dam odnar: Wytrzymałość Materiałów. Osiowe rozciąganie i ściskanie 9. OSIOWE ROZIĄGIE I ŚISIE 9.. aprężenia i odkształcenia Osiowe rozciąganie pręta pryzmatycznego występuje wówczas, gdy układ sił zewnętrznych po jednej stronie przekroju poprzecznego pręta redukuje się do wypadkowej prostopadłej do przekroju, zaczepionej w jego środku ciężkości i skierowanej zgodnie z normalną zewnętrzną. Wypadkową tę nazywamy siłą osiową lub podłużną i w przypadku gdy jej zwrot jest zgodny ze zwrotem normalnej zewnętrznej nazywamy siłą rozciągającą a jej współrzędnej przypisujemy znak dodatni. aszym zadaniem będzie wyznaczenie elementów macierzy naprężeń i odkształceń w dowolnym punkcie pręta, bo te wielkości określają w nim stan naprężenia i odkształcenia oraz współrzędnych wektora przemieszczenia. Rozważmy więc, pokazany na rys. 9. pręt pryzmatyczny o polu przekroju poprzecznego, określony w układzie osi (X, Y,Z), w którym oś X jest osią pręta, a osie (Y, Z) są osiami centralnymi jego przekroju poprzecznego. Pręt wykonany jest z izotropowego, jednorodnego, liniowo sprężystego materiału o stałych materiałowych E oraz ν. Z Y v (, 0, 0) Z Y τ z τ y X σ I II I X Rys. 9. Dokonajmy myślowego przekroju pręta na dwie części, odrzućmy część II a do części I przyłóżmy układ sił wewnętrznych, który symbolicznie zaznaczymy przez jego miary tzn. naprężenia σ, τ, τ zaczepione w dowolnie wybranym punkcie przekroju poprzecznego. y z Z twierdzenie o równoważności odpowiednich układów sił wewnętrznych i zewnętrznych wynika, że: S M { WI } S { Z II }, S y { WI } S y { Z II }, S z { WI } S z { Z II }, { W } M { Z }, M { W } M { Z }, M { W } M { Z }, 0 I 0 II 0 y I 0 y II 0z I 0z II (9.) rzuty sum i momentów zredukowanego układu sił wewnętrznych przyłożonych do części I oraz układu sił zewnętrznych przyłożonych do części II, są sobie równe. Zgodnie z powyższym możemy w rozważanym przypadku napisać poniższe związki: 7
dam odnar: Wytrzymałość Materiałów. Osiowe rozciąganie i ściskanie, ( τ y z + τ z y) σ d τ d y d 0, 0, τ z d 0, σ z d 0, σ y d 0. Równania (9.) możemy nazwać równaniami równowagi, gdyż wynikają z twierdzenia o równoważności układów sił wewnętrznych i zewnętrznych udowodnionego na podstawie warunków równowagi układu sił działających na ciało. Z równań (9.) nie można wyznaczyć σ, τ, τ, gdyż to funkcje trzech zmiennych i aby je y z (9.) określić, zajmiemy się analizą deformacji bryły po przyłożeniu obciążeń. W oparciu o przyjęte założenia odnośnie materiału, jak i hipotezę płaskich przekrojów ernoulliego przyjmiemy, że obraz deformacji pręta po przyłożeniu obciążeń jest taki jak to pokazuje rys. 9.. konfiguracja początkowa Z Y b b konfiguracja aktualna h h D D X l l Rys. 9. l nalizując ten obraz deformacji pręta po przyłożeniu obciążeń przyjmiemy, że: pole przemieszczeń jest w nim jednorodne, odkształcenia kątowe włókien równoległych do osi układu odniesienia są równe zero, odkształcenia liniowe związane są zależnością: ε y ε z ν ε. Powyższe obserwacje pozwalają napisać następujące zależności: ε l l l l, l ε y b b γ 0, γ 0, γ 0. y yz z b b, b ε z h h h h, h azwiemy je równaniami geometrycznymi gdyż są wynikiem analizy geometrii pręta po deformacji. Mając odkształcenia możemy, korzystając z równań fizycznych Hooke a, elementy macierzy naprężeń: wyznaczyć 7
dam odnar: Wytrzymałość Materiałów. Osiowe rozciąganie i ściskanie ( ε + ε y + ε z ) σ E ε σ E ν ε ν + + ν ( ε + ε + ε ) σ 0 E ν σ y ε y + y z + y, ν ν ( ε + ε + ε ) σ 0 E ν σ z ε z + y z + z, ν ν τ y Gγ y τ y 0 ; τ yz Gγ yz τ yz 0 ; τ z Gγ z τ z 0. ależy teraz wrócić do równań równowagi (9.) w celu sprawdzenia czy otrzymane w oparciu o przypuszczone pole przemieszczeń naprężenia spełniają te obiektywne zależności i aby wyrazić siły wewnętrzne poprzez siły zewnętrzne. Zerowanie się naprężeń stycznych powoduje, że równania drugie, trzecie i czwarte są spełnione. Z równania pierwszego otrzymamy σ d E ε d odkształcenia liniowe są równe:,, a ponieważ pole odkształceń jest jednorodne, to ε E, (9.) i naprężenia normalne wynoszą: σ. (9.4) Wstawiając powyższe do dwóch ostatnich równań równowagi otrzymujemy: σ d 0 z d z 0 σ d 0 y d y 0 bo osie (Y, Z) są osiami centralnymi i momenty statyczne przekroju poprzecznego liczone względem nich są równe zero. Tak więc ostatecznie macierze naprężeń i odkształceń przy osiowym rozciąganiu mają postać: 0 0 T σ 0 0 0, 0 0 0 T ε E 0 0 0 ν 0 E 0 0 ν. (9.5) E W praktyce inżynierskiej bardzo ważne jest określenie wydłużenia pręta, czyli przemieszczenie jego końca l. Jeśli pole przemieszczeń w pręcie jest jednorodne to łatwo wyznaczymy zmianę jego długości bez potrzeby całkowania odkształceń: l l ε l. (9.6) l E E 7
dam odnar: Wytrzymałość Materiałów. Osiowe rozciąganie i ściskanie Podobnie możemy wyznaczyć zmiany wymiarów (zmniejszenie) przekroju poprzecznego pręta: b h b ν oraz h ν. E E a końcu tej części naszych rozważań należy powiedzieć, że wyprowadzone zależności mogą być stosowane, w tej formie, zarówno dla przypadku rozciągania jak i ściskania osiowego. W tym drugim przypadku wypadkowa ma zwrot przeciwny do normalnej zewnętrznej, a jej współrzędnej przypisujemy znak ujemny. Przy czym w przypadku ściskania, tj. gdy <0 konieczne jest dodatkowe sprawdzenie czy pręt jest w stanie równowagi statecznej. 9.. naliza stanu naprężenia i odkształcenia W analizowanym przypadku występuje jednoosiowy i jednorodny stan naprężenia scharakteryzowany jednym tylko naprężeniem normalnym w przekroju poprzecznym pręta, które jest równocześnie maksymalnym naprężeniem głównym w przypadku rozciągania (rys.9.) i minimalnym w przypadku ściskania. Pozostałe dwa naprężenia główne są równe zeru a ich kierunki to jakiekolwiek dwa prostopadłe do siebie i równocześnie prostopadłe do osi pręta. Z σ σ ma σ z σ min σ z σ min 0 0 X σ σ ma Rys. 9. Ekstremalne naprężenia styczne występują w przekrojach nachylonych pod kątem 45 do osi pręta (rys. 9.) i równają się połowie naprężeń normalnych w przekroju poprzecznym. oło Mohra dla rozważanego przypadku pokazane jest na rys. 9.4. σ v σ o 45 o 45 Z σ σ τ σ τ σ σ σ X τ v σ v σ min σ z 0 τ τ σ v ma σ σ σ v ma O O σ σ v τ v σ σ v σ Rys. 9.4 74
dam odnar: Wytrzymałość Materiałów. Osiowe rozciąganie i ściskanie Układ (rozkład) sił wewnętrznych w przekroju poprzecznym pręta pokazuje rys. 9.5. Z Y X I σ Rys. 9.5 Wartości naprężeń normalnych w tym przypadku nie zależą o współrzędnych y oraz z więc można ich rozkład, nie tracąc czytelności, rysować płasko, jak to zostało pokazane na rys. 9.6. Z σ Z σ X lub X Rys. 9.6 Stan odkształcenia jest też jednorodny ale trójosiowy. Odkształcenia liniowe w kierunku równoległym do osi pręta są maksymalne w przypadku rozciągania i minimalne w przypadku ściskania. Pozostałe dwa odkształcenia główne są sobie równe, a ich kierunki to jakiekolwiek dwa prostopadłe do siebie i równocześnie prostopadłe do osi pręta. 9.. Energia sprężysta pręta rozciąganego lub ściskanego osiowo Znajomość elementów macierze naprężeń i odkształceń pozwala na wyznaczenie gęstości energii sprężystej i energii sprężystej dla rozważanego przypadku obciążenia pręta. Podstawienie zależności (9.5) do (8.8) daje: Φ, i stąd energia sprężysta pręta o długości l i polu przekroju poprzecznego E rozciąganego (ściskanego) osiowo stałą siłą o wartości wynosi: U Φ dv dv d d E E l d E V V 0 0 l l E. 75
dam odnar: Wytrzymałość Materiałów. Osiowe rozciąganie i ściskanie W przypadku konstrukcji złożonej z wielu prętów o różnych długościach oraz przekrojach poprzecznych obciążonych osiowo siłami podłużnymi jej energia sprężysta wynosi: U n l i i 0 i E i d, (9.7) gdzie sumowanie należy wykonać po wszystkich przedziałach charakterystycznych. 9.4. Zasada de Saint-Venanta Wnioski mówiące o jednorodności rozkładu naprężeń czy odkształceń w pręcie rozciąganym osiowo mogą budzić pewne zastrzeżenia, jeśli popatrzymy na różne, występujące w praktyce inżynierskiej, przypadki obciążeń, które redukują się do siły rozciągającej zaczepionej w środku ciężkości przekroju poprzecznego. Można przypuszczać, że sposób przyłożenia obciążenia będzie miał wpływ na rozkład naprężeń i odkształceń. I tak istotnie jest, ale tylko w bliskim sąsiedztwie obszaru przyłożenia obciążenia. Mówi o tym zasada de Saint-Venanta, która jest jednym z naszych podstawowych założeń i którą potwierdzają badania doświadczalne (szczególnie wyraźnie badania elastooptyczne). Zasadę tę można sformułować następująco: jeżeli na pewien niewielki obszar ciała w równowadze działają rozmaicie rozmieszczone, ale statycznie równoważne obciążenia, to w odległości znacznie przekraczającej wymiary tego obszaru wywołują one praktycznie jednakowe stany naprężenia i odkształcenia (rys. 9.7). / / / 9.5. Spiętrzenie naprężeń Rozkład naprężeń normalnych w przekroju poprzecznym rozciąganego pręta pryzmatycznego jest równomierny. W przypadku rozciąganych prętów o zmiennym przekroju poprzecznym naprężenia normalne nie mają stałych wartości. metodami teorii sprężystości zagadnienie rozciąganego pręta w kształcie klina (rys. 9.8) pokazuje zmienność naprężeń normalnych i dodatkowo występowanie naprężeń σ ma stycznych. Wartość naprężenia maksymalnego σ ma w stosunku do wartości naprężenia nominalnego σ n wzrasta wraz z Rys. 9.8 kątem. Przy / o 0 naprężenie maksymalne jest o. % większe od nominalnego, a przy 0 jest już większe o % co dowodzi, że gdy przekrój zmienia się łagodnie, to z dostateczną dokładnością w obliczeniach można stosować wzory jak dla prętów pryzmatycznych. o 76
dam odnar: Wytrzymałość Materiałów. Osiowe rozciąganie i ściskanie W przypadku gwałtownej zmiany kształtu lokalny wzrost naprężenia może być znaczny. W pokazanym na rys. 9.9 rozciąganym płaskowniku z otworem w jego pobliżu występuje duży wzrost naprężeń, nazywany spiętrzeniem lub koncentracją naprężeń. Szczególnie duża koncentracja naprężeń występuje w przypadku ostrych nacięć (rys. 9.0) i wówczas mówimy o efekcie karbu, który może prowadzić do powstania pęknięcia, a następnie do zniszczenia elementu. nalizą propagacji szczelin zajmuje się mechanika pękania, która obecnie ze względu na ważność i złożoność problemów, z którymi ma do czynienia stanowi autonomiczny przedmiot mechaniki. σ n σ ma σ n σ ma Rys. 9.9 Rys. 9.0 9.6. Podstawowe dane doświadczalne. Statyczna próba rozciągania W dotychczasowych naszych rozważaniach zetknęliśmy się już z takimi wielkościami, jak moduł Younga i współczynnik Poissona. Są one charakterystyczne dla danego materiału i nazwaliśmy je ogólnie stałymi materiałowymi. Wspomnieliśmy również, że dla każdego materiału istnieją pewne charakteryzujące go wielkości sił między cząsteczkowych, po przekroczeniu których traci on swoją spójność (niszczy się). Te jak i inne jeszcze wielkości określające własności mechaniczne materiału, mogą być wyznaczone jedynie na drodze doświadczalnej. Sposób i warunki przeprowadzania odpowiednich badań laboratoryjnych są określone bardzo precyzyjnymi przepisami, podanymi w Polskich ormach. Jednym z podstawowych badań jest statyczna próba rozciągania, gdyż, jak w żadnym innym doświadczeniu, statyczne i kinematyczne warunki brzegowe jakim podlega badana próbka są najbliższe tym, które zakładane są w modelu teoretycznym. Realizowane w próbce stany naprężenia i odkształcenia reprezentowane są przez dwie wielkości: naprężenia normalne σ w przekroju poprzecznym badanej próbki oraz odkształcenia liniowe ε w kierunki jej osi. Obie te wielkości można wyznaczyć z prostych pomiarów podczas badania i, co więcej, związek między nimi σ Eε zawiera stałą materiałową jaką jest moduł Younga E. Dalej przedstawimy najważniejsze wyniki próby rozciągania stali, wykonanej w sposób określony normą P-76/H-040. Dla innych materiałów powszechnie stosowanych w konstrukcjach budowlanych (beton czy drewno) obowiązują inne normy ale z uwagi na przyjęte założenia o własnościach analizowanych przez nas konstrukcji stal jest modelowym materiałem i dlatego nią się przede wszystkim zajmiemy. Wykonane zgodnie z podaną normą próbki (zwykle o przekroju kołowym) stali rozciągane są osiowo w maszynach wytrzymałościowych najczęściej aż do zniszczenia próbki. Podczas próby rejestrowane są zmiany wielkości siły rozciągającej i wymiarów próbki, dzięki czemu 77
dam odnar: Wytrzymałość Materiałów. Osiowe rozciąganie i ściskanie można sporządzić tzw. wykres rozciągania w układzie miękkiej pokazuje rys.9.. a osi odciętych mamy odkształcenie liniowe włókien równoległych do osi pręta, σ wyznaczane ze wzoru G l ε gdzie: L 0 - pierwotna długość L 0 σ ε. Wykres rozciągania stali odcinka próbki (długość pomiarowa), którego F wydłużenia l są rejestrowane. R e a osi rzędnych występują naprężenia R S D normalne w przekroju poprzecznym pręta, R H wyznaczane ze wzoru: σ, gdzie: - siła rozciągająca próbkę, ε 0 O rejestrowaną podczas badania, 0 - pole pierwotnego przekroju poprzecznego próbki.. Rys. 9. Ponieważ podczas wykonywania próby pole przekroju poprzecznego próbki maleje, to te naprężenia są wielkościami umownymi. Omówimy krótko poszczególne charakterystyczne części wykresu rozciągania. a prostoliniowym odcinku O odkształcenia są liniowo zależne od naprężeń i znikają po zdjęciu obciążenia. Tak więc własności materiału są liniowo sprężyste i największe naprężenie, przy którym te własności jeszcze występują R H, nazywamy granicą proporcjonalności albo granicą stosowania prawa Hooke a. a krzywoliniowym odcinku, kończącym się naprężeniem R, materiał jest jeszcze sprężysty ale zależność między S naprężeniami i odkształceniami jest nieliniowa. R S nazywamy granicą sprężystości, po jej przekroczeniu w materiale zaczynają występować trwałe (plastyczne) odkształcenia. W punkcie wykresu, któremu odpowiadają naprężenia R e, w próbce narastają znaczne odkształcenia: 0 do 5 razy większe niż przy granicy sprężystości, przy stałych a nawet malejących naprężeniach. Zjawisko to nazywamy płynięciem materiału (część D określana jest jako platforma płynięcia), a naprężenie R e - wyraźną granicą plastyczności. Płynięcie materiału kończy się w punkcie D, w którym zmienia się charakter wykresu. Przyrost odkształceń wymaga przyrostu naprężeń, materiał się wzmocnił i sytuacja taka trwa aż do punktu F, któremu odpowiada największa siła uzyskana w czasie próby. aprężenia odpowiadające temu punktowi R m, nazywamy wytrzymałością na rozciąganie. W momencie badania, któremu odpowiada na wykresie rozciągania punkt F, w próbce tworzy się przewężenie, tzw. szyjka i prawie natychmiast próbka w tym miejscu ulega zerwaniu. Podczas próby rozciągania prócz wyznaczenia wyżej opisanych granicznych wartości naprężeń możemy wyznaczyć moduł Younga i liczbę Poissona. Moduł Younga to nic innego jak tangens kąta nachylenia liniowej części wykresu rozciągania: σ E tg. ε Rejestrując zmianę średnicy próbki d podczas próby możemy wyznaczyć odkształcenia liniowe w kierunku poprzecznym do osi pręta : R m naprężenia rzeczywiste H 78
dam odnar: Wytrzymałość Materiałów. Osiowe rozciąganie i ściskanie d ε, gdzie : d 0 - pierwotna średnica próbki. pop d 0 Liczbę Poissona otrzymujemy dzieląc odkształceń liniowe w kierunku poprzecznym przez odkształcenia liniowe w kierunku równoległym do osi próbki: ν ε pop ε. Wyżej wspomniano, że naprężenia na wykresie rozciągania są naprężeniami umownymi, gdyż otrzymane zostały przez podzielenie siły rozciągającej przez początkowe pole przekroju poprzecznego. aprężeniami rzeczywistymi nazywać będziemy iloraz siły przez aktualne pole powierzchni przekroju. W początkowym stadium próby rozciągania między tymi dwoma naprężeniami nie ma istotnych różnic, pojawiają się one dopiero pod koniec platformy płynięcia. Przebieg zmian naprężeń rzeczywistych na rys.9. pokazany został linią przerywaną. Wykres rozciągania na rys. 9. pokazuje cechy i zachowanie się stali miękkiej nazywanej też stalą niskowęglową bo zawartość węgla w jej składzie nie przekracza 0.0 %. Stal o takiej charakterystyce jest powszechnie stosowana w budowlanych konstrukcjach stalowych. a rys. 9. naszkicowane zostały wykresy rozciągania innych metali. Widoczny jest brak w pewnych materiałach wyraźnej granicy plastyczności R e. W takich σ MPa przypadkach posługujemy się umowną granicą plastyczności oznaczaną przez R 0. i definiowaną jako naprężenie, przy którym stal twarda trwałe odkształcenia liniowe wynoszą 0. %. W przypadku statycznej próby ściskania (sposób jej wykonania w przypadku metali 800 można znaleźć w normie P-57/H-040) w zakresie naprężeń poniżej granicy stal miękka plastyczności charakter wykresu ściskania w 400 układzie σ ε nie odbiega od wykresu rozciągania. Stal miękka, aluminium czy miedź miedź mają granicę proporcjonalności, ε % sprężystości i plastyczności nieomal identyczną jak przy rozciąganiu. Przy większych naprężeniach charakter wykresu się zmienia i jest to powodowane wpływem aktualnej geometrii badanej próbki - zwiększa się pole jej przekroju poprzecznego. 0 0 Rys. 9. 79
dam odnar: Wytrzymałość Materiałów. Osiowe rozciąganie i ściskanie a wielkości mechaniczne materiałów niewątpliwy wpływ mają różne czynniki zewnętrze, przykładowo można wymienić temperaturę, wilgotność czy czas. To, jak znaczną zmianę wielkości mechanicznych będą one powodować zależy między innymi od rodzaju materiału. iżej bardzo pobieżnie, omówione zostaną niektóre aspekty wpływu temperatury i czasu na zachowanie się stali. Wpływ temperatury na granicę plastyczności R e i wytrzymałość na rozciąganie R m pokazuje rys. 9.. Podwyższona temperatura aktywizuje własności reologiczne stali polegające, najprościej mówiąc, na zmianie deformacji w czasie przy stałych obciążeniach. Wśród zjawisk (procesów) reologicznych ciał stałych zwykle rozróżnia się zjawisko pełzania określane jako wzrost odkształceń w czasie przy stałych naprężeniach i zjawisko relaksacji definiowane jako spadek naprężeń w czasie przy stałych odkształceniach. 800 400 σ MPa 00 400 Rys. 9. R m R e T o Długotrwała próba rozciągania stali w podwyższonej temperaturze tj. próba pełzania (warunki i sposób jej wykonania podany jest w normie P-57/H-040) pokaże przebieg zmian odkształceń w czasie przy stałym naprężeniu, których wykres, tzw. krzywą pełzania przedstawia rys. 9.4. Wynikiem próby relaksacji byłaby krzywa relaksacji pokazująca zmianę naprężeń w czasie przy stałych odkształcenia naszkicowana na rys. 9.5. ε zniszczenie σ krzywa pełzania krzywa relaksacji σ const t ε const t Rys.9.4 Rys.9.5 W metalach procesy reologiczne wyraźnie się zaznaczają przy temperaturach powyżej 0. 0.4 ich temperatury topnienia. Zjawiska reologiczne, zwłaszcza zjawisko relaksacji ma negatywny wpływ za zachowanie się konstrukcji. Ono jest przyczyną spadku sił sprężających w konstrukcjach sprężonych czy rozluźniania się połączeń śrubowych i nitowanych. W tablicy poniżej, podane są wartości charakterystyk mechanicznych i stałych materiałowych dla niektórych materiałów. Ponieważ wielkości te bardzo zależą od składu chemicznego, obróbki cieplnej, obróbki plastycznej jak i innych czynników (np. wilgotności w przypadku drewna) podane wartości należy traktować orientacyjnie, skupiając uwagę na 80
dam odnar: Wytrzymałość Materiałów. Osiowe rozciąganie i ściskanie tym z jakim rzędem wielkości mamy do czynienia. W nawiasach podana jest wytrzymałość przy ściskaniu. Materiał Stal konstrukcyjna StSX,StSY Wytrzymałość na rozciąganie MPa R m Granica plastyczności R e MPa Wytrzymałość obliczeniowa R r MPa Moduł Younga E GPa Liczba Poissona ν Gęstość masy ρ kg/m 75 5 05 05 0.0 7850 luminium 00 50 70 0.-0.6 070 Miedź 0-40 70 0 0.0-0.4 8960 Żeliwo szare 00-400 95-0 0.-0.7 700 Ołów 5 8 0.4 40 rąz 00 0.-0.5 8860 Dural 70 50 67-74 0.-0.5 640 eton 50. (6).54 (7.7) 8.6 /6 500 Szkło 40-00 56 0.5 400-600 Drewno- sosna (wzdłuż włókien) 4-6 65-.5 6 400-500 9.7. Podstawowe zasady i warunki projektowania Mając wyznaczone stany naprężenia, odkształcenia i przemieszczenia dla przypadku osiowego rozciągania prętów pryzmatycznych mamy podstawy do projektowania takich elementów konstrukcji inżynierskich. a tym przykładzie tego przypadku omówione zostaną podstawowe pojęcia i procedury związane z projektowaniem przy bardziej złożonych przypadkach obciążenia czy elementach konstrukcji. ędzie to w większym stopniu omówienie zasad wymiarowania niż projektowania, gdyż przy projektowaniu oprócz zasad wymiarowania niezbędna jest znajomość przepisów zwanych normami budowlanymi, które będą szczegółowo omawiane w przedmiotach konstrukcyjnych jak konstrukcje stalowe, betonowe, żelbetowe czy drewniane. ędzie to raczej omówienie zasad wymiarowania niż projektowania, gdyż przy projektowaniu oprócz zasad wymiarowania niezbędna jest znajomość przepisów zwanych normami budowlanymi, które będą szczegółowo omawiane w przedmiotach konstrukcyjnych jak konstrukcje stalowe, betonowe, żelbetowe czy drewniane. Zobaczymy później, w trakcie studiowania wymienionych przedmiotów konstrukcyjnych, że w wielu przypadkach, formuły czy zależności podane w normach, które są obowiązujące w procesie projektowania będą dość odległe od zasad wymiarowania podanych w tym jak i innych podręcznikach wytrzymałości materiałów. Przyczynę tego stanu można przede wszystkim upatrywać w tym, że wytrzymałość materiałów posługuje się w swych rozważaniach idealnym teoretycznym modelem materiału, konstrukcji, jak i schematach jej zniszczenia, normy zaś starają się ująć w globalny i uproszczony sposób najbardziej istotne mechaniczne aspekty zachowania się elementów konstrukcji. Stąd np. wytrzymałość materiałów zazwyczaj określa warunki dla naprężeń w punkcie a normy formułują warunki nośności dla przekroju. iemniej jednak nie ma sprzeczności w tych dwóch podejściach i co więcej znajomość zasad wymiarowania jest niezbędna do zrozumienia i racjonalnego stosowania normowych zasad projektowania. Jak już wcześniej powiedzieliśmy materiał, kształt i wymiary konstrukcji muszą być dobrane w taki sposób, aby była ona odpowiednio wytrzymała, sztywna i stateczna. Jeżeli konstrukcja 8
dam odnar: Wytrzymałość Materiałów. Osiowe rozciąganie i ściskanie lub jej część przestaje przenosić obciążenie, do przeniesienia którego została przeznaczona lub też gdy nie odpowiada założonym warunkom użytkowania, mówimy, że znajduje się w stanie granicznym. Możemy wyróżnić dwa stany graniczne: stan graniczny nośności i stan graniczny użytkowania. Stan graniczny nośności związany jest z wystąpieniem zniszczenia ciągłości materiału w punkcie lub obszarze, zmiany konstrukcji w mechanizm, uszkodzeniem spowodowanym zmęczeniem materiału, utratą stateczności przez część lub całą konstrukcję. Stan graniczny użytkowania natomiast związany jest z wystąpieniem nadmiernych przemieszczeń, uszkodzeń związanych z korozją, nadmiernych drgań itp. Warunki, które konstrukcja musi spełnić, wynikające z obu stanów granicznych formułowane będą w postaci nierówności, w których w stanie granicznym nośności będzie występować pewna graniczna wartość naprężeń, a w stanie granicznym użytkowania graniczna wartość przemieszczeń związana z warunkami użytkowania. Te graniczne wartości naprężeń, wyznaczane na podstawie doświadczeń (np. próby rozciągania czy ściskania) i analizy probabilistycznej otrzymanych z nich wyników, gwarantują bezpieczny stan materiału w danym punkcie i nazywane są jego wytrzymałością charakterystyczną. Ponieważ w procesie projektowania konstrukcji mogące wystąpić liczne czynniki przypadkowe, związane np. z niedokładnością danych o geometrii konstrukcji, jej obciążeniach czy błędach wykonania, do obliczeń przyjmowana jest wytrzymałość obliczeniowa, będąca ilorazem wytrzymałości charakterystycznej i współczynników materiałowych spełniających rolę współczynników bezpieczeństwa. W praktyce projektowej dowiemy się, że wytrzymałość obliczeniowa jest związana nie tylko z samym materiałem ale również z rodzajem konstrukcji. Polska orma do obliczania i projektowania ogólnobudowlanych konstrukcji stalowych P-90/-000 wyróżnia tylko jedną wytrzymałość obliczeniową stali oznaczaną przez f d (modyfikowaną współczynnikami liczbowymi dla innych przypadków obciążenia), podczas gdy norma obowiązująca przy projektowaniu mostów P-8/S-0005 wyróżnia wytrzymałość obliczeniową stali elementów konstrukcji mostowych pracujących na rozciąganie i ściskanie osiowe, rozciąganie przy zginaniu R, na ścinanie R, na docisk powierzchni przylegających R, na docisk t powierzchni stycznych R dh. W normach związanych z konstrukcjami betonowymi, żelbetowymi, drewnianymi i murowymi występują jeszcze inne wielkości. Dlatego też w toku naszych dalszych rozważań, nie umniejszając zasadniczo ich ogólności, będziemy się posługiwać jedynie pojęciami wytrzymałości obliczeniowej przy ściskaniu R, przy rozciąganiu R r i przy ścinaniu R t. W przypadku materiału izonomicznego (np. stal) i naprężeń normalnych, używać będziemy jednej wytrzymałości obliczeniowej R. W związku z powyższym warunki wymiarowania prętów osiowo rozciąganych będą miały postać: ze względu na stan graniczny nośności maσ ma R r ze względu na stan graniczny użytkowania l ma l ma l dop. E d c 8
dam odnar: Wytrzymałość Materiałów. Osiowe rozciąganie i ściskanie W przypadku prętów osiowo ściskanych w miejsce wytrzymałości obliczeniowej przy rozciąganiu R r należy wstawić wytrzymałość obliczeniową przy ściskaniu R c, przy czym musimy pamiętać, że pręt musi być w stanie równowagi statecznej i warunki jej zapewnienia będą sformułowane w toku dalszych wykładów. 9.8. Przykłady Przykład 9.8.. Wyznaczyć średnice kołowego stalowego pręta o skokowo zmiennym przekroju poprzecznym obciążonym jak na rysunku jeśli wytrzymałość obliczeniowa stali R 65 MPa. Po określeniu wymiarów przekroju poprzecznego obliczyć przemieszczenia wzdłuż osi pręta u ( ) i zmianę średnicy w przekroju największej siły podłużnej, jeśli moduł Younga E 05 GPa, a liczba Poissona ν 0.. Średnice wyznaczymy z warunku nośności i wpierw należy wyznaczyć siły osiowe w pręcie. Jest to proste zadanie w analizowanym przykładzie i ich rozkład pokazany jest na rysunku. u d 00 k 00 k D d.0 m 0.5m 0.5m 50 k () k Średnica na odcinku : π d 4 R R 450* 0 d 6 5. 89* 0 65* 0 Przyjęto do wykonania d 6 0 cm. Średnica na odcinku D:. m ma D D R D ma R D 450 50 50 u() mm π d 4 50* 0 d 6 5. 0* 0 65* 0 Przyjęto do wykonania d 5 cm.. m Przemieszczenia wzdłuż osi pręta (wydłużenia) u ( ) : ε ( ) d u d ( ) d u gdy () jest stałe to ( ) Stąd w rozważanym przykładzie: 0 < <.0 m u ( ) 0.78 ( π 6 4) ( ) ε ( ) d u( ) ε ( ) d u( ) 0 0 ( ) E u i wydłużenie jest liniową funkcją współrzędnej. E.8.5 450 *0 0.78*0 9 05*0 *0 d 8
dam odnar: Wytrzymałość Materiałów. Osiowe rozciąganie i ściskanie ( ) u l 0.78 *0 - m 0.78 mm..0 < <.5 m u u ( ) l 50*0 + 9 05*0 *0 ( π 5. 4) (.5) l l + l ( 0.78+ 0.40 )*0.5 < <.0 m ( ) l + 0.80*0 ( ).8*0 m.8 mm u ( ) l 50*0 + 9 05*0 *0 ( π 5. 4) (.5) l + 0.4*0 (.5) u (.0) l l + l + l ( 0.78+ 0.40 + 0.7) *0 D D.5*0 m.5 mm. Zmiana wymiarów średnicy w miejscu największej siły podłużnej wynosi: d 450 *0 ν d 0. 6*0 0.04* 0 9 E 05*0 *0 ( π 6 4) m -0.04 mm. Warto zwrócić uwagę jak małe są wielkości przemieszczeń i zmiany wymiarów w stosunku do początkowych wymiarów konstrukcji. Potwierdza to zasadność przyjęcia założenia zasady zesztywnienia jak i późniejsze założenia o małych odkształceniach. Przykład 9.8.. Pręt pryzmatyczny, jak na rysunku, obciążony jest tylko ciężarem własnym. Wyznaczyć ( ), σ ( ) i u ( ) jeśli znane są jego: pole przekroju, ciężar objętościowy γ, długość l oraz moduł sprężystości podłużnej E. Obliczyć długość zerwania jeśli wytrzymałość na rozciąganie wynosi R m. Wyznaczenie sił podłużnych: ( ) ( l ) γ ; ma ( ) ( 0 ) l γ Siły podłużne zmieniają liniowo wzdłuż osi pręta i osiągają maksymalną wartość w utwierdzeniu. ( ) aprężenia normalne: σ ( ) ( l ) γ ; maσ σ ( 0 ) lγ Wartości naprężeń też zmieniają się liniowo wzdłuż osi pręta, osiągają maksymalną wartość w utwierdzeniu i ta maksymalna wartość nie zależy od pola przekroju poprzecznego pręta. u : Przemieszczenia wzdłuż osi pręta (wydłużenia) ( ) ε u ( ) ( ) d u d 0 ( ) ( ) 0 d u σ γ d E E ( ) ε ( ) d u( ) ε ( ) γ E ( l ) d ( l ) 0 d γ [ l ] ( l ) E l ( ) 84
dam odnar: Wytrzymałość Materiałów. Osiowe rozciąganie i ściskanie ma u u ( l) γ l l E Przemieszczenia są kwadratową funkcją współrzędnej i osiągają swą największą wartość na końcu pręta, przy czym wartość ta nie zależy od pola przekroju poprzecznego pręta. Wykresy poszukiwanych funkcji pokazuje rysunek poniżej. l ( ) lγ σ Długość zerwania l R to długość pręta, obciążonego jedynie ciężarem własnym, przy której największe w nim naprężenia normalne będą równe wytrzymałości na rozciąganie (można powiedzieć: długość przy której zerwie się pod ciężarem własnym). Zatem: ma σ Rm lr γ Rm lr γ Jak widać długość zerwania l R jest stałą materiałową. Przykładowe wielkości długości zerwania: drewno sosnowe.5 km, stal niskowęglowa 4.8 km, stal wysokowęglowa 9. km, duraluminium 6.9 km. ( ) l γ u ( ) γ l E Przykład 9.8.. a m długości ławy fundamentowej o przekroju prostokątnym bh wykonanej z betonu o ciężarze objętościowym γ k/m przekazuje się równomiernie rozłożone obciążenie ze ściany q 50 k/m. Wyznaczyć potrzebną szerokość fundamentu b jeśli jej wysokość h.5 m, a wytrzymałość obliczeniowa gruntu na ściskanie, na którym jest on posadowiony wynosi R c,g 0. MPa h b q 50 k/m.0 m Siła przekazywana z fundamentu na grunt wynosi: q* + γ * h* b* Z warunku nośności wynika: b* R c,g q* + γ * h* b* R b* c,g 50* 0 + * 0 *. 5* b 6 0. * 0 b. 5 m. b Przykład 9.8.4. adproże wykonane z belki dwuteowej 00 przekazuje na mur obciążenie w postaci siły P 60 k. Obliczyć potrzebną długość oparcia belki przyjmując, że naprężenie obliczeniowe muru na ściskanie R c,m.0 MPa. 85
dam odnar: Wytrzymałość Materiałów. Osiowe rozciąganie i ściskanie P Z warunku nośności wynika: a P s* a P 60* 0 Rc,m a a a. * 0 m 6 s* R 9* 0 * * 0 c,m s9 cm Przyjęto do wykonania a 5cm. W dwóch ostatnich powyższych przykładach warto zauważyć jak schemat obliczeniowy (pręt pryzmatyczny osiowo obciążony) daleko odbiega od rzeczywistej konstrukcji. Przykład 9.8.5. Wyznaczyć nacisk na m długości przyczółka mostu jaki wywiera płyta żelbetowa o grubości h 4 cm przy wzroście temperatury T 5 jeśli moduł sprężystości podłużnej betonu E 8.6 GPa a współczynnik rozszerzalności liniowej T 0-5 /. Płyta przylega ściśle do obu przyczółków. Wydłużenie rozpiętości płyty l w przypadku jej swobodnego podparcia byłoby równe l T T l. Skrócenie jej rozpiętości na skutek przyłożenia ściskającej siły wynosi l l/e. Porównanie obu tych wielkości daje równość: l 5 9 T T l T T E h 0 * 5* 8. 6* 0 * 0. 4 4. 05* 0 k. E * h* Widać z powyższego, że ta siła (a jest ona bardzo duża) nie zależy od rozpiętości płyty mostowej. Oczywiście szerokość potrzebnej szczeliny dylatacyjnej będzie od niej zależała. Przykład 9.8.6. Dobrać potrzebny przekrój pręta w pasie dolnym podanej stalowej kratownicy, jeśli wytrzymałość obliczeniowa stali R 5 MPa. Przekrój pręta ma być złożony z dwóch kątowników równoramiennych. Po wyznaczeniu przekroju obliczyć nośność tego pręta. m a 00 k 00 k 00 k 00 k 00 k 50 k 50 k m 6* m 00 k 00 k Siłę w pręcie wyznaczymy metodą Rittera. Warunek równowagi odciętej lewej części kratownicy daje: L Σ M 0 00 * 4 50 * 4 00 * * 4 0 00k (pręt jest rozciągany) 86
dam odnar: Wytrzymałość Materiałów. Osiowe rozciąganie i ściskanie Potrzebne pole przekroju poprzecznego wyznaczamy z warunku granicznego nośności: R R 00 *0 9.0 *0 6 5*0 4 m 9.0 cm. Przyjęto z tablic profili walcowanych 45/45/6, których pole przekroju poprzecznego 0. cm (najbliższe w tablicach ale większe od obliczonego). 45 mm Przez nośność pręta rozumiemy największą siłę podłużną którą może przenieść bez utraty ciągłości. Z warunku nośności otrzymujemy nośność pręta : ma R ma R ma 0. * 5* 0 9. * 0. Przykład 9.8.7. Wyznaczyć potrzebne wymiary przekrojów poprzecznych prętów danego układu przegubowo-prętowego jeśli: wytrzymałość obliczeniowa stali R 65 MPa i wytrzymałość obliczeniowa drewna przy ściskaniu R c,d 0 MPa. Po wyznaczeniu wymiarów określić położenie punktu po deformacji, jeśli moduły sprężystości podłużnej stali i drewna wynoszą : E s 05 GPa i E d 9 GPa..0 m stal d drewno a 4.0 m P 4 k Siły w prętach wyznaczymy z warunków równowagi sił działających na węzeł. Σ X 0; cos 0 Σ Y 0; sin P 0.0 k (pręt ściskany) 40.0 k (pręt rozciągany) Y X P 4 k Wymiary przekrojów poprzecznych prętów wyznaczymy z warunku granicznego nośności. Pręt drewniany; ściskany: Rc, d a R c, d a 5.66 *0 m Przyjęto do wykonania a 6.0 cm. Skrócenie pręta *0 0*0 6 Pręt stalowy; rozciągany: π d Rs R 4 d.76 *0 m Przyjęto do wykonania d.8 cm. Wydłużenie pręta s 40*0 65*0 6 87
dam odnar: Wytrzymałość Materiałów. Osiowe rozciąganie i ściskanie l E d l *0 *4 9 9 *0 *6 *0 0.95*0 m. l E s l 40*0 9 05*0 * 0.8*0 m. *5 ( π.8 4) *0 Ze względu na bardzo małe skrócenie i wydłużenie prętów, położenia punktu po deformacji poszukiwać będziemy na prostych prostopadłych do pierwotnych kierunków prętów, tak jak to jest pokazane na rysunku obok, nazywanym planem przemieszczeń. W przyjętym układzie odniesienia współrzędne ' wektora przemieszczenia (, ) u v mają wartości: u l 0.95 cm 4 v l ctg + l sin 0.95 + 0.8 0.6.65 cm Przerywane linie na planie przemieszczeń wyjaśniają, w jaki sposób wyliczono v. l u v v u l Przykład 9.8.8. Wyznaczyć współrzędne wektora przemieszczenia punktu przyłożenia siły podanego układu przegubowo-prętowego. Przyjmijmy, że znane są wartości siły, wielkości β określające geometrię układu i moduł Younga co pozwala wyliczyć siły w prętach układu i wielkości wydłużenia i skrócenia odpowiednich prętów i. P Przy dowolnej geometrii układu kłopotliwe jest po narysowaniu planu przemieszczeń wyznaczenie współrzędnych wektora przemieszczenia punktu ' przyłożenia siły ( u, v ). Łatwo można to zrobić postępując w pokazany niżej sposób. β e e u W rozważanym punkcie przyjmijmy układ odniesienia (u, v) w którym chcemy wyznaczyć współrzędne wektora przemieszczenia. Współrzędne wersorów kierunkowych prętów w przyjętym układzie wynoszą odpowiednio: e ( cos, sin ) oraz e ( cos β, sin β ) i ich wyznaczenie jest proste przy znanej geometrii układu. orzystając z własności iloczynu skalarnego wektorów możemy napisać układ równań: ' ' e e u u cos + v sin, + v sin β ( cos β ) v z którego nie jest trudno wyliczyć obie poszukiwane współrzędne u oraz v. 88
dam odnar: Wytrzymałość Materiałów. Osiowe rozciąganie i ściskanie W omawianym przykładzie przyjmują one wartości: sin β sin u ; sin cos β + sin β cos cos β + cos v. sin cos β + sin β cos Przykład 9.8.9. Wyznaczyć siły w odkształcalnych prętach układu statycznie wyznaczalnego i współrzędne wektora przemieszczenia punktu. Dane są wartości obciążeń, moduły sprężystości i wymiary układu. ieodkształcalne pręty układu narysowane zostały grubymi liniami. a P 4P a D a a a W celu wyznaczenia sił w odkształcalnych prętach dokonujemy podziału konstrukcji, a następnie rozpatrujemy warunki równowagi odciętych części. 4P a P H D D a H V D a a V Σ M D 0 * a 4P * a 0 Σ M 0 * a P P Znajomość sił w prętach oraz pozwala wyznaczyć ich wydłużenia: P a oraz E 4P a. E * a + P * a 0 Przemieszczenie punktu będzie zależało od przemieszczenia punktu spowodowanego wydłużeniem pręta oraz wydłużenia pręta. Plan przemieszczeń pokazuje rysunek niżej. 89
dam odnar: Wytrzymałość Materiałów. Osiowe rozciąganie i ściskanie a a + u v D a a a Położenia punktu po deformacji poszukujemy na prostopadłej do pierwotnego kierunku pręta i prostopadłej do kierunku odcinka, który jest nieodkształcalny. Podobnie postępujemy w punkcie. Współrzędne przemieszczenia wektora punktu wynoszą: u + i v ( + ) tg gdzie: tg /. Przykład 9.8.0. Pręt ( na odcinku drewniany na odcinku stalowy), potrzymuje sztywną ramę D konstrukcji prętowej o geometrii i obciązeniu jak na rys. Wyznaczyć wymiar a pręta z warunku nośności, jeśli: wytrzymałość obliczeniowa na rozciąganie stali R s 5 MPa, drewna R d 8 MPa, i warunku użytkowania żadającym aby pionowe przemieszczenie punktu D - v D nie przekraczało cm. Moduł sprężystości wynoszą: stali E 05 GPa, drewna E d 9 GPa. s m m 4 m q0 k/m a P k a 4 m m D Obliczenie sił osiowych w pręcie. Siłę na odcinku wyznaczymy z warunku zerowania się momentów względem punktu wszystkich sił działających na odciętą część konstrukcji (rys. obok) M 0, * 4 + * 4 0* 4* 0,. 4 k. 4 m q0 k/m P k D Siła na odcinku jest równa: + P. 4 +. 00 4 4 k.. H V 4 m 90
dam odnar: Wytrzymałość Materiałów. Osiowe rozciąganie i ściskanie Wyznaczenie wymiaru a z warunku nośności: pręt stalowy: π a 4. 4* 0 R a 0. 95* 0 s 6 π a 4 4 5* 0 pręt drewniany:. 4* 0 R 4 a 0. 88* 0 d a m. 6 4 a 8* 0 m, Wyznaczenie wymiaru a przekroju pręta z warunku użytkowania. Pionowe przemieszczenie punktu D, które wynosi (patrz rys. obok) ' vd DD cos β potrzebujemy wyrazić poprzez wydłużenie pręta. Z planu przemieszczeń pokazanego obok odczytujemy, cos β 6 4 + 6 0. 8, DD ' 4 + 6 tg 7. tg tg 4 ' 4 m β 4 m m D D v D Wydłużenie pręta : l ' l + l l E * d l + E * s. 4* 9 9* 0 * 4a 4. 4* + 9 05* 0 * π a 4 9 0. 47* 0 a Pionowe przemieszczenie punktu D: ' vd DD cos β. 98* 4. 5* 0 a, stąd warunek użytkowania daje: 9 4. 5* 0 a * 0 a. 89* 0 m. ' 9 Jak widąc z obliczeń o wielkości a decyduje w tym przypadku stan graniczny użytkowania i ostatecznie przyjęto do wykonania a. 0 cm. Przykład 9.8.. Wyznaczyć siły w prętach układu pokazanego na rysunku, obciążonego siłą P 48 k jeśli przekroje wszystkich prętów są jednakowe o polu cm. Określić położenie punktu przyłożenia siły po deformacji jeśli moduł Younga materiału prętów E 05 GPa. 9
dam odnar: Wytrzymałość Materiałów. Osiowe rozciąganie i ściskanie. m.8 m P.4 m l 4.0 m, l. 4 m, l. 0 m sin 0.8 cos 0.6 onstrukcja jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalna. Widać to wyraźnie po wycięciu węzła, na który, oprócz siły zewnętrznej P, oddziaływają trzy niewiadome siły osiowe z prętów, a ponieważ tworzą one układ sił zbieżnych, to istnieją jedynie dwa niezależne warunki równowagi. W przypadku konstrukcji statycznie niewyznaczalnych, aby wyznaczyć siły przekrojowe lub reakcje oprócz równań równowagi musimy sformułować równania geometryczne wynikające z kinematycznych warunków brzegowych (sposobu podparcia lub wzajemnych połączeń elementów konstrukcji). Liczba niezależnych równań geometrycznych jest równa krotności statycznej niewyznaczalności układu. Tak więc komplet równań, który pozwala na wyznaczenie sił przekrojowych, składa się z równań równowagi i równań geometrycznych. W tym miejscu należy powiedzieć jeszcze o innej ważnej różnicy między układami statycznie niewyznaczalnymi i wyznaczalnymi. Rzecz w tym, że na wielkości sił przekrojowych w konstrukcjach statycznie niewyznaczalnych mają wpływ: zmiany temperatury, błędy montażowe, osiadanie podpór, charakterystyki geometryczne przekrojów (pole przekroju, momenty bezwładności) jak i stałe materiałowe. W konstrukcjach statycznie wyznaczalnych siły przekrojowe są niezależne od tych zjawisk i parametrów. P Równania równowagi: Σ X 0; sin + cos Σ Y 0; cos + +, 0. sin P e e v e u Warunek geometryczny w rozważanym układzie wynika z połączenia trzech prętów w węźle. Wydłużenia prętów muszą być takie, aby po deformacji końce prętów schodziły się w jednym punkcie. arysowany obok plan przemieszczeń stanowi podstawę do sformułowania równania geometrycznego, a dokładniej mówiąc równania nierozdzielności przemieszczeń. Przy wyznaczeniu tego równania zastosujemy wcześniej opisane podejście, wykorzystujące iloczyny skalarne ' wektora przemieszczenia (, ) 9 u v i wersorów
dam odnar: Wytrzymałość Materiałów. Osiowe rozciąganie i ściskanie kierunkowych prętów układu e, e, e. I tak, współrzędne wersorów w przyjętym układzie osi (u, v) są: e ( sin, cos ), ( 0, ) e (, sin ). cos e, Układ równań, z którego dla dowolnej geometrii układu łatwo możemy wyznaczyć równanie nierozdzielności przemieszczeń ma postać: ' e ' e ' e Z takiego układu zawsze można uzyskać równanie wiążące wydłużenia prętów. Podstawienie danych z rozważanego przykładu daje układ: u u sin + v v cos + v cos sin z którego otrzymujemy równanie geometryczne w postaci: cos + sin. Ostatecznie komplet równań do wyznaczenia sił przekrojowych przedstawia się następująco: sin + cos 0 cos + + sin P. l l l cos + sin E E E W wyniku jego rozwiązania otrzymujemy:. 0 k, 8. 0 k, 6. 0 k. Wydłużenia prętów wynoszą: *0 * 4.7* 0 m, 9 05*0 * *0 6 *0 *.7* 0 m. 9 05*0 * *0 8*0 *.4.69 * 0 m, 9 05*0 * *0 Współrzędne wektora przemieszczenia punktu, wyznaczone z układu równań: u sin + v cos, v są równe: u 0. 4 mm, v. 69 mm. Przykład 9.8.. Wyznaczyć siły w prętach podanego układu przy wzroście temperatury T 0, jeśli: moduł sprężystości podłużnej stali E 05 GPa a współczynnik 9
dam odnar: Wytrzymałość Materiałów. Osiowe rozciąganie i ściskanie rozszerzalności liniowej ε T *0-6 jednakowe o polu cm. /, przekroje poprzeczne wszystkich prętów są. m.8 m.4 m l 4.0 m, l. 4 m, l. 0 m, sin 0.8 cos 0.6 onstrukcja jest statycznie niewyznaczalna. więc zmiana warunków jej pracy w postaci zmiany temperatury czy przemieszczania się podpór skutkuje powstawaniem w niej sił przekrojowych, w tym przypadku będą to siły podłużne. W równaniach równowagi nie wystąpią zewnętrzne siły obciążające, we wzorach na wydłużenia prętów dojdą człony związane ze wzrostem temperatury. Równania równowagi: Σ X 0 sin + cos 0 Σ Y 0 cos + + sin 0 Warunek geometryczny jest taki sam jak w przykładzie 9.8. bo geometria układu jest identyczna. cos + sin, ale zmienią się wzory określające zmianę długości prętów, gdyż pojawią się człony związane ze zmianą temperatury: l l l + E E E i komplet równań do wyznaczenia sił osiowych w prętach ma postać: + εt T l, + εt T l, εt T l l E + ε T l sin + cos 0 cos + + sin 0 l l + εt T l cos + + εt T l E E T sin W wyniku jego rozwiązania otrzymujemy: 7. 8 k,. 0 k, 9. 84 k., 94
dam odnar: Wytrzymałość Materiałów. Osiowe rozciąganie i ściskanie Przykład 9.8.. Wyznaczyć siły w prętach układu pokazanego na rysunku, obciążonego siłą P 60 k jeśli wszystkie pręty mają jednakowe przekroje poprzeczne i jednakowe są ich moduły Younga. P 4 m m onstrukcja jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalna. Równania równowagi: Σ X m 0; 4 m cos cos + cos, 0 P Σ Y 0; sin sin sin. P e e e u Równanie nierozdzielności przemieszczeń napiszemy na podstawie przyjętego ( narysowanego obok) planu przemieszczeń. Wektor przemieszczenia liniowego węzła w którym przyłożona jest siła, w przyjętym układzie ' odniesienia (u, v), ma współrzędne (, ) u v. Wersory kierunkowe osi prętów mają współrzędne: cos, sin e cos, sin, e ( ), ( ) e ( cos, sin ). Z geometrii konstrukcji bez trudu wyznaczamy: cos 0 600, sin 0 800, cos sin 0 707, cos 0 800, sin 0 600.. v.... Układ równań, z którego możemy wyznaczyć równanie nierozdzielności przemieszczeń ma postać: ' e ' e ' e cos * u + sin * v cos * u + sin * v cos * u + sin * v 0. 600* u 0. 707* u 0. 800* u + 0. 800* v + 0. 707* v + 0. 600* v 95
dam odnar: Wytrzymałość Materiałów. Osiowe rozciąganie i ściskanie W równaniach występują bezwzględne wartości zmian długości prętów, bo plan przemieszczeń zakłada również skrócenie niektórych prętów. Z tego układu wyznaczamy poszukiwane równanie geometryczne: 5.000* 5.000*.44*, ale plan przemieszczeń zakłada wydłużenie pręta i skrócenie prętów i, więc < 0 oraz < 0, zatem i, i ostatecznie równanie geometryczne ma postać: 5.000 * + 5.000*.44 *. Uwzględniając, że sztywność na rozciąganie E wszystkich prętów jest jednakowa, komplet równań do wyznaczenia sił w prętach podanego układu jest następujący: 0.600 0.707 + 0.800 0 0.800 0.707 0.600 60 5.000 *5 + 5.000 *5.44 * * W wyniku jego rozwiązania otrzymujemy: 6. 5 k,. 04 k, 6. 505 k. Przykład 9.8.4. Wyznaczyć potrzebną średnice stalowych odkształcalnych prętów układu obciążonego jak na rys., jeśli: q 50 k/m,, E E E, R 65 MPa. arysowany pogrubioną linią pręt jest nieodkształcalny..0 m q.0 m.0 m.0 m Układ jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalny. by wyznaczyć siły przekrojowe oprócz jednego równania równowagi potrzebujemy dodatkowo jednego równania geometrycznego. Równanie równowagi: Σ 0 M *+ * q **.5 0 Poziomy pręt jest nieodkształcalny, i może się obracać tylko względem punktu. Pamiętając o tym, że położenia punktów po deformacji poszukiwać będziemy na prostopadłych do pierwotnych kierunków prętów, możemy napisać poniższe równanie geometryczne: ' ' ' ', ale ; stąd: H V q 96
dam odnar: Wytrzymałość Materiałów. Osiowe rozciąganie i ściskanie l l Podstawiając za oraz wraz z zależnościami między długościami E E prętów ich przekrojami i modułami Younga do równania geometrycznego otrzymujemy:. omplet równań z którego możemy wyznaczyć siły w prętach ma postać: + 4.5q a jego rozwiązanie daje: 80 k, 65 90 k.. Potrzebne średnice prętów wyznaczymy z warunku nośności: Pręt : π d. 80* 0 R d 6. 89* 0 4 65* 0 m.. π d 65. 90* 0 Pręt : R d 6. 55* 0 m. 4 65* 0 Ponieważ siły w prętach zostały wyznaczone przy założonych proporcjach średnice prętów związane są zależnością d d i do wykonania przyjęto d. 0 d 6 cm.]. Przykład 9.8.5. Wyznaczyć naprężenia i zmiany długości odkształcalnych prętów układu prętowego obciążonego jak na rysunku, jeśli siła P 00 k, pola przekrojów poprzecznych prętów 4 cm, cm, moduł sprężystości podłużnej E E 05 GPa. Układ jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalny. Równanie równowagi: Σ 0 M P * * P *+ * 0 więc cm a a podstawie założonego planu przemieszczeń możemy napisać równanie geometryczne, dokładniej równanie nierozdzielności przemieszczeń. W tym przypadku ma ono postać: tg Plan przemieszczeń zakłada wydłużenie pręta i skrócenie pręta, zatem > 0, a < 0 stąd i, a ponieważ tg 0.5 równanie geometryczne przyjmuje formę: Zmiany długości prętów wynoszą: H V 0.5P.0 m.0 m 0.5P.0 m P P 97
dam odnar: Wytrzymałość Materiałów. Osiowe rozciąganie i ściskanie l ; E l. E omplet równań do wyznaczenia sił osiowych w odkształcalnych prętach układu: 50 *0 4 9 4 9 05*0 * 4 *0 05*0 * *0 0. 0 k; 0. 0 k. aprężenie normalne w przekroju poprzecznym prętów i zmiany ich długości wynoszą: 0 *0 6 w pręcie - rozciąganym; σ 5.0*0 Pa 5.0 MPa 4*0 l 0*0 * 0.44 * 0 9 4 E 05*0 * 4*0 m 0.44 mm. w pręcie - ściskanym; 0 *0 6 σ 00.0*0 Pa -00.0 MPa *0 l 0 *0 * 0.488* 0 m - 0.488 mm. 9 E 05*0 * *0 Przykład 9.8.6. Wyznaczyć siły w odkształcalnych prętach układu jak na rysunku, spowodowane wzrostem temperatury T 45, jeśli współczynnik rozszerzalności cieplnej 6 o liniowej ε T * 0, pola przekrojów poprzecznych prętów cm, moduł sprężystości podłużnej E E 05 GPa..0 m.0 m onstrukcja jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalna. W równaniach równowagi nie wystąpią zewnętrzne siły obciążające, we wzorach określających zmianę długości prętów dojdą człony związane ze wzrostem temperatury. Równanie równowagi: Σ M 0 * * 0 H V 98
dam odnar: Wytrzymałość Materiałów. Osiowe rozciąganie i ściskanie Równanie nierozdzielności przemieszczeń : tg, ale < 0, a > 0 stąd i, więc równanie geometryczne przyjmuje formę: Zmiany długości prętów wynoszą: l l + ε T, + ε T T l. E T l E omplet równań do wyznaczenia sił osiowych w odkształcalnych prętach układu: 9 05* 0 * * 0 + * 0 6 0 * 45* 9 05* 0 * * 0 + * 0 6 * 45* 600 k; 00 k. aszkicujmy położenie punktu po deformacji konstrukcji. l 4600* 6 + ε T Tl + * 0 * 45* 9 E 05* 0 * * 0 ( 0 +. 08) * 0 0. 0. * m, l 00* 6 + ε T Tl + * 0 * 45* 9 E 05* 0 * * 0 0.4*0 - m ( 0 0 + 0. 54) * 0 0. 4 0. * m. 0.*0 - m Przykład 9.8.7. Wyznaczyć siły w odkształcalnych prętach układu, które powstaly w wyniku błedu montażowego. Pręt wykonany został za krótki o mm. Średnice prętów wynoszą odpowiednio: d. 0 cm i d. 0 cm a moduły Younga E E 05GPa..0 m.0 m.0 m.0 m.0 m 99
dam odnar: Wytrzymałość Materiałów. Osiowe rozciąganie i ściskanie H V.0 m.0 m.0 m Układ jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalny. Równanie równowagi: Σ 0 M *+ * 0.0 m.0 m.0 m Równanie geometryczne: ale > 0, a 0 < stąd i, zatem: ( ). omplet równań do wyznaczenia sił osiowych w odkształcalnych prętach układu: l E + 0 l E 05 *0 9 ( π 4) *0 + 0 *0 05 *0 9 ( π 4) *0 Siły w prętach wynoszą: 5 6 k, 7 806 k.... Przykład 9.8.8. Wyznaczyć siły w odkształcalnych prętach układu, które powstaly w wyniku błedu montażowego. Pręt wykonany został za długi o mm. Średnice prętów wynoszą odpowiednio: d. 0 cm i d. 0 cm a moduły Younga E E 05GPa..0 m.0 m.0 m.0 m.0 m H V.0 m.0 m.0 m Układ jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalny. Równanie równowagi: Σ 0 M *+ * 0 00
dam odnar: Wytrzymałość Materiałów. Osiowe rozciąganie i ściskanie.0 m.0 m.0 m Równanie geometryczne: ale < 0, a 0 > stąd i zatem ( ) +. omplet równań do wyznaczenia sił osiowych w odkształcalnych prętach układu: l E + 0 l + E 05* 0 9 ( π 4 )* 0 + 0 * 0 + 05* 0 9 ( π Siły w prętach wynoszą: 5 6 k, 7 806 k... 4 )* 0 Sprawdźmy spełnienie warunku geometrycznego i naszkicujmy obraz konstrukcji po deformacji. l 56*. 994* 0 m 9 E 05* 0 π 4 * 0 ( ) l 7806* 0 m ( π 4) 0. * 9 E 05* 0 * 0 Warunek geometryczny miał postać ( + ) i jak łatwo sprawdzić wyznaczone przemieszczenia go spełniają: (. 994) 0 0. * 0 * m. 0,0606,0000,994. 0, Przykład 9.8.9. Wyznaczyć siły w odkształcalnych prętach i układu przegubowoprętowego jak na rys. Pola ich przekrojów poprzecznych, modułów sprężystości podłużnej E E E. 0 km m 4 m 0 k/m m m 4 m 0
dam odnar: Wytrzymałość Materiałów. Osiowe rozciąganie i ściskanie Układ jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalny. Równanie statyki: M 0, * + * 4 0* 5* + 0 0. Z pokazanego obok planu przemieszczeń wyznaczymy równanie geometryczne. Sztywna rama może się tylko sin 5 0. 6 obracać wokół przegubu. Zadając cos 4 5 0. 8 wydłużenie pręta pierwszego, przy nieodkształcalnym pręcie, określamy ϕ położenie punktu po deformacji i tym 4 m samym narzucamy, że wszystkie punkty ϕ sztywnej ramy obracają się o ten sam kąt ϕ, a to definiuje położenie punktu po deformacji i wydłużenie pręta drugiego. m 4 m Pokazany i opisany obraz przemieszczeń daje zależności ' tg ϕ, a ponieważ długość 5 m, a ' sin, to tg ϕ. ' Równocześnie tgϕ, i dalej 5 m, ' cos, więc tg ϕ 4. Zatem równanie geometryczne ma postać: l l... 4 0 75 0 75 E E Układ równań do wyznaczenia sił w prętach przedstawia się następująco: + 4 70. 0. 75 Siły w prętach podanego układu prętowego wynoszą: 49 k, 70 k. 4 m 0 km m. H 0 k/m V 4 m. m m 0
dam odnar: Wytrzymałość Materiałów. Osiowe rozciąganie i ściskanie Przykład 9.8.0. Wyznaczyć naprężenia normalne w odkształcalnych prętach i potrzymujących sztywną tarczę pokazaną na rys. Pole przekroju poprzecznego pręta oraz pręta na odcinku DF wynosi cm, pole przekroju poprzecznego pręta na odcinku FG jest równe. Moduł Younga materiału obu prętów wynosi E..5 m.5 m D F G.5 m 5 k.5 m.5 m 40 k 0 km 4 m 0 k/m Układ jest jednokrotnie statyczne niewyznaczalny. Równanie równowagi: X 0, DF 5 + 0* 0. DF F G 5 k 40 k 0 km 0 k/m m V 4 m V Pokazany obok plan przemieszczeń pozwala wyznaczyć równanie geometryczne. Sztywna tarcza może przemieszczać się tylko poziomo. Zadając wydłużenie pręta pierwszego, definiujemy położenie wszystkich jej punktów a to określa wydłużenie pręta drugiego. Zatem równanie geometryczne ma postać: 45 G G. Pręt pierwszy jest obciążony siłą osiową 5 k w połowie swej długości i dodatkowo ma zmienny przekrój więc jego wydłużenie jest równe: * E ( 5) DF *. 5 DF + E + ( + 5) *. 5, i równanie geometryczne jest następujące: E* DF 5 DF 5 5. *. *. +. E* E Układ równań do wyznaczenia sił w prętach ma postać: 0