się w ciągu znaków alfanumerycznych litery q, pojawienie się w sygnale binarnym, wybuch wulkanu na Kamczatce, wybranie cyfry 5 na klawiaturze numerycznej, k
23 Przestrzeń sygnałów S Przestrzeń S zawiera sygnały s powstałe (wygenerowane) i, i =,, M, w wyniku wystąpienia zdarzenia e k. Sygnały s i mają na ogół postać funkcji czasu ciągłego lub dyskretnego. Konwersja zdarzenia na sygnał nie musi być wzajemnie jednoznaczna! Przelot bombowca B Przelot gołębia Taki sam lub trudno rozróżnialny sygnał radarowy Trzęsienie ziemi Upadek asteroidy Taki sam lub trudno rozróżnialny sygnał sejsmografu Eksplozja jądrowa W dalszych rozważaniach przyjmiemy wzajemnie jednoznaczną konwersję zdarzenie sygnał, czyli { } { } K = M, Pr e = Pr s = P, i =,, M i i i
24 Przykład. Kluczowanie fazy Przykład. sin ( ω ) e zdarzenie A s t = A t ( π sin ω ) ( π sin ω ) e zdarzenie B s t = A t e zdarzenie C s t = A t + 3 System transmisji binarnej z kluczowaniem częstotliwości (FSK Frequency Shift Keying) e = s t = Acosω t e = s t = Acosω t
25 Przykład 3. s ( t) i s t R e brak obiektu s t = e obiekt obecny s ( t) = as t R c
26 Przykład 4. Wybieranie dwutonowe w liniach telefonicznych (DTMF Dual Tone Multi Frequency) Zdarzenia wybranie jednego z znaków na klawiaturze Sygnał: s ( t ) = cos( π f t) + cos( π f t) i Częstotliwości f i f dla różnych zdarzeń zestawiono w tabeli f 9 Hz 336 Hz 477 Hz f 697 Hz 3 77 Hz Hz Hz * # Np. wybranie 4 spowoduje wygenerowanie dwóch tonów o częstotliwościach f = 77 Hz i f =9 Hz
27 Tor transmisyjny i przestrzeń obserwacji X W trakcie przesyłania przez tor transmisyjny sygnał jest zniekształcany przez dodatkowe sygnały: pochodzenia naturalnego (szum termiczny, zjawiska atmosferyczne), wytworzone sztucznie (zakłócenia przemysłowe, sygnały z innych nadajników, celowo generowane zakłócenia). Dodatkowym źródłem zakłóceń jest urządzenie odbiorcze. Zakłócenia najczęściej mają charakter addytywny. Sygnał w przestrzeni obserwacji X ma postać: dla sygnałów analogowych = +,, =,,, x t s t n t t T i M gdzie T jest przedziałem obserwacji, a M liczbą wszystkich sygnałów użytecznych, dla sygnałów cyfrowych i [ ] = [ ] + [ ],, =,,, x k s k n k k K i M i gdzie K jest liczbą próbek (długością ciągu)
28 Losowy charakter zakłóceń n powoduje, że sygnał x jest procesem stochastycznym, który można opisać funkcją gęstości prawdopodobieństwa i = Pr{ i} p x x s s ( t ) s ( t ) s ( t) x( t) p ( x ) p ( x ) p ( x)
29 Przykład. System transmisji binarnej z kluczowaniem częstotliwości (FSK Frequency Shift Keying) ω j ω ( τ j ) e = s t = Acos t x t = a Acos t + n t j ω j ω ( τ j ) e = s t = Acos t x t = a Acos t + n t j Sygnały mogą być transmitowane wielotorowo. a j są współczynnikami tłumienia w j-tejścieżce propagacji, a τ j czasem propagacji Przykład. Stacja radiolokacyjna e brak obiektu x t = n t R e obiekt obecny x t = as t + n t c
30 Przestrzeń decyzyjna D W przestrzeni tej przetwarzane są sygnały x z przestrzeni X. Celem jest podjęcie decyzji o obecności sygnału s i w sygnale x. Składa się z M elementów d, i =,, M i Wygenerowanie elementu d i oznacza postawienie hipotezy H i o obecności w sygnale x sygnału użytecznego s i. Proces ten nazywa się detekcją, a urządzenie do tego celu przeznaczone detektorem. Hipoteza H i jest stawiana z pewnym prawdopodobieństwem, uwarunkowanym obecnością lub nie sygnału s i w sygnale x. Elementy d i są zmiennymi losowymi! Podstawowym zagadnieniem przy projektowaniu detektorów jest wyznaczenie kryterium decyzyjnego, czyli algorytmu konwersji przestrzeni X w przestrzeń D.
31 przestrzeń X si X i sk X k X s X s X M sm Znalezienie reguły decyzyjnej (kryteriów detekcji) sprowadza się do wyznaczenia granic obszarów decyzyjnych. Wybór kryteriów detekcji zależy od: wiedzy o postaci sygnałów s i, znajomości prawdopodobieństw a priori wystąpienia tych sygnałów P i = { s } Pr, znajomości modeli probabilistycznych zakłóceń i prawdopodobieństw warunkowych p x = Pr x s i { i} i
32 Rodzaje detekcji: detekcja parametryczna gdy znana jest postać sygnałów s i, prawdopodobieństwa ich wystąpienia P = Pr s, i wszystkie prawdopodobieństwa warunkowe detekcja nieparametryczna gdy powyższe informacje o rozkładach są niepełne lub nieznane. = { i} p x Pr x s, W przypadku detekcji parametrycznej często stosowanym kryterium jest kryterium najmniejszego błędu średniokwadratowego: przyjmij hipotezę H i, gdy i i { } gdzie kwadrat normy reprezentuje energię sygnału * x s = min x s i j Granicami obszarów decyzyjnych X, X są hiperpłaszczyzny o równaniach i x s = x s, i, k =,, M i k k j i
33 M =, Detekcja dwudecyzyjna czyli przestrzenie zdarzeń i sygnałów zawierają po dwa elementy e e s generuje s generuje Często przyjmuje się, że s oznacza brak alarmu (brak sygnału) s oznacza alarm Przykłady: urządzenia radiolokacyjne sonary czujniki dymu czujniki ruchu urządzenia antywłamaniowe wykrywacze metali
34 Na podstawie odebranego sygnału x detektor może postawić dwie hipotezy: H H nie ma alarmu (odrzucenie) alarm Istnieją cztery potencjalne decyzje dwie prawidłowe i dwie błędne Decyzja detektora Rzeczywistość Obecny sygnał s Obecny sygnał s Poprawne odrzucenie Fałszywe odrzucenie Przyjęcie hipotezy (poprawny brak alarmu) H (fałszywy brak alarmu) TRR FRR Przyjęcie hipotezy H Fałszywy alarm FAR Poprawny alarm (detekcja) TAR TRR True Rejection Rate FRR False Rejection Rate FAR False Alarm Rate TAR True Alarm Rate
35 { [ ]},,, x = x k k = K X X s s Jeżeli znane są modele probabilistycznych zakłóceń i prawdopodobieństwa warunkowe p x = Pr x s, i =, { } i { i} P = Pr H s = p x d x prawdopodobieństwo poprawnego odrzucenia TR X { } P = Pr H s = p x dx TA X { } P = Pr H s = p x dx FR X { } P = Pr H s = p x dx FA X prawdopodobieństwo poprawnego alarmu prawdopodobieństwo fałszywego odrzucenia prawdopodobieństwo fałszywego alarmu
36 Detekcja binarna Przestrzeń X jest jednowymiarowa sygnał jest pojedynczą wartością chwilową (pojedynczą próbką, czyli K = ) Można np. przyjąć s s = brak alarmu = alarm (lub odwrotnie nie ma to znaczenia) s = s = Pr{ H s} Pr{ H s} Pr{ H s} Pr{ H s} H H D x = D x =
37 Obszarem obserwacji X jest oś liczbowa x, zaś obszary decyzyjne X : x, λ, X : x λ, półosiami X X X Granicą obszarów decyzyjnych jest punkt λ, nazywany progiem decyzyjnym. Prawdopodobieństwa warunkowe: λ λ { } P = Pr H s = p x dx TR { } P = Pr H s = p x dx TA λ { } P = Pr H s = p x dx FR { } P = Pr H s = p x dx FA λ λ prawdopodobieństwo poprawnego odrzucenia prawdopodobieństwo poprawnego alarmu prawdopodobieństwo fałszywego odrzucenia prawdopodobieństwo fałszywego alarmu
38 Przykład s( t) s s A t.5 n t x( t) n ( t ) szum o rozkładzie normalnym = n t A + n t p ( x ) p ( x) Odebrany sygnał x t jest przebiegiem losowym o rozkładzie t czyli p x = e πσ ( ) x m i σ gdzie m i gdy s t = s = = A gdy s t = s = A ( x A) x σ σ = e, = e p x p x πσ πσ
39 A =, σ =,4 p ( x ) p ( x) P TA P FA = { } = P Pr H s p x d x, TA λ i P TA λ A P FA x = Pr{ } = P H s p x dx FA λ λ λ można traktować jako parametryczne równania krzywej P TA Krzywa operacyjna odbiornika ROC Receiver Operating Curve P FA
40 A =, σ =, A =, σ =,5 x x PTA,5 λ P TA,5 λ P FA Krzywe ROC umożliwiają porównywanie detektorów P FA
41 Wybrane kryteria decyzyjne detekcji parametrycznej Założymy dwudecyzyjną detekcję binarną, tzn. na podstawie obserwowanego sygnału x należy podjąć decyzję o przyjęciu jednej z dwóch alternatywnych hipotez: H D x = brak sygnału odrzucenie alarmu H obecny sygnał ( alarm) D x = Jeżeli znamy prawdopodobieństwa a priori wystąpienia sygnałów s (brak alarmu) i s (alarm) P = Pr s, P = Pr s { } { } oraz modele probabilistycznych zakłóceń i prawdopodobieństwa warunkowe = Pr { }, = Pr{ } p x x s p x x s to reguła decyzyjna ma postać (kryterium Neymana-Pearsona): D x gdy p x < cp x = gdy p x cp x gdzie c jest parametrem zależnym od przyjętego kryterium detekcji.
42 Wyrażenie (iloraz prawdopodobieństw warunkowych) { } { x s} ( x) Pr x s p x Λ ( x) = = Pr p nazywa się ilorazem wiarygodności (LR Likelihood Ratio) Regułę decyzyjną (kryterium Neymana-Pearsona) można teraz przedstawić jako: (przyjęta hipoteza obecny sygnał ), jeżeli Λ D x = H = s x c (przyjęta hipoteza obecny sygnał ), jeżeli Λ D x = H = s x < c czyli Λ ( x) H < H c lub p ( x) cp ( x) H H <
43 Kryterium maksimum wiarygodności (ML Maximum Likelihood Kryterium decyzyjne ma postać Λ D x = (przyjęta hipoteza H = obecny sygnał s ), jeżeli x Λ D x = (przyjęta hipoteza H = obecny sygnał s ), jeżeli x < co odpowiada przyjęciu c = Można to zapisać Λ ( x) H < H lub p ( x) p ( x) H < H Kryterium przydatne, gdy nie znamy prawdopodobieństw a priori { } { } P = Pr s i P = Pr s
44 Często wygodnie jest posługiwać się logarytmem ilorazu wiarygodności. Wówczas kryterium ML przyjmie postać: Przykład (c.d.) H ln Λ ( x) lub ln p ( x) ln p ( x) < H H H < ( x A) x σ σ = e, = e p x p x πσ πσ Jak wybrać λ? Λ ( x) ( x) ( ) ( ) p x x A x A A x = = exp = exp p σ σ ( x) x A A A ln Λ ( x) = σ < x< A Optymalnym wyborem będzie λ = A
45 Detekcja Bayesa (kryterium minimum średnich kosztów) Wymagana jest znajomość prawdopodobieństw warunkowych p x i p x oraz prawdopodobieństw a priori wystąpienia w rzeczywistości sygnałów s i s, P = Pr s i P = Pr s czyli { } { } C ij koszt przyjęcia hipotezy H i przy wystąpieniu sygnału s j, czyli mamy cztery rodzaje kosztów: C hipoteza H gdy w rzeczywistości jest s (hipoteza poprawna TR) C hipoteza H gdy w rzeczywistości jest s (hipoteza błędna FA) C hipoteza H gdy w rzeczywistości jest s (hipoteza poprawna TA) C hipoteza H gdy w rzeczywistości jest s (hipoteza błędna FR) Koszty te nie muszą być kosztami finansowymi. Ich ocena należy do ekspertów, i zagadnieniem tym nie będziemy się zajmować. Przyjmiemy (założenie dość oczywiste), że koszty błędnych decyzji są większe niż koszty decyzji poprawnych.
46 Średni koszt podjęcia decyzji: { } { } { } { } C = C Pr H, s + C Pr H, s + C Pr H, s + C Pr H, s { } { } { } { } i j i j j j i j { A B} { A B} { B} Pr, = Pr Pr reguła Bayesa Pr H, s = Pr H s Pr s = P Pr H s, i, j =,. { } { } { } { } C = C P Pr H s + C P Pr H s + C P Pr H s + C P Pr H s X przestrzeń obserwacji, X, X regiony decyzyjne C = C P p x dx + C P p x dx + C P p x dx + C P p x dx X X X X X = X X, X X = X = X \ X C = C P p x dx + C P p x dx + C P p x dx + C P p x dx X X \ X X \ X X
47 C = C P p x dx + C P p x dx + C P p x dx + C P p x dx X X \ X X \ X X p x dx = p x dx = p x d x, i =, i i i X X \ X X C = CP p ( x) dx + C P p ( x) dx + CP p ( x) dx + CP p ( x) dx X X X X C = C P + C P + P C C p x P C C p x d x X składnik stały > składnik zależny od wyboru X Zakładamy, że C > C > i C > C >. { } X = x : P C C p x P C C p x < (przyjęcie hipotezy H ) W konsekwencji { } Drugi składnik będzie minimalny, gdy X = x : P C C p x P C C p x (przyjęcie hipotezy H )
48 Kryterium decyzyjne Bayesa ma więc postać: H P C C p x P C C p x < ( ) ( ) H Wyrażenia w nawiasach są dodatnie, więc kryterium można również zapisać jako H ( ) < ( ) p x P C C p x P C C H lub gdzie Λ ( x) Λ ( x) H ( ) ( ) = p x, c = P C C p x P C C < H c
49 Przykład (c.d.) A =, σ =,5 p p ( x) ( x) = = πσ e πσ x σ e, ( x A) σ (, ), (, λ ), [ λ, ) X = X = X = λ p ( x ) p ( x) λ X X ( λ ) = + + ( ) ( ) d C C P C P P C C p x P C C p x d x dc P C C p P C C p dλ = ( λ ) ( λ ) dc = C ( λ ) min dλ λ = λ wyliczamy z równania opt ( ) ( λ ) = ( ) ( λ ) P C C p P C C p
50 P =, 6; P =, 4; C =,8; C =,; C =,3; C =,; A = ; σ =,5 dc dλ Wówczas otrzymujemy: λ λ =,88755, C =, P P opt FA TA =,8889 =,9759 C ( λ ) Gdyby przyjąć C = (koszt fałszywego odrzucenia alarmu), to wówczas λ λ =,385433, C =,7798 P P opt FA TA =, =,977545
51 Kryterium minimum średnich kosztów błędnych decyzji Modyfikacja kryterium Bayesa uwzględnia się jedynie koszty błędnych decyzji C i C. Stosowane, gdy koszty poprawnych decyzji są zerowe lub trudne do oszacowania. Kryterium to uzyskuje się z kryterium Bayesa po podstawieniu C = C = Średnich koszt błędnych decyzji: d C = C P p x x + C P p x dx X X Kryterium decyzyjne: lub Λ gdzie ( x) ( x) H H < c H p x P C Λ = p x, c = P C p x P C p x < P C H
52 Minimum średniego prawdopodobieństwa błędnych decyzji Stosuje się gdy wszystkie koszty są trudne do oszacowania. Przyjmuje się C = C =, C = C = Wówczas minimalizuje się koszt błędnych decyzji d C = P p x x + P p x dx X X Kryterium decyzyjne: H p x P p x < P H lub Λ gdzie ( x) ( x) H H < c Λ = p x, c = P p x P
53 Kryterium maksimum prawdopodobieństwa a posteriori (MAP) Prawdopodobieństwo a posteriori jest prawdopodobieństwem warunkowym, definiowanym jako prawdopodobieństwo wystąpienia sygnału s i w konkretnym odebranym sygnale x, czyli { si x} Zgodnie z regułą Bayesa Pr. { x s i } Pr { x s i } Pr Pr{ si x} = Pr { si } = Pi, Pr x Pr x { } { } gdzie P i jest prawdopodobieństwem a priori wystąpienia sygnału s i. Kryterium to wymaga wyznaczenia prawdopodobieństw a posteriori dla wszystkich możliwych sygnałów s i, w sytuacji kiedy odebrano sygnał x. Test decyzyjny polega na porównaniu tych prawdopodobieństw i wybraniu takiej hipotezy H i o wykryciu sygnału s i, dla której Pr { si x} jest największe.
54 W przypadku detektora dwudecyzyjnego kryterium to ma postać: Pr H { s x} Pr{ s x} < H Jeżeli sygnał x jest zmienną losową ciągłą, obliczenie prawdopodobieństw warunkowych a posteriori może być kłopotliwe. Zwykle przyjmuje się Wówczas Pr{ } { i} = ( i ) = i { } = Pr x s p x s dx p x d x, Pr x p x dx i Pr{ } p ( x ) pi x p x si x = si = Pi p x W przypadku detektora dwudecyzyjnego: p( x) czyli H p x P p x < P H H p x p x P < p x Kryterium jest identyczne z kryterium minimum prawdopodobieństwa błędów! H P
55 Czasowo-częstotliwościowa analiza sygnałów Reprezentacja widmowa sygnałów niestacjonarnych, oparta na przekształceniu Fouriera, powoduje uśrednienie widma i nie umożliwia uchwycenia efektów lokalnych i lokalizacji tych efektów na osi czasu. Transformata Fouriera, wyznaczona dla t (, ), charakteryzuje się ostrą lokalizacją na osi częstotliwości ale nie zapewniażadnej lokalizacji czasowej. T j k ( ω t jkω ω ) = = t X j x t e d t X x t e d t T Jądro przekształcenia lub baza szeregu Fouriera są określone (niezerowe) na całej osi czasu Rozdzielczość czasową można uzyskać stosując inny zestaw funkcji bazowych, takich, które przyjmują niezerowe wartości tylko w skończonych przedziałach czasu. Można to np. zrealizować w taki sposób, że przedział czasu obserwacji sygnału dzielimy na krótsze fragmenty, i dla każdego fragmentu wyznaczamy widmo.
56 Skrócenie sygnału powoduje jednak rozmycie widma, a więc pogorszenie rozdzielczości w dziedzinie częstotliwości. Zjawisko to jest podobne do, znanej w mechanice kwantowej, zasady nieoznaczoności Heisenberga. Niech g t oznacza okno czasowe, wycinające fragment sygnału o długości a G jω jego widmo (transformatę Fouriera). Szerokości okien w dziedzinie czasu i częstotliwości wyznaczają kostkę lokalizacji funkcji bazy (kostkę Heisenberga) t ω ω G ( j ω ) G ( j ω ) ω ω t t t t g ( t) g ( t)
57 ω g ( t) G( jω) g ( at) G j a a d d ( jω) E = g t t = G Przyjmiemy: E = g t = ω π = ( ) wtedy ( j ω ) = ( j ω ) = ( j ω ) g t g t G G G ( t) lim t g = t ± g ( t ) G( jω) t ω
58 Rozważmy funkcje g ( t) i G( jω) g ( t ) G( jω) t ω σ t σ ω Jako miarę szerokości tych krzywych można przyjąć: σ t = t g t t = t g t d dω σ ω ω ω ω ω π ( j ) j ( j ) = G = G = g t
59 x = t g t y = g t Nierówność Schwartza-Buniakowskiego: x, y x, x y, y = x y t g t g t t g t g t σ σ ω, = t t g t, g t t g t g t dt = u = t u = v = g t g t v = g t t g t g t dt = = σ σ t ω Równość zachodzi, gdy g t = aπ t g t, a > g t = K K aπt e, dowolne g ( t) g t = aπt Jeżeli wymagamy 4 g t = to należy przyjąć K = a
60 G( jω) g t ( τ ) G( jω) g t G e jωτ jωτ ( jω) e = G( jω) ω g ( t ) τ g ( t τ ) t ω jξt e G j( ω ξ ) g t jξ e t g ( t) g t ξ j g t g ( t ) ξ e t t ω ( τ ) j g t ξ e t jξt ( τ ) G ( ω ξ ) g t e j e jωτ ξ t g ( t) τ
61 Krótkoczasowa (okienkowa) transformata Fouriera STFT Short-Time Fourier Transform Niech g t = g t będzie funkcją, która jest znacząco różna od w skończonym przedziale t, t (funkcja okna). Ponadto g t = g t, g t = g t dt = Krótkoczasową transformatą Fouriera nazywamy: Funkcję STFT,, ξ = = e t d j ( τ ξ ) ( τ ξ ) ( τ ) x X x t g t t nazywa się atomem czasowo-częstotliwościowym przekształcenia Wyrażenie na transformatę można zapisać również jako j = e ξt ( τ ) g t g t τξ ( τ, ξ ) =, X x t g t τ, ξ
62 X τ, ξ reprezentuje na płaszczyźnie ( t, ω) własności sygnału x( t) w otoczeniu punktu τ, ξ Przyjmijmy τ = mt i ξ = nω Wówczas mn j e n ω = t ( ) g t g t mt jnω = = = ( ) t STFT m, n X m, n x t, g t x t g t mt e dt x ω n mn 3 t ω 3 m t
63 Przeskalowanie funkcji okna ( σ σ ) Jeżeli okno g t ma kostkę Heisenberga, t to okno ga t g ma kostkę Heisenberga a t ω a a a = ( σ σ ) Przeskalowanie nie zmienia powierzchni kostki Heisenberga! t ω ω n a < a > ω n m t m t
64 jnωt = = ( ) X m, n x t, g t x t g t mt e dt mn Gdy jako funkcję okna przyjąć, zaproponowaną przez Gabora funkcję = ( a) g t to osiąga się minimum iloczynu σ tσ ω =, czyli minimalną powierzchnię okna Heisenberga. Atomy wygenerowane przez taką funkcję mn π 4 e a t j ω = ( ) g t g t mt nazywa się atomami Gabora, a STFT z takimi atomami przekształceniem Gabora. e n t Funkcję nazywa się spektrogramem. x (, ) = X ( m, n) P m n Spektrogram jest miarą (rozkładem) energii na płaszczyźnie t, ω w otoczeniu punktów mt i nω.
65 Przykład. Sygnał sinusoidalny, o częstotliwości zmieniającej się liniowo w zakresie w czasie ( ) s ( 45) Hz Moduł widma, db Częstotliwość, Hz.5 Czas, s.5
66 Inaczej: Czas, s Częstotliwość, Hz
67 Przykład. Sygnał sinusoidalny o kluczowanej częstotliwości: f = 5 Hz, f = 45 Hz 5 4 Częstotliwość ęstotliwość, Hz Czas, s
68 Przykład 3. Sygnał sinusoidalny o sinusoidalnie modulowanej częstotliwości Częstotliwość środkowa 5 Hz, częstotliwość modulująca,5 Hz, dewiacja częstotliwości ± 5 Hz 5 4 Częstotliwość, Hz Czas, s
69 Transformacja falkowa Transformacja falkowa (wavelet transform) jest alternatywnym sposobem analizy czasowo-częstotliwościowej L x t ψ ψ Wx a, b = X a, b = x t, ab t = x t ab t dt Jądrem przekształcenia są funkcje bazowe ψ ab ( t), nazywane falkami (wavelets). Są odpowiednikiem okna w STFT, i powinny być dobrze skoncentrowane w czasie. Zbiór falek generuje się w oparciu o falkę podstawową. Falka podstawowa (falka matka, falka bazowa mother wavelet) Funkcję ψ t (może być zespolona) nazywamy falką podstawową, gdy gdzie ( j ) Ψ ω C ψ = dω < ω { } ( j ) =F ( t ) Ψ ω ψ
70 Z warunku ( j ) Ψ ω C ψ = dω < ω wynikają następujące własności falki podstawowej: ( t) t Ψ ψ d = (co jest równoważne = ) ψ + t t dt < Funkcja ψ t musi więc mieć co najmniej jedno zafalowanie, a jednocześnie powinna być skoncentrowana w skończonym przedziale na osi czasu, a poza tym przedziałem powinna szybko zanikać do zera. Ma więc postać krótkiej fali, czyli falki..5 t.5 t Fala Falka
71 Na podstawie falki podstawowej ψ t generuje się rodzinę falek: ψ ab t b + t = ψ, a R, b R a a i przesunięcie na osi czasu (parametr b) falki podstawowej Zbiór falek ψ ab t powstaje więc przez zmianę skali czasu (parametr a) ψ t ψ ( t) a = 6 b = 5 ψ ab t b t a = ψ a a = b = 4
72 ψ ab t b + t = ψ, a R, b R a a ψ ψ Wx a, b = X a, b = x t, ab t = x t ab t dt X ( a b ) x( t) : Transformata, umożliwia pełną rekonstrukcję sygnału x ( t ) = x, d d (, ) d d ab ab t a b X a b ab t a b a C ψ ψ = ψ a C ψ ψ gdzie ( j ) Ψ ω C ψ = dω < ω
73 Przykłady falek podstawowych Falka Haara ψ ( t) gdy t, = gdy t, gdy t, ) ) [ ) ψ ( t) haar t Falka Morleta.8 ψ ( t) morl ψ ( t) = e π t cos5t t
74 Falka mesykański kapelusz Mexican Hat.8.6 ψ ( t) mexh.4 ψ π 4 ( t) = ( t ) 3 e t t Falka Meyera Zapis analityczny jest mocno skomplikowany.5 ψ ( t) meyr.5 t
75 Rodzina zespolonych falek Gaussa f t = e t e C jt ( p ) ( t) = C p 5 7t + 6t + j( 56t + 3t ) p = 4 : ψ e e p = π ( p) ψ t = C f t, f oznacza pochodną rzędu p C p p wyznacza się z warunku ψ =.8.6 Re { } t jt cgau4 { }.8 ψ ( t) Im ψ ( t) t. t
76 Rodzina falek Daubechies (nie istnieje zapis analityczny).5 ψ ( t) db4.5 ψ ( t) db8.5 t t ψ ( t) db.8 ψ ( t) db t t
77 Skwantowanie parametrów a i b. a b m = a m = nb a m, n Z ψ ab t b + t = ψ, a R, b R a a Wówczas m m m ψ mn t = a ψ a t nba stanowi przeliczalny zbiór funkcji bazowych, m, n Z Jeżeli eli przyjąć a =, b =, to ψ m m ψ m ψ = m ( m ) ψ t t n mn m ( t) = czynnik m odpowiada za skalowanie osi czasu ψ m mn = ψ m t n n odpowiada za przesunięcie w dziedzinie czasu, na poziomie m przesunięcie to jest z krokiem m Taki zbiór falek nazywa się zbiorem diadycznym
78 m ψ = m ( m ) ψ t t n mn ψ X = x, ψ = x t t dt współczynniki falkowe mn mn mn Transformata odwrotna: = ψ x t X t m n mn mn Współczynniki falkowe X mn reprezentują cechy sygnału przedstawionego w bazie ψ mn, przy czym parametr n lokalizuje chwilę na osi czasu, w której wykonujemy analizę, a m określa zakres analizowanych częstotliwości. Dyskretną funkcję Snm = X mn nazywa się skalogramem sygnału x ( t ). jest to odpowiednik spektrogramu STFT.
79 Relacja skala-częstotliwość Falka { } ( t) ( j ) =F ( t) ψ Ψ ω ψ ψ ( t) Ψ ( jω) Ψ ( jω) jest charakterystyką amplitudową filtra pasmowoprzepustowego, o pulsacji środkowej ω i szerokości pasma B = σ. dω dω Jeżeli ψ = to Ψ = Ψ ( jω) = Ψ ( jω) = π π ω B wtedy dω ω = ω Ψ j ω, = σ, σ = ω ω Ψ jω B π dω π
80 Co będzie dla ψ mn ( t)? m = ψ m ( m ) ψ mn t t n m a= ( t) m ψ = ψ Ψ jω = Ψ j ω m m m m m m t = n m ω ( t n ) ψ = ψ Ψ jω = Ψ jω e = Ψ j ω e m n j m m n j mn m mn m j ( j ) ( j ) e n m ω = = ( j ) Ψ ω Ψ ω Ψ ω mn m m F ( jω) m m m dx m dx m ωm = x Ψ ( jx) = xψ ( jx) = ω π π f t dω ω = ω Ψ jω = ω Ψ j ω m m m m π ω = m x dω π ω f ( at) F j a a f t t F jωt ( jω) e m ω m Podobnie: σ = σ, czyli B = m B m m
81 ψ ( t) ψ ( t) mn m =, n = 4 m =, n = 4 m = 3, n = 4 t Ψ mn ( jω) m =, n = 4 m =, n = 4 m = 3, n = 4 Ψ ( jω) ω
82 ψ ( t mn ) m =, n = m =, n = 8 m = 3, n = 4 ψ ( t) t Ψ ( jω ) Ψ ( jω) mn m m m =, n = =, n = 8 = 3, n = 4 ω
83 Rozkład kostek Heisenberga diadycznej transformacji falkowej. B = 3 3 B m = 3 B = B m = B B = B B = B m = m = m = Podstawowe zastosowania transformacji falkowej: kompresja sygnałów (systemy MP3 i MPG4) usuwanie szumu ( odszumianie ) cyfrowa rekonstrukcja starych filmów
2. P (E) = 1. β B. TSIM W3: Sygnały stochastyczne 1/27
SYGNAŁY STOCHASTYCZNE Przestrzeń probabilistyczna i zmienna losowa Definicja Przestrzenią probabilistyczną (doświadczeniem) nazywamy trójkę uporządkowaną (E, B, P ), gdzie: E przestrzeń zdarzeń elementarnych;
Bardziej szczegółowoAkwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych
Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych Instytut Teleinformatyki ITI PK Kraków 21 luty 2011 Analiza czas - częstotliwość analiza częstotliwościowa: problem dla sygnału niestacjonarnego zwykła transformata
Bardziej szczegółowoCyfrowe przetwarzanie i kompresja danych
Cyfrowe przetwarzanie i kompresja danych dr inż.. Wojciech Zając Wykład 5. Dyskretna transformata falkowa Schemat systemu transmisji danych wizyjnych Źródło danych Przetwarzanie Przesył Przetwarzanie Prezentacja
Bardziej szczegółowo2. Próbkowanie Sygnały okresowe (16). Trygonometryczny szereg Fouriera (17). Częstotliwość Nyquista (20).
SPIS TREŚCI ROZDZIAŁ I SYGNAŁY CYFROWE 9 1. Pojęcia wstępne Wiadomości, informacje, dane, sygnały (9). Sygnał jako nośnik informacji (11). Sygnał jako funkcja (12). Sygnał analogowy (13). Sygnał cyfrowy
Bardziej szczegółowoRozdział 1 PODSTAWOWE POJĘCIA I DEFINICJE
1. 1. W p r owadze n ie 1 Rozdział 1 PODSTAWOWE POJĘCIA I DEFINICJE 1.1. WPROWADZENIE SYGNAŁ nośnik informacji ANALIZA SYGNAŁU badanie, którego celem jest identyfikacja własności, cech, miar sygnału; odtwarzanie
Bardziej szczegółowoPrzekształcenie Fouriera obrazów FFT
Przekształcenie ouriera obrazów T 6 P. Strumiłło, M. Strzelecki Przekształcenie ouriera ourier wymyślił sposób rozkładu szerokiej klasy funkcji (sygnałów) okresowych na składowe harmoniczne; taką reprezentację
Bardziej szczegółowoRozdział 2: Metoda największej wiarygodności i nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów
Rozdział : Metoda największej wiarygodności i nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów W tym rozdziale omówione zostaną dwie najpopularniejsze metody estymacji parametrów w ekonometrycznych modelach nieliniowych,
Bardziej szczegółowoLaboratorium Przetwarzania Sygnałów
PTS - laboratorium Laboratorium Przetwarzania Sygnałów Ćwiczenie 4 Transformacja falkowa Opracował: - prof. dr hab. inż. Krzysztof Kałużyński Zakład Inżynierii Biomedycznej Instytut Metrologii i Inżynierii
Bardziej szczegółowoKatedra Fizyki Ciała Stałego Uniwersytetu Łódzkiego. Ćwiczenie 2 Badanie funkcji korelacji w przebiegach elektrycznych.
Katedra Fizyki Ciała Stałego Uniwersytetu Łódzkiego Ćwiczenie Badanie unkcji korelacji w przebiegach elektrycznych. Cel ćwiczenia: Celem ćwiczenia jest zbadanie unkcji korelacji w okresowych sygnałach
Bardziej szczegółowoTERAZ O SYGNAŁACH. Przebieg i widmo Zniekształcenia sygnałów okresowych Miary sygnałów Zasady cyfryzacji sygnałów analogowych
TERAZ O SYGNAŁACH Przebieg i widmo Zniekształcenia sygnałów okresowych Miary sygnałów Zasady cyfryzacji sygnałów analogowych Sygnał sinusoidalny Sygnał sinusoidalny (także cosinusoidalny) należy do podstawowych
Bardziej szczegółowoSYMULACJA KOMPUTEROWA SYSTEMÓW
SYMULACJA KOMPUTEROWA SYSTEMÓW ZASADY ZALICZENIA I TEMATY PROJEKTÓW Rok akademicki 2015 / 2016 Spośród zaproponowanych poniżej tematów projektowych należy wybrać jeden i zrealizować go korzystając albo
Bardziej szczegółowo1. Modulacja analogowa, 2. Modulacja cyfrowa
MODULACJA W16 SMK 2005-05-30 Jest operacja mnożenia. Jest procesem nakładania informacji w postaci sygnału informacyjnego m.(t) na inny przebieg o wyższej częstotliwości, nazywany falą nośną. Przyczyna
Bardziej szczegółowoLepkosprężystość. Metody pomiarów właściwości lepkosprężystych materii
Metody pomiarów właściwości lepkosprężystych materii Pomiarów dokonuje się w dwóch dziedzinach: czasowej lub częstotliwościowej i nie zależy to od rodzaju przyłożonych naprężeń (normalnych lub stycznych).
Bardziej szczegółowoTeoria Sygnałów. III rok Informatyki Stosowanej. Wykład 8
Teoria Synałów rok nformatyki Stosowanej Wykład 8 Analiza częstotliwościowa dyskretnych synałów cyfrowych okna widmowe (cd poprzednieo wykładu) N = 52; T =.24; %czas trwania synału w sekundach dt = T/N;
Bardziej szczegółowoMODULACJA. Definicje podstawowe, cel i przyczyny stosowania modulacji, rodzaje modulacji. dr inż. Janusz Dudczyk
Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania MODULACJA Definicje podstawowe, cel i przyczyny stosowania modulacji, rodzaje modulacji dr inż. Janusz Dudczyk Cel wykładu Przedstawienie podstawowych
Bardziej szczegółowof = 2 śr MODULACJE
5. MODULACJE 5.1. Wstęp Modulacja polega na odzwierciedleniu przebiegu sygnału oryginalnego przez zmianę jednego z parametrów fali nośnej. Przyczyny stosowania modulacji: 1. Umożliwienie wydajnego wypromieniowania
Bardziej szczegółowoPrzedmowa Wykaz oznaczeń Wykaz skrótów 1. Sygnały i ich parametry 1 1.1. Pojęcia podstawowe 1 1.2. Klasyfikacja sygnałów 2 1.3.
Przedmowa Wykaz oznaczeń Wykaz skrótów 1. Sygnały i ich parametry 1 1.1. Pojęcia podstawowe 1 1.2. Klasyfikacja sygnałów 2 1.3. Sygnały deterministyczne 4 1.3.1. Parametry 4 1.3.2. Przykłady 7 1.3.3. Sygnały
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM AKUSTYKI MUZYCZNEJ. Ćw. nr 12. Analiza falkowa dźwięków instrumentów muzycznych. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE ANALIZY FALKOWEJ.
LABORATORIUM AKUSTYKI MUZYCZNEJ. Ćw. nr 1. Analiza falkowa dźwięków instrumentów muzycznych. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE ANALIZY FALKOWEJ. Transformacja falkowa (ang. wavelet falka) przeznaczona jest do analizy
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych. KG (CC) Statystyka 26 V / 1
Weryfikacja hipotez statystycznych KG (CC) Statystyka 26 V 2009 1 / 1 Sformułowanie problemu Weryfikacja hipotez statystycznych jest drugą (po estymacji) metodą uogólniania wyników uzyskanych w próbie
Bardziej szczegółowoTransformaty. Kodowanie transformujace
Transformaty. Kodowanie transformujace Kodowanie i kompresja informacji - Wykład 10 10 maja 2009 Szeregi Fouriera Każda funkcję okresowa f (t) o okresie T można zapisać jako f (t) = a 0 + a n cos nω 0
Bardziej szczegółowoSymulacja sygnału czujnika z wyjściem częstotliwościowym w stanach dynamicznych
XXXVIII MIĘDZYUCZELNIANIA KONFERENCJA METROLOGÓW MKM 06 Warszawa Białobrzegi, 4-6 września 2006 r. Symulacja sygnału czujnika z wyjściem częstotliwościowym w stanach dynamicznych Eligiusz PAWŁOWSKI Politechnika
Bardziej szczegółowoTeoria sterowania - studia niestacjonarne AiR 2 stopień
Teoria sterowania - studia niestacjonarne AiR stopień Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. Inż. Katedra Inżynerii Systemów Sterowania Wykład 4-06/07 Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe
Bardziej szczegółowo(1.1) gdzie: - f = f 2 f 1 - bezwzględna szerokość pasma, f śr = (f 2 + f 1 )/2 częstotliwość środkowa.
MODULACJE ANALOGOWE 1. Wstęp Do przesyłania sygnału drogą radiową stosuje się modulację. Modulacja polega na odzwierciedleniu przebiegu sygnału oryginalnego przez zmianę jednego z parametrów fali nośnej.
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 9 i 10 1 / 30 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH
Bardziej szczegółowoCYFROWE PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW
POLITECHNIKA RZESZOWSKA im. I. Łukasiewicza WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I INFORMATYKI Katedra Metrologii i Systemów Diagnostycznych CYFROWE PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW Analiza korelacyjna sygnałów dr hab. inż.
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2018 Wstęp Stabilność O układzie możemy mówić, że jest stabilny jeżeli jego odpowiedź na wymuszenie (zakłócenie)
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych.
Statystyka Wykład 10 Wrocław, 22 grudnia 2011 Testowanie hipotez statystycznych Definicja. Hipotezą statystyczną nazywamy stwierdzenie dotyczące parametrów populacji. Definicja. Dwie komplementarne w problemie
Bardziej szczegółowoWstęp do Metod Systemowych i Decyzyjnych Opracowanie: Jakub Tomczak
Wstęp do Metod Systemowych i Decyzyjnych Opracowanie: Jakub Tomczak 1 Wprowadzenie. Zmienne losowe Podczas kursu interesować nas będzie wnioskowanie o rozpatrywanym zjawisku. Poprzez wnioskowanie rozumiemy
Bardziej szczegółowoPrzetwarzanie Sygnałów. Zastosowanie Transformaty Falkowej w nadzorowaniu
Akademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej Przetwarzanie Sygnałów Studia Podyplomowe, Automatyka i Robotyka Zastosowanie Transformaty Falkowej
Bardziej szczegółowoPrzetwarzanie sygnałów biomedycznych
Przetwarzanie sygnałów biomedycznych dr hab. inż. Krzysztof Kałużyński, prof. PW Człowiek- najlepsza inwestycja Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Stabilność O układzie możemy mówić, że jest stabilny gdy układ ten wytrącony ze stanu równowagi
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład XIII: Prognoza. 26 stycznia 2015 Wykład XIII: Prognoza. Prognoza (predykcja) Przypuśćmy, że mamy dany ciąg liczb x 1, x 2,..., x n, stanowiących wyniki pomiaru pewnej zmiennej w czasie wielkości
Bardziej szczegółowoZAJĘCIA II. Zmienne losowe, sygnały stochastyczne, zakłócenia pomiarowe
ZAJĘCIA II Zmienne losowe, sygnały stochastyczne, zakłócenia pomiarowe Po co statystyka w identyfikacji? Zmienne losowe i ich parametry Korelacja zmiennych losowych Rozkłady wielowymiarowe i sygnały stochastyczne
Bardziej szczegółowoTeoria systemów i sygnałów Kierunek AiR, sem. 5 2wE + 1l
Teoria systemów i sygnałów Kierunek AiR, sem. 5 2wE + 1l Prof. dr hab. Wojciech Moczulski Politechnika Ślaska, Wydział Mechaniczny Technologiczny Katedra Podstaw Konstrukcji Maszyn 19 października 2008
Bardziej szczegółowoTeoria Sygnałów. Inżynieria Obliczeniowa II rok 2018/19. Wykład 10. ( t) Wykorzystanie transformacji Fouriera w analizie korelacyjnej
Teoria Synałów Inżynieria Obliczeniowa II rok 208/9 Wykład 0 Wykorzystanie transformacji Fouriera w analizie korelacyjnej Na początek krótkie przypomnienie podstawowych definicji: Funkcja autokorelacji
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Stabilność - definicja 1 O układzie możemy mówić, że jest stabilny gdy wytrącony ze stanu równowagi
Bardziej szczegółowoWażne rozkłady i twierdzenia c.d.
Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby
Bardziej szczegółowoCHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE
CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE Do opisu członów i układów automatyki stosuje się, oprócz transmitancji operatorowej (), tzw. transmitancję widmową. Transmitancję widmową () wyznaczyć można na podstawie
Bardziej szczegółowoPrzetwarzanie sygnałów dyskretnych
Przetwarzanie sygnałów dyskretnych System dyskretny p[ n ] r[ n] Przykłady: [ ] = [ ] + [ ] r n a p n a p n [ ] r n = 2 [ + ] + p[ n ] p n 2 r[ n] = a p[ n] + b n [ ] = [ ] r n a p n n [ ] = [ + ] r n
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji
Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki
Bardziej szczegółowoAutomatyczne rozpoznawanie mowy - wybrane zagadnienia / Ryszard Makowski. Wrocław, Spis treści
Automatyczne rozpoznawanie mowy - wybrane zagadnienia / Ryszard Makowski. Wrocław, 2011 Spis treści Przedmowa 11 Rozdział 1. WPROWADZENIE 13 1.1. Czym jest automatyczne rozpoznawanie mowy 13 1.2. Poziomy
Bardziej szczegółowoĆwiczenie - 1 OBSŁUGA GENERATORA I OSCYLOSKOPU. WYZNACZANIE CHARAKTERYSTYKI AMPLITUDOWEJ I FAZOWEJ NA PRZYKŁADZIE FILTRU RC.
Ćwiczenie - 1 OBSŁUGA GENERATORA I OSCYLOSKOPU. WYZNACZANIE CHARAKTERYSTYKI AMPLITUDOWEJ I FAZOWEJ NA PRZYKŁADZIE FILTRU RC. Spis treści 1 Cel ćwiczenia 2 2 Podstawy teoretyczne 2 2.1 Charakterystyki częstotliwościowe..........................
Bardziej szczegółowoCYFROWE PRZTWARZANIE SYGNAŁÓW (Zastosowanie transformacji Fouriera)
I. Wprowadzenie do ćwiczenia CYFROWE PRZTWARZANIE SYGNAŁÓW (Zastosowanie transformacji Fouriera) Ogólnie termin przetwarzanie sygnałów odnosi się do nauki analizowania zmiennych w czasie procesów fizycznych.
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podsta Automatyki Transmitancja operatorowa i widmowa systemu, znajdowanie odpowiedzi w dziedzinie s i w
Bardziej szczegółowouzyskany w wyniku próbkowania okresowego przebiegu czasowego x(t) ze stałym czasem próbkowania t takim, że T = t N 1 t
4. 1 3. " P r ze c ie k " w idm ow y 1 0 2 4.13. "PRZECIEK" WIDMOWY Rozważmy szereg czasowy {x r } dla r = 0, 1,..., N 1 uzyskany w wyniku próbkowania okresowego przebiegu czasowego x(t) ze stałym czasem
Bardziej szczegółowoProcedura modelowania matematycznego
Procedura modelowania matematycznego System fizyczny Model fizyczny Założenia Uproszczenia Model matematyczny Analiza matematyczna Symulacja komputerowa Rozwiązanie w postaci modelu odpowiedzi Poszerzenie
Bardziej szczegółowoFFT i dyskretny splot. Aplikacje w DSP
i dyskretny splot. Aplikacje w DSP Marcin Jenczmyk m.jenczmyk@knm.katowice.pl Wydział Matematyki, Fizyki i Chemii 10 maja 2014 M. Jenczmyk Sesja wiosenna KNM 2014 i dyskretny splot 1 / 17 Transformata
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek
PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta
Bardziej szczegółowoTransformata Laplace a to przekształcenie całkowe funkcji f(t) opisane następującym wzorem:
PPS 2 kartkówka 1 RÓWNANIE RÓŻNICOWE Jest to dyskretny odpowiednik równania różniczkowego. Równania różnicowe to pewne związki rekurencyjne określające w sposób niebezpośredni wartość danego wyrazu ciągu.
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24)
Podstawy Automatyki wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak Politechnika Wrocławska Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Laboratorium Podstaw Automatyzacji (L6) 105/2 B1 Sprawy organizacyjne
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 2 - podstawy matematyczne. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 2 - podstawy matematyczne Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Rzeczywiste obiekty regulacji, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe, n.p. turbulencje, wiele
Bardziej szczegółowoWłasności dynamiczne przetworników pierwszego rzędu
1 ĆWICZENIE 7. CEL ĆWICZENIA. Własności dynamiczne przetworników pierwszego rzędu Celem ćwiczenia jest poznanie własności dynamicznych przetworników pierwszego rzędu w dziedzinie czasu i częstotliwości
Bardziej szczegółowoWażne rozkłady i twierdzenia
Ważne rozkłady i twierdzenia Rozkład dwumianowy i wielomianowy Częstość. Prawo wielkich liczb Rozkład hipergeometryczny Rozkład Poissona Rozkład normalny i rozkład Gaussa Centralne twierdzenie graniczne
Bardziej szczegółowoMetody systemowe i decyzyjne w informatyce
Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Ćwiczenia lista zadań nr 2 autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Metody estymacji Zad. 1 Pojawianie się spamu opisane jest zmienną losową x o rozkładzie dwupunktowym
Bardziej szczegółowoPrzetwarzanie i transmisja danych multimedialnych. Wykład 8 Transformaty i kodowanie cz. 2. Przemysław Sękalski.
Przetwarzanie i transmisja danych multimedialnych Wykład 8 Transformaty i kodowanie cz. 2 Przemysław Sękalski sekalski@dmcs.pl Politechnika Łódzka Katedra Mikroelektroniki i Technik Informatycznych DMCS
Bardziej szczegółowoSpis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16
Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 3,4. Analiza widmowa sygnałów czasowych: sinus, trójkąt, prostokąt, szum biały i szum różowy
Ćwiczenie 3,4. Analiza widmowa sygnałów czasowych: sinus, trójkąt, prostokąt, szum biały i szum różowy Grupa: wtorek 18:3 Tomasz Niedziela I. CZĘŚĆ ĆWICZENIA 1. Cel i przebieg ćwiczenia. Celem ćwiczenia
Bardziej szczegółowoAkwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych
Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych Instytut Teleinformatyki ITI PK Kraków 21 luty 2011 Plan na dziś 1 Przedstawienie przedmiotu i zakresu wykładu polecanej iteratury zasad zaliczenia 2 Wyklad
Bardziej szczegółowoIX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA
IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX.1. OPERACJE OBSERWACJI. a) klasycznie nie ważna kolejność, w jakiej wykonujemy pomiary. AB = BA A pomiar wielkości A B pomiar wielkości B b) kwantowo wartość obserwacji
Bardziej szczegółowoW celu obliczenia charakterystyki częstotliwościowej zastosujemy wzór 1. charakterystyka amplitudowa 0,
Bierne obwody RC. Filtr dolnoprzepustowy. Filtr dolnoprzepustowy jest układem przenoszącym sygnały o małej częstotliwości bez zmian, a powodującym tłumienie i opóźnienie fazy sygnałów o większych częstotliwościach.
Bardziej szczegółowoKartkówka 1 Opracowanie: Próbkowanie częstotliwość próbkowania nie mniejsza niż podwojona szerokość przed spróbkowaniem.
Znowu prosta zasada - zbierzmy wszystkie zagadnienia z tych 3ech kartkówek i opracujmy - może się akurat przyda na dopytkę i uda się zaliczyć labki :) (dodatkowo można opracowania z tych rzeczy z doc ów
Bardziej szczegółowoInterpolacja, aproksymacja całkowanie. Interpolacja Krzywa przechodzi przez punkty kontrolne
Interpolacja, aproksymacja całkowanie Interpolacja Krzywa przechodzi przez punkty kontrolne Aproksymacja Punkty kontrolne jedynie sterują kształtem krzywej INTERPOLACJA Zagadnienie interpolacji można sformułować
Bardziej szczegółowoModele DSGE. Jerzy Mycielski. Maj Jerzy Mycielski () Modele DSGE Maj / 11
Modele DSGE Jerzy Mycielski Maj 2008 Jerzy Mycielski () Modele DSGE Maj 2008 1 / 11 Modele DSGE DSGE - Dynamiczne, stochastyczne modele równowagi ogólnej (Dynamic Stochastic General Equilibrium Model)
Bardziej szczegółowoDyskretne układy liniowe. Funkcja splotu. Równania różnicowe. Transform
Dyskretne układy liniowe. Funkcja splotu. Równania różnicowe. Transformata Z. March 20, 2013 Dyskretne układy liniowe. Funkcja splotu. Równania różnicowe. Transformata Z. Sygnał i system Sygnał jest opisem
Bardziej szczegółowoPlan wykładu. Własności statyczne i dynamiczne elementów automatyki:
Plan wykładu Własności statyczne i dynamiczne elementów automatyki: - charakterystyka statyczna elementu automatyki, - sygnały standardowe w automatyce: skok jednostkowy, impuls Diraca, sygnał o przebiegu
Bardziej szczegółowoPSYT Laboratorium nr 3
Warszawa, 19.11.2013r. PSYT Laboratorium nr 3 Wyznaczanie charakterystyk operacyjnych detektorów 1 Wstęp Z detekcją sygnałów na tle zakłóceń spotykamy się nieustannie zarówno w telekomunikacji jak i w
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia sygnałów losowych w układach
INSTYTUT TELEKOMUNIKACJI ZAKŁAD RADIOKOMUNIKACJI Instrukcja laboratoryjna z przedmiotu Sygnały i kodowanie Przekształcenia sygnałów losowych w układach Warszawa 010r. 1. Cel ćwiczenia: Ocena wpływu charakterystyk
Bardziej szczegółowoVI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów
VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych
Bardziej szczegółowoFiltracja. Krzysztof Patan
Filtracja Krzysztof Patan Wprowadzenie Działanie systemu polega na przetwarzaniu sygnału wejściowego x(t) na sygnał wyjściowy y(t) Równoważnie, system przetwarza widmo sygnału wejściowego X(jω) na widmo
Bardziej szczegółowoSposoby opisu i modelowania zakłóceń kanałowych
INSTYTUT TELEKOMUNIKACJI ZAKŁAD RADIOKOMUNIKACJI Instrukcja laboratoryjna z przedmiotu Podstawy Telekomunikacji Sposoby opisu i modelowania zakłóceń kanałowych Warszawa 2010r. 1. Cel ćwiczeń: Celem ćwiczeń
Bardziej szczegółowoAkustyka muzyczna ANALIZA DŹWIĘKÓW MUZYCZNYCH
Akustyka muzyczna ANALIZA DŹWIĘKÓW MUZYCZNYCH Dźwięk muzyczny Dźwięk muzyczny sygnał wytwarzany przez instrument muzyczny. Najważniejsze parametry: wysokość związana z częstotliwością podstawową, barwa
Bardziej szczegółowoIdea. θ = θ 0, Hipoteza statystyczna Obszary krytyczne Błąd pierwszego i drugiego rodzaju p-wartość
Idea Niech θ oznacza parametr modelu statystycznego. Dotychczasowe rozważania dotyczyły metod estymacji tego parametru. Teraz zamiast szacować nieznaną wartość parametru będziemy weryfikowali hipotezę
Bardziej szczegółowoModelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski
Modelowanie zależności pomiędzy zmiennymi losowymi Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski P Zmienne losowe niezależne - przypomnienie Dwie rzeczywiste zmienne losowe X i Y
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,
Bardziej szczegółowoMetoda największej wiarygodności
Metoda największej wiarygodności Próbki w obecności tła Funkcja wiarygodności Iloraz wiarygodności Pomiary o różnej dokładności Obciążenie Informacja z próby i nierówność informacyjna Wariancja minimalna
Bardziej szczegółowoOPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki
OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Równania (3.7), pomimo swojej prostoty, nie posiadają poza nielicznymi przypadkami ścisłych rozwiązań,
Bardziej szczegółowo1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2
Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,
Bardziej szczegółowoTechnika regulacji automatycznej
Technika regulacji automatycznej Wykład 3 Wojciech Paszke Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych, Uniwersytet Zielonogórski 1 z 32 Plan wykładu Wprowadzenie Układ pierwszego rzędu Układ drugiego
Bardziej szczegółowoProjektowanie układów regulacji w dziedzinie częstotliwości. dr hab. inż. Krzysztof Patan, prof. PWSZ
Projektowanie układów regulacji w dziedzinie częstotliwości dr hab. inż. Krzysztof Patan, prof. PWSZ Wprowadzenie Metody projektowania w dziedzinie częstotliwości mają wiele zalet: stabilność i wymagania
Bardziej szczegółowoRównanie Schrödingera
Równanie Schrödingera Maciej J. Mrowiński 29 lutego 2012 Zadanie RS1 Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki w chwili t = 0 ma następującą postać: A(a Ψ(x,0) = 2 x 2 ) gdy x [ a,a] 0 gdy x / [ a,a]
Bardziej szczegółowoZmiany fazy/okresu oscylacji Chandlera i rocznej we współrzędnych bieguna ziemskiego.
Strona 1 z 27 Zmiany fazy/okresu oscylacji Chandlera i rocznej we współrzędnych bieguna ziemskiego. Alicja Rzeszótko Wiesław Kosek Waldemar Popiński Seminarium Sekcji Dynamiki Ziemi Komitetu Geodezji PAN
Bardziej szczegółowo9. Dyskretna transformata Fouriera algorytm FFT
Transformata Fouriera ma szerokie zastosowanie w analizie i syntezie układów i systemów elektronicznych, gdyż pozwala na połączenie dwóch sposobów przedstawiania sygnałów reprezentacji w dziedzinie czasu
Bardziej szczegółowoUkłady elektroniczne II. Modulatory i detektory
Układy elektroniczne II Modulatory i detektory Jerzy Witkowski Modulacja Przekształcenie sygnału informacyjnego do postaci dogodnej do transmisji w kanale telekomunikacyjnym Polega na zmianie, któregoś
Bardziej szczegółowoModele zapisane w przestrzeni stanów
Modele zapisane w przestrzeni stanów Modele Przestrzeni Stanów (State Space Models) sa to modele, w których część parametrów jest nieobserwowalna i losowa. Zachowanie wielowymiarowej zmiennej y t zależy
Bardziej szczegółowoTeoria przetwarzania A/C i C/A.
Teoria przetwarzania A/C i C/A. Autor: Bartłomiej Gorczyński Cyfrowe metody przetwarzania sygnałów polegają na przetworzeniu badanego sygnału analogowego w sygnał cyfrowy reprezentowany ciągiem słów binarnych
Bardziej szczegółowoKARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA
KARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA I. Informacje ogólne I. 1 Nazwa modułu kształcenia Analiza i przetwarzanie sygnałów 2 Nazwa jednostki prowadzącej moduł (należy wskazać nazwę zgodnie ze Statutem PSW Instytut,
Bardziej szczegółowoStabilność. Krzysztof Patan
Stabilność Krzysztof Patan Pojęcie stabilności systemu Rozważmy obiekt znajdujący się w punkcie równowagi Po przyłożeniu do obiektu siły F zostanie on wypchnięty ze stanu równowagi Jeżeli po upłynięciu
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład IV. Weryfikacja hipotez statystycznych
Statystyka matematyczna. Wykład IV. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 2 3 Definicja 1 Hipoteza statystyczna jest to przypuszczenie dotyczące rozkładu (wielkości parametru lub rodzaju) zmiennej
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI
LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI WERYFIKACJA HIPOTEZ Hipoteza statystyczna jakiekolwiek przypuszczenie dotyczące populacji generalnej- jej poszczególnych
Bardziej szczegółowoAnaliza sygnałów biologicznych
Analiza sygnałów biologicznych Paweł Strumiłło Zakład Elektroniki Medycznej Instytut Elektroniki PŁ Co to jest sygnał? Funkcja czasu x(t) przenosząca informację o stanie lub działaniu układu (systemu),
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 3. Właściwości przekształcenia Fouriera
Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L Ćwiczenie 3. Właściwości przekształcenia Fouriera 1. Podstawowe właściwości przekształcenia
Bardziej szczegółowo) (2) 1. A i. t+β i. sin(ω i
Ćwiczenie 8 AALIZA HARMOICZA PRZEBIEGÓW DRGAŃ 1. Cel ćwiczenia Analiza przebiegów drgań maszyny i wyznaczenie składowych harmonicznych tych przebiegów,. Wprowadzenie.1. Sygnały pomiarowe W celu przeprowadzenia
Bardziej szczegółowoZaawansowane algorytmy DSP
Zastosowania Procesorów Sygnałowych dr inż. Grzegorz Szwoch greg@multimed.org p. 732 - Katedra Systemów Multimedialnych Zaawansowane algorytmy DSP Wstęp Cztery algorytmy wybrane spośród bardziej zaawansowanych
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład IV: 27 października 2014 Współczynnik korelacji Brak korelacji a niezależność Definicja współczynnika korelacji Współczynnikiem korelacji całkowalnych z kwadratem zmiennych losowych X i Y nazywamy
Bardziej szczegółowoWykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału
Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału Magdalena Frąszczak Wrocław, 22.02.2017r Zasady oceniania Ćwiczenia 2 kolokwia (20 punktów każde) 05.04.2017 oraz 31.05.2017 2 kartkówki
Bardziej szczegółowoTEST STATYSTYCZNY. Jeżeli hipotezę zerową odrzucimy na danym poziomie istotności, to odrzucimy ją na każdym większym poziomie istotności.
TEST STATYSTYCZNY Testem statystycznym nazywamy regułę postępowania rozstrzygająca, przy jakich wynikach z próby hipotezę sprawdzaną H 0 należy odrzucić, a przy jakich nie ma podstaw do jej odrzucenia.
Bardziej szczegółowo4 Zasoby językowe Korpusy obcojęzyczne Korpusy języka polskiego Słowniki Sposoby gromadzenia danych...
Spis treści 1 Wstęp 11 1.1 Do kogo adresowana jest ta książka... 12 1.2 Historia badań nad mową i językiem... 12 1.3 Obecne główne trendy badań... 16 1.4 Opis zawartości rozdziałów... 18 2 Wyzwania i możliwe
Bardziej szczegółowoNa A (n) rozważamy rozkład P (n) , który na zbiorach postaci A 1... A n określa się jako P (n) (X n, A (n), P (n)
MODELE STATYSTYCZNE Punktem wyjścia w rozumowaniu statystycznym jest zmienna losowa (cecha) X i jej obserwacje opisujące wyniki doświadczeń bądź pomiarów. Zbiór wartości zmiennej losowej X (zbiór wartości
Bardziej szczegółowoMetody systemowe i decyzyjne w informatyce
Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Laboratorium JAVA Zadanie nr 2 Rozpoznawanie liter autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Cel zadania Celem zadania jest zapoznanie się z problemem klasyfikacji
Bardziej szczegółowo