Informatyka A. Algorytmy

Transkrypt

1 Informatyka A Algorytmy Spis algorytmów 1 Algorytm Euklidesa Rozszerzony algorytm Euklidesa Wyszukiwanie min w tablicy Jednoczesne wyszukiwanie min i max w tablicy Schemat Hornera Potęgowanie binarne Zamiana z systemu dziesiętnego na system o innej podstawie Rozwiązywanie liniowego równania diofantycznego Wyszukiwanie liniowe (sekwencyjne) Wyszukiwanie z wartownikiem Wyszukiwanie binarne Sortowanie bąbelkowe Sortowanie przez wybieranie (selekcję) Sortowanie przez wstawianie Sortowanie przez zliczanie Sortowanie przez scalanie Scalanie tablic Sortowanie szybkie (quicksort) Obliczanie miejsca zerowego metodą połowienia Obliczanie miejsca zerowego metodą siecznych Sito Eratostenesa Algorytm obliczania n-tego wyrazu ciągu Fibonacciego Rekurencyjny algorytm Euklidesa Rekurencyjne podnoszenie do potęgi Wyszukiwanie binarne - wersja rekurencyjna Szybkie podnoszenie do potęgi Wyszukiwanie min w tablicy - wersja rekurencyjna Algorytm obliczania n-tego wyrazu ciągu Fibonacciego - wersja wstępująca Algorytm obliczania n-tego wyrazu ciągu Fibonacciego - wersja zstępująca

2 Algorytm 1: Algorytm Euklidesa Dane: a, b N + Wynik: NW D(a, b) while b 0 do c = a mod b a = b b = c Pisz a Algorytm 2: Rozszerzony algorytm Euklidesa Dane: a, b N + Wynik: d = NW D(a, b), {u, v} takie, że ua + vb = d (u 1, r 1, u 2, r 2 ) = (1, a, 0, b) while r 2 > 0 do q = r1 r 2 (u 1, r 1, u 2, r 2 ) = (u 2, r 2, u 1 q u 2, r 1 q r 2 ) Pisz d = r 1, {u, v} = (u 1, r 1 u 1 a b ) Algorytm 3: Wyszukiwanie min w tablicy Dane: T [1... n] Wynik: min(t [1],..., T [n]) min = 1 for i = 2,..., n do if T [i] < T [min] then min = i Pisz T [min] 2

3 Algorytm 4: Jednoczesne wyszukiwanie min i max w tablicy Dane: T [1... n] Wynik: min(t [1],..., T [n]), max(t [1],..., T [n]) 1. Jeśli n = 1, to min = max = T [1] 2. W kolejnych parach elementów umieść na pozycji nieparzystej element lżejszy, na parzystej element cięższy. Jeśli n jest nieparzyste, to ostatni element ciągu oznacz przez e 3. Szukamy elementu minimalnego dla indeksów nieparzystych, elementu maksymalnego dla indeksów parzystych 4. Jeśli n jest nieparzyste, to porównaj otrzymane wartości z e Algorytm 5: Schemat Hornera Dane: f(x) = a 0 X n + a 1 X n a n 1 X + a n, x 0 R Wynik: f(x 0 ) w = a 0 for i = 1,..., n do w = w x 0 + a i Pisz w Algorytm 6: Potęgowanie binarne Dane: b R, n N {0} Wynik: b n x = 1 z = b i = n while i > 0 do if i mod 2 = 1 then x = x z z = z z i = i 2 Pisz x Algorytm 7: Zamiana z systemu dziesiętnego na system o innej podstawie Dane: n N liczba w systemie dziesiętnym, p N podstawa systemu Wynik: n w systemie o podstawie p // T [1... log p n + 1] - tablica z cyframi liczby n w systemie o podstawie p k = 1 while n > 0 do T [k] = n mod p k = k + 1 n = n p for i = k 1,..., 1 do Pisz T [i] 3

4 Algorytm 8: Rozwiązywanie liniowego równania diofantycznego Dane: a, b, c Z takie, że ax + by = c Wynik: Rozwiązanie ogólne równania ax + by = c (d, u, v) = RozszerzonyAlgorytmEuklidesa(a, b) if c mod d = 0 then Pisz x = c u d + t b d Pisz y = c v d t a d Pisz Brak rozwiązań Algorytm 9: Wyszukiwanie liniowe (sekwencyjne) Dane: T 1,..., T n, K poszukiwany element Wynik: Indeks i {1,..., n} taki, że T i = K. W przypadku, gdy takie i nie istnieje zwracamy 1 1. i = 1 2. Jeśli K = T i, to zakończ działanie algorytmu i zwróć i 3. i = i Jeśli i n, to wróć do 2 w przeciwnym razie zakończ działanie algorytmu i zwróć 1 Algorytm 10: Wyszukiwanie z wartownikiem Dane: T 1,..., T n, K poszukiwany element Wynik: Indeks i {1,..., n} taki, że T i = K. W przypadku, gdy takie i nie istnieje zwracamy 1 1. i = 1, T n+1 = K 2. Jeśli T i = K, to idź do 4 3. i = i + 1, idź do 2 4. Jeśli i n, to zwróć i, w przeciwnym przypadku 1 4

5 Algorytm 11: Wyszukiwanie binarne Dane: A posortowana tablica, v poszukiwany element, l, r zakres w jakim poszukujemy Wynik: Indeks poszukiwanego elementu, w przypadku nie znalezienia elementu zwracamy 1 while r l do m = l+r 2 if v = A[m] then return m if v < A[m] then r = m 1 l = m + 1 return 1 Algorytm 12: Sortowanie bąbelkowe Dane: T [1... n] Wynik: Posortowana tablica T for j = 1,..., n 1 do for i = 1,..., n 1 do if T [i] > T [i + 1] then zamień(t [i], T [i + 1]) Algorytm 13: Sortowanie przez wybieranie (selekcję) Dane: T [1... n] Wynik: Posortowana tablica T for i = 1,..., n 1 do min = i for j = i + 1,..., n do if T [j] < T [min] then min = j zamień(t [i], T [min]) Algorytm 14: Sortowanie przez wstawianie Dane: T [1... n] Wynik: Posortowana tablica T for i = 2,... n do x = T [i] j = i 1 while j > 0 and x < T [j] do T [j + 1] = T [j] j = j 1 T [j + 1] = x 5

6 Algorytm 15: Sortowanie przez zliczanie Dane: A[1... n] tablica liczb naturalnych z przedziału [1, k] Wynik: Posortowana tablica A // B[1... n] - tablica posortowana // C[1... k] - tablica pomocnicza for i = 1,..., k do C[i] = 0 for i = 1,..., n do C[A[i]] = C[A[i]] + 1 for i = 2,..., k do C[i] = C[i] + C[i 1] for i = 1,..., n do B[C[A[i]]] = A[i] C[A[i]] = C[A[i]] 1 // C[i] liczba elementów = i // C[i] liczba elementów i Algorytm 16: Sortowanie przez scalanie Dane: A[1... n] tablica liczb naturalnych Wynik: Posortowana tablica A MergeSort(A, n) M sort(a, 1, n) M sort(a, l, r) if l < r then m = l+r 2 M sort(a, l, m) M sort(a, m + 1, r) Scalaj(A, l, m, r) 6

7 Algorytm 17: Scalanie tablic Dane: A[1... n] tablica liczb naturalnych, m - rozmiar tablicy Wynik: Posortowana tablica A Scalaj(A, l, m, r) C //- tablica pomocnicza i = l; j = m + 1; k = l; while i m and j r do if A[i] A[j] then C[k] = A[i] i = i + 1 C[k] = A[j] j = j + 1 k = k + 1 while i m do C[k] = A[i] i = i + 1 k = k + 1 while j r do C[k] = A[j] j = j + 1 k = k + 1 for k = l to r do A[k] = C[k] 7

8 Algorytm 18: Sortowanie szybkie (quicksort) Dane: T [1... n] Wynik: Posortowana tablica T Quicksort(A, n) Q sort(a, 1, n) Q sort(a, l, r) if l < r then j =Podział(A, l, r) Q sort(a, l, j 1) Q sort(a, j + 1, r) Podział(A, l, r) x = A[l] i = l + 1 j = r koniec = false while not koniec do while j > l and x A[j] do j = j 1 while i < r and x > A[i] do i = i + 1 if i < j then zamień(a[i], A[j]) j = j 1 i = i + 1 koniec = true A[l] = A[j] A[j] = x return j 8

9 Algorytm 19: Obliczanie miejsca zerowego metodą połowienia Dane: Funkcja ciągła f, końce przedziału a, b R, f(a)f(b) < 0 Wynik: x 0 R takie, że f(x 0 ) = 0 // ε dokładność z jaką chcemy liczyć miejsce zerowe f a = f(a) f b = f(b) while a b > ε do x 0 = a+b 2 f 0 = f(x 0 ) if f 0 = 0 then break if f a f 0 < 0 then b = x 0 a = x0 Pisz x 0 f a = f 0 9

10 Algorytm 20: Obliczanie miejsca zerowego metodą siecznych Dane: Funkcja ciągła f, końce przedziału x 1, x 2 R Wynik: x 0 R takie, że f(x 0 ) = 0 // ε dokładność z jaką chcemy liczyć miejsce zerowe // n maksymalna ilość przebiegów algorytmu f 1 = f(x 1 ) f 2 = f(x 2 ) i = n while i > 0 and x 1 x 2 > ε do x x 0 = x 1 f 1 x 2 1 f 1 f 2 f 0 = f(x 0 ) x 2 = x 1 f 2 = f 1 x 1 = x 0 f 1 = f 0 i = i 1 if i = 0 then Pisz Przekroczony limit przebiegów Pisz x 0 Algorytm 21: Sito Eratostenesa Dane: n N Wynik: Tablica zawierająca liczby pierwsze n Utwórz listę L = {1,..., n} L[1] = 0 k = n for i = 2,..., k do if L[i] 0 then for j = i 2, i 2 + i, i 2 + 2i,..., n do L[j] = 0 for i = 2,..., n do if L[i] 0 then Pisz i 10

11 Algorytm 22: Algorytm obliczania n-tego wyrazu ciągu Fibonacciego Dane: n N Wynik: n-ty wyraz ciągu Fibonacciego Function Fibonacci(n N) if ((n = 0) or (n = 1) ) then return n return Fibonacci (n 1)+Fibonacci (n 2) Algorytm 23: Rekurencyjny algorytm Euklidesa Dane: a, b N Wynik: NW D(a, b) Function Euklides(a N, b N) if (b = 0) then return a return Euklides (b, a mod b) Algorytm 24: Rekurencyjne podnoszenie do potęgi Dane: a, n N Wynik: a n Function Potega(a N, n N) if (n = 1) then return a if (n mod 2 = 0) then p =Potega(a, n/2) return p p p =Potega(a, (n 1)/2) return p p a 11

12 Algorytm 25: Wyszukiwanie binarne - wersja rekurencyjna Dane: A posortowana tablica, v poszukiwany element, l, r zakres w jakim poszukujemy Wynik: Indeks poszukiwanego elementu, w przypadku nie znalezienia elementu zwracamy 1 Function wysz-binarne(a, v N, l N, r N) if l r then return 1 m = l+r 2 if v = A[m] then return m if v < A[m] then return wysz-binarne(a, v, l, m 1) return wysz-binarne(a, v, m + 1, r) Algorytm 26: Szybkie podnoszenie do potęgi Dane: a, n N Wynik: a n Function szybkie-potega(a N, n N) if (n = 1) then return a m = n 2 p = szybkie-potega(a, m) p = p p if (n mod 2 = 1) then p = p a return p Algorytm 27: Wyszukiwanie min w tablicy - wersja rekurencyjna Dane: T [1... n], l, r N, gdzie l, r to odpowiednio prawy i lewy koniec tablicy Wynik: min(t [1],..., T [n]) Function minimum(t [1 n], l, r) if l r = 0 then return T [l] m = l+r 2 x =minimum(t, l, m) y =minimum(t, m + 1, r) if x < y then return x return y 12

13 Algorytm 28: Algorytm obliczania n-tego wyrazu ciągu Fibonacciego - wersja wstępująca Dane: n N Wynik: n-ty wyraz ciągu Fibonacciego Function Fibonacci-wstępujący(n N) F [0] = 0 F [1] = 1 for i = 2 to n do F [i] = F [i 1] + F [i 2] Algorytm 29: Algorytm obliczania n-tego wyrazu ciągu Fibonacciego - wersja zstępująca Dane: n N Wynik: n-ty wyraz ciągu Fibonacciego Function Fibonacci-zstępujący(n N) if F [n] = 0 then t = n if n > 1 then t=fibonacci-zstępujący(n 1)+Fibonacci-zstępujący(n 2) F [n] = t return F [n] 13