METODA NON-INTERIOR-POINT W OPTYMALIZACJI ROZPŁYWU MOCY W SYSTEMIE ELEKTROENERGETYCZNYM OPTIMAL POWER FLOW BY NON-INTERIOR-POINT METHOD
|
|
- Konrad Mazurek
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 ELEKTRYKA 2009 Zeszyt 3 (211) Ro LV Marcin POŁOMSKI Instytut Eletrotechnii i Informatyi, Politechnia Śląsa w Gliwicach METODA NON-INTERIOR-POINT W OPTYMALIZACJI ROZPŁYWU MOCY W SYSTEMIE ELEKTROENERGETYCZNYM Streszczenie. W artyule zaproponowany został wariant metody optymalizacji noninterior-point w zastosowaniu do zadania optymalizacji rozpływu mocy (OPF) w systemie eletroeneretycznym. Opisana metoda została sprawdzona numerycznie dla wybranych testowych systemów eletroeneretycznych, w tym dla modelu polsieo systemu eletroeneretyczneo. Uzysane esperymentalnie wynii potwierdzają zasadność wprowadzonych modyfiacji, szczeólnie dla dużych systemów. Słowa luczowe: system eletroeneretyczny, optymalizacja rozpływu mocy, metoda non-interiorpoint, metody omplementarne OPTIMAL POWER FLOW BY NON-INTERIOR-POINT METHOD Summary. In the paper a variant of non-interior point method alorithm for solvin the nonlinear optimal power flow problem (OPF) is proposed. The OPF problem optimality conditions can be rearded as a particular case of the nonlinear complementarity problem (NCP), in which the complementarity conditions are handled by Chen-Harer-Kanzow-Smale smoothin functions (NCP-functions). The presented method was experimentally verified by applyin it to various test power systems includin the Polish power system. The obtained results confirm that the new variant is appropriate for optimisin lare power systems. Keywords: power system, optimal power flow, non-interior-point method, complementarity methods 1. WPROWADZENIE Zadanie optymalizacji rozpływu mocy w systemie eletroeneretycznym (an. Optimal Power Flow) polea na poszuiwaniu taieo puntu pracy systemu (doborze mocy enerowanych w węzłach wytwórczych), tóry jest optymalny z puntu widzenia osztów wytwarzania i strat wyniających z przesyłu enerii. Historycznie, pierwszą metodą pozwalającą na wyznaczenie optymalneo rozpływu mocy w rzeczywistym systemie eletroeneretycz-
2 120 M. Połomsi nym była metoda radientowa zaproponowana przez Dommela i Tinneya w pracy [1]. Opisana metoda stała się pierwowzorem udosonalanym przez innych autorów. Nie istnieje jedna prosta metoda prowadząca do rozwiązania zadania OPF, szczeólnie w zastosowaniu do rzeczywisteo systemu eletroeneretyczneo, w tórym ze wzlędu na dużą liczbę elementów (węzłów i linii) uład równań, stanowiący podstawę procesu obliczenioweo, może osiąać bardzo duże rozmiary. Zostało opracowanych wiele metod wyorzystujących najróżnorodniejsze technii optymalizacji, z tórych można wymienić: technii proramowania nielinioweo, proramowania linioweo, proramowania wadratoweo, technii bazujące na metodzie Newtona. W publiacjach [2], [3], [4] zostały zebrane i slasyfiowane metody wyorzystywane na przestrzeni lat do rozwiązania zadania OPF. Dla systemu, tóreo rozmiary porównywalne są z rozmiarami rzeczywisteo systemu eletroeneretyczneo, uzasadnione jest poszuiwanie metody wydajnej, prowadzącej do osiąnięcia poprawneo rozwiązania w możliwie rótim czasie. Wśród szeroiej amy techni optymalizacji, w ostatnich latach, szczeólne zainteresowanie supia się woół metod lasy interior-point [5], [6], [7] oraz non-interior-point [19], [20]. Waruni optymalności zadania optymalneo rozpływu mocy, sformułowane jao waruni Karusha-Kuhna-Tucera (KKT) [8], moą zostać potratowane jao pewien szczeólny przypade nielinioweo problemu omplementarneo [19] (an. nonlinear complementarity problem). Zastosowanie funcji wyładzających [15], [16] dla warunów omplementarnych zadania wpływa na bra onieczności spełnienia warunu omplementarneo dla warunów optymalności zadania w sensie KKT, co w znacznym stopniu wpływa na dowolność wyboru puntu startoweo alorytmu optymalizacji rozpływu mocy, a w procesie iteracyjnym prowadzi do poprawneo rozwiązania [20]. W artyule zaproponowany został wariant metody optymalizacji non-interior-point w zastosowaniu do zadania optymalizacji rozpływu mocy w systemie eletroeneretycznym. Opisana metoda została sprawdzona numerycznie dla wybranych testowych systemów eletroeneretycznych. Esperyment numeryczny przeprowadzono w celu oreślenia przydatności alorytmu non-interior-point do optymalizacji rozpływu mocy w systemie eletroeneretycznym. Wynii uzysano przy użyciu autorsieo proramu stworzoneo w języu C ZADANIE OPTYMALIZACJI ROZPŁYWU MOCY W SYSTEMIE ELEKTROENERGETYCZNYM Poszuiwanie optymalneo rozpływu mocy w systemie eletroeneretycznym polea na poszuiwaniu minimum funcji celu f(x) (np. minimalne straty, minimalne oszty wytwarzania, minimalne oszty przesyłowe). Jeżeli funcję celu w zadaniu optymalizacji rozpływu mocy sformułuje się jao zadanie minimalizacji osztów wytwarzania enerii, to biorąc pod uwaę założenie [9], że ażde
3 Metoda non-interior-point 121 źródło ma charaterystyę osztów wytwarzania, tórą z pewnym przybliżeniem można aprosymować rzywą druieo stopnia, to funcja celu, sformułowana jao całowity oszt wytwarzania enerii w systemie, przyjmie postać: N i1 2 i i i i i f x a P b P c, (1) dzie: Pi () - moc czynna enerowana przez jednostę wytwórczą i, N ai, bi, ci - liczba węzłów wytwórczych, - współczynnii charaterystyi osztów wytwarzania i-teo węzła wytwórczeo. W obliczeniach optymalizacyjnych wetor zmiennych sterujących x stanowią wszystie napięcia suteczne węzłowe ich ąty fazowe U T T U x [ U, U,..., U ] [ U, U,..., U, U, U,..., U ], (2) 1 2 Nw 1 2 No No 1 No 2 No N T T φ x [,,..., ] [,,...,,,,..., ], (3) 1 2 Nw 1 2 No No 1 No 2 No N oraz moce czynne enerowane w węzłach wytwórczych systemu dzie: Nw No N P ( ) ( ) ( ) T P x [ P, P,..., P ], (4) No 1 No 2 No N - liczba węzłów w systemie Nw = No + N, - liczba węzłów odbiorczych, - liczba węzłów wytwórczych (eneratorów). Stąd pełny wetor x przyjmuje postać: dzie: Nw No N x xx x [,,...,, U, U,..., U, P, P,..., P ], (5) U ( ) ( ) ( ) T 1 2 Nw 1 2 Nw No 1 No 2 No N P - liczba węzłów w systemie Nw = No + N, - liczba węzłów odbiorczych, - liczba węzłów wytwórczych (eneratorów). W zadaniu optymalizacji rozpływu mocy minimum funcji celu poszuuje się w obszarze oraniczeń równościowych. Jao oraniczenia równościowe przyjmuje się bilanse mocy czynnej i biernej w węzłach odbiorczych oraz bilanse mocy czynnej w węzłach wytwór-
4 122 M. Połomsi czych [9]. Stąd, dla sformułowaneo zadania minimalizacji funcji f(x), oraniczenia równościowe można zapisać w postaci wetorowej: Sładowe wetora h(x) przyjmują postać: P o h ( x) P h x h ( x) 0. (6) Qo h ( x) o N w Po 2 h x Poi Ui Re{ Y i, i} Ui U j cos( i j ) Re{ Y i, j} sin( i j ) Im{ Y i, j}, (7) j1 ji in i1 h P x ( ) 2 PN, Re{, } o i Po No i U No i Y Noi Noi in N w U N cos( )Re{, } sin( )Im{, }, o i U j No i j Y No i j No i j Y Noi j j1 jno i i1 (8) o N w Qo 2 h x Qoi Ui Im{ Y i, i} Ui U j sin( i j ) Re{ Y i, j} cos( i j ) Im{ Y i, j}, (9) j1 ji dzie: h (Po) (x) - wetor oraniczeń równościowych o sładowych w postaci bilansu mocy czynnej w węzłach odbiorczych, h (P) (x) - wetor oraniczeń równościowych o sładowych w postaci bilansu mocy czynnej w węzłach wytwórczych, h (Qo) (x) - wetor oraniczeń równościowych o sładowych w postaci bilansu mocy biernej w węzłach odbiorczych, Yi,j - elementy macierzy admitancyjnej systemu eletroeneretyczneo. Punt pracy systemu wyznaczony w procesie optymalizacji nie powinien również naruszać oraniczeń technicznych systemu eletroeneretyczneo. Oraniczenia techniczne obejmują dopuszczalne wartości: sutecznych napięć węzłowych: U (min) mocy czynnej jednoste wytwórczych: mocy biernej jednoste wytwórczych: Q ( x) Q U Im{ Y } ( ) 2 i o, Noi Noi Nw Noi, Noi (max) in i1 U U dla = 1, 2,..., Nw, (10) P Q (min) (min) P P dla = 1, 2,..., N, (11) ( ) ( ) (max) Q Q dla = 1, 2,..., N, (12) (max) U U sin( ) Re{ Y } cos( ) Im{ Y }, (13) No i j No i j Noi, j No i j Noi, j j1 j i No
5 Metoda non-interior-point 123 prądów sutecznych w liniach przesyłowych: (max) dzie: Nl I i x I dla i = 1, 2,..., Nl, (14) I x U U 2U U cos( ) Y, (15) i K ( i) K ( i) K ( i) K ( i) K ( i) K ( i) K ( i), K ( i) - liczba linii w systemie, K1(i) - numer węzła początoweo linii i, K2(i) - numer węzła ońcoweo linii i, Yi,j - moduł admitancji zespolonej podłużnej linii między węzłami i i j. Dla sformułowaneo zadania minimalizacji funcji f(x) oraniczenia nierównościowe, wyniające z oraniczeń technicznych systemu, można zapisać w następującej postaci tj. jao oraniczenia dolne i (min) (max) ( x), (16) P (min) P ( x) ( x) Q (min) ( ) (min) ( ) Q d ( ) x x x x 0 U (min) U ( x) ( x) ( I ) ( x) 0 oraz jao oraniczenia órne (17) przy czym oraz (min) U (min) P (min) Q (max) P P ( x) ( x) (max) Q Q ( ) (max) ( x) ( x) x x 0, (max) U U ( x) ( x) (max) I I ( x) ( x) ( x ) [ x ] [ U ] U Nw Nw Nw 1 1 ( x ) [ x ] [ P] P N N 2Nw 1 1 Q ( x) [ ( x )] I N Q 1 l ( x ) [ ] (min) Nw [ U ] 1 (min) [ ] N P 1 (min) [ ] N Q 1 N I 1 (max) U (max) P (max) Q (max) I (max) Nw [ U ] 1 (max) [ ] N P 1 (max) [ ] N Q 1 (max) Nl [ I ] 1 (18) (19) (20)
6 124 M. Połomsi Przy ta przyjętych założeniach co do postaci funcji celu oraz wetorów oraniczeń równościowych i nierównościowych, zadanie optymalizacji rozpływu mocy w systemie eletroeneretycznym można zapisać w postaci standardowej: dzie: Nh N (d) N () lub w zapisie wetorowym: h min f ( x ), x ( x ) 0 = 1, 2,..., Nh, (min) ( ) 0 (max) x = 1, 2,..., N (d), ( x ) 0 = 1, 2,..., N (), - liczba oraniczeń równościowych, - liczba oraniczeń nierównościowych dolnych, - liczba oraniczeń nierównościowych órnych, min f ( x ), x hx ( ) 0, ( d) (min) ( x) ( x) 0, (21) ( ) (max) ( x) ( x ) 0. Powyższe zadanie optymalizacji należy do rupy zadań proramowania nielinioweo, dyż zarówno funcja celu, ja i funcje oraniczeń równościowych i nierównościowych są funcjami nieliniowymi. 3. METODA MNOŻNIKÓW LAGRANGE A Z WARUNKAMI KARUSHA-KUHNA-TUCKERA Zodnie z warunami optymalności Karush-Kuhna-Tucera (KKT) [8] dla zaadnienia (21) z wetorem oraniczeń równościowych (6), wetorem oraniczeń nierównościowych dolnych (17) i órnych (18) istnieją wetory mnożniów Larane a: d h λ [ ] dla = 1, 2,..., Nh, in i i1 ( d ) ( d ) in i i1 π [ ] dla = 1, 2,..., N (d), (22) ( ) ( ) in i i1 π [ ] dla = 1, 2,..., N (),
7 Metoda non-interior-point 125 dzie: (d) () Nh N (d) N () - wetor mnożniów Larane a dla oraniczeń równościowych, - wetor mnożniów Larane a dla oraniczeń nierównościowych dolnych, - wetor mnożniów Larane a dla oraniczeń nierównościowych órnych, - liczba oraniczeń równościowych, - liczba oraniczeń nierównościowych dolnych, - oraniczeń nierównościowych órnych oraz zachodzą następujące zależności: d d T T ( ) T ( ) f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x λ h x π x π x x x x x d r( π, π, x, λ) hx ( ) 0, ( d) ( d) Π ( x) ( ) ( ) ( ) Π x (23) dzie: ( d) ( d) Π dia( π ), ( ) ( ) Π dia( π ). Rozwiązanie uładu równań nieliniowych (23) ze wzlędu na zmienne y = [ (d), (), x, ] T pozwoliłoby na otrzymanie rozwiązania zadania optymalizacji (21) za pomocą warunów KKT. Istnieją w uładzie równań nieliniowych (23) równania o postaciach: oraz ( d ) ( d ) ( d ) ( d ) (min) N 1 Π ( x) [ ( ( x) )] 0 (24) ( d ) ( d ) ( d ) ( d ) (min) N 1 Π ( x) [ ( ( x) )] 0, (25) tóre moą spowodować pewne problemy w procesie iteracyjnym Newtona. Mianowicie, biorąc pod uwaę równanie (25), zodnie z metodą Newtona, zmiany (d), x zmiennych odpowiednio (d) oraz x spełniają równanie ( ) [ ( ) ] [ ( ) ]. (26) N x ( d ) (min) ( d ) ( d ) (min) x x j x x j1 x j Jeżeli zatem zmienna (d) stanie się zerem, wówczas na mocy równania (26) [(x) - (min) ] (d) = 0, co powoduje, że w procesie iteracyjnym Newtona zmienna ta nie ulea zmianie. Mając na uwadze onstrucję efetywnych alorytmów obliczeniowych, wprowadza się na wstępie dodatowe zmienne uzupełniające z (d) i z (). ( d ) ( d) ( d) N [ z ] 1 z, (27) ( ) ( ) ( ) N [ z ] 1 z. (28)
8 126 M. Połomsi Po wstawieniu dodatowych zmiennych uzupełniających oraniczenia nierównościowe sprowadza się do postaci oraniczeń równościowych. ( ) (min) z d ( x), (29) ( ) (max) z ( x ). (30) Po wprowadzeniu zmiennych dodatowych zadanie obliczenia minimum funcji f(x) (1), z oraniczeniami (6), (17), (18) sprowadza się do postaci zadania proramowania nielinioweo z oraniczeniami równościowymi: min f ( x ), x hx ( ) 0, ( ) ( ) (min) ( ) d ( x, z d ) ( x) z d 0, (31) ( ) ( ) (max) ( ) ( x, z ) ( x) z 0, ( d) ( ) z, z 0. Dla ta zdefiniowaneo problemu (31) zadanie optymalizacji sprowadza się do rozwiązania następująceo uładu równań nieliniowych: d ( d) ( ) r( z, z, π, π, x, λ ) = ( d) ( d) Π z ( ) ( ) Π z ( d) ( d) ( x, z ) ( ) ( ) ( x, z ) 0, (32) T d T ( ) ( ) T ( ) ( ) f ( ) ( ) ( ) (, ) ( ) (, ) d d x λ h x π x z π x z x x x x hx ( ) dzie: ( d ) ( d ) ( d ) ( d ) ( d ) N z 1 Π z [ ] 0, (33) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) N z 1 Π z [ ] 0, (34) ( d ) ( d ) ( d ) ( d ) ( d ) (min) N (, ) [ ( ) ] z 1 x z x, (35) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (max) N (, ) [ ( ) ] z 1 x z x, (36) d T T ( ) ( ) T ( ) ( ) f ( x) λ h( x) ( π ) d ( x, z d ) ( π ) ( x, z ) x x x x ( d) ( ) Nx N N h ( d ) ( d ) N ( ) ( ) f ( x) hi ( d) i ( x, z ) ( ) i ( x, z ) i i i 0, x i1 x i1 x i1 x 1 (37)
9 Metoda non-interior-point 127 hx ( ) [ h ] 0. (38) N h 1 Rozwiązanie uładu równań nieliniowych (32) w procesie iteracyjnym Newtona może spowodować problemy ze zbieżnością, wyniające z równań (33) oraz (34), tóre noszą nazwę warunów omplementarnych (an. complementarity conditions): ( d ) ( d ) z 0 dla = 1, 2,..., N (d), (39) ( ) ( ) z 0 dla = 1, 2,..., N (d). (40) Istotnie, biorąc pod uwaę równanie (39), zodnie z metodą Newtona, zmiany (d), z (d) zmiennych odpowiednio (d), z (d) spełniają równanie: z z z dla = 1, 2,..., N (d). (41) ( d ) ( d ) ( d ) ( d ) ( d ) ( d ) Jeśli więc np. zmienna (d) przyjmie wartość zero, wówczas na mocy równania (41) z (d) (d) = 0, co powoduje, że w procesie iteracyjnym Newtona zmienna ta nie ulea zmianie. 4. METODY KOMPLEMENTARNE Waruni optymalności zadania optymalneo rozpływu mocy moą zostać potratowane jao pewien szczeólny przypade nielinioweo problemu omplementarneo (an. nonlinear complementarity problem, NCP). Nieliniowy problem omplementarny NCP [10], [11], [13], [14] polea na rozwiązaniu uładu równań nieliniowych wzlędem zmiennej, R N : Πz 0, F( π) z 0, π0, z 0, (42) dzie: Π dia( π ), π [ ] N 1, [ ] z z N 1, 0, z 0, dla = 1, 2,...,N. F: R N R N, jest wetorem funcji różniczowalnych, tórych pochodne są funcjami ciąłymi. Liniowy problem omplementarny LCP (an. linear complementarity problem) [15], [16], [17], zdefiniowany jest w sposób następujący. Dla zadaneo MR NxN i qr N, znaleźć R N, zr N, dla tórych spełnione są waruni: Πz 0, Mπ q z, π0, z 0, (43)
10 128 M. Połomsi dzie: Π dia( π ), π [ ] N 1, [ ] z z N 1, 0, z 0, dla = 1, 2,...,N. Uład równań (32) wyniający z warunów KKT nie przyjmuje bezpośredniej postaci problemu NCP. Funcja wetorowa F() występująca w uładzie równań (42) dla przypadu opisaneo równaniem (32) nie ma postaci jawnej, więc nie można w sposób bezpośredni interpretować problemu zdefiniowaneo równaniami (32), jao problemu NCP lub LCP. Można jedna zastosować oncepcję wprowadzoną przez Kanzowa [15]. Modyfiacja problemu omplementarneo zaproponowana m.in. przez Kanzowa w pracy [15] oraz innych autorów [18], [16] polea na wprowadzeniu w miejsce warunów omplementarnych, na tóre sładają się równania oraz Πz 0 π0, z 0, w uładach równań (42) oraz (43), pewnej funcji : R 2 R o następujących własnościach: ( x, y) 0 x 0, y 0, xy 0. (44) Funcja typu : R 2 R, dla tórej spełnione są waruni (44), nazywana jest NCP-funcją [11], [18]. Koncepcja Kanzowa zaprezentowana w pracy [12] polea na zastosowaniu funcji wyładzającej Chena-Harera-Kanzowa-Smalea z parametrem 0, o własności 2 2 (, z) z ( z) 4, (45) (, z) 0 0, z 0, z. (46) Metoda puntu zewnętrzneo (an. non-interior point) [12] dla problemu NCP wedłu Kanzowa sprowadza problem rozwiązania uładu (42) do rozwiązania równoważneo uładu równań nieliniowych: dzie F Φ Φ ( π, z) ( πz, ) 0 ( ), (47) F π z ( 1, z1) Φ ( π, z). (48) ( N, zn) Zostało wyazane [21], że nieliniowy uład równań (47) rozwiązywany jest sewencyjnie dla 0, co zodnie z (46) impliuje, że uład równań (47) zmierza do rozwiązania uładu (42).
11 Metoda non-interior-point 129 Koncepcję zaproponowaną dla problemu omplementarneo, wedłu Kanzowa, można zastosować do warunów omplementarnych w uładzie równań (32) [19], [20], otrzymując: d r z z π π x λ r y ( d) ( ) (,,,,,, ) (, ) ( d) ( d) Φ (, ) π z ( ) ( ) Φ ( π, z ) ( d) ( d) ( x, z ) ( ) ( ) ( x, z ) 0. T d T ( ) ( ) T ( ) ( ) f ( ) ( ) ( ) (, ) ( ) (, ) d d x λ h x π x z π x z x x x x hx ( ) Zodnie z alorytmem metody Newtona, w ażdym rou iteracyjnym poprawę rozwiązania równań nieliniowych (49) wyznacza się rozwiązując następujący uład równań alebraicznych dzie: y poprawa wetora y, co odpowiada rozwiązaniu uładu równań: d d z,, (49) r y y r y, (50) y D 0 D d z z 0 D 0 D 0 0 z d x x 2 L x 0 π r( y, ), (51) x 0 π T T T x 0 0 x x x x x xh x λ xh x 0 w tórym D D d z 2 d d dia, z d N 1, (52) z 2 dia, z N, (53) d 1 d d D dia, z 1 d N, (54) 1 D dia, z 1 N, (55) 1
12 130 M. Połomsi L ( ) N l Nx x x xl 1 l1 x, (56) Nh lnx h x x xl 1 l1, lnx 2 T x f x λ h x h x, (57) T d T xl xxl x x x x l, 1 dzie: d ( d) ( ) r( z, z, π, π, x, λ, ) r( y, ), x(x) xh(x) 2 x - jaobian oraniczeń nierównościowych, - jaobian oraniczeń nierównościowych, π x π x d ( d) ( ) T y [ z, z, π, π, x, λ ], L ( x) - hesjan zmodyfiowanej funcji Larane a, 1,, z 2, z, z. z z,, (58) Rozwiązanie uładu równań (51) prowadzi do wyznaczenia poprawi y wetora y, tóreo nową wartość wyznacza się zodnie z równaniem: dzie: numer iteracji, () dłuość rou w ierunu wetora y (). ( 1) ( ) ( ) ( ) y y y, (59) Ponieważ uład równań (49) nie ma bezpośredniej postaci problemu NCP (42), autorzy publiacji [20] Torres i Quintana zaadaptowali alorytm zaproponowany przez J. Bure, S. Xu [18], dla liniowych problemów omplementarnych, w tórym dłuość rou () można oreślić stosując liniowe przeszuiwanie w ierunu wetora y (), badając normę wetora r(y, ) w następujący sposób: dzie: s indes elementu ciąu, parametr wyszuiwania. ( ) s 1 1 s 1 ( ) s ( ) s ( ) r y 1 y 1 1 r y max : (0,1); 1,2,...; (0,1); (, ) (1 ) (, ), (60)
13 Metoda non-interior-point 131 Dobór parametru barieroweo () dla -tej iteracji przyjęli następująco: max (1 ) : (0,1); s 0,1,2...; (0,1); ( 1) s ( ) s (0) (0) r( y, ) (0) (0) ; 0; r( y,(1 ) ) (1 ). ( 1) s ( ) s ( ) Dla ta heurystycznie oreśloneo alorytmu autorzy Torres i Quintana nie podają dowodu zbieżności taieo procesu iteracyjneo, lecz potwierdzają esperymentalnie jeo zbieżność dla testowych systemów eletroeneretycznych. (61) 5. ALGORYTM METODY NON-INTERIOR POINT W celu wyazania poprawności działania metody zaproponowanej przez Torresa i Quintanę [20] przeprowadzono testy numeryczne tej oncepcji, w wyniu tórych zaobserwowano problemy ze zbieżnością dla dużych systemów testowych (o liczbie węzłów powyżej 2700). W związu z tym fatem doonano modyfiacji metody poleającej na wyznaczaniu dłuości rou () oraz parametru () w -tej iteracji, ta ja w metodzie puntu zewnętrzneo dla linioweo problemu omplementarneo (praca Bure J., Xu S. [17]), tj. zamiast uwzlędniać normę ( ) r( y, ) wetora (49) we wzorach (60), (61), zaproponowano uwzlędnić tylo normę części omplementarnej wetora r(y, ), tj.: ( d) ( d) Φ (, ) π z Φy (, ) ( ) ( ). (62) Φ ( π, z ) Do badania zbieżności procesu iteracyjneo dla warunów omplementarnych przyjmuje się normę wadratową wetora (62). Dłuość rou () wyznaczona została poprzez liniowe przeszuiwanie w ierunu wetora y (), badając jedynie normę warunów omplementarnych wetora r(y, ), tj. w następujący sposób: max : Φ y y, 1 Φ y, (63) ( ) s s ( ) s Wartość parametru barieroweo () w -tej iteracji została wyznaczona zodnie ze wzorem: ( 1) ( ) 0 dzie: 0 współczynni indes elementu ciąu., (64)
14 132 M. Połomsi Poszczeólne roi alorytmu zaproponowaneo wariantu metody non-interior point zostały przedstawione poniżej. Alorytm 1 Zaproponowany wariant metody non-interior point dla zadania OPF Kro 0: Inicjalizacja alorytmu. Ustalenie wartości początowych: y (0) = [z (0), (0), x (0), (0) ] T, wybór 0(0,1), (0), 1(0,1), > 0. Ustalenie licznia iteracji = 0. Kro 1: Obliczenie y () = [z (), (), x (), () ] T z uładu równań (50). Kro 2: Jeżeli ( ) ( ) ( Φ y, ), oniec obliczeń. Kro 3: Obliczenie dłuości rou () poprzez liniowe przeszuiwanie w ierunu wetora y (). ( 1) ( ) ( ) ( ) Wyznaczenie nowej wartości wetora y y y. Kro 4: Modyfiacja parametru () (64). Zwięszenie licznia iteracji = + 1. Przejście do Krou EKSPERYMENT NUMERYCZNY W celu wyazania poprawności działania zaproponowaneo w artyule wariantu metody non-interior point oraz wyznaczenia czasów obliczeń przeprowadzono testy numeryczne dla zbioru siedmiu systemów testowych, tórych lista została przedstawiona w tabeli 1. Tabela 1 Statystyi systemów testowych używanych w esperymentach numerycznych Lp. Liczba węzłów Nw Liczba węzłów odbiorczych No Liczba węzłów wytwórczych N Liczba linii Nl W tabeli 2 zebrano wynii optymalizacji wybranych systemów testowych. W przeprowadzonych esperymentach jao punt startowy obliczeń przyjęto modyfiację stanu optymalneo rozpływu mocy, poleającą na wyzerowaniu modułów napięć w węzłach odbiorczych oraz ątów fazowych napięć we wszystich węzłach i ustawieniu mocy enerowanych w poszczeólnych węzłach wytwórczych na poziomie ich masymalnych zdolności wytwórczych.
15 Metoda non-interior-point 133 Wynii optymalizacji wybranych systemów testowych Tabela 2 Liczba węzłów Liczba iteracji Niter Czas jednej iteracji titer [ms] Czas wczytywania danych tl [ms] Czas obliczeń to [ms] Koszty wytwarzania enerii , , , , , , , , , , , , , ,90 Obliczenia zostały przeprowadzone na omputerze z procesorem Intel Core 2 Quad 2,4GHz pod ontrolą 32-bitoweo systemu operacyjneo Windows XP. fcost Dla systemów testowych o liczbie węzłów przeraczającej 118 lepsze rezultaty (tzn. mniejszą liczbę iteracji oraz rótszy czas obliczeń) uzysano przerywając proces iteracyjny po zadanej liczbie iteracji i wznawiając o dla przywróconych do wartości początowych parametrów metody optymalizacyjnej. Puntem startowym olejnej serii iteracji było rozwiązanie uzysane w poprzedniej serii. W przypadu systemu sładająceo się z 300 węzłów wynii uzysano wyonując cztery przebiei po 15 iteracji ażdy, natomiast w przypadu systemu sładająceo się z 2746 węzłów wynii uzysano wyonując cztery przebiei odpowiednio po 20, 20, 10 i 10 iteracji. W celu uzysania możliwie najwyższej szybości obliczeń elementy wetorów i macierzy uładu równań enerowane były w sposób analityczny. Ponadto, został uwzlędniony rzadi charater macierzy (wypełnienie rzędu 0,1%) oraz zastosowano bibliotei numerycz- Ne, ułatwiające rozwiązywanie dużych, rzadich uładów równań liniowych [22], [24]. 7. PODSUMOWANIE Podstawową zaletą onstrucji metody rozwiązania problemu optymalneo rozpływu mocy w systemie eletroeneretycznym przy użyciu metody non-interior point, w sensie adaptacji zmodyfiowaneo problemu omplementarneo do warunów omplementarnych uładu równań KKT (32), jest fat, iż w puncie startowym alorytmu optymalizacji nie muszą być ściśle spełnione waruni omplementarne. Cecha ta jest zapewniona dzięi użyciu funcji wyładzających. W artyule nie wyazano matematyczneo dowodu zbieżności zaprezentowaneo alorytmu, jedna przeprowadzone badania testowe potwierdziły zbieżność przyjętej oncepcji.
16 134 M. Połomsi Badania esperymentalne zostały przeprowadzone dla wybranych systemów testowych, tórych przyłady można zaleźć w paiecie obliczeniowym MATPOWER [23]. Bardzo dobre efety otrzymano również dla polsieo systemu eletroeneretyczneo. W wyniu przeprowadzonych esperymentów numerycznych zostało stwierdzone, że zaproponowany wariant metody non-interior-point funcjonuje poprawnie dla testowanych systemów eletroeneretycznych. W zaprezentowanym wariancie metody non-interior wprowadzono następujące modyfiacje: dłuość rou () wyznaczana jest na podstawie normy części omplementarnej wetora wyrazów wolnych, wartość współczynnia (+1) oblicza się bez użycia metody przeszuiwania. Wprowadzone modyfiacje umożliwiły przeprowadzenie optymalizacji systemu sładająceo się z 2746 węzłów. W ten sposób uzysano esperymentalne potwierdzenie przydatności metody non-interior-point do optymalizacji dużych systemów eletroeneretycznych. Wszystie testowane przypadi wyazywały bardzo wysoą wrażliwość na wartości parametrów procesu iteracyjneo. *** Praca nauowa sfinansowana w ramach projetu Optymalizacja rozpływu mocy w rajowym systemie eletroeneretycznym (projet badawczy nr N /0852 realizowany w latach ). BIBLIOGRAFIA 1. Dommel H., Tinney W.: Optimal Power Flow Solutions. IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems 1968, Vol. PAS-87, No. 10, p Momoh J., El-Hawary M., Adapa R.: A Review of Selected Optimal Power Flow Literature to 199. Part I: NonLinear and Quadratic Prorammin Approaches. IEEE Transactions on Power Systems 1999, Vol. 14, No.1, p Momoh J., El-Hawary., Adapa R.: A Review of Selected Optimal Power Flow Literature to 199. Part I: NonLinear and Quadratic Prorammin Approaches. Part II: Newton, Linear Prorammin and Interior Point Methods. IEEE Transactions on Power Systems 1999, Vol. 14, No.1, p Bansal R. C.: Optimization Methods for Electric Power Systems: An Overview. International Journal of Emerin Electric Power Systems 2005, Vol. 2, Issue 1, Article No Granville S.: Optimal reactive dispatch throuh interior point methods. IEEE Transactions on Power Systems 1994, Vol. 9, p
17 Metoda non-interior-point Torres G. L., Quintana V. H.: An interior point method for nonlinear optimal power flow usin voltae rectanular coordinates. IEEE Transactions on Power Systems 1998, Vol. 13, p Wu Y., Debs A. S., Marsten R. E.: A direct nonlinear predictor-corrector primal-dual interior point alorithm for opimal power flow. IEEE Transactions on Power Systems 1994, Vol. 9, p Nocedal J., Wriht S.: Numerical Optimization. Spriner-Verla, New Yor Kremens Z., Sobierajsi M.: Analiza systemów eletroeneretycznych. Wydawnictwa Nauowo-Techniczne. Warszawa De Luca T., Facchinei F., Kanzow C.: A semismooth equation approach to the solution of nonlinear complementarity problems. Mathematical Prorammin 1996, No 75, p Kanzow C.: Nonlinear Complementarity as Unconstrained Optimization. Journal of Optimization Theory and Applications 1996, Vol. 88, No. 1, p Kanzow C.: A new approach to continuation methods for complementarity problems with uniform P-functions. Oper. Res. Lett. 1997, No. 20, p Hotta K., Yoshise A.: Global converence of a class of non-interior-point alorithms usin Chen-Harer-Kanzow functions for nolinear complementarity problems. Mathematical Prorammin, Series A 1999, Vol. 86, No. 1, p Kanzow C.: Some equation-based methods for the nonlinear complementarity problem. Optimization Methods and Software 1994, No. 3, p Kanzow C.: Some noninterior continuation method for linear complementarity problems. SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications 1996, No. 17, p Chen B., Harer P. T.: A non-interior-point continuation method for linear complementarity problems. SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications 1996, No. 14, p Bure J., Xu S.: A non-interior predictor-corrector path followin alorithm for the monotone linear complementarity problem. Mathematical Prorammin, Ser. A 2000, No. 87, p Bure J., Xu S.: The Global Linear Converence of a Non-Interior Path-Followin Alorithm for Linear Complementarity Problems. Technical Report. Department of Mathematics, University of Washinton, Seattle Torres G. L., Quintana V. H.: Optimal power flow by a non-linear complementarity method. IEEE Trans. on Power Sys. 2000, Vol. 15, No. 3, p Torres G. L., Quintana V. H.: Nonlinear Optimal Power Flow by a Non-Interior-Point Method Based on Chen-Harer-Kanzow NCP-functions. IEEE Canadian Conference on Electrical and Computer Enineerin 1998, Vol. 2, p
18 136 M. Połomsi 21. Xu. S.: The lobal linear converence of an infeasible non-interior path-followin alorithm for complementarity problems with uniform P-functions. Math. Proram., Ser. A 2000, No. 87, p Davis T. A.: Alorithm 832: UMFPACK, an unsymmetric-pattern multifrontal method. ACM Transactions on Mathematical Software 2004, Vol. 30, Vo. 2, p Zimmerman R., Murillo-Sanchez Z.E., Gan D.: MATPOWER a MATLAB Power System Simulation Pacae. Version 3.0.0, Cornell University, February Recenzent: Dr hab. inż. Konrad Sowrone, prof. Politechnii Poznańsiej Wpłynęło do Redacji dnia 2 rudnia 2009 r. Abstract In the paper, a variant of non-interior point method alorithm, for solvin nonlinear optimal power flow problem (OPF) has been proposed. Presented formulation of the OPF problem is based on the standard form of the nonlinear prorammin problem (NLP). The optimality conditions of the optimal power flow problem may be rearded as a particular case of the nonlinear complementarity problem (NCP), in which the complementarity conditions are handled by NCP smoothin functions. Particularly, in presented case of the non-interior point method the Chen-Harer-Kanzow-Smale smoothin function has been used. The presented method has been implemented and verified experimentally by applyin it to various test power systems includin the test case of the Polish power system. Performed tests have shown that the formulated variant of the non-interior point alorithm can efficiently solve lare-scale optimal power flow problem.
PORÓWNANIE WYBRANYCH ALGORYTMÓW OPTYMALIZACJI ROZPŁYWU MOCY W SYSTEMIE ELEKTROENERGETYCZNYM A COMPARISON OF SELECTED OPTIMAL POWER FLOW ALGORITHMS
ELEKRYKA 2013 Zeszyt 4 (228) Ro LIX Artur PASIERBEK, Marcin POŁOMSKI, Radosław SOKÓŁ Politechnia Śląsa w Gliwicach PORÓWNANIE WYBRANYCH ALGORYMÓW OPYMALIZACJI ROZPŁYWU MOCY W SYSEMIE ELEKROENERGEYCZNYM
Bardziej szczegółowo( ) + ( ) T ( ) + E IE E E. Obliczanie gradientu błędu metodą układu dołączonego
Obliczanie gradientu błędu metodą uładu dołączonego /9 Obliczanie gradientu błędu metodą uładu dołączonego Chodzi o wyznaczenie pochodnych cząstowych funcji błędu E względem parametrów elementów uładu
Bardziej szczegółowoMODYFIKACJA KOSZTOWA ALGORYTMU JOHNSONA DO SZEREGOWANIA ZADAŃ BUDOWLANYCH
MODYFICJ OSZTOW LGORYTMU JOHNSON DO SZEREGOWNI ZDŃ UDOWLNYCH Michał RZEMIŃSI, Paweł NOW a a Wydział Inżynierii Lądowej, Załad Inżynierii Producji i Zarządzania w udownictwie, ul. rmii Ludowej 6, -67 Warszawa
Bardziej szczegółowoZaliczenie wykładu Technika Analogowa Przykładowe pytania (czas zaliczenia minut, liczba pytań 6 8)
Zaliczenie wyładu Technia Analogowa Przyładowe pytania (czas zaliczenia 3 4 minut, liczba pytań 6 8) Postulaty i podstawowe wzory teorii obowdów 1 Sformułuj pierwsze i drugie prawo Kirchhoffa Wyjaśnij
Bardziej szczegółowoA. Cel ćwiczenia. B. Część teoretyczna
A. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z wsaźniami esploatacyjnymi eletronicznych systemów bezpieczeństwa oraz wyorzystaniem ich do alizacji procesu esplatacji z uwzględnieniem przeglądów
Bardziej szczegółowoDRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH DRGAŃ WŁASNYCH
Część 5. DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH... 5. 5. DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH DRGAŃ WŁASNYCH 5.. Wprowadzenie Rozwiązywanie zadań z zaresu dynamii budowli sprowadza
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ LISTA ZADAŃ 1 1 Napisać w formie rozwiniętej następujące wyrażenia: 4 (a 2 + b +1 =0 5 a i b j =1 n a i b j =1 n =0 (a nb 4 3 (! + ib i=3 =1 2 Wyorzystując twierdzenie o
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 4 Badanie wpływu asymetrii obciążenia na pracę sieci
Ćwiczenie 4 - Badanie wpływu asymetrii obciążenia na pracę sieci Strona 1/13 Ćwiczenie 4 Badanie wpływu asymetrii obciążenia na pracę sieci Spis treści 1.Cel ćwiczenia...2 2.Wstęp...2 2.1.Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoOPTYMALIZACJA PRZEPUSTOWOŚCI SIECI KOMPUTEROWYCH ZA POMOCĄ ALGORYTMÓW GENETYCZNYCH
OPTYMALIZACJA PRZEPUSTOWOŚCI SIECI KOMPUTEROWYCH ZA POMOCĄ ALGORYTMÓW GENETYCZNYCH Andrzej SZYMONIK, Krzysztof PYTEL Streszczenie: W złożonych sieciach omputerowych istnieje problem doboru przepustowości
Bardziej szczegółowoOptymalizacja harmonogramów budowlanych - problem szeregowania zadań
Mieczysław POŁOŃSKI Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowisa, Szoła Główna Gospodarstwa Wiejsiego, Warszawa, ul. Nowoursynowsa 159 e-mail: mieczyslaw_polonsi@sggw.pl Założenia Optymalizacja harmonogramów
Bardziej szczegółowoTEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM
EORI OBWODÓW I SYGNŁÓW LBORORIUM KDEMI MORSK Katedra eleomuniacji Morsiej Ćwiczenie nr 2: eoria obwodów i sygnałów laboratorium ĆWICZENIE 2 BDNIE WIDM SYGNŁÓW OKRESOWYCH. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Uniwersytet Zielonogórski
Metody numeryczne Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Wydział Eletrotechnii, Informatyi i Teleomuniacji Uniwersytet Zielonogórsi Eletrotechnia stacjonarne-dzienne pierwszego stopnia z tyt. inżyniera
Bardziej szczegółowoRównanie Fresnela. napisał Michał Wierzbicki
napisał Michał Wierzbici Równanie Fresnela W anizotropowych ryształach optycznych zależność między wetorami inducji i natężenia pola eletrycznego (równanie materiałowe) jest następująca = ϵ 0 ˆϵ E (1)
Bardziej szczegółowoWykład 21: Studnie i bariery cz.1.
Wyład : Studnie i bariery cz.. Dr inż. Zbigniew Szlarsi Katedra Eletronii, paw. C-, po.3 szla@agh.edu.pl http://layer.uci.agh.edu.pl/z.szlarsi/ 3.6.8 Wydział Informatyi, Eletronii i Równanie Schrödingera
Bardziej szczegółowowtedy i tylko wtedy, gdy rozwiązanie i jest nie gorsze od j względem k-tego kryterium. 2) Macierz części wspólnej Utwórz macierz
Temat: Programowanie wieloryterialne. Ujęcie dysretne.. Problem programowania wieloryterialnego. Z programowaniem wieloryterialnym mamy do czynienia, gdy w problemie decyzyjnym występuje więcej niż jedno
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 5 METODY OPTYMALIZACJI NIELINIOWEJ BEZ OGRANICZEŃ
WYKŁAD 5 METODY OPTYMALIZACJI NIELINIOWEJ BEZ OGRANICZEŃ Wstęp. Za wyjątie nielicznych funcji, najczęściej w postaci wieloianów, dla tórych ożna znaleźć iniu na drodze analitycznej, pozostała więszość
Bardziej szczegółowoModelowanie przez zjawiska przybliżone. Modelowanie poprzez zjawiska uproszczone. Modelowanie przez analogie. Modelowanie matematyczne
Modelowanie rzeczywistości- JAK? Modelowanie przez zjawisa przybliżone Modelowanie poprzez zjawisa uproszczone Modelowanie przez analogie Modelowanie matematyczne Przyłady modelowania Modelowanie przez
Bardziej szczegółowoZastosowanie informatyki w elektrotechnice
Zastosowanie informatyi w eletrotechnice Politechnia Białostoca - Wydział Eletryczny Eletrotechnia, semestr V, studia niestacjonarne Ro aademici 2006/2007 Wyład nr 4 (15.12.2006 Zastosowanie informatyi
Bardziej szczegółowoKoła rowerowe malują fraktale
Koła rowerowe malują fratale Mare Berezowsi Politechnia Śląsa Rozważmy urządzenie sładającego się z n ół o różnych rozmiarach, obracających się z różnymi prędościami. Na obręczy danego oła, obracającego
Bardziej szczegółowoProgramowanie matematyczne
dr Adam Sojda Badania Operacyjne Wykład Politechnika Śląska Programowanie matematyczne Programowanie matematyczne, to problem optymalizacyjny w postaci: f ( x) max przy warunkach g( x) 0 h( x) = 0 x X
Bardziej szczegółowoWAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII.
ĆWICZENIE 3. WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII. 1. Oscylator harmoniczny. Wprowadzenie Oscylatorem harmonicznym nazywamy punt materialny, na tóry,działa siła sierowana do pewnego centrum,
Bardziej szczegółowoMetody optymalizacji nieliniowej (metody programowania nieliniowego) Ewa Niewiadomska-Szynkiewicz Instytut Automatyki i Informatyki Stosowanej
Metody optymalizacji nieliniowej metody programowania nieliniowego Ewa Niewiadomsa-Szyniewicz Instytut Automatyi i Inormatyi Stosowanej Ewa Niewiadomsa-Szyniewicz ens@ia.pw.edu.pl Instytut Automatyi i
Bardziej szczegółowo1,1 Wsp. korekcyjny (x T1 u k /100): K 10 1,1. = 0.12, cos =0,9, U
Laboratorium Pracy Systemów Eletroenergetycznych studia STS, 017/18 Ćwiczenie 5 Ograniczanie mocy zwarciowej w sieci eletroenergetycznej Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie ze sposobem modelowania
Bardziej szczegółowoROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH
Transport, studia I stopnia Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym
Bardziej szczegółowoObliczenia iteracyjne
Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Zmienne iteracyjne (wyliczeniowe) Obliczenia iteracyjne wymagają zdefiniowania specjalnej zmiennej nazywanej iteracyjną lub wyliczeniową. Zmienną iteracyjną od zwykłej
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 10
Stanisław Cichoci Natalia Nehrebeca Wyład 10 1 1. Testowanie hipotez prostych Rozład estymatora b Testowanie hipotez prostych przy użyciu statystyi t Przedziały ufności Badamy czy hipotezy teoretyczne
Bardziej szczegółowoKoła rowerowe kreślą fraktale
26 FOTON 114, Jesień 2011 Koła rowerowe reślą fratale Mare Berezowsi Politechnia Śląsa Od Redacji: Fratalom poświęcamy ostatnio dużo uwagi. W Fotonach 111 i 112 uazały się na ten temat artyuły Marcina
Bardziej szczegółowoKarta (sylabus) przedmiotu
WM Karta (sylabus) przedmiotu MECHANIKA I BUDOWA MASZYN Studia I stopnia o profilu: A P Przedmiot: Wybrane z Kod ECTS Status przedmiotu: obowiązkowy MBM S 0 5 58-4_0 Język wykładowy: polski, angielski
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych. Krzysztof Patan
Układy równań liniowych Krzysztof Patan Motywacje Zagadnienie kluczowe dla przetwarzania numerycznego Wiele innych zadań redukuje się do problemu rozwiązania układu równań liniowych, często o bardzo dużych
Bardziej szczegółowoOptymalizacja harmonogramów budowlanych - problem szeregowania zadań
Mieczysław OŁOŃSI Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowisa, Szoła Główna Gospodarstwa Wiejsiego, Warszawa, ul. Nowoursynowsa 159 e-mail: mieczyslaw_polonsi@sggw.pl Założenia Optymalizacja harmonogramów
Bardziej szczegółowoFiltracja pomiarów z głowic laserowych
dr inż. st. of. Paweł Zalewsi Filtracja pomiarów z głowic laserowych słowa luczowe: filtracja pomiaru odległości, PNDS Założenia filtracji pomiaru odległości. Problem wyznaczenia odległości i parametrów
Bardziej szczegółowoMetoda rozwiązywania układu równań liniowych z symetryczną, nieokreśloną macierzą współczynników ( 0 )
MATEMATYKA STOSOWANA 7, 2006 Izabella Czochralsa (Warszawa) Metoda rozwiązywania uładu równań liniowych z symetryczną, nieoreśloną macierzą współczynniów ( 0 ) Streszczenie. W pracy zaadaptowano opracowaną
Bardziej szczegółowoMETODA PROJEKTOWANIA REJONU ZMIANY KIERUNKU TRASY KOLEJOWEJ
Problemy Kolejnictwa Zeszyt 5 97 Prof. dr hab. inż. Władysław Koc Politechnia Gdańsa METODA PROJEKTOWANIA REJONU ZMIANY KIERUNKU TRASY KOLEJOWEJ SPIS TREŚCI. Wprowadzenie. Ogólna ocena sytuacji geometrycznej
Bardziej szczegółowoEfektywne zarządzanie mocą farm wiatrowych Paweł Pijarski, Adam Rzepecki, Michał Wydra 2/16
Efektywne zarządzanie mocą farm wiatrowych Paweł Pijarski, Adam Rzepecki, Michał Wydra Agenda Założenia projektowe Model logiczny Model fizyczny Wyniki badań Podsumowanie Zarządzanie Energią i Teleinformatyką
Bardziej szczegółowoProgramowanie wielocelowe lub wielokryterialne
Programowanie wielocelowe lub wieloryterialne Zadanie wielocelowe ma co najmniej dwie funcje celu nazywane celami cząstowymi. Cele cząstowe f numerujemy indesem = 1, 2, K. Programowanie wielocelowe ciągłe
Bardziej szczegółowoMetoda Karusha-Kuhna-Tuckera
Badania operacyjne i teoria optymalizacji Poznań, 2015/2016 Plan 1 Sformułowanie problemu 2 3 Warunki ortogonalności 4 Warunki Karusha-Kuhna-Tuckera 5 Twierdzenia Karusha-Kuhna-Tuckera 6 Ograniczenia w
Bardziej szczegółowoPEWNE METODY HYBRYDOWE W JEDNOKRYTERIALNEJ OPTYMALIZACJI KONSTRUKCJI SOME HYBRID METHODS FOR SINGLE CRITERIA DESIGN OPTIMIZATION
STANISŁAW KRENICH PEWNE METODY HYBRYDOWE W JEDNOKRYTERIALNEJ OPTYMALIZACJI KONSTRUKCJI SOME HYBRID METHODS FOR SINGLE CRITERIA DESIGN OPTIMIZATION S t r e s z c z e n i e A b s t r a c t W artykule przedstawiono
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIE ALGORYTMÓW GENETYCZNYCH DO OPTYMALIZACJI SIECI KOMPUTEROWYCH
Algorytmy genetyczne, optymalizacja sieci omputerowych Krzysztof Pytel Grzegorz Klua Jerzy Kisilewicz*** ZASTOSOWANIE ALGORYTMÓW GENETYCZNYCH DO OPTYMALIZACJI SIECI KOMPUTEROWYCH W artyule zaproponowano
Bardziej szczegółowoProgramowanie wielocelowe lub wielokryterialne
Programowanie wielocelowe lub wieloryterialne Zadanie wielocelowe ma co najmniej dwie funcje celu nazywane celami cząstowymi. Cele cząstowe f numerujemy indesem = 1, 2, K. Programowanie wielocelowe ciągłe.
Bardziej szczegółowo4.15 Badanie dyfrakcji światła laserowego na krysztale koloidalnym(o19)
256 Fale 4.15 Badanie dyfracji światła laserowego na rysztale oloidalnym(o19) Celem ćwiczenia jest wyznaczenie stałej sieci dwuwymiarowego ryształu oloidalnego metodą dyfracji światła laserowego. Zagadnienia
Bardziej szczegółowoWybrane rozkłady zmiennych losowych i ich charakterystyki
Rozdział 1 Wybrane rozłady zmiennych losowych i ich charaterystyi 1.1 Wybrane rozłady zmiennych losowych typu soowego 1.1.1 Rozład równomierny Rozpatrzmy esperyment, tóry może sończyć się jednym z n możliwych
Bardziej szczegółowoLogika rozmyta w wyznaczaniu optymalnego rozmieszczenia sił służb odpowiedzialnych za zapewnienie bezpieczeństwa w regionie
KOŁODZIŃSKI Edward 1 ZAPERT Piotr 2 Loia rozmyta w wyznaczaniu optymalneo rozmieszczenia sił służb odpowiedzialnych za zapewnienie bezpieczeństwa w reionie WSTĘP Suteczność, a taże efetywność działania
Bardziej szczegółowo1 Równania nieliniowe
1 Równania nieliniowe 1.1 Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym jest numeryczne poszukiwanie rozwiązań równań nieliniowych, np. algebraicznych (wielomiany),
Bardziej szczegółowoMetody iteracyjne rozwiązywania układów równań liniowych (5.3) Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech. x i. i =1
Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech 1 X =[x x Y y =[y1 x n], oznaczają wektory przestrzeni R n, a yn] niech oznacza liczbę rzeczywistą. Wyrażenie x i p 5.3.1.a X p = p n i =1 nosi nazwę p-tej normy
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 9 METODY ZMIENNEJ METRYKI
WYKŁAD 9 METODY ZMIENNEJ METRYKI Kierunki sprzężone. Metoda Newtona Raphsona daje dobre przybliżenie najlepszego kierunku poszukiwań, lecz jest to okupione znacznym kosztem obliczeniowym zwykle postać
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoĆw. 5. Badanie ruchu wahadła sprężynowego sprawdzenie wzoru na okres drgań
KAEDRA FIZYKI SOSOWANEJ PRACOWNIA 5 FIZYKI Ćw. 5. Badanie ruchu wahadła sprężynowego sprawdzenie wzoru na ores drgań Wprowadzenie Ruch drgający naeży do najbardziej rozpowszechnionych ruchów w przyrodzie.
Bardziej szczegółowoOptymalizacja ciągła
Optymalizacja ciągła 5. Metody kierunków poparwy (metoda Newtona-Raphsona, metoda gradientów sprzężonych) Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 28.03.2019 1
Bardziej szczegółowoIMPLEMENTACJA FUNKCJI ZBIORÓW POZIOMICOWYCH W ALGORYTMACH KONSTRUKCJI OBRAZU TOMOGRAFICZNEGO
Tomasz RYMARCZYK Stefan F. FLPOWCZ MPLEMENTACJA FUNKCJ ZBORÓW POZOMCOWYCH W ALGORYTMACH KONSTRUKCJ OBRAZU TOMOGRAFCZNEGO STRESZCZENE W pracy przedstawiono metodę rozwiązania zagadnienia odwrotnego w tomografii
Bardziej szczegółowoMatematyka stosowana i metody numeryczne
Ewa Pabisek Adam Wosatko Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładu 6 Rozwiązywanie równań nieliniowych Rozwiązaniem lub pierwiastkiem równania f(x) = 0 lub g(x) = h(x)
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie równań nieliniowych
Rozwiązywanie równań nieliniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Przykłady wyznaczania miejsc zerowych funkcji f : f(ξ) = 0. Wyszukiwanie miejsc zerowych wielomianu n-tego stopnia. Wymiar tej przestrzeni wektorowej
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY 3g. zakres rozszerzony
WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY 3g zares rozszerzony 1. Wielomiany bardzo zna pojęcie jednomianu jednej zmiennej; potrafi wsazać jednomiany podobne; potrafi
Bardziej szczegółowoKONCEPCJA SYSTEMU BONIFIKAT DLA ODBIORCÓW ZA NIEDOTRZYMANIE PRZEZ DOSTAWCĘ WYMAGANEGO POZIOMU JAKOŚCI NAPIĘCIA
KONCEPCJA SYSTEMU BONIFIKAT DLA ODBIORCÓW ZA NIEDOTRZYMANIE PRZEZ DOSTAWCĘ WYMAGANEGO POZIOMU JAKOŚCI NAPIĘCIA prof. dr hab. inż. Zbigniew Hanzela / Aademia Górniczo-Hutnicza dr inż. Grzegorz Błajszcza
Bardziej szczegółowoMetody systemowe i decyzyjne w informatyce
Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Ćwiczenia lista zadań nr 3 autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Zbiory i funkcje wypukłe Zad. 1 Pokazać, że następujące zbiory są wypukłe: a) płaszczyzna S = {x
Bardziej szczegółowo13. 13. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 3. 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 3.. Metoda trzech momentów Rozwiązanie wieloprzęsłowych bele statycznie niewyznaczalnych można ułatwić w znaczącym
Bardziej szczegółowoINTERPOLACJA I APROKSYMACJA FUNKCJI
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Wprowadzenie Na czym polega interpolacja? Interpolacja polega
Bardziej szczegółowoMetody Numeryczne Optymalizacja. Wojciech Szewczuk
Metody Numeryczne Optymalizacja Optymalizacja Definicja 1 Przez optymalizację będziemy rozumieć szukanie minimów lub maksimów funkcji. Optymalizacja Definicja 2 Optymalizacja lub programowanie matematyczne
Bardziej szczegółowoPLAN WYKŁADU OPTYMALIZACJA GLOBALNA ALGORYTM MRÓWKOWY (ANT SYSTEM) ALGORYTM MRÓWKOWY. Algorytm mrówkowy
PLAN WYKŁADU Algorytm mrówowy OPTYMALIZACJA GLOBALNA Wyład 8 dr inż. Agniesza Bołtuć (ANT SYSTEM) Inspiracja: Zachowanie mrówe podczas poszuiwania żywności, Zachowanie to polega na tym, że jeśli do żywności
Bardziej szczegółowoNumeryczna symulacja rozpływu płynu w węźle
231 Prace Instytutu Mechaniki Górotworu PAN Tom 7, nr 3-4, (2005), s. 231-236 Instytut Mechaniki Górotworu PAN Numeryczna symulacja rozpływu płynu w węźle JERZY CYGAN Instytut Mechaniki Górotworu PAN,
Bardziej szczegółowoWykład VIII Rozwiązywanie równań i układów równań nieliniowych
Wyład VIII Rozwiązywanie równań i uładów równań nieliniowych Równania nieliniowe w technice Zadanie wyznaczenia pierwiastów równania nieliniowego Metody iteracji z otaczaniem i podziałem (bisecja i regula-falsi)
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM 4: Wpływ operatorów mutacji na skuteczność poszukiwań AE
Instytut Mechanii i Inżynierii Obliczeniowej Wydział Mechaniczny Technologiczny, Politechnia Śląsa www.imio.polsl.pl OBLICZENIA EWOLUCYJNE LABORATORIUM 4: Wpływ operatorów mutacji na suteczność poszuiwań
Bardziej szczegółowoInterpolacja funkcji
Interpolacja funkcji Interpolacja funkcji Interpolacja funkcji Wielomianowa Splajny Lagrange a Trygonometryczna Interpolacja Newtona (wzór I ) Czebyszewa Newtona (wzór II ) ( Wielomiany Czebyszewa ) Załóżmy,
Bardziej szczegółowoO POTENCJALE TECHNICZNYM PRZYŁĄCZENIA ELEKTROWNI WIATROWYCH DO KRAJOWEGO SYSTEMU ELEKTRO- ENERGETYCZNEGO
O POTENCJALE TECHNICZNYM PRZYŁĄCZENIA ELEKTROWNI WIATROWYCH DO KRAJOWEGO SYSTEMU ELEKTRO- ENERGETYCZNEGO Autor: Franciszek Buchta, Maciej Jaroń, Jakub Morkisz, Bartłomiej Gąszczak - EM&CA SA ( Rynek Energii
Bardziej szczegółowoMatematyka stosowana i metody numeryczne
Ewa Pabisek Adam Wosatko Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładu 8 Interpolacja Interpolacja polega na budowaniu tzw. funkcji interpolujących ϕ(x) na podstawie zadanych
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyi i Informatyi Stosowanej Aademia Górniczo-Hutnicza Wyład 12 M. Przybycień (WFiIS AGH Metody Lagrange a i Hamiltona... Wyład 12
Bardziej szczegółowoGrupowanie sekwencji czasowych
BIULETYN INSTYTUTU AUTOMATYKI I ROBOTYKI NR 3, 006 Grupowanie sewencji czasowych Tomasz PAŁYS Załad Automatyi, Instytut Teleinformatyi i Automatyi WAT, ul. Kalisiego, 00-908 Warszawa STRESZCZENIE: W artyule
Bardziej szczegółowoPomiary napięć przemiennych
LABORAORIUM Z MEROLOGII Ćwiczenie 7 Pomiary napięć przemiennych . Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest poznanie sposobów pomiarów wielości charaterystycznych i współczynniów, stosowanych do opisu oresowych
Bardziej szczegółowo1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu
1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 Programowanie nieliniowe i całkowitoliczbowe
Spis treści Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 i całkowitoliczbowe Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp 2 3 Spis treści Spis treści 1 Wstęp
Bardziej szczegółowoSynteza układu regulacji mocy biernej silnika synchronicznego z mikroprocesorowo sterowanym blokiem zasilania wzbudzenia
Marian HYLA Politechnia Śląsa, Katedra Energoeletronii, Napędu Eletrycznego i Robotyi doi:0.599/48.207.07.6 Synteza uładu regulacji mocy biernej silnia synchronicznego z miroprocesorowo sterowanym bloiem
Bardziej szczegółowoKOLOKWIUM Z ALGEBRY I R
Instrucje: Każde zadanie jest za 4 puntów. Rozwi azanie ażdego zadania musi znajdować siȩ na osobnej artce oraz być napisane starannie i czytelnie. W nag lówu ażdego rozwi azania musz a znajdować siȩ dane
Bardziej szczegółowoWprowadzenie Metoda bisekcji Metoda regula falsi Metoda siecznych Metoda stycznych RÓWNANIA NIELINIOWE
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Zazwyczaj nie można znaleźć
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIE SIECI NEURONOWEJ RBF W REGULATORZE KURSU STATKU
Mirosław Tomera Aademia Morsa w Gdyni Wydział Eletryczny Katedra Automatyi Orętowej ZASTOSOWANIE SIECI NEURONOWEJ RBF W REGULATORZE KURSU STATKU W pracy przedstawiona została implementacja sieci neuronowej
Bardziej szczegółowoDOBÓR PRZEKROJU PRZEWODÓW OBCIĄŻONYCH PRĄDEM ZAWIERAJĄCYM WYŻSZE HARMONICZNE
POZNAN UNIVE RSITY OF TE CHNOLOGY ACADE MIC JOURNALS No 90 Electrical Engineering 2017 DOI 10.21008/j.1897-0737.2017.90.0020 Andrzej KSIĄŻKIEWICZ* Marcin RACŁAW** DOBÓR PRZEKROJU PRZEWODÓW OBCIĄŻONYCH
Bardziej szczegółowoPROGRAMOWANIE NIELINIOWE
PROGRAMOWANIE NIELINIOWE Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTEP Zadanie programowania nieliniowego (ZPN) min f(x) g i (x) 0, h i (x) = 0, i = 1,..., m g i = 1,..., m h f(x) funkcja celu g i (x) i
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne I Równania nieliniowe
Metody numeryczne I Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/66 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym pierwiastkiem
Bardziej szczegółowoMetody Obliczeniowe w Nauce i Technice
7. Równania nieliniowe (non-linear equations) Marian Bubak Department of Computer Science AGH University of Science and Technology Krakow, Poland bubak@agh.edu.pl dice.cyfronet.pl Contributors Dawid Prokopek
Bardziej szczegółowoPROGRAMOWANIE KWADRATOWE
PROGRAMOWANIE KWADRATOWE Programowanie kwadratowe Zadanie programowania kwadratowego: Funkcja celu lub/i co najmniej jedno z ograniczeń jest funkcją kwadratową. 2 Programowanie kwadratowe Nie ma uniwersalnej
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można
Bardziej szczegółowoLaboratorium 5 Przybliżone metody rozwiązywania równań nieliniowych
Uniwersytet Zielonogórski Wydział Informatyki, Elektrotechniki i Telekomunikacji Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Elektrotechnika niestacjonarne-zaoczne pierwszego stopnia z tyt. inżyniera
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Funkcje dwóch zmiennych Andrzej Musielak Str Funkcje dwóch zmiennych Wstęp Funkcja rzeczywista dwóch zmiennych to funkcja, której argumentem jest para liczb rzeczywistych, a wartością liczba rzeczywista.
Bardziej szczegółowoMETODA MACIERZOWA OBLICZANIA OBWODÓW PRĄDU PRZEMIENNEGO
POZNAN UNIVERSITY OF TECHNOLOGY ACADEMIC JOURNALS No 93 Electrical Engineering 2018 DOI 10.21008/j.1897-0737.2018.93.0026 Piotr FRĄCZAK METODA MACIERZOWA OBLICZANIA OBWODÓW PRĄDU PRZEMIENNEGO W pracy przedstawiono
Bardziej szczegółowoSterowanie napędów maszyn i robotów
Wykład 7b - Układy wieloobwodowe ze sprzężeniem od zmiennych stanu Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2014 Układy wieloobwodowe ze sprzężeniem od zmiennych stanu Zadanie przestawiania Postać modalna
Bardziej szczegółowoANALIZA WIELOKRYTERIALNA
ANALIZA WIELOKRYTERIALNA Dział Badań Operacyjnych zajmujący się oceną możliwych wariantów (decyzji) w przypadu gdy występuje więcej niż jedno ryterium oceny D zbiór rozwiązań (decyzji) dopuszczalnych x
Bardziej szczegółowoOptymalizacja nastaw przesuwników fazowych z wykorzystaniem algorytmu roju cząstek
doi:10.15199/48.2017.03.15 Roman KORAB 1 Robert OWCZAREK 1 Marcin POŁOMSKI 2 Politechnia Śląsa Instytut Eletroenergetyi i Sterowania Uładów (1) Instytut Eletrotechnii i Informatyi (2) Optymalizacja nastaw
Bardziej szczegółowoR w =
Laboratorium Eletrotechnii i eletronii LABORATORM 6 Temat ćwiczenia: BADANE ZASLACZY ELEKTRONCZNYCH - pomiary w obwodach prądu stałego Wyznaczanie charaterysty prądowo-napięciowych i charaterysty mocy.
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego
Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 8 Programowanie nieliniowe Spis treści Programowanie nieliniowe Zadanie programowania nieliniowego Zadanie programowania nieliniowego jest identyczne jak dla
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 5.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 5. PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Rozłady soowe Rozład jednopuntowy Oreślamy: P(X c) 1 gdzie c ustalona liczba. 1 EX c, D 2 X 0 (tylo ten rozład ma zerową wariancję!!!)
Bardziej szczegółowoWykres linii ciśnień i linii energii (wykres Ancony)
Wyres linii ciśnień i linii energii (wyres Ancony) W wyorzystywanej przez nas do rozwiązywania problemów inżyniersich postaci równania Bernoulliego występuje wysoość prędości (= /g), wysoość ciśnienia
Bardziej szczegółowoEstymacja wektora stanu w prostym układzie elektroenergetycznym
Zakład Sieci i Systemów Elektroenergetycznych LABORATORIUM INFORMATYCZNE SYSTEMY WSPOMAGANIA DYSPOZYTORÓW Estymacja wektora stanu w prostym układzie elektroenergetycznym Autorzy: dr inż. Zbigniew Zdun
Bardziej szczegółowoMINIMALIZACJA STRAT MOCY CZYNNEJ W SIECI PRZESYŁOWEJ WYBRANE ASPEKTY PROBLEMATYKI OBLICZENIOWEJ
POZNAN UNIVE RSITY OF TE CHNOLOGY ACADE MIC JOURNALS No 70 Electrical Engineering 2012 Marek WANCERZ* Piotr KACEJKO* MINIMALIZACJA STRAT MOCY CZYNNEJ W SIECI PRZESYŁOWEJ WYBRANE ASPEKTY PROBLEMATYKI OBLICZENIOWEJ
Bardziej szczegółowoKADD Minimalizacja funkcji
Minimalizacja funkcji Poszukiwanie minimum funkcji Foma kwadratowa Metody przybliżania minimum minimalizacja Minimalizacja w n wymiarach Metody poszukiwania minimum Otaczanie minimum Podział obszaru zawierającego
Bardziej szczegółowoSYMULACJA ZAKŁÓCEŃ W UKŁADACH AUTOMATYKI UTWORZONYCH ZA POMOCĄ OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH W PROGRAMACH MATHCAD I PSPICE
POZNAN UNIVE RSITY OF TE CHNOLOGY ACADE MIC JOURNALS No 76 Electrical Engineering 2013 Piotr FRĄCZAK* SYMULACJA ZAKŁÓCEŃ W UKŁADACH AUTOMATYKI UTWORZONYCH ZA POMOCĄ OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH W PROGRAMACH MATHCAD
Bardziej szczegółowoROZDZIAŁ 10 METODA KOMPONOWANIA ZESPOŁU CZYNNIKI EFEKTYWNOŚCI SKŁADU ZESPOŁU
Agniesza Dziurzańsa ROZDZIAŁ 10 METODA KOMPONOWANIA ZESPOŁU 10.1. CZYNNIKI EFEKTYWNOŚCI SKŁADU ZESPOŁU Przeprowadzona analiza formacji, jaą jest zespół (zobacz rozdział 5), wyazała, że cechy tóre powstają
Bardziej szczegółowoDSP-MATLAB, Ćwiczenie 5, P.Korohoda, KE AGH. Ćwiczenie 5. Przemysław Korohoda, KE, AGH
DSP-MATLAB, Ćwiczenie 5, P.Korohoda, KE AGH Instrucja do laboratorium z cyfrowego przetwarzania sygnałów Ćwiczenie 5 Wybrane właściwości Dysretnej Transformacji Fouriera Przemysław Korohoda, KE, AGH Zawartość
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA
UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNO-PRZYRODNICZY W BYDGOSZCZY WYDZIŁ INŻYNIERII MECHNICZNEJ INSTYTUT EKSPLOTCJI MSZYN I TRNSPORTU ZKŁD STEROWNI ELEKTROTECHNIK I ELEKTRONIK ĆWICZENIE: E2 POMIRY PRĄDÓW I NPIĘĆ W
Bardziej szczegółowoMinimalizacja strat mocy czynnej w sieci przesyłowej wybrane aspekty problematyki obliczeniowej
Minimalizacja strat mocy czynnej w sieci przesyłowej wybrane aspekty problematyki obliczeniowej Marek Wancerz, Piotr Miller, Zbigniew Połecki Politechnika Lubelska W referacie zostały przedstawione podstawowe
Bardziej szczegółowoRównania nieliniowe, nieliniowe układy równań, optymalizacja
4 maj 2009 Nieliniowe równania i układy rówań Slajd 1 Równania nieliniowe, nieliniowe układy równań, optymalizacja 4 maj 2009 Nieliniowe równania i układy rówań Slajd 2 Plan zajęć Rozwiązywanie równań
Bardziej szczegółowoPrognozowanie notowań pakietów akcji poprzez ortogonalizację szeregów czasowych 1
Prognozowanie notowań paietów acji poprzez ortogonalizację szeregów czasowych Andrzej Kasprzyci. WSĘP Dynamię rynu finansowego opisuje się indesami agregatowymi: cen, ilości i wartości. Indes giełdowy
Bardziej szczegółowoNUMERYCZNA SYMULACJA STOPNIOWEGO USZKADZANIA SIĘ LAMINATÓW KOMPOZYTOWYCH NUMERICAL SIMULATION OF PROGRESSIVE DAMAGE IN COMPOSITE LAMINATES
JANUSZ GERMAN, ZBIGNIEW MIKULSKI NUMERYCZNA SYMULACJA STOPNIOWEGO USZKADZANIA SIĘ LAMINATÓW KOMPOZYTOWYCH NUMERICAL SIMULATION OF PROGRESSIVE DAMAGE IN COMPOSITE LAMINATES S t r e s z c z e n i e A b s
Bardziej szczegółowo