ZAJĘCIA II. Zmienne losowe, sygnały stochastyczne, zakłócenia pomiarowe

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "ZAJĘCIA II. Zmienne losowe, sygnały stochastyczne, zakłócenia pomiarowe"

Transkrypt

1 ZAJĘCIA II Zmienne losowe, sygnały stochastyczne, zakłócenia pomiarowe Po co statystyka w identyfikacji? Zmienne losowe i ich parametry Korelacja zmiennych losowych Rozkłady wielowymiarowe i sygnały stochastyczne Propagacja sygnałów stochastycznych

2 WPROWADZENIE Komputerowa identyfikacja obiektów Identyfikacja obiektu to proces wyznaczania opisu obiektu w postaci modelu na podstawie zakłóconych pomiarów sygnałów obiektu. Częścią tego procesu, w przypadku identyfikacji parametrycznej, jest oszacowanie wartości parametrów obiektu, czyli ich estymacja. Termin ten jest zaczerpnięty ze statystyki - dziedziny nauki zajmującej się opisem zjawisk przypadkowych. Rozwinięta na gruncie statystyki teoria estymatorów została z powodzeniem zastosowana i rozwinięta w dziedzinie identyfikacji. Matematyczne pojęcie zmiennej losowej służy do opisywania wielkości zmieniających się w sposób przypadkowy. Mimo tego, że żyjemy w świecie zdeterminowanym, każde zjawisko ma w nim swoją przyczynę i nic nie dzieje się przypadkowo, to często nie jesteśmy w stanie analizować wszystkich przyczyn zjawiska (jest ich zbyt dużo lub nie wiemy gdzie leżą przyczyny). Nie jesteśmy więc w stanie określić dokładnie jak zjawisko będzie przebiegać w przyszłości, nawet jeśli znamy stan bieżący i historię tego zjawiska. Aby objąć taki rodzaj zjawisk aparatem matematycznym i umożliwić ich analizę, stworzono teorię zjawisk losowych. Dzięki niej można analizować zachowanie się układów elementów zależnych, gdy niektóre elementy nie są dokładnie znane lub kontrolowane. Przykład: Mierniki mają określoną klasę dokładności definiującą możliwą różnicę między wynikiem pomiaru a wartością mierzoną rzeczywiście występującą. Ta różnica przy pomiarze niezmiennej wielkości zazwyczaj nie zmienia się dynamicznie jeśli wykonamy serię pomiarów jeden po drugim to odczytamy taką samą wartość. Co jest tutaj wielkością zaburzającą pomiar? W jakim stopniu jest to wielkość przypadkowa?

3 WPROWADZENIE (C.D.) Komputerowa identyfikacja obiektów Z użyciem pojęcia zmiennej losowej opisuje się zakłócenia pomiarowe, których wartość zmienia się dynamicznie z każdym nowym pomiarem (realizacja zmiennej losowej). Trudno byłoby jednak prowadzić analizę na wartościach zmieniających się w sposób przypadkowy od eksperymentu do eksperymentu. Konieczne jest zastosowanie deterministycznego opisu ilościowego, niezależnego od konkretnej realizacji zmiennej losowej. Takim opisem jest funkcja rozkładu i jej parametry określające cechy charakterystyczne zmiennej losowej, takie jak rozrzut wartości czy wartość średnia. Przetwarzanie statyczne i dynamiczne zmiennych losowych zmienia ich parametry losowe i dzięki temu możliwa jest analiza matematyczna zachowania się wielkości zaszumionych w sprzęcie pomiarowym i w algorytmach identyfikacji. Ponieważ wyniki procesu estymacji, tj. estymaty parametrów obiektu, są wyznaczane na podstawie skończonego zbioru próbek zakłóconych sygnałów (składowa deterministyczna i składowa losowa), to również i estymaty są zmiennymi losowymi. Wartość estymat parametrów będzie inna przy powtórzeniu procesu estymacji na innym zbiorze próbek (nawet przy identycznej składowej deterministycznej), ponieważ inne będą wartości przypadkowo zmieniających się zakłóceń. Metody statystyki pozwalają analizować proces estymacji i określać przedziały wartości każdego z parametrów, w których z określonym prawdopodobieństwem leżeć będą wartości estymat. Zajęcia są poświęcone podstawowym pojęciom statystyki używanym w teorii identyfikacji oraz opisowi sygnałów zmieniających się w sposób losowy (sygnałów stochastycznych). Stanowią wprowadzenie do analizy statystycznej procesu estymacji i do specyficznych metod identyfikacji z użyciem sygnałów stochastycznych.

4 SKĄD SIĘ BIORĄ ZAKŁÓCENIA POMIAROWE? Powszechnie przy pomiarach występują zakłócenia. Skąd one się biorą? Podstawową przyczyną losowych zmian wyników pomiarów przy stałości wielkości mierzonej są szumy termiczne - napięcia powstające na rezystancjach w wyniku chaotycznego ruchu elektronów pod wpływem temperatury. Ponieważ składa się na nie bardzo duża ilość oddziaływań bez elementów dominujących to wypadkowy rozkład szumu termicznego ma charakter normalny. Często jednak opisuje się zmiennymi losowymi takie źródła błędów pomiarowych, które nie zmieniają swojego wpływu na wynik pomiaru w warunkach powtarzalności warunków pomiaru. Np. często błąd kwantowania przetworników A/C modeluje się jako zmienną losową, choć w istocie jest on wynikiem operacji nieliniowej na sygnale. Możemy go ograniczyć znając zakres U i ilość bitów N przetwornika do wartości = U N. Jednak na z k z podstawie przebiegu skwantowanego nie możemy odtworzyć wielkości mierzonej. Możemy jedynie podać przedział wartości, w którym znajdowała się wielkość przed kwantowaniem. Rozkład błędu kwantowania ma charakter równomierny w przedziale [, ] k k. Innym przykładem może być miernik z zadanym błędem klasy m. Chociaż dla konkretnego przyrządu wartość błędu jest zdeterminowana warunkami pomiaru (i może być wyznaczona dokładniejszym przyrządem), to w przypadku grupy przyrządów o tych samych parametrach możemy przyjąć, że błąd dla poszczególnych przyrządów przyjmuje wartości losowe. Możemy narysować rozkład błędu pomiarowego, gdzie m określa przedział ufności. Przyjmujemy zazwyczaj rozkład normalny i odpowiadający mu przedział wysokiej ufności 3σ. Do przedziału ±3σ należy 99,3% wyników. Losowe parametry błędu pomiarowego są w tym przypadku miarą braku pełnej wiedzy o tym błędzie, umożliwiają jednak analizę dokładności wyniku pomiaru, przez co ten wynik jest użyteczny.

5 ZMIENNE LOSOWE I ICH PARAMETRY STATYSTYCZNE Zmienna losowa, funkcja rozkładu gęstości prawdopodobieństwa Ciągła zmienna losowa, bo przede wszystkim takie są obiektem zainteresowania w teorii pomiarów i estymacji (inny rodzaj to dyskretne z. l., czyli przyjmujące wartości ze zbioru skończonego i przeliczalnego), to zmienna, która może przyjmować wartości przypadkowe z nieprzeliczalnego podzbioru osi liczbowej. Ta przypadkowość jest jednak rządzona przez regułę opisaną przez funkcję gęstości prawdopodobieństwa. Funkcja gęstości prawdopodobieństwa f(x) zmiennej losowej X w punkcie x jest zdefiniowana jako o własnościach: f(x), f( x) dx =. ( ) f x = lim x ( + ) P x X x x Jak wynika z definicji, prawdopodobieństwo przyjęcia przez zmienną losową wartości z wybranego przedziału można wyznaczyć z funkcji gęstości prawdopodobieństwa wg zależności: x P( x X x ) = Funkcji gęstości prawdopodobieństwa nie należy interpretować wprost jako prawdopodobieństwa przyjęcia konkretnej wartości, ponieważ to prawdopodobieństwo jest zerowe (jest nieskończenie wiele możliwych wartości x x ftdt () ciągłej zmiennej losowej, więc każde musi być nieskończenie mało prawdopodobne).

6 Parametry rozkładu Ponieważ posługiwanie się funkcjami zmiennej niezależnej jest niewygodne w obliczeniach, to wykorzystuje się w tym celu tzw. momenty zmiennej losowej, które są parametrami funkcji gęstości. Dwa podstawowe z nich to wartość oczekiwana i wariancja. W szczególnie ważnym przypadku rozkładu normalnego określają one w pełni rozkład. Wartość oczekiwana m zmiennej losowej X (czyli moment zwykły pierwszego rzędu) jest definiowana jako [ ] µ = E X = x f( x) dx, czyli jest średnią zmiennej losowej ważoną funkcją gęstości. Wariancja służy do opisania rozproszenia wartości zmiennej losowej wokół wartości oczekiwanej i jest to wartość oczekiwana kwadratu odchylenia wartości tej zmiennej od jej wartości oczekiwanej (formalnie to moment centralny drugiego rzędu): ( [ ]) σ = E X E X Odchylenie standardowe σ to pierwiastek kwadratowy z wariancji i ma taki sam wymiar jak zmienna losowa. Oczywiście można liczyć momenty wyższych rzędów, które są miarą np. niesymetrii rozkładu. Dla rozkładu normalnego (o nim za chwilę) te momenty nie dostarczają żadnej nowej informacji, bo rozkład ten jest jednoznacznie zdefiniowany przez wartość oczekiwaną i wariancję. Momenty wyższych rzędów są funkcjami tylko tych parametrów.

7 DWA PODSTAWOWE ROZKŁADY Komputerowa identyfikacja obiektów Dwa rozkłady są szczególnie ważne w teorii estymacji - rozkład równomierny i rozkład normalny. Rozkład równomierny (jednostajny, prostokątny) Funkcja gęstości prawdopodobieństwa: f(x) = b a dla a x b, f(x) = dla x<a, x>b, gdzie a i b są granicami rozkładu (a<b), a podstawowe parametry mają wartości: µ = ( a+ b ), ( ) Np. R(,): Model np. szumów kwantowania σ = b a 3. Rozkład normalny (gaussowski) Funkcja gęstości prawdopodobieństwa: f ( x ) = exp µ σ π ( ) σ x gdzie µ określa położenie osi symetrii rozkładu, od σ zależy zwartość funkcji gęstości. Skrótowo rozkład ten oznacza się N(µ,σ). Np. N(,): Model np. szumów termicznych W razie potrzeby zmiany parametrów rozkładu próbki, należy wykonać na niej operację skalowania i przesuwania. Np. przejście od wartości zmiennej losowej X o rozkładzie N(,) do wartości Y o rozkładzie N(µ,σ) wykonuje się operacją Y=X σ +µ. Zmiana charakteru zmiennej losowej (czyli funkcji gęstości) wykracza poza temat ćwiczenia.

8 KORELACJA I KOWARIANCJA ZMIENNYCH LOSOWYCH, MACIERZ KOWARIANCYJNA Korelacja zmiennych losowych jest pojęciem opisującym zależność dwóch zmiennych w sensie losowym. Pełna zależność zmiennych losowych objawia się identycznością ich kolejnych realizacji. Liczbową miarą korelacji jest wartość oczekiwana iloczynu tych zmiennych E[ x y ]. Korelacja scentrowanych (z odjętą wartością oczekiwaną) zmiennych losowych E ( x E [ x ])( y E [ y ]) jest nazywana kowariancją (oznaczenie cov ( x, y ) ) a stosunek σ σ cov( x, y) jest nazywany współczynnikiem korelacji o wartościach z przedziału [-,]. x y W przypadku wektora β zawierającego n zmiennych losowych (rozmiar n ) stosuje się jedną wielkość macierzową do opisu wariancji poszczególnych elementów wektora i kowariancji pomiędzy tymi elementami. Jest to macierz kowariancji Σ (rozmiar n n) i zgodnie z powyższymi definicjami jej wartość oblicza się wg wzoru ( ) ( [ ])( [ ]) T Σ β = E β E β β E β. Ćwiczenie: Załóżmy, że macierz kowariancyjna Σ ma zawartość. Ilu zmiennych losowych dotyczy ta macierz? Jaka jest wariancja poszczególnych zmiennych losowych? Jaka jest kowariancja i współczynnik korelacji pomiędzy tymi zmiennymi?

9 WIELOWYMIAROWY ROZKŁAD NORMALNY Funkcje gęstości prawdopodobieństwa wielu zmiennych losowych można połączyć w jedną funkcję gęstości zdefiniowaną w przestrzeni wielu zmiennych. W przypadku zmiennych losowych niezależnych wynikowa funkcja gęstości jest prostym iloczynem poszczególnych funkcji gęstości. Np. dla dwuwymiarowego rozkładu normalnego, tj. łącznego rozkładu dwu zmiennych losowych o rozkładzie normalnym, łączna funkcja gęstości ma postać: µ µ ( x ) ( y ) µ ( µ ) x y ( x ) y x y f ( x, y ) = exp exp = exp + σ π σ σ π σ πσ σ σ σ x y x y x y x y W przypadku wektora β, zawierającego n skorelowanych zmiennych losowych o rozkładzie normalnym, łączna funkcja gęstości w postaci macierzowej, z macierzą kowariancyjną Σ o rozmiarze n n, i wektorem wartości oczekiwanych µ o rozmiarze n, jest określona wzorem: T f ( β) = exp ( β µ ) Σ ( β µ ) n ( π) det ( Σ)

10 Przykład: Dla dwuwymiarowej zmiennej losowej możemy przedstawić powierzchnię funkcji gęstości w postaci wykresu 3D. Poniżej pokazano takie powierzchnie dla przypadku nieskorelowanego i silnie skorelowanego dwuwymiarowego rozkładu normalnego razem z programem do generowania tych powierzchni. S=[, ;, ]; % brak korelacji % S=[.8;.8 ]; % silna korelacja x=-3:.3:3;. x=-3:.3:3; for i=:length(x); for j=:length(x); X=[x(i); x(j)];. - - f(i,j)=/(*pi*det(s))*exp(-/*x'*inv(s)*x); end end mesh(x,x,f) axis([ ])

11 Estymacja i estymatory parametrów rozkładów losowych Estymacja wartości oczekiwanej: na podstawie zbioru N próbek zmiennej losowej szacujemy parametr µ, czyli obliczamy oszacowanie parametru statystycznego na podstawie informacji zawartej w N próbkach, wg wzoru ˆ µ = x = xi. N i = N i N Estymator wariancji (nieobciążony) ma postać σˆ = s = ( x x) i = N N Estymator macierzy kowariancji wektora β ma postać Σ= ˆ ( β β)( β β) i = T Ćwiczenie: Dla trzech kolejnych pomiarów napięcia wejściowego i wyjściowego dzielnika napięcia uzyskano wyniki: V=[6, 4, ], V=[5,, 5] Podaj oszacowanie wartości oczekiwanej, wariancji, kowariancji i skorelowania tych pomiarów.

12 Ćwiczenie jak generować skorelowane zmienne losowe? Zbiory próbek skorelowanych zmiennych losowych można uzyskać na podstawie dwóch zbiorów x, y nieskorelowanych próbek zmiennych losowych X, Y. Załóżmy, że wartość oczekiwana zmiennych losowych X i Y jest równa zero, a ich wariancje są równe. E X = E Y = [ ] [ ] [ X] = E X = var[ Y] = E Y = σ var Wtedy zmienna losowa Z, będąca kombinacją liniową X i Y, również będzie miała wartość oczekiwaną zero. Obliczmy jej wariancję i kowariancję ze zmienną X : [ Z] = [ ax + by] = a [ X] + b [ Y] = ( a + b )σ var var var var [ Z X ] = [ ax + by X ] = E ( ax + by ) X = a [ X ] = a σ cov, cov, var Jeśli zmienna Z ma mieć identyczną wariancję jak X i Y, i ma mieć wartość współczynnika korelacji definiowanego jako [ ZX] [ Z] var[ X] cov, var a = c o wartości c, to warunki na wartości współczynników a i b mają postać: b = a Np. dla wektorów x i y próbek nieskorelowanych zmiennych losowych o rozkładzie N(,), wektor z o pożądanych parametrach N(,) i o współczynniku korelacji z wektorem x równym.5 może być utworzony przez kombinację z =.5x+.75 y.

13 SYGNAŁY STOCHASTYCZNE Komputerowa identyfikacja obiektów Sygnał stochastyczny to sygnał, którego wartości w każdej chwili są zmiennymi losowymi. Na podstawie ważnego dla obliczeń praktycznych twierdzenia o sygnałach ergodycznych, uśrednianie po nieskończonym zbiorze wartości zmiennej losowej w danej chwili czasowej, można zastąpić uśrednianiem po nieskończonym zbiorze realizacji zmiennych losowych w kolejnych chwilach czasowych. Występujące w praktyce stochastyczne sygnały stacjonarne (o niezmiennych w czasie parametrach losowych) to sygnały ergodyczne. Dla takich sygnałów wszystkie momenty, w tym wartość oczekiwana i wariancja, mogą być liczone na podstawie ciągów czasowych. W interesującym nas przypadku pomiarów w dyskretnych chwilach czasu wzór na wartość oczekiwaną ma postać: + N µ = lim x( i) N N W praktycznych obliczeniach powyższa suma ma granice skończone, a wynikający z tego wzór określa estymator wartości oczekiwanej przez uśrednianie po czasie: i= N N µ = x() i N i = Tę zależność, jak widzieliśmy w zadaniu z poprzednich zajęć, możemy widzieć jako szczególny algorytm filtracji FIR o dolnopasmowej charakterystyce częstotliwościowej. Taki jest też sens uśredniania usunięcie szybkozmiennych elementów sygnału o dużej zawartości wysokich częstotliwości.

14 Korelacja i autokorelacja sygnałów stochastycznych Podobnie jak zmienne losowe, również sygnały stochastyczne mogą być skorelowane. Funkcję korelacji wzajemnej definiuje zależność: + T Rxy ( τ) = x() t y( t + τ) dt T T lim T Ważnym przypadkiem szczególnym jest skorelowanie sygnału stochastycznego z tym samym sygnałem, ale przesuniętym. Taka korelacja w funkcji przesunięcia nosi nazwę autokorelacji sygnału stochastycznego. Jej definicja w przypadku sygnałów ciągłych ma postać: + T Rxx ( τ) = x() t x( t + τ) dt T T lim T Praktyczne obliczenia dla próbek sygnałów są prowadzone wg zależności na estymator funkcji autokorelacji z N próbek sygnału: ( ) = N xx i i + k N i = R k x x Ćwiczenie: Na jakiej zasadzie w przyrodzie powstają skorelowane wielkości przypadkowe? Na jakiej zasadzie sygnał wejściowy i wyjściowy dzielnika są skorelowane między sobą? Na jakiej zasadzie sygnał może być skorelowany ze swoimi wcześniejszymi wartościami? Czy wyznaczana na bieżąco przez filtrację FIR wartość średniej sygnału nieskorelowanego jest w ten sposób skorelowana?

15 Szum biały, odpowiedź obiektu na sygnał stochastyczny Sygnał stochastyczny, którego funkcja autokorelacji jest równa zero poza początkiem układu, jest nazywany szumem białym. Sygnał ten jest chętnie wykorzystywany w identyfikacji, ponieważ ma szerokie spektrum częstotliwościowe. Pasmo częstotliwościowe sygnału stochastycznego możemy zbadać poprzez transformatę Fouriera funkcji autokorelacji sygnału. Jest ona nazywana funkcją gęstości widmowej mocy i odpowiada kwadratowi modułu widma sygnału deterministycznego. Przykład: Dynamika sygnałów stochastycznych sygnał realizacja autokorelacja gęstość widmowa mocy szybko--zmienny wolno--zmienny Pytanie: Czy można stosować opis stochastyczny (korelacyjny) do sygnałów deterministycznych?

16 PROPAGACJA SYGNAŁÓW, BŁĘDÓW I ZAKŁÓCEŃ W MODELACH LINIOWYCH - PODSUMOWANIE Przenoszenie sygnałów stochastycznych przez obiekty liniowe z modelem w postaci odpowiedzi impulsowej jest opisane identyczną operacją splotową jak w przypadku sygnałów deterministycznych, ale oczywiście zasada ta dotyczy poszczególnych realizacji sygnałów, co nie pozwala na uogólnienia. Deterministyczny opis przenoszenia sygnałów stochastycznych można oprzeć na funkcjach korelacji. W tym przypadku związek ma analogiczną postać splotową: yx ( τ ) = ( τ) ( τ) R R h, xx gdzie h ( τ ) jest odpowiedzią impulsową obiektu. Równoważna zależność bazująca na autokorelacji sygnału wyjściowego ma postać: R ( τ ) = R ( τ) h ( τ) yy Łącząc obydwie zależności dostajemy: R ( τ ) = R ( τ) h( τ) h ( τ) yx yy xx W dziedzinie częstotliwości równoważny opis operuje gęstościami widmowymi mocy sygnału wejściowego i wyjściowego (czyli transformatami ich funkcji autokorelacji), które w wyniku przejścia przez obiekt dynamiczny są skalowane kwadratem jego transmitancji ( ω ) = ( ω) ( ω) S G j S yy xx Ćwiczenie (trochę trudniejsze wyprzedzamy materiał): Odszumiamy sygnał przez wyznaczanie średniej z ostatnich dwóch pomiarów sygnału. Jeśli przetwarzany sygnał jest szumem białym, to jak wygląda korelacja i gęstość widmowa sygnału odszumionego?

17 ZADANIA - ANALIZA SYGNAŁÓW LOSOWYCH Komputerowa identyfikacja obiektów Zadanie Przedstaw na jednym rysunku funkcję gęstości rozkładu normalnego o wybranych parametrach i odpowiednio przeskalowany dla osiągnięcia porównywalności histogram (hist) z kilku tysięcy próbek z tego rozkładu. Policz ze zbioru próbek estymaty wartości oczekiwanej (mean) i wariancji (cov). Zadanie Na płaszczyźnie XY przedstaw zbiór kilku tysięcy punktów wylosowanych z dwuwymiarowego rozkładu normalnego o wybranym stopniu skorelowania. Na podstawie zbioru punktów wyznacz estymatę macierzy kowariancyjnej (cov). Zadanie 3 Dla zarejestrowanych szumów karty dźwiękowej przy rozwartych wejściach lub szumów dźwiękowych otoczenia zarejestrowanych mikrofonem wyznacz dla szumu z jednego kanału jego wartość oczekiwaną, odchylenie standardowe i histogram. Czy histogram odpowiada rozkładowi normalnemu? Na podstawie minimalnej zmiany (kwantu) zarejestrowanych wartości i zakresu [-,] wyznacz ilość bitów przetwornika A/C tej karty. Sprawdź autokorelację (xcorr) i korelację wzajemną szumów z obydwu kanałów. Na podstawie funkcji gęstości widmowej mocy (psd) stwierdź czy są to szumy wąsko- czy szerokopasmowe.

18 Zadanie 4 Dla zarejestrowanych szumów karty pomiarowej PCL88 przy zwartych wejściach wyznacz ich wartość oczekiwaną i odchylenie standardowe. Na podstawie przebiegu czasowego określ czy dominuje w nim błąd kwantowania czy szum termiczny? Znając zakres pomiarowy wyznacz ilość bitów przetwornika A/C tej karty. Sprawdź autokorelację, korelację wzajemną i gęstość widmową szumu. LITERATURA DODATKOWA Sydenham P.H., Podręcznik Metrologii, WKiŁ Warszawa 988 (rozdział 4) dowolny podręcznik do teorii prawdopodobieństwa i statystyki, np.: Hellwig Z., Elementy rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej, PWN, Warszawa 987

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d.

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby

Bardziej szczegółowo

Akademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki

Akademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki Akademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki Przetwarzanie Sygnałów Studia Podyplomowe, Automatyka i Robotyka. Wstęp teoretyczny Zmienne losowe Zmienne losowe

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia

Ważne rozkłady i twierdzenia Ważne rozkłady i twierdzenia Rozkład dwumianowy i wielomianowy Częstość. Prawo wielkich liczb Rozkład hipergeometryczny Rozkład Poissona Rozkład normalny i rozkład Gaussa Centralne twierdzenie graniczne

Bardziej szczegółowo

W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych:

W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: Zmienne losowe skokowe (dyskretne) przyjmujące co najwyżej przeliczalnie wiele wartości Zmienne losowe ciągłe

Bardziej szczegółowo

Układy stochastyczne

Układy stochastyczne Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego 21 stycznia 2009 Definicja Definicja Proces stochastyczny to funkcja losowa, czyli funkcja matematyczna, której wartości leżą w przestrzeni zdarzeń losowych.

Bardziej szczegółowo

Katedra Fizyki Ciała Stałego Uniwersytetu Łódzkiego. Ćwiczenie 2 Badanie funkcji korelacji w przebiegach elektrycznych.

Katedra Fizyki Ciała Stałego Uniwersytetu Łódzkiego. Ćwiczenie 2 Badanie funkcji korelacji w przebiegach elektrycznych. Katedra Fizyki Ciała Stałego Uniwersytetu Łódzkiego Ćwiczenie Badanie unkcji korelacji w przebiegach elektrycznych. Cel ćwiczenia: Celem ćwiczenia jest zbadanie unkcji korelacji w okresowych sygnałach

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM Z FIZYKI

LABORATORIUM Z FIZYKI LABORATORIUM Z FIZYKI LABORATORIUM Z FIZYKI I PRACOWNIA FIZYCZNA C w Gliwicach Gliwice, ul. Konarskiego 22, pokoje 52-54 Regulamin pracowni i organizacja zajęć Sprawozdanie (strona tytułowa, karta pomiarowa)

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

CYFROWE PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW

CYFROWE PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW POLITECHNIKA RZESZOWSKA im. I. Łukasiewicza WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I INFORMATYKI Katedra Metrologii i Systemów Diagnostycznych CYFROWE PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW Sygnały stochastyczne, parametry w dziedzinie

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl

Bardziej szczegółowo

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III. Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16 Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego

Bardziej szczegółowo

ANALIZA KORELACYJNA I FILTRACJA SYGNAŁÓW

ANALIZA KORELACYJNA I FILTRACJA SYGNAŁÓW POLIECHNIKA BIAŁOSOCKA KAEDRA ZARZĄDZANIA PRODUKCJĄ Instrukcja do zajęć laboratoryjnych z przedmiotu: Podstawy diagnostyki technicznej Kod przedmiotu: KS05454 Ćwiczenie Nr ANALIZA KORELACYJNA I FILRACJA

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa

Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa Spis treści Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp Bardzo często interesujący

Bardziej szczegółowo

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych dr inż. Adam Kisiel kisiel@if.pw.edu.pl pokój 117b (12b) 1 Materiały do wykładu Transparencje do wykładów: http://www.if.pw.edu.pl/~kisiel/kadd/kadd.html Literatura

Bardziej szczegółowo

Metoda największej wiarygodności

Metoda największej wiarygodności Metoda największej wiarygodności Próbki w obecności tła Funkcja wiarygodności Iloraz wiarygodności Pomiary o różnej dokładności Obciążenie Informacja z próby i nierówność informacyjna Wariancja minimalna

Bardziej szczegółowo

Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka

Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka W 2. Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne

Bardziej szczegółowo

Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. Matematyczne metody prognozowania

Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. Matematyczne metody prognozowania Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Szeregi czasowe 1 Szeregi czasowe 2 3 Szeregi czasowe Definicja 1 Szereg czasowy jest to proces stochastyczny z czasem dyskretnym

Bardziej szczegółowo

Rozkład normalny, niepewność standardowa typu A

Rozkład normalny, niepewność standardowa typu A Podstawy Metrologii i Technik Eksperymentu Laboratorium Rozkład normalny, niepewność standardowa typu A Instrukcja do ćwiczenia nr 1 Zakład Miernictwa i Ochrony Atmosfery Wrocław, listopad 2010 r. Podstawy

Bardziej szczegółowo

PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek

PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji Statystyka dla jakości produktów i usług Six sigma i inne strategie Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji StatSoft Polska Wybrane zagadnienia analizy korelacji Przy analizie zjawisk i procesów stanowiących

Bardziej szczegółowo

CYFROWE PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW

CYFROWE PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW POLITECHNIKA RZESZOWSKA im. I. Łukasiewicza WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I INFORMATYKI Katedra Metrologii i Systemów Diagnostycznych CYFROWE PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW Analiza korelacyjna sygnałów dr hab. inż.

Bardziej szczegółowo

AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA Wydział Matematyki Stosowanej ROZKŁAD NORMALNY ROZKŁAD GAUSSA

AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA Wydział Matematyki Stosowanej ROZKŁAD NORMALNY ROZKŁAD GAUSSA AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA Wydział Matematyki Stosowanej KATEDRA MATEMATYKI TEMAT PRACY: ROZKŁAD NORMALNY ROZKŁAD GAUSSA AUTOR: BARBARA MARDOSZ Kraków, styczeń 2008 Spis treści 1 Wprowadzenie 2 2 Definicja

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 1 Metody pomiarowe i opracowywanie danych doświadczalnych.

Ćwiczenie 1 Metody pomiarowe i opracowywanie danych doświadczalnych. Ćwiczenie 1 Metody pomiarowe i opracowywanie danych doświadczalnych. Ćwiczenie ma następujące części: 1 Pomiar rezystancji i sprawdzanie prawa Ohma, metoda najmniejszych kwadratów. 2 Pomiar średnicy pręta.

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład IV: 27 października 2014 Współczynnik korelacji Brak korelacji a niezależność Definicja współczynnika korelacji Współczynnikiem korelacji całkowalnych z kwadratem zmiennych losowych X i Y nazywamy

Bardziej szczegółowo

Modelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski

Modelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski Modelowanie zależności pomiędzy zmiennymi losowymi Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski P Zmienne losowe niezależne - przypomnienie Dwie rzeczywiste zmienne losowe X i Y

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem

Bardziej szczegółowo

Podstawowe funkcje przetwornika C/A

Podstawowe funkcje przetwornika C/A ELEKTRONIKA CYFROWA PRZETWORNIKI CYFROWO-ANALOGOWE I ANALOGOWO-CYFROWE Literatura: 1. Rudy van de Plassche: Scalone przetworniki analogowo-cyfrowe i cyfrowo-analogowe, WKŁ 1997 2. Marian Łakomy, Jan Zabrodzki:

Bardziej szczegółowo

Analiza niepewności pomiarów

Analiza niepewności pomiarów Teoria pomiarów Analiza niepewności pomiarów Zagadnienia statystyki matematycznej Dr hab. inż. Paweł Majda www.pmajda.zut.edu.pl Podstawy statystyki matematycznej Histogram oraz wielobok liczebności zmiennej

Bardziej szczegółowo

Wstęp do teorii niepewności pomiaru. Danuta J. Michczyńska Adam Michczyński

Wstęp do teorii niepewności pomiaru. Danuta J. Michczyńska Adam Michczyński Wstęp do teorii niepewności pomiaru Danuta J. Michczyńska Adam Michczyński Podstawowe informacje: Strona Politechniki Śląskiej: www.polsl.pl Instytut Fizyki / strona własna Instytutu / Dydaktyka / I Pracownia

Bardziej szczegółowo

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład

Bardziej szczegółowo

Rozkłady dwóch zmiennych losowych

Rozkłady dwóch zmiennych losowych Rozkłady dwóch zmiennych losowych Uogólnienie pojęć na rozkład dwóch zmiennych Dystrybuanta i gęstość prawdopodobieństwa Rozkład brzegowy Prawdopodobieństwo warunkowe Wartości średnie i odchylenia standardowe

Bardziej szczegółowo

166 Wstęp do statystyki matematycznej

166 Wstęp do statystyki matematycznej 166 Wstęp do statystyki matematycznej Etap trzeci realizacji procesu analizy danych statystycznych w zasadzie powinien rozwiązać nasz zasadniczy problem związany z identyfikacją cechy populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

HISTOGRAM. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH Liczba pomiarów - n. Liczba pomiarów - n k 0.5 N = N =

HISTOGRAM. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH Liczba pomiarów - n. Liczba pomiarów - n k 0.5 N = N = HISTOGRAM W pewnych przypadkach interesuje nas nie tylko określenie prawdziwej wartości mierzonej wielkości, ale także zbadanie całego rozkład prawdopodobieństwa wyników pomiarów. W takim przypadku wyniki

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Statystyka i opracowanie danych W4 Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Rozkład normalny wykres funkcji gęstości

Bardziej szczegółowo

Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć)

Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć) Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć) 1. Populacja generalna a losowa próba, parametr rozkładu cechy a jego ocena z losowej próby, miary opisu statystycznego

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i

Bardziej szczegółowo

Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki

Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki Spis treści I. Wzory ogólne... 2 1. Średnia arytmetyczna:... 2 2. Rozstęp:... 2 3. Kwantyle:... 2 4. Wariancja:... 2 5. Odchylenie standardowe:...

Bardziej szczegółowo

Miernictwo Wibroakustyczne Literatura. Wykład 1 Wprowadzenie. Sygnały pomiarowe

Miernictwo Wibroakustyczne Literatura. Wykład 1 Wprowadzenie. Sygnały pomiarowe Wykład Wprowadzenie. Sygnały pomiarowe Dr inż.adeusz Wszołek Miernictwo Wibroakustyczne - Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Mechaniki i Wibroakustyki D-, p.6, konsultacje-poniedziałek,

Bardziej szczegółowo

Spis treści 3 SPIS TREŚCI

Spis treści 3 SPIS TREŚCI Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD października 2009

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD października 2009 STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4 26 października 2009 Rozkład N(µ, σ). Estymacja σ σ 2 = 1 σ 2π + = E µ,σ (X µ) 2 { (x µ) 2 exp 1 ( ) } x µ 2 dx 2 σ Rozkład N(µ, σ). Estymacja σ σ 2 = 1 σ 2π + = E µ,σ

Bardziej szczegółowo

Sposoby opisu i modelowania zakłóceń kanałowych

Sposoby opisu i modelowania zakłóceń kanałowych INSTYTUT TELEKOMUNIKACJI ZAKŁAD RADIOKOMUNIKACJI Instrukcja laboratoryjna z przedmiotu Podstawy Telekomunikacji Sposoby opisu i modelowania zakłóceń kanałowych Warszawa 2010r. 1. Cel ćwiczeń: Celem ćwiczeń

Bardziej szczegółowo

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com Analiza korelacji i regresji KORELACJA zależność liniowa Obserwujemy parę cech ilościowych (X,Y). Doświadczenie jest tak pomyślane, aby obserwowane pary cech X i Y (tzn i ta para x i i y i dla różnych

Bardziej szczegółowo

Wykład 9. Terminologia i jej znaczenie. Cenzurowanie wyników pomiarów.

Wykład 9. Terminologia i jej znaczenie. Cenzurowanie wyników pomiarów. Wykład 9. Terminologia i jej znaczenie. Cenzurowanie wyników pomiarów.. KEITHLEY. Practical Solutions for Accurate. Test & Measurement. Training materials, www.keithley.com;. Janusz Piotrowski: Procedury

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015 Zmienne losowe, statystyki próbkowe Wrocław, 2 marca 2015 Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20 punktów) aktywność Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20

Bardziej szczegółowo

Systemy. Krzysztof Patan

Systemy. Krzysztof Patan Systemy Krzysztof Patan Systemy z pamięcią System jest bez pamięci (statyczny), jeżeli dla dowolnej chwili t 0 wartość sygnału wyjściowego y(t 0 ) zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej

Bardziej szczegółowo

X WYKŁAD STATYSTYKA. 14/05/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

X WYKŁAD STATYSTYKA. 14/05/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 X WYKŁAD STATYSTYKA 14/05/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 10 ANALIZA KORELACJI Korelacja 1. Współczynnik korelacji 2. Kowariancja 3. Współczynnik korelacji liniowej definicja 4. Estymacja współczynnika

Bardziej szczegółowo

Współczynnik korelacji. Współczynnik korelacji jest miernikiem zależności między dwiema cechami Oznaczenie: ϱ

Współczynnik korelacji. Współczynnik korelacji jest miernikiem zależności między dwiema cechami Oznaczenie: ϱ Współczynnik korelacji Współczynnik korelacji jest miernikiem zależności między dwiema cechami Oznaczenie: ϱ Własności współczynnika korelacji 1. Współczynnik korelacji jest liczbą niemianowaną 2. ϱ 1,

Bardziej szczegółowo

FIZYKA LABORATORIUM prawo Ohma

FIZYKA LABORATORIUM prawo Ohma FIZYKA LABORATORIUM prawo Ohma dr hab. inż. Michał K. Urbański, Wydział Fizyki Politechniki Warszawskiej, pok 18 Gmach Fizyki, murba@if.pw.edu.pl www.if.pw.edu.pl/ murba strona Wydziału Fizyki www.fizyka.pw.edu.pl

Bardziej szczegółowo

Metody Statystyczne. Metody Statystyczne.

Metody Statystyczne. Metody Statystyczne. gkrol@wz.uw.edu.pl #4 1 Sprawdzian! 5 listopada (ok. 45-60 minut): - Skale pomiarowe - Zmienne ciągłe i dyskretne - Rozkład teoretyczny i empiryczny - Miary tendencji centralnej i rozproszenia - Standaryzacja

Bardziej szczegółowo

DOKUMENTACJA SYSTEMU ZARZĄDZANIA LABORATORIUM. Procedura szacowania niepewności

DOKUMENTACJA SYSTEMU ZARZĄDZANIA LABORATORIUM. Procedura szacowania niepewności DOKUMENTACJA SYSTEMU ZARZĄDZANIA LABORATORIUM Procedura szacowania niepewności Szacowanie niepewności oznaczania / pomiaru zawartości... metodą... Data Imię i Nazwisko Podpis Opracował Sprawdził Zatwierdził

Bardziej szczegółowo

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna dla leśników

Statystyka matematyczna dla leśników Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 2013/2014 Wykład 3 Zmienna losowa i jej rozkłady Zdarzenia losowe Pojęcie prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

Statystyki: miary opisujące rozkład! np. : średnia, frakcja (procent), odchylenie standardowe, wariancja, mediana itd.

Statystyki: miary opisujące rozkład! np. : średnia, frakcja (procent), odchylenie standardowe, wariancja, mediana itd. Wnioskowanie statystyczne obejmujące metody pozwalające na uogólnianie wyników z próby na nieznane wartości parametrów oraz szacowanie błędów tego uogólnienia. Przewidujemy nieznaną wartości parametru

Bardziej szczegółowo

Zadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych

Zadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych Zadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych Zad. 1 Średnia ocen z semestru letniego w populacji studentów socjologii w roku akademickim 2011/2012

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI

WYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI WYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI Regresja 1. Metoda najmniejszych kwadratów-regresja prostoliniowa 2. Regresja krzywoliniowa 3. Estymacja liniowej funkcji regresji 4. Testy istotności współczynnika regresji liniowej

Bardziej szczegółowo

Egzamin / zaliczenie na ocenę*

Egzamin / zaliczenie na ocenę* WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI Zał. nr 4 do ZW 33/01 KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim CYFROWE PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW Nazwa w języku angielskim DIGITAL SIGNAL PROCESSING Kierunek studiów

Bardziej szczegółowo

Teoria błędów. Wszystkie wartości wielkości fizycznych obarczone są pewnym błędem.

Teoria błędów. Wszystkie wartości wielkości fizycznych obarczone są pewnym błędem. Teoria błędów Wskutek niedoskonałości przyrządów, jak również niedoskonałości organów zmysłów wszystkie pomiary są dokonywane z określonym stopniem dokładności. Nie otrzymujemy prawidłowych wartości mierzonej

Bardziej szczegółowo

Fuzja sygnałów i filtry bayesowskie

Fuzja sygnałów i filtry bayesowskie Fuzja sygnałów i filtry bayesowskie Roboty Manipulacyjne i Mobilne dr inż. Janusz Jakubiak Katedra Cybernetyki i Robotyki Wydział Elektroniki, Politechnika Wrocławska Wrocław, 10.03.2015 Dlaczego potrzebna

Bardziej szczegółowo

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru

Bardziej szczegółowo

Statystyki: miary opisujące rozkład! np. : średnia, frakcja (procent), odchylenie standardowe, wariancja, mediana itd.

Statystyki: miary opisujące rozkład! np. : średnia, frakcja (procent), odchylenie standardowe, wariancja, mediana itd. Wnioskowanie statystyczne obejmujące metody pozwalające na uogólnianie wyników z próby na nieznane wartości parametrów oraz szacowanie błędów tego uogólnienia. Przewidujemy nieznaną wartości parametru

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODAMI SYMULACYJNYMI

WYZNACZANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODAMI SYMULACYJNYMI WYZNACZANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODAMI SYMULACYJNYMI Stefan WÓJTOWICZ, Katarzyna BIERNAT ZAKŁAD METROLOGII I BADAŃ NIENISZCZĄCYCH INSTYTUT ELEKTROTECHNIKI ul. Pożaryskiego 8, 04-703 Warszawa tel. (0)

Bardziej szczegółowo

Na A (n) rozważamy rozkład P (n) , który na zbiorach postaci A 1... A n określa się jako P (n) (X n, A (n), P (n)

Na A (n) rozważamy rozkład P (n) , który na zbiorach postaci A 1... A n określa się jako P (n) (X n, A (n), P (n) MODELE STATYSTYCZNE Punktem wyjścia w rozumowaniu statystycznym jest zmienna losowa (cecha) X i jej obserwacje opisujące wyniki doświadczeń bądź pomiarów. Zbiór wartości zmiennej losowej X (zbiór wartości

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1 PODSTAWOWE POJĘCIA I DEFINICJE

Rozdział 1 PODSTAWOWE POJĘCIA I DEFINICJE 1. 1. W p r owadze n ie 1 Rozdział 1 PODSTAWOWE POJĘCIA I DEFINICJE 1.1. WPROWADZENIE SYGNAŁ nośnik informacji ANALIZA SYGNAŁU badanie, którego celem jest identyfikacja własności, cech, miar sygnału; odtwarzanie

Bardziej szczegółowo

Charakterystyka mierników do badania oświetlenia Obiektywne badania warunków oświetlenia opierają się na wynikach pomiarów parametrów świetlnych. Podobnie jak każdy pomiar, również te pomiary, obarczone

Bardziej szczegółowo

Określanie niepewności pomiaru

Określanie niepewności pomiaru Określanie niepewności pomiaru (Materiały do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu Materiałoznawstwo na wydziale Górnictwa i Geoinżynierii) 1. Wprowadzenie Pomiar jest to zbiór czynności mających na celu

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka - W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i unkcja gęstości rozkładu

Bardziej szczegółowo

Metoda najmniejszych kwadratów

Metoda najmniejszych kwadratów Metoda najmniejszych kwadratów Przykład wstępny. W ekonomicznej teorii produkcji rozważa się funkcję produkcji Cobba Douglasa: z = AL α K β gdzie z oznacza wielkość produkcji, L jest nakładem pracy, K

Bardziej szczegółowo

2. Założenie niezależności zakłóceń modelu - autokorelacja składnika losowego - test Durbina - Watsona

2. Założenie niezależności zakłóceń modelu - autokorelacja składnika losowego - test Durbina - Watsona Sprawdzanie założeń przyjętych o modelu (etap IIIC przyjętego schematu modelowania regresyjnego) 1. Szum 2. Założenie niezależności zakłóceń modelu - autokorelacja składnika losowego - test Durbina - Watsona

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów Wrocław, 18.03.2016r Plan wykładu: 1. Testowanie hipotez 2. Etapy testowania hipotez 3. Błędy 4. Testowanie wielokrotne 5. Estymacja parametrów

Bardziej szczegółowo

Opis przedmiotu: Probabilistyka I

Opis przedmiotu: Probabilistyka I Opis : Probabilistyka I Kod Nazwa Wersja TR.SIK303 Probabilistyka I 2012/13 A. Usytuowanie w systemie studiów Poziom Kształcenia Stopień Rodzaj Kierunek studiów Profil studiów Specjalność Jednostka prowadząca

Bardziej szczegółowo

KORELACJE I REGRESJA LINIOWA

KORELACJE I REGRESJA LINIOWA KORELACJE I REGRESJA LINIOWA Korelacje i regresja liniowa Analiza korelacji: Badanie, czy pomiędzy dwoma zmiennymi istnieje zależność Obie analizy się wzajemnie przeplatają Analiza regresji: Opisanie modelem

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Statystyka Wykład 10 Wrocław, 22 grudnia 2011 Testowanie hipotez statystycznych Definicja. Hipotezą statystyczną nazywamy stwierdzenie dotyczące parametrów populacji. Definicja. Dwie komplementarne w problemie

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Magdalena Jakubek. kwiecień 2017

Statystyka. Magdalena Jakubek. kwiecień 2017 Statystyka Magdalena Jakubek kwiecień 2017 1 Nauka nie stara się wyjaśniać, a nawet niemal nie stara się interpretować, zajmuje się ona głównie budową modeli. Model rozumiany jest jako matematyczny twór,

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Przetwarzania Sygnałów Biomedycznych

Laboratorium Przetwarzania Sygnałów Biomedycznych Laboratorium Przetwarzania Sygnałów Biomedycznych Ćwiczenie 3 Analiza sygnału o nieznanej strukturze Opracowali: - prof. nzw. dr hab. inż. Krzysztof Kałużyński - mgr inż. Tomasz Kubik Politechnika Warszawska,

Bardziej szczegółowo

OPIS MODUŁ KSZTAŁCENIA (SYLABUS)

OPIS MODUŁ KSZTAŁCENIA (SYLABUS) OPIS MODUŁ KSZTAŁCENIA (SYLABUS) I. Informacje ogólne: 1 Nazwa modułu Metody opracowania obserwacji 2 Kod modułu 04-A-MOO-60-1L 3 Rodzaj modułu obowiązkowy 4 Kierunek studiów astronomia 5 Poziom studiów

Bardziej szczegółowo

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średniej Wrocław, 21 grudnia 2016r Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja 10.1 Przedziałem

Bardziej szczegółowo

Inteligentna analiza danych

Inteligentna analiza danych Numer indeksu 150946 Michał Moroz Imię i nazwisko Numer indeksu 150875 Grzegorz Graczyk Imię i nazwisko kierunek: Informatyka rok akademicki: 2010/2011 Inteligentna analiza danych Ćwiczenie I Wskaźniki

Bardziej szczegółowo

Załóżmy, że obserwujemy nie jedną lecz dwie cechy, które oznaczymy symbolami X i Y. Wyniki obserwacji obu cech w i-tym obiekcie oznaczymy parą liczb

Załóżmy, że obserwujemy nie jedną lecz dwie cechy, które oznaczymy symbolami X i Y. Wyniki obserwacji obu cech w i-tym obiekcie oznaczymy parą liczb Współzależność Załóżmy, że obserwujemy nie jedną lecz dwie cechy, które oznaczymy symbolami X i Y. Wyniki obserwacji obu cech w i-tym obiekcie oznaczymy parą liczb (x i, y i ). Geometrycznie taką parę

Bardziej szczegółowo

Sprawdzenie narzędzi pomiarowych i wyznaczenie niepewności rozszerzonej typu A w pomiarach pośrednich

Sprawdzenie narzędzi pomiarowych i wyznaczenie niepewności rozszerzonej typu A w pomiarach pośrednich Podstawy Metrologii i Technik Eksperymentu Laboratorium Sprawdzenie narzędzi pomiarowych i wyznaczenie niepewności rozszerzonej typu A w pomiarach pośrednich Instrukcja do ćwiczenia nr 4 Zakład Miernictwa

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja

Bardziej szczegółowo

Wykład Centralne twierdzenie graniczne. Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu

Wykład Centralne twierdzenie graniczne. Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu Wykład 11-12 Centralne twierdzenie graniczne Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu Centralne twierdzenie graniczne (CTG) (Central Limit Theorem - CLT) Centralne twierdzenie graniczne (Lindenberga-Levy'ego)

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Współczynnik zmienności Klasycznym współczynnikiem (wskaźnikiem) zmienności zmiennej losowej X nazywamy wyrażenie gdzie E(X) 0. v k z (X) = D(X) E(X), Klasyczny

Bardziej szczegółowo

SPIS TEŚCI CZĘŚĆ I RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

SPIS TEŚCI CZĘŚĆ I RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA SPIS TEŚCI PRZEDMOWA...13 CZĘŚĆ I RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. ZDARZENIA LOSOWE I PRAWDOPODOBIEŃSTWO...17 1.1. UWAGI WSTĘPNE... 17 1.2. ZDARZENIA LOSOWE... 17 1.3. RELACJE MIĘDZY ZDARZENIAMI... 18 1.4.

Bardziej szczegółowo

Szeregi czasowe, analiza zależności krótkoi długozasięgowych

Szeregi czasowe, analiza zależności krótkoi długozasięgowych Szeregi czasowe, analiza zależności krótkoi długozasięgowych Rafał Weron rweron@im.pwr.wroc.pl Definicje Mając dany proces {X t } autokowariancję definiujemy jako : γ(t, t ) = cov(x t, X t ) = = E[(X t

Bardziej szczegółowo

Zakładamy, że są niezależnymi zmiennymi podlegającymi (dowolnemu) rozkładowi o skończonej wartości oczekiwanej i wariancji.

Zakładamy, że są niezależnymi zmiennymi podlegającymi (dowolnemu) rozkładowi o skończonej wartości oczekiwanej i wariancji. Wnioskowanie_Statystyczne_-_wykład Spis treści 1 Centralne Twierdzenie Graniczne 1.1 Twierdzenie Lindeberga Levy'ego 1.2 Dowód 1.2.1 funkcja tworząca sumy zmiennych niezależnych 1.2.2 pochodna funkcji

Bardziej szczegółowo

INFORMATYKA W CHEMII Dr Piotr Szczepański

INFORMATYKA W CHEMII Dr Piotr Szczepański INFORMATYKA W CHEMII Dr Piotr Szczepański Katedra Chemii Fizycznej i Fizykochemii Polimerów WPROWADZENIE DO STATYSTYCZNEJ OCENY WYNIKÓW DOŚWIADCZEŃ 1. BŁĄD I STATYSTYKA błąd systematyczny, błąd przypadkowy,

Bardziej szczegółowo

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Książka jest nowoczesnym podręcznikiem przeznaczonym dla studentów uczelni i wydziałów ekonomicznych. Wykład podzielono na cztery części. W pierwszej

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Statystyka i opracowanie danych W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Rozkład Poissona. Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i funkcja gęstości

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 5 TEORIA ESTYMACJI II

WYKŁAD 5 TEORIA ESTYMACJI II WYKŁAD 5 TEORIA ESTYMACJI II Teoria estymacji (wyznaczanie przedziałów ufności, błąd badania statystycznego, poziom ufności, minimalna liczba pomiarów). PRÓBA Próba powinna być reprezentacyjna tj. jak

Bardziej szczegółowo

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW ODRZUCANIE WYNIKÓW OJEDYNCZYCH OMIARÓW W praktyce pomiarowej zdarzają się sytuacje gdy jeden z pomiarów odstaje od pozostałych. Jeżeli wykorzystamy fakt, że wyniki pomiarów są zmienną losową opisywaną

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady

WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady WYKŁAD 2 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady Metody statystyczne metody opisu metody wnioskowania statystycznego syntetyczny liczbowy opis właściwości zbioru danych ocena

Bardziej szczegółowo

Dokładność pomiaru: Ogólne informacje o błędach pomiaru

Dokładność pomiaru: Ogólne informacje o błędach pomiaru Dokładność pomiaru: Rozumny człowiek nie dąży do osiągnięcia w określonej dziedzinie większej dokładności niż ta, którą dopuszcza istota przedmiotu jego badań. (Arystoteles) Nie można wykonać bezbłędnego

Bardziej szczegółowo

... prognozowanie nie jest celem samym w sobie a jedynie narzędziem do celu...

... prognozowanie nie jest celem samym w sobie a jedynie narzędziem do celu... 4 Prognozowanie historyczne Prognozowanie - przewidywanie przyszłych zdarzeń w oparciu dane - podstawowy element w podejmowaniu decyzji... prognozowanie nie jest celem samym w sobie a jedynie narzędziem

Bardziej szczegółowo

Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.

Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna. Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.

Bardziej szczegółowo