METODA PERT. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski

Transkrypt

1 METODA PERT Maciej Patan

2 Programowanie sieciowe. Metoda PERT 1 WPROWADZENIE PERT (ang. Program Evaluation and Review Technique) Metoda należy do sieci o strukturze logicznej zdeterminowanej Parametry opisujace poszczególne czynności maja charakter stochastyczny Założenia metody CPM (zbyt odważne): najwcześniejszy możliwy termin rozpoczęcia czynności najpóźniejszy dopuszczalny termin rozpoczęcia czynności parametry sa obliczane na podstawie znajomości czasu trwania danej czynności W metodzie PERT czas trwania każdej czynności jest szacowany Obliczanie oczekiwanego czasu trwania czynności dokonuje się na podstawie trzech ocen czasu: optymistycznej, najbardziej prawdopodobnej i pesymistycznej

3 Programowanie sieciowe. Metoda PERT 2 ZAŁOŻENIA Niech: t c - czas optymistyczny t m - czas najbardziej prawdopodobny t p - czas pesymistyczny wtedy wartość oczekiwana t 0 t 0 = t c + 4t m + t p 6 jest to wartość oczekiwana rozkładu beta

4 Programowanie sieciowe. Metoda PERT 3 Realizacja metody PERT 1. Definiowanie wszystkich czynności projektu 2. Ustalenie następstwa czasowego czynności 3. Oszacowanie czasu trwania każdej czynności 4. Wyznaczenie ściażki krytycznej oraz kryteriów jakościowych i ilościowych 5. Tworzenie harmonogramu 6. Przeszacowania i poprawki zgodne ze stanem rzeczywistym

5 Programowanie sieciowe. Metoda PERT 4 Przykład. 1. Dla wykonania przedsięwzięcia P opracowano dwa warianty techniczne A i B. Należy na podstawie analizy sieciowej dokonać wyboru wariantu gwarantujacego większa szansę dotrzymania terminu dyrektywnego t d = 48 dni. Charakterystyki czynności dla obu wariantów podano w poniższych tabelach

6 Programowanie sieciowe. Metoda PERT 5 Wariant A (i, j) t c t m t p t 0 (1, 2) (1, 3) (1, 4) (2, 3) (2, 5) (3, 6) (3, 7) (4, 7) (5, 8) (6, 8) (7, 8) Wariant B (i, j) t c t m t p t 0 (1, 2) , 5 (1, 3) (1, 4) (2, 5) (3, 6) (3, 7) (4, 7) (5, 8) (6, 8) (7, 8)

7 Programowanie sieciowe. Metoda PERT 6 Sieć czynności dla wariantu A (18) (0) 2(0) 8(18) (6) 11(1) (1) 14(0) (1) (1) (0) ścieżka krytyczna: szacowany czas trwania przedsięwzięcia: 50 dni

8 Programowanie sieciowe. Metoda PERT 7 Sieć czynności dla wariantu B 19.5(0.5) (0.5) (0.5) (0) (1) (1) (17) (17) 15(0) (0) ścieżka krytyczna: szacowany czas trwania przedsięwzięcia: 50 dni

9 Programowanie sieciowe. Metoda PERT 8 Wnioski Dla obu wariantów oczekiwany czas trwania czynności wynosi 50 dni, a w założeniu termin dyrektywny wynosi t d = 48dni Parametry opisujace przedsięwzięcie maja charakter probabilistyczny i czas trwania czynności mieści się w granicach [t p, t c ] Problem: Rozwiazanie: Jak określić, który z wariantów ma większe szanse dotrzymania terminu dyrektywnego? Wprowadzamy pojęcie wariancji określenie niepewności zwiazanej z dana czynnościa

10 Programowanie sieciowe. Metoda PERT 9 Interpretacja wariancji Im większa jest rozpiętość ocen między czasem optymistycznym i pesymistycznym, tym większa jest niepewność zwiazana z dana czynnościa Definicja wariancji σ 2 = ( tp t c 6 ) 2 Im większa wartość wariancji, tym większa niepewność z czasem trwania danej czynności Przykład 2. Obliczyć niepewności wykonania przedsięwzięcia P z przykładu 1

11 Programowanie sieciowe. Metoda PERT 10 Wariant A (i, j) t c t m t p t 0 σ 2 (1, 2) (1, 3) (1, 4) (2, 3) (2, 5) (3, 6) (3, 7) (4, 7) (5, 8) (6, 8) (7, 8) ścieżka krytyczna: wariancja całkowita: σ 2 = =

12 Programowanie sieciowe. Metoda PERT 11 Wariant B (i, j) t c t m t p t 0 σ 2 (1, 2) , 5 (1, 3) (1, 4) (2, 5) (3, 6) (3, 7) (4, 7) (5, 8) (6, 8) (7, 8) ścieżka krytyczna: wariancja całkowita: σ 2 = = 1 Należy wybrać wariant A, bo stopień niepewności jest większy i jest szansa na dotrzymanie terminu dyrektywnego t d = 48dni

13 Programowanie sieciowe. Metoda PERT 12 Wybierajac wariant A przedsięwzięcie może zostać zrealizowane w przedziale dnia Wybierajac wariant B przedsięwzięcie może zostać zrealizowane w przedziale Nasuwaja się kolejne pytania dnia Jakie jest prawdopodobieństwo realizacji przedsięwzięcia do 48 dni? Jakie jest prawdopodobieństwo realizacji przedsięwzięcia do 50 dni? Jakiemu przedziałowi czasu realizacji przedsięwzięcia odpowiada dane prawdopodobieństwo np. 0, 95?

14 Programowanie sieciowe. Metoda PERT 13 ROZWIAZANIE Dystrybuanta rozkładu normalnego jest bardzo pomocna przy określaniu prawdopodobieństwa realizacji przedsięwzięcia Definicja dystrybuanty rozkładu normalnego Φ(x) = 1 2π x e x2 2 dx Interpretacja geometryczna x x x

15 Programowanie sieciowe. Metoda PERT 14 Obszar zakreślony - prawdopodobieństwo zakończenia przedsięwzięcia w terminie do t d P (t d t r ) = Φ(x) Obliczanie prawdopodobieństwa z definicji bardzo uciażliwe i czasochłonne Praktyczne określanie prawdopodobieństwa tablice rozkładu normalnego Tablice zawieraja wartości dystrybuanty dla liczb dodatnich x 0 (prawa połówka dystrybuanty) Jak więc policzyć wartość dystrybuanty dla liczb ujemnych x < 0?

16 Programowanie sieciowe. Metoda PERT 15 Wiadomo, że Φ(inf) = 1 2π i że wykres dystrybuanty jest symetryczny. Zatem Φ(x) = 1 Φ( x) e x2 2 dx = 1 W tabelach sa podawane dla dystrybuanty rozkładu normalnego N(0, 1) Dane należy przeskalować tak, aby posiadały wartość średnia równa zero i odchylenie standardowe równe 1 X = t d t r σ c gdzie: t d - czas dyrektywny t r czas modelowy ukończenia ( przedsięwzięcia ) σ c odchylenie standardowe σ c = σc 2 X czas przeskalowany do N(0, 1)

17 Programowanie sieciowe. Metoda PERT 16 Przykład. 3 a) Prawdopodobieństwo realizacji przedsięwzięcia do 48 dni dla wariantu A X = = 0, 702 P (t d t r ) = 1 Φ(x) = 1 0, 76 = 0, 24 (24%) x x

18 Programowanie sieciowe. Metoda PERT 17 b) Prawdopodobieństwo realizacji przedsięwzięcia do 50 dni dla wariantu A X = = 0 P (t d t r ) = Φ(x) = 0 = 0, 5 (50%) x 0 x

19 Programowanie sieciowe. Metoda PERT 18 c) Prawdopodobieństwo realizacji przedsięwzięcia do 58 dni dla wariantu A X = = 2, 807 P (t d t r ) = 0, 997 (99, 7%) x x

20 Programowanie sieciowe. Metoda PERT 19 d) Obliczyć przedział czasu realizacji przedsięwzięcia odpowiadajacy prawdopodobieństwu 0,95 odczytujemy z tablic wartość X P (t d t r ) = 0, 95 X = 1, 64 podstawiamy do wzoru przekształcamy 1, 64 = t d t d = 1, = 54, 7

21 Programowanie sieciowe. Metoda PERT 20 e) Obliczyć prawdopodobieństwo ukończenia przedsięwzięcia do 48 dni dla wariantu B X = = 2 P (t d t r ) = 1 Φ( x) = 1 0, 977 = 0, 023 (2, 3%) Uwaga! Faktycznie w przykładzie 2 ustaliliśmy, że lepszy okaże się wariant A

22 Programowanie sieciowe. Metoda PERT 21 Obliczyć prawdopodobieństwo ukończenia przedsięwzięcia do 58 dni dla wariantu B X = = 8 P (t d t r ) 1

23 Programowanie sieciowe. Metoda PERT 22 Obliczyć przedział czasu realizacji przedsięwzięcia odpowiadajacy prawdopodobieństwu 0,95 odczytujemy z tablic wartość X P (t d t r ) = 0, 95 X = 1, 65 podstawiamy do wzoru 1, 65 = t d 50 1 przekształcamy t d = 1, = 51, 65