domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów

1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i teoria mnogości Spis treści 1 Para uporządkowana 2 Iloczyn kartezjański 3 Relacje 3.1 Operacje na relacjach: 4 Relacje równoważności 4.1 Rozkłady zbiorów 4.2 Domykanie relacji Para uporządkowana Bardzo często będziemy chcieli mieć do czynienia ze zbiorem który niesie w sobie informację o dwóch innych zbiorach informację tak trafnie zakodowaną aby można było odzyskać z niej każdą z jego składowych. Do tego celu wprowadzimy zbiór nazywany parą uporządkowaną dwóch innych zbiorów. DEFINICJA Niech oraz będą zbiorami. Przez parę uporządkowaną rozumiemy zbiór Parę uporządkowaną można zdefiniować inaczej na wiele sposobów. Chodzi jednak o to aby ze zbioru który jest parą można było odzyskać jednoznacznie każdą z jego składowych. Tak więc moglibyśmy zaakceptować każdą inną inną definicję pod warunkiem że będzie spełnione następujące twierdzenie: TWIERDZENIE Dla dowolnych zbiorów zachodzi: Dowód przeprowadzimy tylko ze strony lewej do prawej bo w odwrotnym kierunku jest to fakt oczywisty. Niech zatem dwie pary i będą równe. Ponieważ więc. Mamy zatem lub. W pierwszym przypadku ale w drugim również jest tak mamy bowiem że. Pierwszą część twierdzenia mamy za sobą bo już wiemy że pierwsze współrzędne równych par są równe.

2 of 8 2012-03-28 17:45 Następnie przeprowadzamy dowód przez przypadki. Jeżeli jest tak że to. Zatem co daje że a zatem. W przeciwnym przypadku gdy mamy że. Daje to dwie możliwości albo co nie może mieć miejsca bo mielibyśmy że albo zaś. To drugie prowadzi do naszej tezy. ĆWICZENIE 3 Dla każdej pary udowodnij że ĆWICZENIE 4 Udowodnij że dla dowolnej pary uporządkowanej zbiór jest pusty gdy współrzędne par są różne a w przeciwnym przypadku jest zbiorem jednoelementowym zawierającym współrzędną pary. ĆWICZENIE 5 Pokaż że z każdej pary można otrzymać jej drugą współrzędną posługując się jedynie parą mnogościowymi operacjami oraz stałą. Iloczyn kartezjański Zanim wprowadzimy definicję zbioru wszystkich par uporządkowanych elementów dwóch zbiorów (zwanego dalej iloczynem kartezjańskim) należy nam się krótkie wprowadzenie. Otóż niech oraz. Łatwo zauważyć że zarówno jak i są podzbiorami. Zatem oraz. Więc co daje że. Istnienie i konstrukcja iloczynu kartezjańskiego zostało dokładnie omówione w dodatkowym rozdziale "Iloczyn kartezjański i aksjomat wyróżniania". Proponuję przestudiowanie dodatkowego rozdziału dopiero po zapoznaniu się z rozdziałami wcześniejszymi pomimo braku precyzji w następnej definicji. DEFINICJA Niech będą zbiorami. Iloczynem kartezjańskim (produktem) nazywamy zbiór Będziemy używać specjalnej notacji na zbiór. ĆWICZENIE 2 Pokaż następujące elementarne własności iloczynu kartezjańskiego:

3 of 8 2012-03-28 17:45 ĆWICZENIE 3 Produkt kartezjański jest monotoniczny ze względu na każdą współrzędną osobno to znaczy: ĆWICZENIE 4 Sprawdź czy dla dowolnych zbiorów prawdziwa jest następująca implikacja: Relacje DEFINICJA 3. Relacją nazywamy każdy podzbiór iloczynu. Operacje na relacjach: DEFINICJA 3. Niech oraz. ĆWICZENIE 3.3 Niech relacja oraz. Pokazać elementarne własności operacji na relacjach: ĆWICZENIE 3.4 Niech relacja oraz. Pokaż własności: ĆWICZENIE 3.5

4 of 8 2012-03-28 17:45 Podaj przykład relacji dla których poniższa równość nie jest prawdziwa. ĆWICZENIE 3.6 Udowodnij że zbiór jest relacją wtedy i tylko wtedy gdy Relacje równoważności W tym podrozdziale poznamy ważną klasę (zbiór) relacji zwaną klasą relacji równoważności(w innych podręcznikach mogą się państwo spotkać z nazwą relacja abstrakcji). Relacje takie będą służyły do definiowania pojęć abstrakcyjnych o czym przekonamy się w wielu miejscach tego i innych wykładów. Bardzo dobrym ćwiczeniem pokazującym abstrakcyjne metody definiowania pojęć będzie wykład 8 w którym zaprzęgniemy relacje abstrakcji do definiowania liczb. Rozpoczynamy rozdział od koniecznej definicji. DEFINICJA 4. Dla zbioru definiujemy relację jako. DEFINICJA 4. Relację nazywamy relacją równoważnością o polu jeżeli: zawiera relacje (zwrotność ) (symetria ) (przechodniość ). ĆWICZENIE 4.3 Pokazać że definicje zwrotności symetryczności i przechodniości relacji o polu następującym własnościom: są odpowiednio równoważne. DEFINICJA 4.4. Niech będzie relacją równoważności o polu. Klasą równoważności elementu jest zbiór DEFINICJA 4.5. Zbiór klas równoważności relacji będący elementem zbioru oznaczamy przez. TWIERDZENIE 4.6. Niech będzie relacją równoważności o polu. Następujące warunki są równoważne:

5 of 8 2012-03-28 17:45 3.. Pokażemy że. Niech wspólny element dwóch klas oraz nazywa się. Ze względu na pełną symetrię tezy wystarczy pokazać że. Niech zatem. Mamy więc. Z założenia jest również oraz. Z symetrii otrzymujemy. Zatem i i. Natychmiast z przechodniości otrzymujemy że. Pokażemy że. Ze zwrotności mamy że co z założenia daje a to tłumaczy się na. Pokażemy że. Wystarczy pokazać że wspólnym elementem klas oraz jest. Dla pierwszej z nich wynika to z założenia a dla drugiej ze zwrotności. W następnym twierdzeniu zobaczymy jak rodzina relacji równoważności jest odporna na przecinanie. Pokażemy mianowicie że przecięcie dowolnej liczby relacji równoważności jest nadal relacją równoważności. TWIERDZENIE 4.7. Niech będzie pewną rodziną (zbiorem) relacji równoważności o tym samym polu. Mamy że: jest relacją równoważności o polu. Zwrotność jest oczywista ponieważ zawiera się w każdej relacji rodziny. Symetria. Weźmy. Dla każdej relacji jest. Z symetrii każdej jest więc co daje. Przechodniość. Niech oraz. Dla każdej relacji jest więc i. Z przechodniości każdej relacji mamy że co daje. Niech. Mamy zatem że co daje dla każdej relacji. To zaś daje że dla każdej co jest równoważne z. W szczególności przecięcie wszystkich relacji równoważności o polu daje. Jest ona najsilniejszą relacją równoważności. Najsłabszą jest. Rozkłady zbiorów DEFINICJA 4.8. Niech. Rodzinę nazywamy rozkładem zbioru gdy: 3.. LEMAT 4.9.

6 of 8 2012-03-28 17:45 Dla relacji równoważności o polu zbiór jest rozkładem. Każda klasa jest niepusta bo zawiera element który ją wyznacza. bo każda klasa jest podzbiorem. Odwrotnie każdy. Dwie klasy gdy są różne muszą być rozłączne co udowodniliśmy w twierdzeniu 4.6 (patrz twierdzenie 4.6.). DEFINICJA 4.10. Niech będzie rozkładem zbioru. Definiujemy relacje następująco: wtw LEMAT 4.1 Dla rozkładu relacja jest: równoważnością Relacja jest zwrotna każdy bowiem musi leżeć w pewnym zbiorze rozkładu. Symetria nie wymaga dowodu. Przechodniość. Niech i. Istnieją zatem dwa zbiory i rozkładu takie że oraz. Przecięcie i jest więc niepuste zatem co daje tezę. Inkluzja w prawo. Niech. Klasa jest zatem wyznaczona przez pewien element taki że. Niech będzie zbiorem rozkładu do którego należy. Łatwo wykazać że. Inkluzja w lewo. Niech. jest niepusty więc istnieje. Klasa. ĆWICZENIE 4.12 Niech będzie niepustym zbiorem oraz niech. Zdefiniujemy relację następująco: dla dowolnych zbiorów mamy ( oznacza różnicę symetryczną zbiorów czyli ). Udowodnij że relacja jest relacją równoważności. ĆWICZENIE 4.13 Udowodnij że dla relacji równoważności na zbiorze relacja jest relacją równoważności wtedy i tylko wtedy gdy Podaj przykłady relacji równoważności takich że jest relacją równoważności oraz i. Domykanie relacji W praktyce matematycznej często potrzebne jest rozważanie domknięć relacji ze względu na wiele przeróżnych własności. W podrozdziale tym dokonamy charakteryzacji domknięć. Pokażemy między innymi kiedy takie domykanie jest możliwe.

7 of 8 2012-03-28 17:45 DEFINICJA 4.14. Niech będzie rodziną relacji o polu czyli niech. Rodzina jest zamknięta na przecięcia gdy: jeżeli to Poniżej podamy definicję domknięcia relacji w pewnej klasie (zbiorze) relacji. Definiujemy intuicyjnie najmniejszą relację zawierającą daną należącą do klasy. DEFINICJA 4.15. Relacja jest domknięciem relacji w klasie (zbiorze) relacji gdy: 3. dla każdej relacji jeżeli oraz to LEMAT 4.16. Domknięcie relacji (w dowolnej klasie) jeżeli istnieje to jest jedyne. Gdyby istniały dwa domknięcia pewnej relacji to ze względu na warunek wzajemnie by się zawierały. TWIERDZENIE 4.17. Następujące warunki są równoważne: Klasa relacji jest domknięta na przecięcia. Każda relacja ma domknięcie w klasie relacji.. Niech będzie relacją. Utwórzmy zbiór relacji jako. Takie nie jest puste bowiem relacja totalna należy do. Pokażmy że jest domknięciem w. Istotnie. Z założenia mamy też. Minimalność stwierdzamy przez: niech takie że. Takie musi leżeć w zbiorze jest więc.. Po pierwsze leży w zbiorze bo wystarczy domknąć. Niech będzie niepustym podzbiorem. Niech będzie domknięciem w. Wiemy że dla dowolnej relacji o ile i to. Połóżmy za dowolny element z. Założenia implikacji pozostają automatycznie spełnione jest więc tak że dla dowolnej wyjętej z. W takim razie. Ponieważ mamy też bo było domknięciem jest więc a to oznacza że. ĆWICZENIE 4.18 Pokazać jak wyglądają domknięcia w klasie relacji zwrotnych symetrycznych i przechodnich. Pokazać stosując twierdzenie 4.17 (patrz twierdzenie 4.17.) że nie istnieje domknięcie spójne ani antysymetryczne. (Relacja jest spójna gdy. Relacja jest antysymetryczna gdy z faktu że

8 of 8 2012-03-28 17:45 oraz da się pokazać że ). ĆWICZENIE 4.19 Dla relacji niech oznaczają odpowiednio zwrotne symetryczne przechodnie domknięcie relacji. Czy prawdą jest że: dla dowolnej relacji relacja jest relacją równoważności dla dowolnej relacji zachodzi W każdym z powyższych przypadków proszę podać dowód lub kontrprzykład. Źródło: "http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=logika_i_teoria_mnogo%c5%9bci/wyk%c5 %82ad_5:_Para_uporz%C4%85dkowana%2C_iloczyn_kartezja %C5%84ski%2C_relacje%2C_domykanie_relacji%2C_relacja_r%C3%B3wnowa%C5%BCno%C5%9Bci%2C_rozk %C5%82ady_zbior%C3%B3w" Tę stronę ostatnio zmodyfikowano o 19:48 16 wrz 2006;