Sterowanie napędów maszyn i robotów

Transkrypt

1 Wykład 7 - Układy sterowania. Ocena jakości układów sterowania. Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2016

2 Realizacje układów sterowania zwykłego Realizacje układów sterowania zwykłego układy jednoobwodowe, układy kaskadowe, układy wieloobwodowe ze sprzężeniem od zmiennych stanu: fizykalnych lub fazowych.

3 Układy jednoobwodowe Układy jednoobwodowe Są to proste układy regulacji, z wykorzystaniem regulatorów z konwencjonalnym działaniem typu P, PD, PI, PID, lub z odpowiednio zmodyfikowanymi działaniami. W wersji dyskretnej wyróżnia się dwie realizacje tego rodzaju układu regulacji pozycyjną, przyrostową.

4 Układy jednoobwodowe Wersja pozycyjna (rzadko stosowana) - PID 1 k 1 e s (k) e s (k 1) u(k) = α P k P e s (k) + α I [e s (i)t p ] + α D T D (1) T I T p i=1 Ze względu na całkowanie wersja ta wymaga pamiętania informacji o odchyłce e s (k) od początku sterowania, aż do chwili bieżącej i = k.

5 Układy jednoobwodowe u(k) u(k 1) = k P [ w wersji rekursywnej gdzie: Wersja przyrostowa ] e s(k) e s(k 1) + Tp e s(k) 2e s(k 1) + e s(k 2) e s(k 1) + T D T I T p u(k) = u(k 1) + q 0 e s (k) + q 1 e s (k 1) + q 2 e s (k 2) (3) q 0 = k p [ 1 + T D T p ] [, q 1 = k p 1 T p + 2T ] D T D, q 2 = k p (4) T I T p T p Transmitancję dyskretną działania regulacyjnego opisuje zależność G PID (z) = u(z) e s (z) = q 0 + q 1 z 1 + q 2 z 2 1 z 1 (5) (2)

6 Układy jednoobwodowe UWAGI w wersji dyskretnej inaczej niż w ciągłej można wprowadzić różniczkowanie quasi-idealne przez zastąpienie go operatorem różnicy, którego wartości są skończone nawet w przypadku skokowej zmiany wartości zadanej s 0 (k) dla doboru nastaw można stosować różne podejścia, w praktyce np. wymuszanie przy pomocy sterowania proporcjonalnego k P drgań niegasnących układu napędowego o okresie T kr (k P = k kr ) i dobór nastaw na podstawie oferowanych tablic (np. Ziegler, Nichols, 1942) lub innych zależności.

7 Układy kaskadowe Układy kaskadowe stosowane są powszechnie w układach napędowych osi ruchu maszyn i robotów przemysłowych w postaci obwodów sterowania: położenia (P), prędkości obrotowej (PI), prądu (PI),

8 Równanie dynamiki silnika DC Układ równań wiążących zależności elektryczne i mechaniczne silnika DC di w U z = R w i w + L w dt + k eω s k m i w = J dω (6) s + Bω s + M obc dt stosując przekształcenie Laplace a { Uz (s) = R w i w (s) + L w i w (s)s + k e ω s (s) k m i w (s) = Jω s (s)s + Bω s (s) + M obc (7) a następnie określając zmienną wiążącą jako i w (s) i w (s) = U z(s) k e ω s (s) R w + L w s i w (s) = Jω s(s)s + Bω s (s) + M (8) obc k m czyli U z (s) k e ω s (s) R w + L w s = Jω s(s)s + Bω s (s) + M obc k m (9)

9 Równanie dynamiki silnika DC mając U z (s) k e ω s (s) R w + L w s = Jω s(s)s + Bω s (s) + M obc k m (10) można zapisać zależność wiążącą napięcie zasilające silnik i prędkość kątową wirnika k m U z (s) k m k e ω s (s) = (R w + L w s)(jω s (s)s + Bω s (s) + M obc ) (11) Rysunek : Schemat blokowy silnika prądu stałego, sprowadzonego do obwodu wirnika

10 Równanie dynamiki silnika DC Do wyznaczenia transmitancji silnika elektrycznego prądu stałego z magnesem trwałym, należy przyjąć zerowe obciążenie, czyli: co daje transmitancję operatorową postaci M obc = 0 (12) G(s) = ω s(s) U s (s) = k m L w Js 2 + (R w J + L w B)s + (k m k e + R w B) (13) Tak więc otrzymujemy układ liniowy, stacjonarny, mający charakter układu oscylacyjnego.

11 Transmitancje układu regulacji Transmitancja - wejściem jest napięcie zasilania U z (s) (przy M obc = 0) ω s (s) U s (s) = k m L w Js 2 + (R w J + L w B)s + (k m k e + R w B) (14) Transmitancja zakłóceniowa - wejściem jest moment obciążający (przy U z (s) = 0) ω s (s) M obc (s) = L w s + R w L w Js 2 + (R w J + L w B)s + (k m k e + R w B) (15)

12 Sterowanie feedforward silnika DC Równanie regulatora Rysunek : Schemat blokowy sterowania feedforward G R (s) = L w Js 2 + (R w J + L w B)s + (k m k e + R w B) k m (16) UWAGA: Równanie regulatora zawiera parametry silnika, które mogą, i zwykle są, wyznaczone niedokładnie - mogą też ulec zmianie w trakcie pracy silnika. Ponieważ w układzie nie ma sprzężenia zwrotnego, sygnał wyjściowy może się znacznie różnić od sygnału referencyjnego.

13 Układ jednoobwodowy - sterowanie prędkością silnika DC Rysunek : Schemat blokowy jednoobwodowego układu regulacji prędkości silnika DC Regulator P G R (s) = k ωp (17) Regulator PI ( G R (s) = k ωp ) T ωi s (18)

14 Jakość układu regulacji Zadaniem układu regulacji jest minimalizacja odchyłki regulacji. gdzie e z (t) - odchyłka wywołana zakłóceniem, e(t) = e z (t) + e w (t), (19) e w (t) - odchyłka wywołana wymuszeniem. (zmianą wartości zadanej) Przy ocenie jakości układu regulacji analizuje się oddzielnie obydwa składniki odchyłki regulacji, przy założeniu że układ jest liniowy i spełnia zasadę superpozycji.

15 Odchyłka zakłóceniowa Transmitancja odchyłkowa układu względem zakłócenia G z (s) = y m(s) z(s) = e z(s) z(s) = ±G z(s)g ob (s) 1 + G ob (s)g r (s) (20) e z (s) = y m (s) = Odchyłka statyczna względem zakłócenia: ±G z(s)g ob (s) z(s) (21) 1 + G ob (s)g r (s) e zst. = lim t e z(t) = lim s 0 s e z (s) (22) ±G z (s)g ob (s) e zst. = lim s z(s) (23) s G ob (s)g r (s)

16 Odchyłka nadążania Transmitancja odchyłkowa układu względem wartości zadanej G ew (s) = e w (s) w(s) = G ob (s)g r (s) (24) e w (s) = Odchyłka statyczna względem wartości zadanej 1 w(s) (25) 1 + G ob (s)g r (s) e wst. = lim t e w (t) = lim s 0 s e w (s) (26) 1 e wst. = lim s w(s) (27) s G ob (s)g r (s)

17 Odchyłka nadążania - sterowanie prędkością silnika DC Odchyłka statyczna względem wartości zadanej - regulator P, wymuszenie skokowe (ω s (s) = 1 s ω st) e wst. = lim ω k m k st (28) ωp 1 + L w Js 2 + (R w J + L w B)s + (k m k e + R w B) s e wst. = ω k m k st (29) ωp 1 + (k m k e + R w B)

18 Odchyłka nadążania - sterowanie prędkością silnika DC Odchyłka statyczna względem wartości zadanej - regulator PI, wymuszenie skokowe (ω s (s) = 1 s ω st) e wst. = lim ( k m k ωp ) ω st (30) T ωi s 1 + L w Js 2 + (R w J + L w B)s + (k m k e + R w B) s 0 1 e wst. = 0 (31)

19 Układ kaskadowy - sterowanie prędkością i położeniem silnika DC Rysunek : Schemat blokowy kaskadowego układu regulacji prędkości i położenia silnika DC

20 Odchyłka nadążania - sterowanie prędkością i położeniem silnika DC Odchyłka statyczna położenia względem wartości zadanej - regulator P położenia, regulator P prędkości, wymuszenie skokowe (θ = θ st s ) gdzie 1 e wst. = lim s k θ st (32) θp s G ω(s) G ω (s) = k m k ωp L w Js 2 + (R w J + L w B)s + (k m k e + R w B + k m k ωp ) (33) tak więc odchyłka statyczna położenia w stanie ustalonym ma wartość: e wst. = 0 (34)

21 Układ kaskadowy - sterowanie prędkością, położeniem i prądem Rysunek : Schemat blokowy kaskadowego układu regulacji prędkości, położenia i prądu silnika DC UWAGA: W większości komercyjnie dostępnych silników DC pętla sprzężenia od prądu wykorzystywana jest do kompensacji wpływu momentu obciążenia silnika i regulacji przepływu prądu przez silnik.

22 Układy kaskadowe Przyczyny powszechności zastosowań układów kaskadowych dobór nastaw regulatorów i optymalizacja są bardzo proste - od wewnątrz na zewnątrz kaskady, ograniczona liczba nastaw podstawowym parametrem jest współczynnik wzmocnienia prędkościowego k v, obliczany z warunku żądanego stosunku prędkości (rzeczywistej) do odchyłki położenia w ruchu ustalonym (odchyłki nadążania, śledzenia) dla ruchu postępowego k v = v s ruch ustalony (35) dla ruchu obrotowego k ω = ω θ ruch ustalony (36) prosta i tania realizacja sprzętowa i/lub programowa.

23 Kryteria oceny jakości sterowania Kryteria oceny jakości sterowania Standardowe miary jakości sterowania Modyfikacje standardowych miar jakości sterowania Niestandardowe kryteria i wskaźniki oceny Wskaźniki sumowe (całkowe) Wskaźniki sumowe modyfikowane

24 Kryteria oceny jakości sterowania Miary jakości sterowania współczesnych napędów opierają się na kryteriach oceny bezpośredniej przebiegu w czasie odpowiedzi na skokową zmianę wartości sygnału zadającego

25 Standardowe kryteria oceny jakości sterowania minimalizacja ustalonej (statycznej) odchyłki procesu sterowania (e su ): I esu = α es s(k u ) s o min (37) minimalizacja maksymalnej odchyłki przejściowej (dynamiczna: przeregulowania lub nadwyżki) e sp o kierunku przeciwnym do odchyłki początkowej, określanej w procedurze o schemacie: { } I esp = α esp max 0, max [(s(k) s 0 )sgn(s 0 s pocz )] min (38) 0<k<k u minimalizacja czasu zakończenia (traktowanego alternatywnie jako czas ustalania, pozycjonowania lub doregulowania) procesu pozycjonowania wyrażony przez czas dyskretny k konc lub (w praktyce wygodniejsze) przez czas ciągły t = k konc T p : I t = α t k konc T p min (39) gdzie: α es, α esp i α t są wagami oceny, s 0 i s pocz położeniem zadanym i początkowym ocenianego procesu.

26 Dodatkowe standardowe kryteria oceny jakości sterowania W praktyce oceny prowadzone są według opcjonalnych w stosunku do podanych zależności, dodatkowych warunków i żądań np. w sterowaniu pozycyjnym, dla zadania przestawiania: dla odchyłki ustalonej e su z warunkami zatrzymania ruchu lub osiągnięcia czasu oceny I esu dla ˆv(k u ) â(k u ) = 0 lub gdy k k oc, z reguły k oc < k u (40) dla przeregulowania nadwyżki e sp : nieprzekroczenia określonej krotności odchyłki ustalonej, w praktyce κ < 2, 5 > e su κe sdop (41)

27 Dodatkowe standardowe kryteria oceny jakości sterowania dla czasu zakończenia procesu pozycjonowania k konc traktowanego jako: czas ustalania k u(t u, I tu) - z warunkiem zatrzymania ruchu (jak poprzednio) czas pozycjonowania k p(t p, I tp) z warunkiem osiągnięcia dopuszczalnej wartości odchyłki położenia, e s e sdop czas doregulowania k ur (t ur, I tur ) z warunkiem postoju w strefie dopuszczalnej I tur gdy [ˆv(k u) â(k u) = 0] [ e s e sdop ] (42) i oceną w czasie k oc, 0 < k u, k p, k ur k oc, ograniczonym przez długość taktu pracy napędzanego urządzenia.

28 Standardowe kryteria oceny jakości sterowania Ocena jakości w oparciu o wymienione wskaźniki, jest łatwa w praktycznej realizacji, jednak pojawiają się następujące problemy: wzajemna sprzeczność kryteriów w odniesieniu do zadań sterowania - np. żądanie większej dokładności (zmniejszenie e sdop ) prowadzi do wydłużenia czasu ustalania (t u ). obecność przeregulowania w warunkach przemysłowych: w części zadań pozycjonowania w zakresie ruchów roboczych wykluczone jest pojawienie się tej odchyłki i to bez względu na pogorszenie innych wskaźników w innych zadaniach takich jak np. ruchy dobiegowe, celowość skrócenia czasu ruchu pozwala na pewne przekroczenie wartości zadanej przeregulowanie, będące następstwem oscylacji słabo tłumionego układu napędowego, może być wykorzystane w trakcie uruchomieniowego (startowego), iteracyjnego strojenia nastaw,

29 standardowe kryteria oceny jakości sterowania Rysunek : Ilustracja niejednoznaczności oceny jakości i optymalizacji sterowania pozycyjnego pneumatycznego napędu dławieniowego na przykładzie zależności: a) czas ustalania t u od dopuszczalnej wartości odchyłki ustalonej e sdop i obciążenia masowego m obc, b) liczba przełączeń rozdzielacza u rprze od wartości odchyłki e sdop.

30 Standardowe kryteria oceny jakości sterowania zróżnicowane wymagania odnośnie pracy układu napędowego w urządzeniach automatyki i robotyki żądania o charakterze ogólnym, na przykład: określonej powtarzalności zachowań dokładnościowych i czasowych - w warunkach zmieniających się obciążeń masowych, siłowych itd. likwidacji pełzania - stabilizacji położenia po (chwilowym) ustaniu ruchu zadanej podatności obciążeniowej statycznej i dynamicznej minimalizacji wpływu zmieniających się obciążeń na odchyłkę sterowania w warunkach postoju i ruchu żądania o charakterze funkcjonalnym, związane ze specyfiką realizacji w konkretnej technice napędowej zadań pozycyjnych (przestawianie, nadążania), siłowych, momentowych, przyspieszeniowych itp.

31 Niestandardowe kryteria i wskaźniki oceny W opisanej sytuacji różnorodności uniwersalnych kryteriów oceny jakości układu pozycyjnego, warto rozważyć zastosowanie kryteriów niestandardowych - uwzględniające specyfikę układu. Np. dla pneumatycznego dławieniowego układu pozycyjnego można stosować wskaźniki jakości pozycjonowania rozszerzone o liczbę przełączeń rozdzielacza proporcjonalnego.

32 Niestandardowe kryteria i wskaźniki oceny Wskaźniki sumowe (całkowe) W technice płynowej oparto się na minimalizacji dwóch konwencjonalnych kryteriów ITAE (ang. Integral of Time Multipled with Absolute Error) k oc I ITAE = [k e s (k) ] min (43) k=0 ITSE (ang. Integral of Time with Square Error) k oc I ITSE = [kes 2 (k)] min (44) k=0

33 Niestandardowe kryteria i wskaźniki oceny Cechy wspólne wskaźników ITAE i ITSE pożądane uwzględnienie podstawowych parametrów procesu sterowania napędu, tzn. czasu i odchyłki bardzo silne dowartościowanie początkowej fazy procesu, w której wartość odchyłki jest zbliżona do wartości zadanej Druga własność prowadzi do oceny końcowej niekorzystnej w stosunku do najbardziej istotnej dla przebiegu procesu fazy zbliżania się do wartości zadanej. W zakresie pracy liniowej (modelu) układu napędowego znalezienie minimum ITAE i ITSE jest proste i odpowiada też spełnieniu innych kryteriów (odchyłki ustalonej, maksymalnej odchyłki przejściowej, czasu zakończenia) w przypadku pracy nieliniowej rzeczywistego napędu związek wartości wskaźników ITAE i ITSE z minimalizacją wartości parametrów czasowych i dokładnościowych sterowania przestaje być oczywisty.

34 Niestandardowe kryteria i wskaźniki oceny Wskaźniki sumowe modyfikowane zmodyfikowany wskaźnik I ITAE mod1 - Roth I ITAE mod1 = k oc mod k=0 k s(k) + k oc k=k oc mod k e s (k) min (45) Czas podziału k oc mod jest wyliczany ze wzmocnienia w torze głównym układu sterowania pozycyjnego: k oc mod = 1/(k s C m ) (k s = k x1 w przypadku sterowania ze sprzężeniem zwrotnym od zmiennych stanu) Wskaźnik I ITAE mod1 sprawdza się tylko w przypadku obiektów o dużym czasie opóźnienia i silnie aperiodycznym zachowaniu.

35 Niestandardowe kryteria i wskaźniki oceny Wskaźniki sumowe modyfikowane zmodyfikowany wskaźnik I ITAE mod2 - Enger I ITAE mod2 = k oc k=k oc mod (k k oc mod ) 2 e s (k) min (46) Z całkowitym wycięciem fazy początkowej przebiegu i liczeniem wartości wskaźnika wg przyjętego funkcjonału dopiero po czasie k oc mod (k oc mod < k oc ) osiągnięcia przez odpowiedź skokową układu pozycyjnego maksymalnej wartości przemieszczenia (s o + e sp max ) Wskaźnik I ITAE mod2 ograniczony jest do przypadku słabo tłumionych zachowań układu napędowego i wyraźnym przeregulowaniu, będącym warunkiem rozpoczęcia liczenia (mija się z wymaganiami praktycznymi).

36 Niestandardowe kryteria i wskaźniki oceny Rysunek : Optymalizacja układu pozycyjnego z wykorzystaniem wskaźników sumowych (na przykładzie sterowania pozycyjnego pneumatycznego napędu dławieniowego).

37 Niestandardowe kryteria i wskaźniki oceny Wskaźniki sumowe - nowe modyfikacje wskaźnik jednokryterialny I IAED - w postaci różnicy wartości odpowiedzi układu regulowanego (zamkniętego) i układu nieregulowanego (otwartego) e s(o z) (k) - dla początkowej fazy przebiegu procesu sterowania, tzn. aż do czasu k oc otw określonego osiągnięciem wartości zadanej (np. przemieszczenia s o ) przez odpowiedź układu napędowego przy pełnym wysterowaniu k oc otw : s otw s o = 0 (47) i następnie - aż do czasu oceny k oc - przez wskaźnik I IAED = k oc otw k=0 k e s(o z) (k) + k oc k=k oc otw k e s (k) min (48)

38 Niestandardowe kryteria i wskaźniki oceny Rysunek : Ilustracja oceny jakości układu pozycyjnego z wykorzystaniem wskaźnika I IAED (na przykładzie sterowania pozycyjnego pneumatycznego napędu dławieniowego) - a) odpowiedź z przeregulowaniem i oscylacjami, b) odpowiedź aperiodyczna.

39 Niestandardowe kryteria i wskaźniki oceny Istotą kryterium IAED (ang. Integral of Absolute Real and Standard Error Difference) jest ocena zachowania zamkniętego układu pozycyjnego względem standaryzowanego - przez ograniczenie jego przemieszczenia do wartości zadanej s o - zachowania układu otwartego (odniesienia); kryterium spełnia podstawowe wymagania praktyczne dotyczące oceny jakości sterowania pozycyjnego układów napędowych : pozwala oceniać zachowanie regulowanego układu napędowego względem równoważnego napędu standardowego (przełączalnego), uwzględnia ograniczenia energetyczne wykorzystywanego napędu i prowadzi do optymalnego - w danej realizacji - działania układu pozycyjnego, różnicuje oceny jakości dla różnych wariantów i nastaw sterowania, przebieg odniesienia (zachowanie układu nieregulowanego, otwartego) może być tworzony zarówno analitycznie (symulacyjnie), jak i poprzez eksperyment uruchomieniowy.

40 Niestandardowe kryteria i wskaźniki oceny Wskaźniki sumowe - nowe modyfikacje wskaźnik wielokryterialny I SETOC - w postaci ważonej sumy wskaźników np. (odchyłki ustalonej, maksymalnej odchyłki przejściowej, czasu zakończenia) z ewentualnymi funkcjonalnymi wskaźnikami uzupełniającymi charakterystycznymi dla danego napędu, np. dla napędu pneumatycznego I SETOC = α esu I esu + α esp I esp + α tu I tu + α ur prze I ur prze min (49) Zapewnia to proporcjonalny, zróżnicowany przez poszczególne współczynniki wagowe, wpływ poszczególnych kryteriów na końcową ocenę; wymaga doboru wartości wag, np. dla napędu pneumatycznego pomyślne wyniki optymalizacji uzyskano po przyjęciu wartości wag: α esu = 1, 0/µm, α esp = 0, 2/µm, α tu = 0, 1/ms oraz α ur prze = 2, 0.

41 Wykład 7 - Układy sterowania. Ocena jakości układów sterowania. Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2016