Składowe przedmiotu MECHANIKA I MECHATRONIKA. mechanika techniczna podstawy konstrukcji maszyn mechatronika

Transkrypt

1 Składowe pzedmiotu MECHANIKA I MECHATRONIKA mechanika techniczna podstawy konstukcji maszyn mechatonika

2 mechanika techniczna mechanika ogólna (teoetyczna): kinematyka (badanie uchu bez wnikania w jego pzyczyny, bez uwzględniania działających sił) dynamika (badanie działających sił): statyka (badanie ównowagi sił) kinetyka (badanie uchu ciał oaz sił wywołujących ten uch) wytzymałość mateiałów

3 Kinematyka Kinematyka - badanie uchu bez wnikania w jego pzyczyny, bez uwzględniania działających sił.

4 Jak to się wszystko zaczęł ęło... Heaklit z Efezu (około oku p.n.e)- panta ei (wszystko płynie). Istotną tudność spawiało antycznym myślicielom powiązanie pojęcia położenia z pojęciem uchu. Zenon z Elei (około oku p.n.e) - cztey paadoksy, czyli pozone spzeczności w opisie uchu. Paadoks żółwia i Achillesa. Achilles, nigdy nie dogoni żółwia, jeśli żółw nieco wcześniej ozpocznie wyścig. Gdy Achilles dobiegnie do miejsca, z któego wystatował żółw, żółwia już tam nie będzie, bo pzesunął się w tym czasie w inne miejsce. Achilles musi znów dobiec w miejsce, gdzie żółw był pzed chwilą, ale ten pzesunął się już do pzodu. Taka sytuacja będzie się ciągle powtazać. Goniącego i uciekającego zawsze będzie dzielić jakaś odległość. Najszybszy biegacz nigdy nie dogoni najwolniejszego.

5 Aystoteles ze Stagiy ( ok p.n.e) podzielił uchy na natualne i wymuszone. Natualne - uch ciał niebieskich oaz uchy, dzięki któym ciała uzyskiwały swoje natualne położenie. Dla ciał ciężkich natualnym położeniem jest ziemia, więc spadają na nią, ciała lekkie takie jak dym z ogniska czy paa wodna, unoszą się w góę, bo tam jest ich natualne miejsce. Poglądy te uważano za słuszne pzez pawie 2 tysiące lat, aż do XVII wieku, do czasów Galileusza, któy wykazał, jak Aystoteles się mylił. Galileusz ( ) - sfomułował zasady względności uchu, popawny opis swobodnego spadania ciał, udowodnił, że toem uchu pocisku jest paabola.

6 Wykozystanie zasad kinematyki Odległość w km

7

8

9

10

11

12

13

14

15 Pojęcia podstawowe Obiekty mateialne: wyidealizowane schematy ciał zeczywistych. Wyóżnia się: punkt mateialny, układ punktów mateialnych, ciało sztywne. Ruch - zjawisko zmiany położenia ciała względem innego ciała uznanego umownie za nieuchome. Nieuchome ciało nazywa się ciałem odniesienia. Wniosek: uch jest względny tzn. zależy od wybou ciała odniesienia.

16 Czas -pojęcie piewotne i absolutne w mechanice klasycznej (Newtona). Czas nie zależy od wybou układu odniesienia i jest taki sam w każdym punkcie pzestzeni. Pzyjmuje się, że czas jest stale nieujemny t 0 i występuje tylko wtedy gdy występuje uch. Układ odniesienia -układ współzędnych sztywno związany z ciałem ozpatywanym, któy służy do opisu uchu obiektu (- ów).

17 UKŁAD ODNIESIENIA z ciało odniesienia (nieuchome) V Obiekt uchomy względem Oxyz O y x Oxyz układ odniesienia, postokątny pawoskętny układ współzędnych

18 Kinematyka punktu w układzie Oxyz Kinematyka - dział mechaniki, w któym bada się uch obiektów bez wnikania w pzyczyny wywołujące ten uch. Można ją nazwać geometią uchu, bowiem do opisu tego uchu stosujemy pojęcia pzestzeni i czasu.

19 Wielkości fizyczne w kinematyce 1. Doga, pzesunięcie, pzemieszczenie - [tanslacja - m, obót - ad ]. 2. Pędkość - [m/s, ad/s]. 3. Pzyspieszenie - [m/s 2, ad/s 2 ]. 4. To uchu punktu - ównanie kzywej, po któej następuje uch tego punktu, np.: y y(x) y 3x 2 6x + 5

20 Pzegląd podstawowych ozmiaów Odległość Ziemia-Słońce: m Odległość Ziemia-Księżyc: m Długość muu chińskiego: m Wysokość Mt. Eveestu: 8 848m Wzost człowieka: ~1.8m Gubość włosa ludzkiego: m Rozmia cząsteczki H 2 O : m Rozmia atomu: m

21 Pzegląd podstawowych ozmiaów Obita Nasza Układ Akceleato nasza LEP Jezioo Księżyca Doga Doga Galaktyka z Ziemi obłokiem Słoneczny CERN Magellana 9325 Galaktyka w Ziemi 4 Galaktyk dniach w Genewskie Metów Metów tygodniach Metów Metów Metów Metów Mete Metów Metów Metów Metów Metów Metów Metów

22 Pzegląd podstawowych ozmiaów Met Meta Meta Meta Meta Meta 01 Meta Molekuła Jądo Oko Atom Facetten Włosek Muchy Atomowe Węgla DNS Poton z Kwakami

23 Opis uchu punktu Matematycznie uch punktu opisujemy w postaci wektoowej lub skalanej. Opisy te są ównoważne. Równanie wektoowe uchu: (t ) Równania skalane w układzie Oxyz: xx(t), yy(t), zz(t)

24 Pędkość śednia Rozważmy osobę obsewującą lot ptaka i znajdująca się w początku pewnego układu współzędnych. Δ W czasie Δt t f t i ptak pzemieścił się o Δ f i. i, t i f, t f Śednią pędkością nazywamy wekto zdefiniowany następująco: Kieunek tej pędkości jest zgodny z kieunkiem wektoa Δ. v ś Δ Δt

25 Rozważmy ównież jaka będzie pędkość pływaka w basenie, któy płynie tam i z powotem. t i i t f f Śednia pędkość dla pływaka jest ówna zeo, wynika to z wektoowego chaakteu pędkości śedniej. W takich pzypadkach podaje się jako pędkość śednią watość skalaną. v ś odległość czas

26 Pędkość punktu w Oxyz z A(t) Δ Δ s A(t+Δt) v lim Δ t 0 Δ Δt d dt & x 0 (t+δt) to y A(t) v(t) v τ τ A(t+ Δ t) to τ - styczna do tou w punkcie A(t)

27 Moduł wektoa pędkości jest watością pędkości. NIE MYLIĆ pojęć wektoa pędkości i jej watości! Wekto pędkości: v [ v x, v y, v z ] pzy czym v x x&, v y&, v y z z& Watość pędkości (długość wektoa): v v v + v + 2 x 2 y v 2 z

28 Elementana doga po toze: ds v 2 x + v 2 y + v 2 z dt Jeśli znamy ss(t) to pędkość możemy obliczyć z zależności: v ds d t s&

29 Pzyspieszenie punktu w Oxyz a 2 dv d ; lub dt 2 dt a & v &

30 Moduł pzyspieszenia (długość wektoa pzyspieszenia): Wekto pzyspieszenia i jego współzędne: ; ; ; z v a y v a x v a z z y y x x && & && & && & ) ( d d v v v t a z y x z y x a a a a a + +

31 z A v τ x 0 (t) a v y τ () a τ! Uwaga: wekto pzyspieszenia ma na ogół inny kieunek niż wekto pędkości.

32 Kinematyka punktu w układzie natualnym Założenia: Ruch punktu jest dany w postaci: (s); gdzie s s(t) Początek układu współzędnych jest związany z uchomym punktem A na toze. Układ taki nazywamy natualnym lub tójścianem Feneta.

33 W ozpatywanym pzypadku kinematyki punktu, jego to był kzywą płaską (a więc leżał w jednej płaszczyźnie). Jego natualnymi kieunkami są styczna i nomalna. Układ natualny jest układem uchomym, pzemieszczającym się waz z ozpatywanym punktem wzdłuż kzywej, będącej toem tego punktu.

34 W pzypadku kzywej pzestzennej kieunkami natualnymi są kawędzie tójścianu Feneta. Tójścian Féneta, pojęcie z zakesu geometii óżniczkowej - dla danej kzywej okeślonej ównaniem (t), tójścian Féneta w punkcie p wyznaczają tzy wektoy: s '(t) (wekto stycznej), n ''(t) (wekto nomalnej głównej), b s'n (wekto binomalnej).

35 (b) Tójścian Feneta (τ) z τ A (s) b n π A τ n b układ natualny τ, n, b zależą od czasu. x O to y (n) Wektoy τ in wyznaczają płaszczyznę ściśle styczną do tou π

36 Pędkość punktu w układzie natualnym (b) (τ) v d ( s) dt d ds ds dt v d ds v τ v A (n) π v ds dt d ; τ ; v τ ds

37 pzyspieszenie nomalne; pzyspieszenie styczne; d d d d d d d d ) ( d d d d 2 n v a t v a t s s v t v v t t v a n ρ τ τ τ + τ τ Pzyspieszenie punktu w układzie natualnym ρ - pomień kzywizny tou w punkcie A

38 Ruch postoliniowy Jeżeli to uchu ciała jest linią postą, to zawsze możemy tak dobać układ współzędnych, aby jedna z jego osi pokywała się z toem. Zwykle wybiea się oś x. x ( t) x( t)

39 Pędkość ciała i jego pzyśpieszenie wynoszą odpowiednio: v( t) a( t) dx dt 2 d x 2 dt dv dt Jeśli wektoy pzyśpieszenia i pędkości mają zwoty zgodne, mówimy o uchu pzyśpieszonym, a jeśli pzeciwny mówimy o uchu opóźnionym. Skalana watość pędkości (szybkość) jest ówna dx v dx dt v dt

40 Ruch jednostajny Ruch jednostajny, jest to taki uch, w któym: pzyspieszenie a 0; pędkość v const. s x 0 xx 0 + v(t-t 0 ) t 0 t położenie pędkość pzyspieszenie

41 położenie czas

42 Ruch jednostajnie zmienny Ruch jednostajnie zmienny jest to uch ze stałym pzyśpieszeniem a const. Gdy a > 0 uch nazywamy pzyśpieszonym. położenie pędkość pzyspieszenie

43 Gdy a < 0 uch nazywamy opóźnionym. położenie pędkość pzyspieszenie

44 Ruch po okęgu Ruch po okęgu jest szczególnym pzypadkiem płaskiego uchu kzywoliniowego. Początek układu współzędnych wybieamy w śodku koła, po któym odbywa się uch. Położenie punktu na na kole możemy podać jednoznacznie pzez podanie kąta biegunowego ϕ. y ϕ s x Ruch ciała okeślony jest pzez funkcję ϕ ϕ(t), definiująca tzw. dogę kątową. Jeśli pzez s oznaczymy dogę, któą ciało pzebyło po okęgu w czasie gdy pzebyło ono dogę kątową ϕ, to s ϕ

45 Różniczkując to ównanie obustonnie, otzymujemy: s ϕ ds dt dϕ dt v ω v oznacza pędkość liniową(tanswesalną), a ω pędkość kątową. Jednostką pędkości kątowej jest s -1. Jeżeli pędkość kątowa ωconst uch po okęgu nazywamy jednostajnym.

46 Pędkość kątową możemy taktować jako wekto ω skieowany postopadle do płaszczyzny zataczanego okęgu. Zwot tego wektoa jest dany pzez egułę śuby pawej tak, że zachodzi związek: z v ω x ω v y Pochodną po czasie pędkości kątowej jest pzyśpieszeniem kątowym α. ε dω dt

47 Zdefiniujmy sobie jeszcze uch jednostajny po okęgu. Dla takiego uchu: ω const, ε 0 Podczas uchu zmienia się kieunek pędkości, ale watość pędkości pozostaje stała. Okesem uchu po okęgu w uchu jednostajnym nazywamy czas potzebny na pzebycie dogi ϕ 2π. ω 2π T Odwotność okesu nazywamy częstością: ν 1 ω 2πν T

48 Ruch hamoniczny Ruch hamoniczny jest szczególnym pzykładem uchów peiodycznych. Są nimi pzykładowo: pzypływy i odpływy, cykliczne powtazanie się nocy i dnia. Rozważmy animację pzedstawiającą uch punktu po okęgu i zut tego uchu na jedną z osi. ϕ : pzemieszczenie kątowe ω : pędkość kątowa t : czas ϕ ωt : pomień koła, amplituda y(t) sin(α) sin(ωt)

49 W podobny sposób można ozważać zut punktu pouszającego się po okęgu na oś x. Można ównież powiedzieć, że uch po okęgu jest złożeniem dwóch postoliniowych uchów w kieunku osi x i osi y. y x y cosϕ sinϕ ϕ x Wiemy, że ω ϕ/t, czyli ϕ ωt. x cosω t y sinω t Widać więc, że: 2 2 x + y 2

50 Każdy z tych dwóch uchów, czyli w kieunku x i w kieunku y nazywamy dganiem hamonicznym. W piewszym pzybliżeniu można powiedzieć, że uchy następujących ciał są ównież uchami hamonicznymi.

51 Amplituda Amplituda

52 Wóćmy do opisu matematycznego uchu hamonicznego. Równanie uchu hamonicznego wygląda w następujący sposób: x ( 0 t) Acos( ω t +ϕ ) Pędkość wynosi: dx ( t). Aω sin( ω t + ϕ 0 ) dt Pzyśpieszenie wynosi: d x( t) 2 dt 2 Aω cos( ω t + ϕ ) ω x.

53 Rezonans mechaniczny Czasami wato unikać ezonansu fakty 1. Most w pobliżu Manchesteu w Anglii załamał się pod ytmicznymi kokami zaledwie 60 ludzi 2. Batalion piechoty fancuskiej, pzechodzący ównym kokiem pzez most w Anges. Most unął gzebiąc pod sobą 280 żołniezy.

54 Każdy układ dgający ma okeśloną częstość dgań własnych. Zjawisko pobudzania do dgań za pomocą impulsów o częstotliwości ównej z częstotliwością dgań własnych pobudzanego układu nazywamy ezonansem mechanicznym. Ωω 0 częstość dgań wymuszonych częstości dgań własnych

55 Most w TACOMA Tacoma Naows Otwacie nastąpiło w maju listopada tego samego oku most zawalił się. Był to most wiszący w stylu At Deco ze stali i betonu. Główne pzęsło pzy długości 840 m miało zaledwie 12 m szeokości. Podczas mocniejszych podmuchów wiatu cały most tańczył pzy akompaniamencie pzeaźliwego dźwięku tących o siebie elementów metalowych. Rankiem 7 listopada wiat wiejący z pędkością dochodzącą do 67 km/h wpawił konstukcję w jej ostatni taniec. Ta katastofa dała wiele do myślenia achitektom. Od tamtej poy pomosty usztywnia się katownicami i nie pojektuje się tak wąskich konstukcji.

56

57 Ruch ciała a swobodnego Ciało sztywne zbió punktów, między któymi wzajemne odległości są stałe. Ruch ciała sztywnego w pzestzeni E 3 jest jednoznacznie opisany za pomocą tzech punktów sztywno związanych z tym ciałem i nie leżących na jednej postej.

58 z O A A B C B C y x Dla tzech punktów: A(x A, y A, z A ), B(x B, y B, z B ), C(x C, y C, z C ) mamy ównania wektoowe uchu: A, A () t, ( t) ( t) B B C C

59 Zauważmy, że dla ciała sztywnego odległości między punktami A, B, C są stałe:..,., const AC l const BC l const AB l AC BC AB Stąd mamy tzy ównania więzów : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) BC C B C B C B AC C A C A C A AB B A B A B A l z z y y x x l z z y y x x l z z y y x x Liczba stopni swobody ciała sztywnego

60 Liczba stopni swobody ciała sztywnego -jest to liczba niezależnych współzędnych okeślających położenie tego ciała. W pzestzeni E 3 ciało sztywne w uchu dowolnym posiada: k stopni swobody. Po nałożeniu na ciało sztywne pewnych oganiczeń uchu (więzów) zmniejszamy liczbę stopni swobody; np. w uchu obotowym wokół stałej osi ciało sztywne ma 1 stopień swobody (kąt obotu wokół tej osi).

61 Klasyfikacja uchów w ciała a sztywnego Ogólnym pzypadkiem uchu ciała sztywnego jest uch dowolny (swobodny) względem nieuchomego układu Oxyz. 1. Ruch dowolny ciała sztywnego; k6 2. Ruch postępowy ciała sztywnego; k3 3. Ruch obotowy ciała sztywnego wokół stałej osi; k1 4. Ruch płaski ciała sztywnego; k3 5. Ruch kulisty ciała sztywnego; k3

62 1. Ruch dowolny ciała a sztywnego; k6 2. Ruch postępowy ciała sztywnego; k3 3. Ruch obotowy ciała sztywnego wokół stałej osi; k1 4. Ruch płaski ciała sztywnego; k3 5. Ruch kulisty ciała sztywnego; k3

63 Ruch dowolny ciała a sztywnego Do opisu tego uchu wpowadzimy dwa układy odniesienia: Oxyz układ stały (nieuchomy), O 1 x 1 y 1 z 1 układ uchomy względem Oxyz. Z układem O 1 x 1 y 1 z 1 jest związane pewne ciało sztywne C 1. Intepetacja geometyczna uchu dowolnego: Ruch punktu A C 1 uch bieguna 0 1 +uch wokół bieguna 0 1

64 z A C 1 z 1 ρ O 1 y 1 o +ρ x 0 0 X 1 y (t) - wekto wodzący punktu A w układzie Oxyz. ρ ρ (t) - wekto wodzący punktu A w układzie O 1 z 1 y 1 z 1 (t) o o - wekto wodzący bieguna O1 w układzie Oxyz.

65 Chwilowy uch obotowy ciała C 1 (uch wokół bieguna 0 1 ) Δϕ z 1 ω Δϕ l y1 0 1 x1 l l Δ ϕ - wekto małego obotu [ad] względem chwilowej osi obotu l.

66 1. Ruch dowolny ciała sztywnego; k6 2. Ruch postępowy powy ciała a sztywnego; k3 3. Ruch obotowy ciała sztywnego wokół stałej osi; k1 4. Ruch płaski ciała sztywnego; k3 5. Ruch kulisty ciała sztywnego; k3

67 Ruch postępowy powy ciała a sztywnego Ruch postępowy ciała sztywnego - występuje wtedy, kiedy posta łącząca dwa dowolne punkty tego ciała pzemieszcza się ównolegle względem swego (t położenia 1 ) początkowego w czasie uchu. B 1 z (t) A 1 ρ B A ρ O A y x

68 W uchu postępowym wszystkie punkty ciała sztywnego mają takie same wektoy pędkości i pzyspieszenia i pouszają się po toach pzystających. Wnioski: Ruch postępowy ciała sztywnego jest okeślony jeżeli znamy uch dowolnego punktu tego ciała. Równania uchu dowolnego punktu A ciała: x A x A (t), y A y A (t), z A z A (t) Ciało sztywne w uchu postępowym ma 3 stopnie swobody.

69 1. Ruch dowolny ciała sztywnego; k6 2. Ruch postępowy ciała sztywnego; k3 3. Ruch obotowy ciała a sztywnego wokół stałej osi; k1 4. Ruch płaski ciała sztywnego; k3 5. Ruch kulisty ciała sztywnego; k3

70 Ruch obotowy ciała a sztywnego względem stałej osi Ruch obotowy ciała sztywnego występuje wtedy kiedy jedna posta związana z tym ciałem jest nieuchoma. z v B v C 0 B C ϕ A Każdy punkt ciała sztywnego w uchu obotowym pousza się po okęgu, któego płaszczyzna jest postopadła do osi obotu x O l y ϕ l, liczba stopni swobody: k3-21

71 1. Ruch dowolny ciała sztywnego; k6 2. Ruch postępowy ciała sztywnego; k3 3. Ruch obotowy ciała sztywnego wokół stałej osi; k1 4. Ruch płaski p aski ciała a sztywnego; k3 5. Ruch kulisty ciała sztywnego; k3

72 Ruch płaski p aski ciała a sztywnego Ruch płaski ciała sztywnego jest to uch, w któym wszystkie punkty tego ciała pouszają się w nieuchomych płaszczyznach ównoległych do pewnej płaszczyzny π o zwanej płaszczyzną kieującą.

73 z l F 0 B y π π o A π x l π o F π π o A i B F F figua płaska będąca pzekojem ciała sztywnego płaszczyzną π

74 Zauważmy, że w uchu płaskim wszystkie punkty ciała sztywnego leżące na postej l mają jednakowe pędkości i pzyspieszenia oaz pouszają się po identycznych toach. Wniosek: Ruch płaski ciała sztywnego można zastąpić uchem figuy płaskiej F, pozostającej w czasie uchu na płaszczyźnie π.