Analiza matematyczna 1

Transkrypt

1 Analiza matematyczna 1 Marcin Styborski Katedra Analizy Nieliniowej pok. 610E (gmach B) marcins@mif.pg.gda.pl () 28 września / 10

2 Literatura podstawowa R. Rudnicki, Wykłady z analizy matematycznej, Wydawnictwo Naukowe PWN 2006 W. Kryszewski, Wykład analizy matematycznej. Część I. Funkcje jednej zmiennej, Wydawnictwo Naukowe UMK W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, Wydawnictwo Naukowe PWN 2009 K. Kuratowski, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN 1964 () 28 września / 10

3 Literatura uzupełniająca G.M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, Tom 1, Wydawnictwo Naukowe PWN 2007 W. Kołodziej, Analiza matematyczna, Wydawnictwo Naukowe PWN 2009 K. Maurin, Analiza, Tom 1, Wydawnictwo Naukowe PWN 2010 () 28 września / 10

4 Iloczyn kartezjański Parą uporządkowaną o poprzedniku a i następniku b nazywamy zbiór (a, b) := {{a}, {a, b}}. () 28 września / 10

5 Iloczyn kartezjański Parą uporządkowaną o poprzedniku a i następniku b nazywamy zbiór (a, b) := {{a}, {a, b}}. Iloczynem kartezjańskim zbiorów X i Y nazywamy zbiór X Y := {(x, y) x X y Y }. () 28 września / 10

6 Relacje Dowolny podzbiór R iloczynu X Y nazywamy relacją. () 28 września / 10

7 Relacje Dowolny podzbiór R iloczynu X Y nazywamy relacją. Niektóre typy relacji R X X : zwrotna x X (x, x) R symetryczna x, y X (x, y) R (y, x) R przechodnia x, y, z X [(x, y) R (y, z) R] (x, z) R () 28 września / 10

8 Relacje Dowolny podzbiór R iloczynu X Y nazywamy relacją. Niektóre typy relacji R X X : zwrotna x X (x, x) R symetryczna x, y X (x, y) R (y, x) R przechodnia x, y, z X [(x, y) R (y, z) R] (x, z) R () 28 września / 10

9 Relacje Dowolny podzbiór R iloczynu X Y nazywamy relacją. Niektóre typy relacji R X X : zwrotna x X (x, x) R symetryczna x, y X (x, y) R (y, x) R przechodnia x, y, z X [(x, y) R (y, z) R] (x, z) R () 28 września / 10

10 Funkcje Funkcją określoną na zbiorze X i o wartościach w zbiorze Y nazywamy relację f X Y spełniającą następujące warunki: x X y Y (x, y) f x X y, z Y [(x, y) f (x, z) f ] y = z. () 28 września / 10

11 Funkcje Funkcją określoną na zbiorze X i o wartościach w zbiorze Y nazywamy relację f X Y spełniającą następujące warunki: x X y Y (x, y) f x X y, z Y [(x, y) f (x, z) f ] y = z. () 28 września / 10

12 Funkcje Funkcją określoną na zbiorze X i o wartościach w zbiorze Y nazywamy relację f X Y spełniającą następujące warunki: x X y Y (x, y) f x X y, z Y [(x, y) f (x, z) f ] y = z. () 28 września / 10

13 Funkcje Funkcją określoną na zbiorze X i o wartościach w zbiorze Y nazywamy relację f X Y spełniającą następujące warunki: x X y Y (x, y) f x X y, z Y [(x, y) f (x, z) f ] y = z. Oznaczenie: f : X Y Jeśli x 0 X, to jedyny element y 0 Y taki, że (x 0, y 0 ) f oznaczać będziemy y 0 = f (x 0 ). X - dziedzina funkcji f Y - przeciwdzedzina funkcji f () 28 września / 10

14 Funkcje: obraz i przeciwobraz Niech f : X Y będzie funkcją, A X oraz B Y Obrazem zbioru A poprzez f jest zbiór f (A) := {y Y x A y = f (x)} Przeciwobrazem zbioru B poprzez f jest zbiór f 1 (B) := {x X f (x) B} () 28 września / 10

15 Funkcje: obraz i przeciwobraz Niech f : X Y będzie funkcją, A X oraz B Y Obrazem zbioru A poprzez f jest zbiór f (A) := {y Y x A y = f (x)} Przeciwobrazem zbioru B poprzez f jest zbiór f 1 (B) := {x X f (x) B} () 28 września / 10

16 Funkcje: obraz i przeciwobraz Niech f : X Y będzie funkcją, A X oraz B Y Obrazem zbioru A poprzez f jest zbiór f (A) := {y Y x A y = f (x)} Przeciwobrazem zbioru B poprzez f jest zbiór f 1 (B) := {x X f (x) B} () 28 września / 10

17 Funkcje c.d. Funkcja f : X Y jest injekcją lub różnowartościowa, jeżeli x, x X, x x f (x) f (x ) surjekcją lub na jeżeli y Y x X, y = f (x) bijekcją lub 1-1 jeżeli jest jednocześnie injekcją i surjekcją. () 28 września / 10

18 Funkcje c.d. Funkcja f : X Y jest injekcją lub różnowartościowa, jeżeli x, x X, x x f (x) f (x ) surjekcją lub na jeżeli y Y x X, y = f (x) bijekcją lub 1-1 jeżeli jest jednocześnie injekcją i surjekcją. () 28 września / 10

19 Funkcje c.d. Funkcja f : X Y jest injekcją lub różnowartościowa, jeżeli x, x X, x x f (x) f (x ) surjekcją lub na jeżeli y Y x X, y = f (x) bijekcją lub 1-1 jeżeli jest jednocześnie injekcją i surjekcją. () 28 września / 10

20 Funkcje c.d. Funkcja f : X Y jest injekcją lub różnowartościowa, jeżeli x, x X, x x f (x) f (x ) surjekcją lub na jeżeli y Y x X, y = f (x) bijekcją lub 1-1 jeżeli jest jednocześnie injekcją i surjekcją. () 28 września / 10

21 Funkcje c.d. Niech f : X Y i g : Y Z będą funkcjami. Złożeniem funkcji f i g nazywamy funkcję g f : X Z zdefiniowaną wzorem (g f )(x) := g(f (x)). Mówimy, że funkcja f : X Y jest odwracalna, jeżeli istnieje funkcja g : Y X, taka że x X g f (x) = x y Y f g(y) = y. Funkcję g nazywamy funkcją odwrotną do f () 28 września / 10

22 Funkcje c.d. Twierdzenie Funkcja f : X Y jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest bijekcją. Wniosek Jeśli f jest odwracalna, to funkcja do niej odwrotna jest tylko jedna. () 28 września / 10