Niestandardowe ujęcie dynamiki relatywistycznej oraz klasycznej teorii elektromagnetyzmu

Transkrypt

1 Niestandardowe ujęcie dynamiki relatywistycznej oraz klasycznej teorii elektromagnetyzmu Krzysztof Rębilas Katedra Chemii i Fizyki, Uniwersytet Rolniczy im. Hugona Kołłątaja w Krakowie Al. Mickiewicza 21, Kraków

2 Wiedzębudujesięzfaktów,jakdomzkamienia; ale zbiór faktów nie jest wiedzą, jak stos kamieni nie jest domem. Henri Poincaré

3 Plan wykładu Relatywistyczne równanie ruchu- wydedukować zamiast postulować. Niezmienniczość relatywistycznego równania ruchu- wykazać dla dowolnej siły(nie tylko siły Lorentza). Relatywistyczne równanie ruchu wyrazić poprzez Lorentzowsko niezmiennicze trójwymiarowe wektory Euklidesoweprawdziwa inwariantność zamiast jedynie kowariantności standardowego równania. Wyprowadzić równania Maxwella z prawa Gaussa. Wyprowadzić ogólne pola Maxwella z prawa Gaussa. Wyprowadzić relatywistyczne równanie ruchu spinu z równania nierelatywistycznego.

4 Bibliografia 1. K. Rębilas, A way to discover Maxwell equations theoretically, Foundations of Physics Letters 19(4), (2006). 2. K. Rębilas, Reducing Maxwell s equations to Gauss law, Physics Essays 19(3), (2006). 3. K. Rębilas, Alternative method of developing Maxwell s fields, Apeiron 14(4), (2007). 4. K. Rębilas, Derivation of the relativistic momentum and relativistic equation of motion from Newton s second law and Minkowskian space-time geometry, Apeiron 15(3), (2008). 5. K. Rębilas, Lorentz invariant three-vectors and alternative formulation of relativistic dynamics, American Journal of Physics 78, (2010). 6. K. Rębilas, Simple approach to relativistic spin dynamics, American Journal of Physics 79, (2011). 7. K. Rębilas, Thomas Precession and the Bargmann-Michel-Telegdi Equation, Foundations of Physics 41, (2011).

5 Fizyka Newtonowska S S r r ' V t' t Transformacja Galileusza: r= r + Vt t=t

6 Fizyka Newtonowska S S a' d v ' d t' V a d v d t Transformacja Galileusza: r= r + Vt Wniosek: t=t a= a

7 Fizyka Newtonowska S S F' m a' V F m a W układzie S: F=m a, WukładzieS : F =m a. Dla sił niezależnych od prędkości i zależnych jedynie od względnychpołożeńciał, F= F( r i r j ), F= F.

8 Fizyka Newtonowska S S F' m a' V F m a ZarównowukładzieSjakiS obowiązujetosamorównanieruchu: F=m a Spełniona jest zasada względności: Prawa fizyki mają tę samą postać w każdym układzie inercjalnym.

9 Fizyka Newtonowska S S F' m a' V F m a Równanie: F=m a jest nie tylko strukturalnie ale i numerycznie tożsame w dowolnym układzie inercjalnym- silna postać zasady względności.

10 Teoria względności S S r r ' V t' t Transformacja Lorentza: r= r + γ 1 V 2 ( V r ) V+γ Vt, ( t=γ t V r + ) c 2

11 Teoria względności S S a' d v ' d t' V a d v d t Wniosek: a = ) 3/2 (1 V2 c a = 2 ( V v 1+ ) 3 a c ) (1 2 V2 ( ) c 2 ( V v 1+ ) 3 a +V c 2 ( a v ) c 2

12 Dynamika relatywistyczna Jak uratować zasadę względności? Definiujemy czterowektor pędu: p µ =m(cγ v,γ v v),składowaprzestrzenna: p=mγ v v Postulujemy relatywistyczne równanie ruchu: gdzie: K µ = dpµ dτ,składowaprzestrzenna: F= d p dt F v K µ = (γ v,γ c vf) czterowektorsiły(siłaminkowskiego).

13 Dynamika relatywistyczna TransformacjaLorentzaΛ µ νdziałataksamonakażdy czterowektor: K µ = dpµ dτ, Λ µ ν Kν = Λ µ ν K µ = dp µ dτ dp ν dτ Λµ ν (Kν dpν dτ )=0 Wniosek- spełniona jest zasada względności: Równanie ruchu: K µ = dpµ dτ ma tę samą postać w każdym układzie odniesienia(jest kowariantne).

14 Kowariantne sformułowanie dynamiki relatywistycznej S S K Μ d p Μ dτ V K Μ d pμ dτ K µ ik µ niesąniezmiennicze(sąnumerycznieróżne);podobnie p µ ip µ orazdp µ /dτidp µ /dτ-kontrastwzględemfizykinewtona. K µ idp µ /dτsąjedyniewspółzmiennicze.

15 Dynamika relatywistyczna Zasada względności wyrażona jako strukturalna niezmienniczość równania czteorowektorowego K µ = dpµ dτ Trywialne; osiągnięte za cenę sztucznej konstrukcjiczterowektory to obiekty nadmiarowe: K µ =(γ vf v/c,γ }{{} vf ) }{{} K 0 = v K/c K Zasada względności powinna być spełniona dla fizycznie istotnej składowej przestrzennej równania ruchu: F= d p dt.

16 Dynamika relatywistyczna Czyli oczekujemy, że równanie: F= d p dt ma tę samą postać w każdym układzie odniesienia. Nietrywialne! Składowa przestrzenna transformacji Lorentza Λ µ ν Kν =Λ µ ν dpν dτ,czylitransformacjawektora F: F= F +γ F +γ v ( ) V c 2 F, Zasada względności(jej fizycznie istotna treść) implikuje, że: Dladowolnejsiływektory F i Fbędąmiećtęsamąpostaćw układziesis.

17 Elektromagnetyzm SzczególnawłasnośćsiłyLorentzaipól Ei B. W układzie S: d p dt =q E+q v B, gdziepola Eoraz BspełniająrównaniaMaxwella: E= ρ ɛ 0 (1) B 1 c 2 E t = j c 2 ɛ 0 (2) E+ B t =0 (3) B=0 (4)

18 Elektromagnetyzm TransformacjaLorentzadoukładuS : d p dt = ( ) d p dt V Uwzględniając, że: oraz ( ) d p +γ V dt V γ V v d p dt =q E+q v B, ( V v= v + V+(γ 1) V V [( v V)+V 2 ] ( 2 γ 1 v V ) c 2 otrzymujemy(dzieją się cuda): c 2 d p dt dp ( ) ( dt =q E +γ E V +γ VV B +qv B +γ B V γ ) V c 2 V E. ),

19 dp ( ) ( dt =q E +γ VE +γ VV B +qv B +γ VB γ ) V c 2 V E. Definiujemy: E = E +γ V E +γ V V B, B = B +γ VB γ V c 2 V E. imamy: dp dt =qe +qv B. TasamapostaćcowukładzieS: d p dt =q E+q v B.

20 Ale,czyqE +qv B tosiłalorentzawukładzies?polae orazb powinnyspełniaćrównaniamaxwellaws we współrzędnych r it : r = r+ γ 1 V 2 ( V r) V γ Vt, t =γ ( t V r c 2 Odpowiedź:q E +q v B jestsiłąlorentza;pola E oraz B spełniają równania Maxwella: E = ρ ɛ 0 B 1 c 2 E t = j E + B t =0 B =0 c 2 ɛ 0 ).

21 Konkluzja: GdyskładowaprzestrzennaK µ tosiłalorentza, współzmienniczośćk µ = dpµ dτ współzmienniczość F=q E+q v B. Dlatego sformułowanie czterowektorowe strukturalnej niezmienniczości równania ruchu w dziedzinie elektrodynamiki nie budzi kontrowersji. CozsiłamiinnyminiżsiłaLorentza?Czy(iwjakimsensie)można oczekiwać, że dowolna siła zachowa swą postać przy transformacji Lorentza?

22 Relatywistyka- ujęcie niestandardowe Zamiast postulować relatywistyczne równanie ruchu, wyprowadzić je z... drugiej zasady dynamiki Newtona!

23 Relatywistyka- ujęcie niestandardowe S R v F R m a R W układzie spoczynkowym cząstki: F R =m a R. To samo równanie zapisane we współrzędnych układu S: ( ) ( ) d p d p F R = +γ v, dt dt p=mγ v v-pędrelatywistyczny.

24 Wyprowadzenie relatywistycznego równania ruchu Druga zasada dynamiki Newtona zapisana w układzie S: F R = ( ) d p dt ( ) d p +γ v dt jest równoważna relatywistycznemu równaniu ruchu w standardowej postaci: F= d p dt nie trzeba postulować gdzie: F ( ( F R ), ( F R ) γ v ). - definicja siły relatywistycznej w oparciu o siłę Newtonowską.

25 Dyskusja Standardowe uzasadnienie dla pędu relatywistycznego i równania ruchu: Analiza zderzeń. Wielkość zachowana to relatywistyczny pęd p=mγ v v. Ale brak związku pędu relatywistycznego p z siłą zmieniającą pęd. Potrzebny oddzielny postulat: F= d p dt. Sprawdzamy, czy spełniona jest zasada korespondencji: F= d p dt v c 0 F=m a.

26 Dyskusja Nowa propozycja: Wychodzimy od uznanego równania ruchu Newtona: Wyprowadzamy: F R = F R =m a R. ( ) d p dt F = d p dt, F ( ) d p +γ v dt ( ( F R ), ( F R ) γ v Definicja pędu relatywistycznego oraz jego związek z siłą pojawia się automatycznie. Spełnienie zasady korespondencji gwarantowane. ).

27 Jawna postać i definicja strukturalnej niezmienniczości R F R m a R S v F d p dt F F R v F R v Γ v S v F' d p dt F' F R v' F R v' Γ v' Ogólna definicja współzmienniczej postaci siły- w oparciu o F R,aniejakorelacja F( F ). Jawne spełnienie współzmienniczości trójwymiarowego, tj. fizycznie istotnego równania ruchu dla dowolnej siły.

28 Niezmienniki transformacji Lorentza Znany skalarny niezmiennik transformacji Lorentza: Dlaczegods 2 jestniezmiennicze? ds 2 =dt 2 dx 2 dy 2 dz 2.

29 Faktualneuzasadnienieniezmienniczościds 2 R l S v S v' l 2 c 2 t 2 x 2 y 2 z 2 l 2 c 2 t 2 x 2 y 2 z 2

30 Faktualneuzasadnienieniezmienniczościds 2 Niezmienniczość interwału jednoznaczność wyniku pomiaru w układzie spoczynkowym. R Τ S v S v' Τ 2 c 2 t 2 x 2 y 2 z 2 Τ 2 c 2 t 2 x 2 y 2 z 2

31 Lorentzowsko niezmienniczy wektor Euklidesowy R m a R S v m a R d p d p Γ v dt v dt v S v' m a R d p' d p' Γ v' dt' v' dt' v' ( ) d p dt ( ) d p +γ v = dt ( ) dp dt v +γ v ( ) dp dt v!

32 Niezmiennicze wektorowe równanie ruchu Równanie ruchu w układzie R: F R (t R, x R )=m a R jako równanie ruchu w układzie S: albowukładzies : F R (t, x)= F R (t, x )= ( ) d p dt v ( ) dp dt ( ) d p +γ v dt v v +γ v ( ) dp Wszędzietasamasiła F R -wyrażanawodpowiednichzmiennych. dt v

33 Niezmiennicze wektorowe równanie ruchu Zalety: F R (t, x)= ( ) d p dt v ( ) d p +γ v dt v Niezmiennicze strukturalnie i numerycznie(standardowe równanie- jedynie kowariantne). Lepiej niż w fizyce Newtonowskiej, bo bez zastrzeżeń co do rodzaju siły. Wektor ( ) d p dt ( ) d p +γ v dt to absolutna(taka sama w każdym układzie) miara efektu działania siły; nie wszystko jest względne w teorii względności (por. przyspieszenie w fizyce Newtonowskiej). Nie trzeba transformować siły.

34 Przykład: Elektrodynamika Podejście standardowe. W układzie S: d p dt =q E+q v B. WukładzieS : przy czym: d p dt =q E +q v B, E = E +γ V E +γ V V B, B = B +γ V B γ V c 2 V E. Jedynie współzmienniczość.

35 Przykład: Elektrodynamika Podejście alternatywne. W układzie S: ( ) ( ) d p d p +γ v dt dt WukładzieS : ( ) dp dt v v +γ v v ( ) dp dt =q E R. v =q E R. WystarczyznaćpoleelektryczneE R,byopisaćruchładunkuw dowolnym układzie odniesienia. Uwaga: ( d p dt ) v ( ) d p +γ v =q( E v dt +γ ve +γ v v v ) B. v Jeszcze jeden wektorowy inwariant: E v +γ v E v +γ v v B.

36 Niezmienniki transformacji Lorentza Odpowiedniki: l 2 cdt 2 dx 2 dy 2 dz 2, m a R ( ) d p dt v ( ) d p +γ v, dt v E R E v +γ v E v +γ v v B. Fundamentalne znaczenie wielkości własnych- wyrażone w innych układach odniesienia generują wielkości Lorentzowsko niezmiennicze.

37 Wyprowadzenie równań Maxwella z prawa Gaussa Równania Maxwella: E= ρ ɛ 0 Prawo Gaussa B 1 E c 2 t = j c 2 ɛ 0 E+ B t =0 Prawo Ampera Maxwella Prawo Faradaya B=0 PrawoGaussadlamagnetyzmu oraz siła Lorentza: d p dt =q E+q v B jako niezależne równania?

38 Wyprowadzenie równań Maxwella z prawa Gaussa Znany fakt: Równania Maxwella Lorentzowsko współzmiennicze. Novum: Równania Maxwella jak i siłę Lorentza można odkryć na drodze teoretycznej. Punktem wyjścia jest: Transformacja Lorentza: Prawo Gaussa: r= r + γ 1 V 2 ( V r ) V+γ Vt, ( t=γ t V r + ) c 2. E= ρ ɛ 0.

39 Wyprowadzenie równań Maxwella z prawa Gaussa Relatywistyka standardowa(kowariantna). Równanie ruchu w układzie S: F= d p dt, iwukładzies : F = d p dt. Transformacja Lorentza związek między siłami: F= F +γ F +γ v ( ) V c 2 F. Nie jest to standardowy wzór transformacyjny- v po prawej stronietoprędkośćws(niews ). Fundamentalny wzór dla dalszej analizy.

40 Wyprowadzenie równań Maxwella z prawa Gaussa F= F +γ F +γ v ( V c 2 F ) Wprowadzamyoznaczenia Ei B:. E= F +γ F oraz B=γ ( ) V c 2 F V = c 2 E.

41 Wyprowadzenie równań Maxwella z prawa Gaussa Dladowolnejsiły F zukładus,siła FwukładzieodniesieniaS ma postać: F= E+ v B, zcałkiemogólnymi Ei B: E= F +γ F B= V c 2 E. (Natymetapie, F= E+ v BtoniejestsiłaLorentza- F całkiem dowolna.)

42 Wyprowadzenie równań Maxwella z prawa Gaussa Niech F =q E -siłacoulombaws. ŹródłoQspoczywawS. S F q E q v B S Q q F q E v V

43 Wyprowadzenie równań Maxwella z prawa Gaussa Dla F =q E,siławukładzieS: F= E+ v B F=q E+q v B, gdzie E q Ei B q Boraz: E= E +γ E, B= V c 2 E. E niezależyodprędkościcząstki v wielkości Ei Btakże niezależne od prędkości ładunku q(pola). Ei Bniesązdefiniowaneniezależnie. Jakierelacjewiążązesobąwielkości Ei B?

44 Wyprowadzenie równań Maxwella z prawa Gaussa Mamy do dyspozycji: Prawo Gaussa w układzie spoczynkowym źródła: E = Qδ( r r Q ) ɛ 0. Definicjepól: E= E +γ E, B= V E. c 2 Transformaję Lorentza: x =γ 1 V 2 V x( V )+ x γv x c 2 t, y =γ 1 V 2 V y( V )+ y γv y c 2 t, z =γ 1 V 2 V z( V )+ z γv z c 2 t, t =γ t γ V.

45 Wyprowadzenie równań Maxwella z prawa Gaussa Bezpośredni rachunek: E= 1 ɛ 0 Qδ( r r Q ). B= 1 c 2 E t + j c 2 ɛ 0. E= B t. B=0. Wniosek:Pola Ei BspełniająrównaniaMaxwella;sątopola elektryczne i magnetyczne w układzie S. Otrzymana z siły Coulombasiła F=q E+q v BtosiłaLorentza.

46 Wyprowadzenie równań Maxwella z prawa Gaussa Bardziej szczegółowo: E x =E x E y =γe y E z =γe z E= x E x x x +γ E y y +γ E z z =γ E =γ 1 Qδ( r r ɛ Q), 0 oraz δ(f(x))= n δ(x x n ) f (x n ) δ( r r Q)= 1 γ δ( r r Q), zatem: E= 1 ɛ 0 Qδ( r r Q ). Pole EspełniaprawoGaussa.

47 Wyprowadzenie prawa Ampera-Maxwella B 1 E c t= j 2 c 2 ɛ 0 Liczymyrotacjępola B: B= ( V c 2 E) = 1 c 2 V( E) 1 c 2 E( V)+ 1 c 2( E ) V 1 c 2( V ) E Prędkość V-stała(formalnie,stałe pole ): B= 1 c 2 V( E) 1 c 2( V ) E. Z ogólnej transformacji Lorentza: V =γ V γβ 2 t t = γ V +γ t.

48 Wyprowadzenie prawa Ampera-Maxwella B 1 E c t= j 2 c 2 ɛ 0 Zatem: Czyli: V = 1 γ t t. B= 1 c 2 V( E)+ 1 c 2 E t 1 γc 2 E t. E= ρ ɛ 0. Vρtogęstośćprądu j. Ejestzdefiniowanyprzez E,któreniezależyodt. Ostatecznie: B 1 c 2 E t = j c 2 ɛ 0.

49 WyprowadzenieprawaFaradaya E+ B t=0 Z transformacji Lorentza: x =γ 1 V 2 V x( V )+ x γv x c 2 t, y =γ 1 V 2 V y( V )+ y γv y c 2 t, z =γ 1 V 2 V z( V )+ z γv z c 2 t. γ V =γ t t, E= E +γ E = E +(γ 1) 1 V 2( V E ) V.

50 WyprowadzenieprawaFaradaya E+ B t=0 Cierpliwieliczymyrotacjępola E... ( ) E= γ 1 γv 2 +γ 1 γ 2 V 2 t ( V E)= 1 c 2 t ( V E) albo E+ B t =0.

51 WyprowadzenieprawaGaussadlamagnetyzmu B=0 B= 1 c 2 ( V E)= 1 c 2 E ( V) 1 c 2 V ( E). Pierwszy człon równy zero. Drugi człon z prawa Faradaya: 1 c 2 V V ( V E)=0. ( ) B = 1 ) V ( t c 4 t ( V E) = 1 c 4 V ( t V E). Ostatecznie: B=0.

52 Wyprowadzenie równań Maxwella Ogólna konkluzja: Równania Maxwella można odkryć na drodze teoretycznej. Dlapól Ei BzdefiniowanychtransformacjąLorentza: gdzie: F =q E T.L. F=q E+q v B, E= E +γ E, B= V c 2 E, oraz E = Qδ( r r Q ), ɛ 0 równania Maxwella to tożsamości algebraiczne. Widać, że równania Maxwella są Lorentzowsko współzmiennicze(układ S jest dowolny)- kowariantność można pokazać nie używając rachunku tensorowego.

53 Wyprowadzenie równań Maxwella Bonus: Ogólne rozwiązania równań Maxwella obejmują także przypadek przyspieszających źródeł.

54 Wyprowadzenie ogólnych pól Maxwella Wymagane mocniejsze założenia: Polewytwarzanewprzestrzeniwczasietzależyodpołożeniai ruchuźródławretardowanejchwiliτ=t R ret /c,gdzie: R ret = r(t) r Q (τ). Dla dowolnego ruchu źródła pola siła w każdym układzie odniesienia ma postać: F=q E+q v B. DladowolnegoruchuźródłapoleelektryczneEspełniaw każdym układzie odniesienia prawo Gaussa: E= 1 Q i δ( r r Qi ). ɛ 0 Uwaga: Z ostatnich dwóch założeń wynika prawo Ampera-Maxwella B 1 E c 2 t = j c 2 ɛ 0 dladowolnie poruszającychsięźródeł-możnaznaleźćpoleb. i

55 Wyprowadzenie ogólnych pól Maxwella z prawa Gaussa SpoczywająceźródłoQchwilowoprzyspieszonewmomenciet 0. Przyspieszenie: a=cd β/dt.następnieruchjednostajnyz prędkościąd β.przemieszczeniepoczasiet: r=d β(t t 0 ). cdt E 2 P E 1 n ret a Dr

56 Wyprowadzenie ogólnych pól Maxwella z prawa Gaussa E a E 2 E 1 cdt R ret n ret q A 2 a A 1

57 Wyprowadzenie ogólnych pól Maxwella z prawa Gaussa E a E 2 E 1 Fundamentalne spostrzeżenie: n ret q R ret A 2 cdt Prawo Gaussa wymaga istnienia dodatkowegopola E a prostopadłegodo R ret,które kompensuje strumień dawany przezpola E 1 i E2. a A 1

58 Wyprowadzenie ogólnych pól Maxwella z prawa Gaussa Ostatecznie: E= Q [ n ] β 4πɛ 0 γ 2 (1 β n) 3 R 2 ret + Q 4πɛ 0 c 2 [ ] n ( n β) a (1 β n) 3 R ret, - ogólne pola Maxwella. B= n ret c E

59 Relatywistyczne równanie ruchu spinu W chwilowym spoczynkowym układzie odniesienia: s= ge 2mc s B, - klasyczne nierelatywistyczne równanie. Równanie Bargmanna, Michela i Telegdi(BMT): Ṡ µ = ge [ F µν S ν + 1 2mc c 2Uµ (S λ F λν U ν ) ] 1 c 2Uµ (S λ U λ ), -postulat. Równanie BMT można wyprowadzić w sposób jednoznaczny z równania nierelatywistycznego( Simple approach to relativistic spin dynamics, American Journal of Physics 79, (2011)).

60 Równanie ruchu dla fizycznego spinu s Równanie BMT- okrężna droga do poznania ruchu fizycznego spinu s.czterospins µ niemaprostejinterpretacjifizycznej. n s S S 0 =γ(s 0 + β s) S= s+ γ2 γ+1 ( β s) β+γ βs 0.

61 Równanie ruchu dla fizycznego spinu s Jak(i czy) równanie BMT uwzględnia precesję Thomasa? Problem: Jak opisać ruch wektora s z punktu widzenia laboratorium?(formalnie s jest zdefiniowany w układzie spoczynkowym.) Przyjmujemy postulat BMT: s jest w układzie spoczynkowym częściączterowektoras µ =(0, s);wlaboratoryjnym: S µ =(S 0, S). s 0 =γ(s 0 β S), s= S+ γ2 γ+1 ( β S) β γ βs 0. s= s(s µ, β)-dobrzezdefiniowanywlaboratoriumprzez chwilową transformację Lorentza. Przyróżniczkowaniuwektora s(s µ, β), βtraktowaćjako wielkość zmieniającą się w czasie- także różniczkować!

62 Równanie ruchu dla fizycznego spinu s ( ) d s = dt lab ( ) d s + dt β=constant ( ) d s. dt S=constant ( ) d s = d S dt β=constant dt + γ2 ( β d S ) β γ ds 0 β γ+1 dt dt, ( ) ( ) d s d s. dt dt β=constant rest ( ) d s dt S=constant = d dt ( γ 2 γ+1 ) ( β S) β+ γ2 γ+1 (d β dt S) β + γ2 γ+1 ( β S) d β dt dγ dt βs 0 γ d β dt S0.

63 Równanie ruchu dla fizycznego spinu s gdzie: ( ) ( d s = γ2 dt S=constant γ+1 s β d ) β = ω T s, dt ω T = γ2 dβ γ+1dt β, - prędkość kątowa precesji Thomasa. Ostatecznie, pełne równanie ruchu w układzie laboratoryjnym: ( ) d s = dt lab ( ) d s + ω T s, dt rest - równanie BMT w języku fizycznego spinu s.

64 Równanie ruchu dla fizycznego spinu s Zalety: ( ) d s = dt lab ( ) d s + ω T s, dt rest Automatycznie i w sposób jawny pokazuje obecność precesji Thomasa. Prosta interpretacja w porównaniu do oryginalnego równania BMT. Zawiera fizyczny spin s- do bezpośredniego zastosowania eksperymentalnego. Lorentzowsko współzmiennicze trójwymiarowe równanie ruchu.

65 Podsumowanie Fizyka(klasyczna) w układzie spoczynkowym plus transformacja Lorentza pozwala wydedukować w sposób jednoznaczny: Relatywistyczne równanie ruchu i jego strukturalną niezmienniczość dla dowolnego wektora siły. Lorentzowsko niezmiennicze wektory- silna niezmienniczość prawa ruchu zamiast jedynie współzmienniczości. Równania Maxwella. Relatywistyczne równanie ruchu spinu BMT oraz jego odpowiednik w języku fizycznego wektora spinu. Wyprowadzone prawa są kowariantne(lub wręcz inwariantne), choć sformułowane w oparciu o zwykłe wektory Euklidesowe. Prawa fizyki w chwilowym układzie spoczynkowym ciała są nie tyle granicznym przypadkiem ogólnych praw relatywistycznych, co raczej fundamentem, z którego ogólne prawa da się w sposób ścisły wyprowadzić.

66 Dziękuję za uwagę.