Wstęp do Optyki i Fizyki Materii SkondensowanejI

Transkrypt

1 Wstęp do Optyki i Fizyki Materii SkondensowanejI Ciało stałe 2 Wydział Fizyki UW Jacek.Szczytko@fuw.edu.pl Piotr.Fita@fuw.edu.pl

2 Struktura krystaliczna Crystals B n t 1 A B A = CD = nt 1 = t cos φ j -j cos φ = n C A t 1 B D 2

3 Struktura krystaliczna Sieci Bravais Regularna Istnieje 14 możliwych sieci wypełniających przestrzeń. Sieci te noszą nazwę sieci Bravais. a b c 90 Tworzą one 7 układów krystalograficznych a b c 90 Tetragonalna Heksagonalna a b c Rombowa a b c 90 Romboedryczna a b c Jednoskośna a b c a b c Trójskośna 3

4 Struktura krystaliczna Sieć Bravais (Bravais lattice) 4

5 Struktura krystaliczna Bravais lattice Example: close packed structure hexagonal close-packed (HCP) Hexagonal lattice with basis fcc lattice 5

6 Funkcja korelacji Operator gęstości (number density operator) czyli ilości cząstek w jednostkowej objętości w miejscu x = x, y, z : n(x) δ x x α α Gęstość średnia to n x. W przypadku cieczy izotropowych i jednorodnych n x nie zależy od x. n(x) δ x x α α Jednak sam operator średnej gęstości nie odróżni np. cieczy i ciała stałego, potrzebna jest inna wielkość P.M. Chaikin, T.C. Lubensky - Principles of condensed matter physics 6

7 Funkcja korelacji Funkcja korelacji gęstości (correlation function of the density) można spotkać wiele definicji. Najażniejsza jest korelacja dwucząstkowa gęstości: C nn x 1, x 2 = n x 1 n x 2 = δ x 1 x α δ x 2 x α α,α (suma po wszystkich parach) funkcja dystrybucji par (pair distribution function) g x 1, x 2 g x 1, x 2 = C nn x 1, x 2 n x 1 n x 2 = = α α δ x 1 x α δ x 2 x α (suma po parach rozłącznych) P.M. Chaikin, T.C. Lubensky - Principles of condensed matter physics 7

8 Funkcja korelacji Należy wybrać zadaną konfigurację cząsteczek (rys. obok). Wybieramy środek osi (0,0,0) Całka n g x po elemencie objętości d n x w odległości x od środka układu współrzędnych jest ilością cząsteczek w tym elemencie objętości. Stąd g x można wyznaczyć licząc ilość cząsteczek w odległości x. Średnia tej ilości po (wielu) cząsteczkach umieszczonych w środku (przesuwamy środek!) podzielona przez n d n x daje g x Dla układów nieskorelowanych g x nie zależy od x, czyli : bo P.M. Chaikin, T.C. Lubensky - Principles of condensed matter physics 8

9 Funkcja korelacji W przypadku cieczy i gazów dla każdego R Model gazu doskonałego twardych rdzeni P.M. Chaikin, T.C. Lubensky - Principles of condensed matter physics 9

10 Funkcja korelacji W przypadku cieczy i gazów dla każdego R Argon Argon i model gazu doskonałego twardych rdzeni: P.M. Chaikin, T.C. Lubensky - Principles of condensed matter physics 10

11 Materia skondensowana Woda P.M. Chaikin, T.C. Lubensky - Principles of condensed matter physics 11

12 Materia skondensowana Aby jednoznacznie odpowiedzieć na pytanie, czy materia jest kryształem czy cieczą należy wprowadzić funkcję strukturalną, która reprezentowałaby średnią pozycję cząsteczek w przestrzeni - funkcję korelacji gęstości elektronowej G(R). G R = ρ x 0 ρ(x 0 + R) ρ 0 2 gdzie ρ 0 jest średnią gęstością elektronową materii W cieczy (jednowymiarowej), w której występuje tylko krótkozasięgowe uporządkowanie pozycyjne cząsteczek, wartość funkcji korelacji gęstości elektronowej zanika w przestrzeni wykładniczo: G R ~ cos q 0 R e R/ξ 12

13 Materia skondensowana W krysztale funkcję korelacji gęstości elektronowej można przedstawić jako sumę funkcji typu delta, odpowiadających odległościom obiektów w strukturze krystalicznej: G R jest funkcją o stałej amplitudzie (z i (R)) G R = z i (R)δ(R R i ) i 13

14 Materia skondensowana Dyfraktogram jest transformatą Fouriera funkcji G R i obrazuje on zależność intensywności sygnału od częstości przestrzennych q. Transformatą Fouriera funkcji korelacji krótkozasięgowej jest funkcja Lorentza: 1 I(q)~ 1 + (ξ(q q 0 )) 2 Szerokość sygnału Lorentza jest zależna od szybkości tłumienia x. Im mniejszy zakres korelacji x, tym szersze są uzyskiwane refleksy dyfrakcyjne. Ze względu na swą szerokość, obserwowane dla cieczy sygnały rentgenowskie, określane są jako dyfuzyjne. 14

15 Quasicrystals and non-crystalline mater Theoretical description of liquids, amorphous solids, glasses, quasicrystals - very complicated - no translational symmetry. Condensation: Short-range order (liquid, solid amorphous, glass) Long-range order (crystalline matter) Penrose tiling five-fold symmetry 15

16 Quasicrystals and non-crystalline mater Theoretical description of liquids, amorphous solids, glasses, quasicrystals - very complicated - no translational symmetry. Michal Krížek, Jakub Šolc, and Alena Šolcová Penrose tiling five-fold symmetry 16

17 Quasicrystals and non-crystalline mater Theoretical description of liquids, amorphous solids, glasses, quasicrystals - very complicated - no translational symmetry. 17

18 Quasicrystals and non-crystalline mater Theoretical description of liquids, amorphous solids, glasses, quasicrystals - very complicated - no translational symmetry. Condensation: Short-range order (liquid, solid amorphous, glass) Long-range order (crystalline matter) seven-fold symmetry Michal Krížek, Jakub Šolc, and Alena Šolcová 18

19 Quasicrystals and non-crystalline mater Theoretical description of liquids, amorphous solids, glasses, quasicrystals - very complicated - no translational symmetry. molten mixture of aluminium and manganese under an electron microscope 19

20 Quasicrystals and non-crystalline mater Opis teoretyczny cieczy, ciał amorficznych, szkieł, kwazikryształów bardzo skomplikowany brak symetrii translacyjnej. The Madrasa al-mustansiriyya in Baghdad, Iraq (1233) 20

21 Dov Levine, J. Steinhardt PRB 34, 596 (1986) Quasicrystals and non-crystalline mater Theoretical description of liquids, amorphous solids, glasses, quasicrystals - very complicated - no translational symmetry. als-although-chemists-initially An alloy of aluminum, copper, and iron showed clear evidence of naturally occurring quasicrystals. 21

22 Kondensacja Theoretical description of liquids, amorphous solids, glasses, quasicrystals - very complicated - no translational symmetry. Condensation: Short-range order (liquid, solid amorphous, glass) Long-range order (crystalline matter) 22

23 Wskaźniki płaszczyzn The crystalline structure is studied by means of the diffraction of photons, neutrons, electrons or other light particles 23

24 Dyfrakcja 1912 Max von Laue zauważył, że długości fali promieniowania X są porównywalne z odległościami międzyatomowymi w krysztale. Sugestia ta została szybko potwierdzona przez Waltera Friedricha i Paula Knippinga Model kryształu. Zbiór odbijających równoległych płaszczyzn o odległościach między płaszczyznowych d 2dsinθ = nλ William Lawrence Bragg (son) and William Henry Bragg (father), 1913 Max von Laue e.g. λ=1,54 Å, d = 4 Å, kryształ o symetrii regularnej, pierwszy refleks θ = 11 P. Atkins 24

25 Dyfrakcja Brehmsstrahlung promieniowanie hamowania "braking radiation" or "deceleration radiation" continuous spectrum 25

26 Dyfrakcja characteristic spectrum 26

27 methoda Lauego Kryształ oświetlony jest światłem białym. W wyniku rozproszenia fale o różnych długościach zostają rozproszone w różnych kierunkach. Otrzymujemy na kliszy różne punkty dla różnych kolorów (długości fali). Układ plamek ma symetrię taką jak kierunek w krysztale, wzdłuż którego pada fala 27

28 Quasicrystals and non-crystalline mater Theoretical description of liquids, amorphous solids, glasses, quasicrystals - very complicated - no translational symmetry. Condensation: Short-range order (liquid, solid amorphous, glass) Long-range order (crystalline matter) Penrose tiling 28

29 methoda Debaye-Scherera Peter Joseph Debye Paul Scherrer

30 methoda Debaye-Scherera Badanym ośrodkiem jest proszek z chaotyczna orientacją kryształów w przestrzeni. Oświetla się go falą monochromatyczną. Rozproszenie na różnie zorientowanych kryształach powoduje powstanie na kliszy łuków odpowiadających płaszczyznom, na których możliwe było ugięcie promienia 30

31 Atomic form factor (czynnik atomowy) NaCl KCl P. Atkins Both salts have the same crystal structure, but different diffraction, why? 31

32 Atomic form factor (czynnik atomowy) NaCl KCl P. Atkins Both salts have the same crystal structure, but different diffraction, why? 32

33 Atomic form factor (czynnik atomowy) Rozpraszanie elastyczne na gazie atomowym. Rozprasza chmura elektronowa: i.e. lokalna gęstość elektronów ρ Ԧξ k = k = k Δ 1 = ξ cos α = ξ k Ԧξ kξ = k Ԧξ k Δ 2 = ξ cos α = ξ k Ԧξ kξ = k Ԧξ k Δ = Δ 2 Δ 1 φ = 2πΔ λ = k k Ԧξ k = kδ = Δk Ԧξ = Δk Ԧξ k 33

34 Atomic form factor (czynnik atomowy) Δ = Δ 2 Δ 1 φ = 2πΔ λ = k k Ԧξ k = kδ = Δk Ԧξ = Δk Ԧξ k Ψ 0 = A r exp i k Ԧr ωt ρ e Ԧ ξ = 0 Gęstość ładunku w Ԧξ = 0 Ψ Ԧξ = A r exp i k Ԧr ωt Δk Ԧξ ρ e Ԧξ Fala rozproszona Ψ Ԧξ d Ԧξ = A r exp i k Ԧr ωt ρ e Ԧ ξ exp iδk Ԧξ d Ԧξ Gęstość ładunku Atomic form factor f = 1 e න ρ e Ԧ ξ exp iδk Ԧξ d Ԧξ 34

35 Atomic form factor (czynnik atomowy) Np. rozkład elektronów o symetrii kulistej f = 1 e න ρ e ξ Ԧ exp iδk Ԧξ d Ԧξ = 1 e 2π න ρ e ξ Ԧ exp iδk Ԧξ ξ 2 d cos θ dξ = 2π e න ξ2 ρ e Ԧξ exp Δkξ exp Δkξ iδkξ dξ = 4π e න ξ2 ρ e Ԧξ sin Δkξ Δkξ dξ Dla małych kątów rozproszeń Δkξ 0 oraz f = Z Atomowy czynnik rozpraszania f oznacza stosunek amplitudy promieniowania rozproszonego przez rzeczywisty rozkład elektronów w atomie do amplitudy promieniowania rozproszonego przez jeden elektron punktowy. Atomic form factor f = 1 e න ρ e Ԧ ξ exp iδk Ԧξ d 3 ξ 35

36 Atomic form factor (czynnik atomowy) For small angles of scattering ef = Q (total charge) f = 1 e න ρ e Ԧ ξ exp iδk Ԧξ d 3 ξ 36

37 Atomic form factor (czynnik atomowy) f = 1 e න ρ e Ԧ ξ exp iδk Ԧξ d 3 ξ 37

38 Fala rozproszona na jednym atomie: j Ψ = A e i k Ԧr ωt f j Fala rozproszona na wszystkich atomach (w kierunku k ): R 0j Baza R nj = R 0j + T 38

39 Fala rozproszona na jednym atomie: j Ψ = A e i k Ԧr ωt f j Fala rozproszona na wszystkich atomach (w kierunku k ): Ψ = A e i k Ԧr ωt f j e iδkr nj n j Δk = k k Period of the lattice Atoms in basis R 0j Baza R nj = R 0j + T 39

40 Fala rozproszona na jednym atomie: j Ψ = A e i k Ԧr ωt f j Fala rozproszona na wszystkich atomach (w kierunku k ): Ψ = A e i k Ԧr ωt f j e iδkr nj n j Δk = k k Atomy w bazie R 0j Baza R nj = R 0j + T 40

41 Fala rozproszona na jednym atomie: j Ψ = A e i k Ԧr ωt f j Fala rozproszona na wszystkich atomach (w kierunku k ): Ψ = A e i k Ԧr ωt f j e iδkr nj n j Δk = k k Atomy w bazie Period sieci R 0j Baza R nj = R 0j + T 41

42 Fala rozproszona na jednym atomie: j Ψ = A e i k Ԧr ωt f j Fala rozproszona na wszystkich atomach (w kierunku k ): Ψ = A e i k Ԧr ωt f j e iδk R 0j+T n j Δk = k k Atomy w bazie Period sieci R 0j Baza R nj = R 0j + T 42

43 Fala rozproszona na jednym atomie: j Ψ = A e i k Ԧr ωt f j Fala rozproszona na wszystkich atomach (w kierunku k ): Ψ = A e i k Ԧr ωt f j e iδk R0j+T = n j T = n 1 Ԧt 1 + n 2 Ԧt 2 + n 3 Ԧt 3 = Ae i k Ԧr ωt f j e iδk R 0j e iδk T = n j 43

44 Fala rozproszona na jednym atomie: j Ψ = A e i k Ԧr ωt f j Fala rozproszona na wszystkich atomach (w kierunku k ): Ψ = A e i k Ԧr ωt f j e iδk R0j+T = n j T = n 1 Ԧt 1 + n 2 Ԧt 2 + n 3 Ԧt 3 = Ae i k Ԧr ωt f j e iδk R 0j e iδk T = n j = Ae i k Ԧr ωt f j e iδk R 0j j e iδk n 1t Ԧ 1 +n 2 Ԧt 2 +n 3 Ԧt 3 = n 44

45 Fala rozproszona na jednym atomie: j Ψ = A e i k Ԧr ωt f j Fala rozproszona na wszystkich atomach (w kierunku k ): Ψ = A e i k Ԧr ωt f j e iδk R0j+T = n j T = n 1 Ԧt 1 + n 2 Ԧt 2 + n 3 Ԧt 3 = Ae i k Ԧr ωt f j e iδk R 0j e iδk T = n j = Ae i k Ԧr ωt f j e iδk R 0j j e iδk n 1t Ԧ 1 +n 2 Ԧt 2 +n 3 Ԧt 3 = n = Ae i k Ԧr ωt f j e iδk R 0j j n 1 e iδk n1 Ԧt1 n 2 e iδk n2 Ԧt2 n 3 e iδk n3 Ԧt3 45

46 Fala rozproszona na jednym atomie: j Ψ = A e i k Ԧr ωt f j Fala rozproszona na wszystkich atomach (w kierunku k ): Ψ = A e i k Ԧr ωt f j e iδk R0j+T = n j T = n 1 Ԧt 1 + n 2 Ԧt 2 + n 3 Ԧt 3 = Ae i k Ԧr ωt f j e iδk R 0j e iδk T = n j = Ae i k Ԧr ωt f j e iδk R 0j j e iδk n 1t Ԧ 1 +n 2 Ԧt 2 +n 3 Ԧt 3 = n = Ae i k Ԧr ωt f j e iδk R 0j j n 1 e iδk n1 Ԧt1 n 2 e iδk n2 Ԧt2 n 3 e iδk n3 Ԧt3 Czynnik struktury S G S G = න dvρ R e iδkr cell 46

47 Maksymalna intensywność n 1 e iδk n1 Ԧt1 Kiedy? n 2 e iδk n2 Ԧt2 n 3 e iδk n3 Ԧt3 T = n 1 Ԧt 1 + n 2 Ԧt 2 + n 3 Ԧt 3 47

48 Maksymalna intensywność n 1 e iδk n1 Ԧt1 n 2 e iδk n2 Ԧt2 n 3 e iδk n3 Ԧt3 Kiedy e iδk n 1 Ԧ t 1 = 1 ΔkԦt 1 = 2πh ΔkԦt 2 = 2πk ΔkԦt 3 = 2πl Warunki Lauego T = n 1 Ԧt 1 + n 2 Ԧt 2 + n 3 Ԧt 3 48

49 Maksymalna intensywność n 1 e iδk n1 Ԧt1 n 2 e iδk n2 Ԧt2 n 3 e iδk n3 Ԧt3 Kiedy e iδk n 1 Ԧ t 1 = 1 ΔkԦt 1 = 2πh ΔkԦt 2 = 2πk ΔkԦt 3 = 2πl Warunki Lauego T = n 1 Ԧt 1 + n 2 Ԧt 2 + n 3 Ԧt 3 Δk G = h Ԧg 1 + k Ԧg 2 + l Ԧg 3 Ԧg i Ԧt j = 2πδ ij Ԧg i = 2π a i Ԧg i = 2π Ԧt i Ԧt j Ԧt k Ԧt j Ԧt k Sieć odwrotna Structure factor S G S G = න dvρ R e i ԦGR cell 49

50 ΔkԦt 1 = 2πh ΔkԦt 2 = 2πk ΔkԦt 3 = 2πl Warunki Lauego sieć odwrotna Ԧg i Ԧt j = 2πδ ij Δk G = h Ԧg 1 + k Ԧg 2 + l Ԧg 3 T = n 1 Ԧt 1 + n 2 Ԧt 2 + n 3 Ԧt 3 Czynnik struktury S G S G = න dvρ R e i ԦGR cell Geometryczny czynnik strukturalny S G f j e iδk R 0j j = f j e i ԦG R 0j j = f j e i2π n 1h+n 2 k+n 3 l j 50

51 Geometryczny czynnik strukturalny F h, k, l = f j e i2π n 1h+n 2 k+n 3 l j Przykład: Dla kryształu Li i kryształu TlBr (sieci typu bcc regularna przestrzennie centrowana) znaleźć możliwe wartości geometrycznego czynnika strukturalnego. r 1 = 0,0,0 r 2 = 1 2, 1 2, 1 2 F Li h, k, l = f j e i2π n 1h+n 2 k+n 3 l = f Li e i2π f Li e i2π 1 2 h+1 2 k+1 2 l j odd F Li h, k, l = f Li 1 + e iπ h+k+l F TlBr h, k, l = f j e i2π n 1h+n 2 k+n 3 l = f Tl e i2π f Br e i2π 1 2 h+1 2 k+1 2 l j odd iπ h+k+l F TlBr h, k, l = f Tl + f Br e even even 51

52 Neutrons Neutrony generowane w reaktorze są spowalniane w wyniku zderzeń z moderatorem (grafitem) do V = 4 km/s, co odpowiada energii E=0.08 ev a energia ta odpowiada λ = 1 Å Neutrony oddziaływają z : jądrami (można wyznaczyć gęstość prawdopodobieństwa znalezienia jąder), wyznaczyć krzywe dyspersyjne fononów momentami magnetycznymi jąder. E 2 2 2M M=1, g 0,28 ( o ) E(eV) 1 Å for E=0,08 ev J. Ginter 52

53 Elektrony Elektrony mają ładunek elektryczny i oddziaływają silnie z materią, wnikają bardzo płytko. Zjawisko ugięcia elektronów pozwala na badania strukturalne powierzchni oraz bardzo cienkich warstw E 2 2 2M M=0, g 12 ( o ) E(eV) 1 Å for E=144 ev T. Stacewicz & A. Witowski 53

54 Elektrony 54

55 Crystalography Electrons Rafał Dunin-Borkowski Magnetic domains in a thin cobalt film The colors in the image show the different directions of the magnetic field in a layer of polycrystalline cobalt that has a thickness of only 20 nm. The field of view is approximately 200 microns 55

56 Crystalography Electrons Rafał Dunin-Borkowski Magnetic nanotubes.the nanotubes were fabricated in the University of Cambridge Engineering department by Yasuhiko Hayashi, who grew them using a Cobalt-Palladium catalyst. This alloy remains present in the ends of the nanotubes, and is magnetic. The nanotubes you see here have a nm diameter. 56

57 Crystalography Electrons Rafał Dunin-Borkowski This image won First Prize in the "Science Close-Up" category in the Daily Telegraph Visions of Science competition. The image shows a multi-walled carbon nanotube, approximately 190 nm in diameter, containing a 35-nm-diameter iron crystal encapsulated inside it. Electron holography has been used to obtain a map of the magnetic field surrounding the iron particle, at a spatial resolution of approximately 5 nm. 57

58 Crystalography Electrons Rafał Dunin-Borkowski The image shows the magnetic field lines in a single magnetosome chains in a bacterial cell. The fine white lines are the magnetic field lines in the cell, which were measured using offaxis electron holography. 58