woland@mat.umk.pl Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Świecie, 8 grudnia 2014
Plan działania
Przykład 1. Negocjacje Właściciele dwóch domów negocjują w którym miejscu między ich domami zbudować ujęcie wody (następnie każdy na własny koszt doprowadza przyłącze do domu). Negocjacje wyglądają następująco: Właściciel pierwszego domu podaje swoją propozycję. Sąsiad tę propozycję akceptuje lub proponuje inną lokalizację. Negocjacje kończą się kiedy obie strony zaakceptują lokalizację. Każda runda negocjacji generuje koszt w wysokości c dla obu graczy. Jak najtaniej doprowadzić wodę do swojego domu?
Przykład 2. Planowanie produkcji Na rynku jest N producentów tego samego dobra (np. butów, samochodów, telewizorów). Wraz ze wzrostem ilości towaru na rynku maleje cena (zysk z produkcji). Każda firma generuje koszty wyprodukowania jednej sztuki (zależne od wielkości produkcji). Jeżeli s i oznacza wielkość produkcji (strategię) producenta (gracza) i, k i funkcję kosztu zaplanowanej produkcji, c funkcję ceny w zależności od ilości towaru na rynku, to zysk producenta i modeluje funkcja u i (s 1,..., s N ) = s i c(s 1 +... + s N ) k i (s i ). Na jakim poziomie powinien ustalić wielkość produkcji każdy z producentów?
Adam Smith Urodzony 16 czerwca 1723, zmarł 17 lipca 1790. Szkocki myśliciel i filozof, autor Badań nad naturą i przyczynami bogactwa narodów. Zwany również ojcem liberalizmu. Nobody ever saw a dog make a fair and deliberate exchange of one bone for another with another dog. Źródło: http://illinois.edu/emailer/newsletter/27636.html Dostęp 19.11.2014.
Adam Smith Urodzony 16 czerwca 1723, zmarł 17 lipca 1790. Szkocki myśliciel i filozof, autor Badań nad naturą i przyczynami bogactwa narodów. Zwany również ojcem liberalizmu. Nobody ever saw a dog make a fair and deliberate exchange of one bone for another with another dog. Źródło: http://illinois.edu/emailer/newsletter/27636.html Dostęp 19.11.2014. Motorem działania jednostek jest interes własny, regulatorem sprzecznych interesów zaś konkurencja poprzez wzajemne oddziaływanie te egoistyczne motywy przekształcają się w harmonię interesów całego społeczeństwa.
Gra w kamienie Zasady gry Na stole leży N kamieni. Gracze zabierają po kolei jeden lub dwa z nich. Przegrywa ten, który zabierze ostatni kamień.
Gra w kamienie Zasady gry Na stole leży N kamieni. Gracze zabierają po kolei jeden lub dwa z nich. Przegrywa ten, który zabierze ostatni kamień. Gracz 1 Gracz 2 1
Gra w kamienie Zasady gry Na stole leży N kamieni. Gracze zabierają po kolei jeden lub dwa z nich. Przegrywa ten, który zabierze ostatni kamień. Gracz 1 Gracz 2 1 2
Gra w kamienie Zasady gry Na stole leży N kamieni. Gracze zabierają po kolei jeden lub dwa z nich. Przegrywa ten, który zabierze ostatni kamień. Gracz 1 Gracz 2 1 2 3
Gra w kamienie Zasady gry Na stole leży N kamieni. Gracze zabierają po kolei jeden lub dwa z nich. Przegrywa ten, który zabierze ostatni kamień. Gracz 1 Gracz 2 1 2 3 4
Gra w kamienie Zasady gry Na stole leży N kamieni. Gracze zabierają po kolei jeden lub dwa z nich. Przegrywa ten, który zabierze ostatni kamień. Gracz 1 Gracz 2 1 2 3 4
Gra w kamienie Zasady gry Na stole leży N kamieni. Gracze zabierają po kolei jeden lub dwa z nich. Przegrywa ten, który zabierze ostatni kamień. Gracz 1 Gracz 2 1 2 3 4 5
Gra w kamienie Zasady gry Na stole leży N kamieni. Gracze zabierają po kolei jeden lub dwa z nich. Przegrywa ten, który zabierze ostatni kamień. Gracz 1 Gracz 2 1 2 3 4 5 6
Gra w kamienie Zasady gry Na stole leży N kamieni. Gracze zabierają po kolei jeden lub dwa z nich. Przegrywa ten, który zabierze ostatni kamień. Gracz 1 Gracz 2 1 2 3 4 5 6 7
Gra w kamienie Zasady gry Na stole leży N kamieni. Gracze zabierają po kolei jeden lub dwa z nich. Przegrywa ten, który zabierze ostatni kamień. Gracz 1 Gracz 2 1 2 3 4 5 6 7 8
Gra w kamienie Zasady gry Na stole leży N kamieni. Gracze zabierają po kolei jeden lub dwa z nich. Przegrywa ten, który zabierze ostatni kamień. Gracz 1 Gracz 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Gra w kamienie Zasady gry Na stole leży N kamieni. Gracze zabierają po kolei jeden lub dwa z nich. Przegrywa ten, który zabierze ostatni kamień. Gracz 1 Gracz 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Gra w kamienie cd. Gracz 1 Gracz 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Wnioski W drugiej kolumnie mamy co trzecią liczbę. Podzielmy więc wszystkie z resztą przez 3.
Gra w kamienie cd. Gracz 1 Gracz 2 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 Wnioski W drugiej kolumnie mamy co trzecią liczbę. Podzielmy więc wszystkie z resztą przez 3. (W1) Jeśli liczba kamieni na stole daje resztę jeden, to strategię wygrywającą ma gracz 2. W pozostałych przypadkach wygrywa gracz 1.
Gra w kamienie cd. Gracz 1 Gracz 2 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 Wnioski W drugiej kolumnie mamy co trzecią liczbę. Podzielmy więc wszystkie z resztą przez 3. (W1) Jeśli liczba kamieni na stole daje resztę jeden, to strategię wygrywającą ma gracz 2. W pozostałych przypadkach wygrywa gracz 1. (W2) Strategia: Zostawić przeciwnikowi taką liczbę kamieni, która przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1.
Inne gry o sumie zerowej (stałej) Gra o sumie zerowej (stałej) = suma zysków wszystkich graczy wynosi 0 (const).
Inne gry o sumie zerowej (stałej) Gra o sumie zerowej (stałej) = suma zysków wszystkich graczy wynosi 0 (const). Zatruta czekolada Górna narożna kostka tabliczki czekolady jest zatruta. Gracze naprzemienni ułamują całe paski (dowolnej szerokości) z dołu lub z boku. Przegrywa ten, kto musi zjeść zatruty kawałek.
Inne gry o sumie zerowej (stałej) Gra o sumie zerowej (stałej) = suma zysków wszystkich graczy wynosi 0 (const). Zatruta czekolada Górna narożna kostka tabliczki czekolady jest zatruta. Gracze naprzemienni ułamują całe paski (dowolnej szerokości) z dołu lub z boku. Przegrywa ten, kto musi zjeść zatruty kawałek. Skarb piratów N piratów chce podzielić między siebie skarb (N sztuk złota). Załoga jest zhierarchizowana, a sposób podziału jest następujący: 1. Najwyższy stopniem pirat proponuje podział. 2. Wszyscy piraci demokratycznie głosują za lub przeciw zaproponowanemu podziałowi. 3. Jeżeli podział zostanie odrzucony, to autor wylatuje za burtę i wracamy do 1. ze zmniejszoną załogą. Jaki podział zaproponować będąc kapitanem?
Ściąganie jako gra o sumie niezerowej Nauczyciel sprawdzając test znalazł dwie niemal identyczne prace. Zapytał autorów prac czy współpracowali. Sumę korzyści z przyznania się lub nie dla obu graczy obrazuje drzewko.
Ściąganie jako gra o sumie niezerowej Nauczyciel sprawdzając test znalazł dwie niemal identyczne prace. Zapytał autorów prac czy współpracowali. Sumę korzyści z przyznania się lub nie dla obu graczy obrazuje drzewko. Analiza Czerwone linie oznaczają strategie optymalne.
Ściąganie jako gra o sumie niezerowej Nauczyciel sprawdzając test znalazł dwie niemal identyczne prace. Zapytał autorów prac czy współpracowali. Sumę korzyści z przyznania się lub nie dla obu graczy obrazuje drzewko. Analiza Czerwone linie oznaczają strategie optymalne. Postać strategiczna gry P P N P P P N N P N N P P N N N P (4,2) (4,2) (3,1) (3,1) N (5,0) (2,2) (5,0) (2,2)
Ściąganie jako gra o sumie niezerowej Nauczyciel sprawdzając test znalazł dwie niemal identyczne prace. Zapytał autorów prac czy współpracowali. Sumę korzyści z przyznania się lub nie dla obu graczy obrazuje drzewko. Analiza Czerwone linie oznaczają strategie optymalne. Postać strategiczna gry Gra zredukowana P P N P P P N N P N N N P (4,2) (4,2) (3,1) N (5,0) (2,2) (2,2)
Ściąganie jako gra o sumie niezerowej Nauczyciel sprawdzając test znalazł dwie niemal identyczne prace. Zapytał autorów prac czy współpracowali. Sumę korzyści z przyznania się lub nie dla obu graczy obrazuje drzewko. Analiza Czerwone linie oznaczają strategie optymalne. Postać strategiczna gry Gra zredukowana Układ (P, P P N N ) nazywamy równowagą Nasha. P P N P P P N N P N N N P (4,2) (4,2) (3,1) N (5,0) (2,2) (2,2)
John Forbes Nash Jr Urodzony 13 czerwca 1928 amerykański matematyk i ekonomista. Wprowadził pojęcie równowagi w grach niekooperacyjnych (1950) zwanej dzisiaj równowagą Nasha, a które został laureatem nagrody Nobla w dziedzinie ekonomii (1994). Na podstawie jego życiorysu powstał hollywoodzki film Piękny umysł (2001). Matematyka jest formą sztuki. Bez względu na to, co wam mówią inni. Szczególnie studenci biologii. Źródło: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ /commons/9/91/john_f_nash_20061102_3.jpg. Dostęp 19.11.2014.
Adam Smith nie miał racji? Dylemat Policjanci zatrzymali dwóch podejrzanych z bronią w ręku, w pobliżu miejsca włamania. Zatrzymanych zamknięto w osobnych pokojach bez możliwości komunikacji i każdemu złożono propozycję: możesz być lojalnym wobec kolegi lub go zdradzić. Jeśli zdradzisz kolegę, a on będzie lojalny, to zostaniesz zwolniony, a kolega dostanie 5 lat za włamanie. Jeżeli on też zdradzi, to dostaniecie po 3 lata w więzieniu. Jeżeli natomiast obaj będziecie lojalni, to z braku dowodów grozi wam najwyżej po roku więzienia za nielegalne posiadanie broni.
Adam Smith nie miał racji? Dylemat Policjanci zatrzymali dwóch podejrzanych z bronią w ręku, w pobliżu miejsca włamania. Zatrzymanych zamknięto w osobnych pokojach bez możliwości komunikacji i każdemu złożono propozycję: możesz być lojalnym wobec kolegi lub go zdradzić. Jeśli zdradzisz kolegę, a on będzie lojalny, to zostaniesz zwolniony, a kolega dostanie 5 lat za włamanie. Jeżeli on też zdradzi, to dostaniecie po 3 lata w więzieniu. Jeżeli natomiast obaj będziecie lojalni, to z braku dowodów grozi wam najwyżej po roku więzienia za nielegalne posiadanie broni. Strategia L Z L (-1,-1) (-5,0) Z (0,-5) (-3,-3)
Adam Smith nie miał racji? Dylemat Policjanci zatrzymali dwóch podejrzanych z bronią w ręku, w pobliżu miejsca włamania. Zatrzymanych zamknięto w osobnych pokojach bez możliwości komunikacji i każdemu złożono propozycję: możesz być lojalnym wobec kolegi lub go zdradzić. Jeśli zdradzisz kolegę, a on będzie lojalny, to zostaniesz zwolniony, a kolega dostanie 5 lat za włamanie. Jeżeli on też zdradzi, to dostaniecie po 3 lata w więzieniu. Jeżeli natomiast obaj będziecie lojalni, to z braku dowodów grozi wam najwyżej po roku więzienia za nielegalne posiadanie broni. Strategia L Z L (-1,-1) (-5,0) Z (0,-5) (-3,-3)
A gdyby sytuacja się powtarzała...? Rozważmy grę składającą się z N rund będących dylematem. Jaką strategię należy obrać?
A gdyby sytuacja się powtarzała...? Rozważmy grę składającą się z N rund będących dylematem. Jaką strategię należy obrać? Możliwe strategie
A gdyby sytuacja się powtarzała...? Rozważmy grę składającą się z N rund będących dylematem. Jaką strategię należy obrać? Możliwe strategie Cały czas Z" gramy zgodnie z teorią równowagi Nasha. Strategia ta minimalizuje straty, niestety nie daje szans na zwiększenie zysku przez granie układu (L,L).
A gdyby sytuacja się powtarzała...? Rozważmy grę składającą się z N rund będących dylematem. Jaką strategię należy obrać? Możliwe strategie Cały czas Z" gramy zgodnie z teorią równowagi Nasha. Strategia ta minimalizuje straty, niestety nie daje szans na zwiększenie zysku przez granie układu (L,L). L do momentu pierwszej zdrady drugiego gracza, potem cały czas Z" ta strategia z kolei daje szanse na granie układu (L,L). Po zdradzie drugiego gracza wracamy do sytuacji poprzedniej: minimalizujemy straty, ale nie mamy szansy powrotu do (L,L).
A gdyby sytuacja się powtarzała...? Rozważmy grę składającą się z N rund będących dylematem. Jaką strategię należy obrać? Możliwe strategie Cały czas Z" gramy zgodnie z teorią równowagi Nasha. Strategia ta minimalizuje straty, niestety nie daje szans na zwiększenie zysku przez granie układu (L,L). L do momentu pierwszej zdrady drugiego gracza, potem cały czas Z" ta strategia z kolei daje szanse na granie układu (L,L). Po zdradzie drugiego gracza wracamy do sytuacji poprzedniej: minimalizujemy straty, ale nie mamy szansy powrotu do (L,L). WET ZA WET
A gdyby sytuacja się powtarzała...? Rozważmy grę składającą się z N rund będących dylematem. Jaką strategię należy obrać? Możliwe strategie Cały czas Z" gramy zgodnie z teorią równowagi Nasha. Strategia ta minimalizuje straty, niestety nie daje szans na zwiększenie zysku przez granie układu (L,L). L do momentu pierwszej zdrady drugiego gracza, potem cały czas Z" ta strategia z kolei daje szanse na granie układu (L,L). Po zdradzie drugiego gracza wracamy do sytuacji poprzedniej: minimalizujemy straty, ale nie mamy szansy powrotu do (L,L). WET ZA WET Inne...
WET ZA WET Strategia zaproponowana w 1984 roku przez amerykańskiego psychologa (rosyjskiego pochodzenia) Anatola Rapoporta (1917 2007), która mówi: w pierwszej rundzie bądź lojalny, a w każdej następnej rób to, co drugi gracz w poprzedniej. Strategia ta promuje wybaczanie. Karze drugiego gracza za nielojalność, a jednocześnie daje szansę powrotu do gry układem (L,L).
WET ZA WET Strategia zaproponowana w 1984 roku przez amerykańskiego psychologa (rosyjskiego pochodzenia) Anatola Rapoporta (1917 2007), która mówi: w pierwszej rundzie bądź lojalny, a w każdej następnej rób to, co drugi gracz w poprzedniej. Strategia ta promuje wybaczanie. Karze drugiego gracza za nielojalność, a jednocześnie daje szansę powrotu do gry układem (L,L). Konkurs Axelroda Amerykański politolog Robert M. Axelrod (1943 ) zajmował się tym problemem w latach 80. Ogłosił konkurs na najlepszą strategię w grze składającej się z 200 rund. Konkurs ten wygrała strategia WET ZA WET. Ze względu na jej prostotę wynik wydawał się zaskakujący. Po jakimś czasie, kiedy wszyscy już znali strategię Rapoporta, ogłoszono drugi konkurs. Ten również wygrała strategia WET ZA WET.
Literatura R. M. Axelrod; The Evolution of Cooperation, Basic Books, New York 2006. J. C. C. McKinsey; Introduction to The Theory of Games, The RAND Corporation 1952. M. Malawski, H. Sosnowska, A. Wieczorek; i kooperacja. Teoria gier w ekonomii i naukach społecznych, PWN 2006.