Analiza Matematyczna. Właściwości funkcji ciagłych

Transkrypt

1 Analiza Matematyczna. Właściwości funkcji Aleksander Denisiuk Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi Gdańsk 24 marca / 15

2 Właściwości funkcji Najnowsza wersja tego dokumentu dostępna jest pod adresem ØØÔ»»Ù Ö ºÔ Û Ø º ÙºÔл Ò Ù» 2 / 15

3 Definicja funkcji ciagłej Niech dana będzie funkcjaf(x), określona w otoczeniu punktua. Definicja 1. Funkcjaf(x) nazywa się ciagł a w punkciea, jeżeli lim x a f(x) = f(a). Jeżelif(x) jest ci agł a w każdym punkcie zbioru X, to mówimy wówczas, żef jest ciagła na zbiorzex. 3 / 15

4 Własności lokalne funkcji Twierdzenie 2. Niech dane będa funkcjef(x) ig(x), ciagłe w punkciea. Wtedy funkcjef ±g,f g oraz f(x) g(x) założeniu g(a) 0) sa ciagłe w punkciea. Wniosek Stała funkcja jest ciagł a. 2. f(x) = x jest funkcja ciagła. (ostatnia przy 3. Wielomian jest funkcja ciagł a. 4. NiechR(x) = P(x) Q(x) będzie funkcj a, przy czym a ciagł a Q(x) 0 na przedziale[a, b]. Wtedy R(x) jest funkcj na przedziale[a,b]. 4 / 15

5 Własności lokalne funkcji, cd Definicja 4. Funkcja f : X R nazywa się ograniczona z góry (z dołu), jeżeli M R (m R), takie x X spełnia się nierównośćf(x) M (f(x) m). Funkcja, ograniczona z dołu i z góry nazywa się ograniczona. Twierdzenie 5. Funkcja, ciagła w punkciea, jest ograniczona w otoczeniua. Twierdzenie 6. Niech funkcjaf będzie ci agł a w punkciea, oraz f(a) > 0 (f(a) < 0). Wtedy, w otoczeniu punktua,f(x) > 0 (f(x) < 0). 5 / 15

6 Funkcje złożone Definicja 7. Niech dane będa dwie funkcjef : X Y oraz g : Y Z. Wówczas funkcjah = g f : X Z, h : x g(f(x)) nazywa się funkcja złożona (superpozycja funkcji f ig). Twierdzenie 8. Niech funkcjaf(x) będzie ciagł a w punkciex 0, funkcjag(y) będzie ciagł a w punkciey 0 = f(x 0 ). Wtedyg f będzie ciagł a w punkciex 0. 6 / 15

7 Właściwości globalne funkcji Twierdzenie 9. Niech funkcjaf będzie ciagł a na przedziale[a,b] i ma w końcach tego przedziału wartości różnych znaków (f(a)f(b) < 0). Wtedy istnieje taki punktx 0 (a,b), że f(x 0 ) = 0. Dowód. Rozważmy przypadekf(a) > 0,f(b) < 0. Zax 0 można przyjaćsup{x [a,b] f(x) > 0}. Wniosek 10. Niech funkcjaf będzie ciagł a na przedziale[a,b]. Wtedy γ międzyf(a) af(b) istniejex 0 (a,b), takie, że f(x 0 ) = γ. Wniosek 11. Równanie a 0 +a 1 x+a 2 x 2 + +a 2k x 2k +x 2k+1 = 0, gdziek 0, ma przynajmniej jeden pierwiastek. 7 / 15

8 Kresy funkcji. Twierdzenia Weierstrassa Definicja 12 (cf. definicję 4). Funkcjaf : X R jest ograniczona z góry (z dołu, ograniczona), jeżeli takim jest zbiór{f(x)}. Liczby inf{f(x)} orazsup{f(x)} nazywaja się odpowiednio dolnym f(x) = inf{f(x)}, i górnym kresem funkcjif: inf x X sup x X f(x) = sup{f(x)}. Twierdzenie 13 (Pierwsze twierdzenie Weierstrassa). Niech funkcjaf będzie ciagł a na przedziale[a,b]. Wtedyf jest ograniczona na tym przedziale. Twierdzenie 14 (Drugie twierdzenie Weierstrassa). Niech funkcjaf będzie ciagł a na przedziale[a,b]. Wtedyf osiaga na tym przedziale swoje kresy. Dowód. Załóżmy, że M = sup 1 f(x) M jest ograniczon a. x [a,b] f(x) nie jest osiagalnym. Wtedy 8 / 15

9 Funkcje monotoniczne Definicja 15. Niech dana będzie funkcja f : X Y. 1. Funkcja y = f(x) nazywa się rosnac a, jeżeli x 1,x 2 : x 1 < x 2 f(x 1 ) < f(x 2 ). 2. Funkcja y = f(x) nazywa się malejac a, jeżeli x 1,x 2 : x 1 < x 2 f(x 1 ) > f(x 2 ). 3. Funkcja y = f(x) nazywa się niemalejac a, jeżeli x 1,x 2 : x 1 < x 2 f(x 1 ) f(x 2 ). 4. Funkcja y = f(x) nazywa się nierosnac a, jeżeli x 1,x 2 : x 1 < x 2 f(x 1 ) f(x 2 ). 5. Funkcja y = f(x) nazywa się monotoniczna, jeżeli ona jest nierosnac a lub niemalejac a. 6. Funkcja y = f(x) nazywa się ściśle monotoniczna, jeżeli ona jest rosnac a lub malejac a. 9 / 15

10 Przykłady funkcji monotonicznych Przykład f(x) = x rośnie na całej osir. 2. f(x) = x 2 jest rosnac a na półprostej[0,+ ) i malejac a na (,0]. 3. f(x) = signx jest niemalejac a. 4. f(x) = 1 x jest rosn ac a na zbiorach(,0) oraz(0,+ ). 10 / 15

11 Odwrotna funkcja Definicja 17. Niech dana będzie funkcja f : X Y. 1. Jeśli x 1,x 2 X : x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ), to funkcjaf nazywa się różnowartościowa (injektywna). 2. Jeśli y Y x X, taki że f(x) = y, to funkcja f nazywa się odwzorowaniem na (funkcja surjektywna). 3. Różnowartościowe odwzorowanie na nazywa się wzajemnie-jednoznacznym odwzorowaniem (funkcja bijektywna). Definicja 18. Niech dana będzie funkcjaf : X Y. Funkcja f 1 : Y X (o ile taka funkcja istnieje) nazywa się odwrotna do f, jeżeli 1. x X f 1 (f(x)) = x czylif 1 f = 1 X y Y f(f 1 (y)) = y czylif f 1 = 1 Y. 1 1 Z : Z Z odwzorowanie jednostkowe, z Z : Z (z) = z 11 / 15

12 Funckja odwrotna, cd Twierdzenie 19. Niech dana będzie funkcja f : X Y. Wówczas istnieje funkcja odwrotnaf 1 : Y X f jest wzajemnie-jednoznacznym odwzorowaniem. Przykład Niechf : [a,b] [2a,2b], f(x) = 2x. Wtedy f 1 : [2a,2b] [a,b], f 1 (y) = y. 2. Niechf : [0,2] [0,4], f(x) = x 2. Wtedy f 1 : [0,4] [0,2], f 1 (y) = y. 12 / 15

13 Właściwości funkcji monotonicznych Twierdzenie 21. Niech dana będzie monotoniczna na przedziale [a,b] funkcjaf. Wtedy c, a c < b ( c, a < c b) istnieje f(x) ( lim f(x)). x c lim x c+ Dowód. Niech funkcja f(x) będzie niemalejac a. Wtedy lim x c+ f(x) = inf{f(x) x > c}. 13 / 15

14 Właściwości funkcji monotonicznych Twierdzenie 22. Niech dana będzie rosnaca (malejaca) na przedziale[a, b] funkcja f, f(a) = α, f(b) = β. Wtedy, jeśli zbiorem wartościf jest przedział[α,β] ([β,α]), to na tym przedziale jest określona funkcja odwrotnaf 1, która również jest rosnac a (malejac a). Dowód. 1. f jest odwzorowaniem na, 2. f jest funkcja różnowartościowa, 3. x 1 < x 2 f(x 1 ) < f(x 2 ). 14 / 15

15 Funkcja odwrotna do monotnonicznej Twierdzenie 23. Niech dana będzie rosnaca (malejaca) na przedziale[a, b] funkcja f, f(a) = α, f(b) = β. Na to, aby f była ciagł a, potrzeba i wystarczy, żeby γ międzyαiβ istniał punkt x [a,b], taki żef(x) = γ. Twierdzenie 24. Niech dana będzie rosnaca (malejaca) na przedziale[a, b] i ciagła funkcjaf,f(a) = α,f(b) = β. Wtedy, na przedziale[α,β] ([β,α]) określona jest funkcja odwrotnaf 1, która również jest rosnac a (malejac a) i ciagła. 15 / 15