VIII IDTYFIKACJA DOŚWIADCZALA I IMPLMTACJA UMRYCZA MODLU ROLOGICZGO MISZAKI MIRALO- ASFALTOWJ Artur ZBICIAK, Rafał MICHALCZYK 1. Wstęp Mieszanki ineralno-asfaltowe (MMA) stanowią podstawowy budulec warstw konstrukcyjnych nawierzchni drogowych. Istotny zagadnienie w procedurze projektowania konstrukcji nawierzchni jest wybór odpowiedniego odelu konstytutywnego MMA, odzwierciedlającego cechy ieszanki w szeroki zakresie obciążeń echanicznych i środowiskowych. Trwałe deforacje warstw asfaltowych nawierzchni drogowych, które ujawniają się najczęściej w postaci kolein albo spękań zęczeniowych, są zależne zarówno od czasu działania obciążenia, jak i od jego intensywności. W literaturze znaleźć ożna różne propozycje odeli reologicznych stosowanych do opisu konstytutywnego MMA [1-3]. Szeroko wykorzystywany, lepkosprężysty odel Burgersa dobrze opisuje proces pełzania ateriałów asfaltowych. Z drugiej strony zastosowanie tego odelu w zagadnieniach początkowo-brzegowych, związanych z wyznaczanie stanów naprężeń, odkształceń i przeieszczeń w nawierzchniach poddanych działaniu ruchoych obciążeń, jest probleatyczne [4]. Wynika to z faktu, iż nie jest ożliwe dobranie paraetrów odelu Burgersa w pełny zakresie częstotliwości, który odpowiada czaso obciążenia nawierzchni kołai pojazdów poruszających się z różnyi prędkościai. Konieczne jest w związku z ty zastosowanie bardziej złożonego odelu echanicznego. W pracy wykorzystay odel, składający się z równolegle połączonych gałęzi lepkosprężystych, znany w literaturze pod nazwą uogólnionego odelu Maxwella [5]. Krzywa pełzania odelu uogólnionego wykazuje podobne cechy do krzywej Burgersa, przy czy większa liczba paraetrów struktury reologicznej sprawia, że ożliwe jest wierniejsze odwzorowanie wyników badań cyklicznych MMA. Warto podkreślić, iż dwugałęziowy uogólniony odel Maxwella jest tożsay z odele Burgersa [6], dlatego przy identyfikacji odelu będziey wykorzystywać struktury o większej liczbie gałęzi. W kolejnych punktach pracy zostanie przedstawiona procedura identyfikacji odelu konstytutywnego MMA przy założeniu liniowego, lepkosprężystego ateriału. Wykorzystano wyniki testów cyklicznego rozciągania próbek MMA, dla dwóch rodzajów
ieszanki, dostępne w literaturze [7, 8]. Procedura identyfikacji bazuje na analizie odułów zespolonych struktur reologicznych [9, 10]. Rozpatrzono uogólniony odel Maxwella o różnej liczbie gałęzi. Paraetry założonej struktury zidentyfikowano, rozwiązując odpowiednio sforułowane zadanie optyalizacji. Procedurę przyrostowego rozwiązywania równań różniczkowych, opisujących zachowanie się ateriału, zaipleentowano w systeie etody eleentów skończonych (MS). Przeprowadzono testy ateriałowe weryfikujące poprawność procedury oraz przydatność wybranego odelu w obliczeniach za poocą MS. 2. Relacje konstytutywne MMA Cele rozważań przeprowadzonych w niniejszy artykule jest przedstawienie odelu ateriału lepkosprężystego, pozwalającego na odwzorowanie, w ożliwie wierny sposób, zachowania ieszanki ineralno-asfaltowej poddanej obciążenio cykliczny. Szczególny nacisk położono na dokładne odwzorowanie w przypadku obciążeń działających w szeroki zakresie częstotliwości. Rozpatrywane zagadnienie polega na ustaleniu związków konstytutywnych, czyli zależności poiędzy naprężeniai i odkształceniai w ateriale, które ają forę równań różniczkowych zwyczajnych albo równań całkowych. Do analizy reologicznych właściwości badanych ieszanek ineralno-asfaltowych zastosowano liniowy, lepkosprężysty uogólniony odel Maxwella. Model powstaje przez równoległe połączenie gałęzi Maxwella (sprężyna+suwak szeregowo). Konfiguracja eleentów podstawowych tej struktury reologicznej została pokazana na rys. 2.1. Rysunek 2.1. Struktura reologiczna uogólnionego odelu Maxwella. W przypadku liniowych odeli lepkosprężystych, relację konstytutywną ożna przedstawić w forie całkowej [5, 9, 10] t g( t ) d, (2.1) 0 gdzie g (t) jest funkcją relaksacji, która opisuje odpowiedź ateriału na jednostkowy skok odkształcenia. Równanie (2.1) zapisano przyjując jednowyiarowy stan naprężeń i odkształceń, oraz zakładając zerowe warunki początkowe. Funkcja relaksacji uogólnionego odelu Maxwella a następującą postać g( t) 1 t exp, (2.2)
gdzie przez oznaczono czas relaksacji w -tej gałęzi, natoiast stałe i charakteryzują sprężyste i lepkie własności odelu. Dalej przedstawiy różniczkowy opis relacji konstytutywnych uogólnionego odelu Maxwella. W przypadku jednowyiarowy obowiązują zależności: v, 1 v, (2.3) v gdzie zienna opisuje odkształcenia lepkie w -tej gałęzi, natoiast kropką oznaczono pochodną względe czasu. Związki (2.3) ożna stosunkowo łatwo uogólnić na przypadek trójwyiarowy. Wykorzystując rozkład stanu naprężenia i odkształcenia na części kuliste i dewiatorowe otrzyujey v v σ σ, σ K tr( ε ε ) I 2G ( e e ) (2.4) 1 s v v e, tr( ε dev ) vol 2 3 tr( σ ) (2.5) gdzie przez s oraz e oznaczono odpowiednio dewiatory naprężenia i odkształcenia [11]; operacja tr( ) oznacza ślad tensora, natoiast I jest tensore jednostkowy. We wzorach (2.4 i 2.5), stałe ateriałowe sprężystości K oraz G oznaczają odpowiednio oduł ściśliwości objętościowej i oduł ścinania (w -tej gałęzi), natoiast przez i oznaczono oduły lepkości objętościowej i postaciowej. vol dev Wykorzystanie przedstawionego zestawu równań różniczkowych do analizy nuerycznej jest ożliwe w prograach MS, które ają otwartą strukturę, tzn. pozwalają użytkownikowi na zaprograowanie autorskich odeli ateriałów. W ty celu należy przyjąć odpowiedni algoryt dyskretyzacji równań (2.4, 2.5) względe czasu i zaipleentować go w raach tzw. procedur użytkownika (np. UMAT i VUMAT w systeie Abaqus albo USRMAT w systeach Ls-Dyna i Ansys) [12, 13]. 3. Procedura identyfikacji paraetrów odelu Badanie pod obciążenie cykliczny jest jedny z testów dających najpełniejszą inforację o cechach echanicznych MMA. ksperyent polega na cykliczny obciążaniu próbki walcowej w warunkach osiowego ściskania/rozciągania. ależy przeprowadzić serię takich badań, przy stałej aplitudzie wyuszenia, z różnyi częstościai [rad/s]. Wyuszenie t oraz odpowiedź t, przy założeniu liniowych własności ateriału, ożna opisać następująco t sin t (3.1) 0 t sin t 0 (3.2) Cele badania jest określenie zespolonego odułu sztywności i i : i exp, wg definicji (3.3)
0 : i (3.4) gdzie oznacza oduł aiczny, natoiast - kąt przesunięcia fazowego. Wyniki badania próbki MMA poddanej obciążenio cykliczny ożna przedstawić w forie charakterystyki aplitudowo-fazowej (wykres Cole-Cole albo yquista), gdzie na osi odciętych odkładay część rzeczywistą odułu zespolonego (oduł zachowawczy) a na osi rzędnych część urojoną - (oduł stratności), zgodnie z zależnościai 0 i i cos, sin (3.5) (3.6) Wyniki badań doświadczalnych dwóch typów MMA, ustalone na podstawie prac [6, 7], zaieszczono w Tab. 3.1 oraz Tab. 3.2. Pierwsza z nich, oznaczona jako TYP-1, to ieszanka astyksu grysowego SMA, stosowana do budowy warstwy ścieranej nawierzchni drogowej. Drugi ateriał, oznaczony jako TYP-2, to ieszanka o ałej zawartości wolnych przestrzeni, tzw. asfalt lany. Uzyskane wyniki dotyczą badania w teperaturze 21 o C. Tablica 3.1. Wyniki badań cyklicznego rozciągania próbek ieszanki ineralno-asfaltowej (TYP-1 oraz TYP-2) przy różnych częstotliwościach. Częstotliwość f [Hz] Moduł aiczny [MPa] TYP-1 Kąt przesunięcia fazowego [ ] TYP-2 Kąt Moduł przesunięcia aiczny fazowego [MPa] [ ] 1 0,1 1991 20,3 1114 23,8 2 0,5 2914 18,5 1646 22,6 3 1 3322 17,4 1962 21,3 4 5,0 4376 14,5 2965 17,8 5 10,0 4974 13,7 3385 16,9 6 25,0 5575 14,2 4020 16,9 Tablica 3.2. Wyniki optyalizacji paraetrów uogólnionego odelu Maxwella. Mieszanka ineralno-asfaltowa TYP-1 oraz TYP-2. TYP-1 TYP-2 Część kulista Część dewiatorowa Część kulista Część dewiatorowa K G K G vol dev vol 1 923 700 426 323 482 138 222 63 2 1391 24357 642 11241 500 897 231 414 3 1068 23 493 11 1090 57 503 26 4 2626 6 1212 3 1738 8 802 4 5 945 118 436 54 556 597849 257 276344 dev
Dane eksperyentalne przedstawione w Tab. 3.1 tworzą zbiór odułów zespolonych zależnych od częstotliwości obciążenia f / 2 [Hz] (patrz wzór 3.3). Podobny zestaw odułów oże być określony dla struktury reologicznej przedstawionej na rys. 2.1, w zależności od przyjętych wartości paraetrów charakteryzujących strukturę oraz. W ty celu należy wykorzystać wzór na oduł zespolony uogólnionej struktury Maxwella i : (3.5) 2 1 i 2 Podstawowy proble polega na dobraniu takich wartości paraetrów odelu, aby różnica poiędzy wynikai eksperyentu oraz wartościai uzyskiwanyi na podstawie odelu ateatycznego była jak najniejsza. Możey zate sforułować zadanie optyalizacji i poszukiwać optyalnego zestawu paraetrów poszczególnych gałęzi odelu. Procedurę opisano dokładnie w pracach [14, 15]. Rysunek 3.1. Wyniki dopasowania krzywej uogólnionego odelu Maxwella (odel 5 gałęziowy). Mieszanka Typ-1. Rysunek 3.2. Wyniki dopasowania krzywej uogólnionego odelu Maxwella (odel 5 gałęziowy). Mieszanka Typ-2.
Zagadnienie optyalnego doboru paraetrów struktury reologicznej rozwiązano przy użyciu algorytów dostępnych w pakiecie MATLAB [16]. Obliczenia wykazały, że najlepsze rezultaty ożna otrzyać dla struktury reologicznej złożonej z pięciu gałęzi Maxwella. Wartości paraetrów odelu 3D, opisanego równaniai (2.4, 2.5), ożna uzyskać przyjując jednakowe wida czasów relaksacji w części kulistej i dewiatorowej. Otrzyany w wyniku optyalizacji zestaw paraetrów ateriałowych zaieszczono w Tab. 3.2. Porównania wyników eksperyentalnych z obliczonyi na podstawie odelu ateatycznego ożey dokonać na podstawie rys. 3.1 i rys. 3.2. Przedstawiono na nich charakterystyki aplitudowo-fazowe dwóch typów ieszanek MA. Dobrane zestawy paraetrów odelu zapewniają dobrą zgodność dla ieszanki TYP-1, a tylko nieznacznie gorszą w przypadku ieszanki TYP-2. 4. Weryfikacja poprawności W niniejszy punkcie przedstawiy wyniki analizy MS zachowania się przyjętego odelu ateriału MMA, poddanego działaniu quasi-statycznych obciążeń. Przeprowadzono syulacje nueryczne próby cyklicznego rozciągania oraz badanie relaksacji naprężeń w próbie jednoosiowego rozciągania. Syulacje statyczne, bez uwzględnienia sił bezwładności próbki, przeprowadzone zostały zarówno dla ieszanki TYP-1 jak i dla TYP-2. Aplitudę obciążenia (sterowanie przeieszczeniowe) dobrano tak, aby odpowiedź ateriału ożna było analizować w raach teorii ałych odkształceń. Wykorzystano stałe ateriałowe określone na wcześniejszy etapie rozważań. 4.1. Dziedzina częstotliwości Badano odpowiedź odelu w zależności od częstości wyuszenia. Próbka poddana została cykliczneu obciążeniu (sterowanie przeieszczenie). Badany odel a kształt sześcianu i poddany jest prosteu rozciąganiu w kierunku pionowy. Scheat podparcia i obciążenia przedstawia rys. 4.1. Model stanowi jeden trójwyiarowy eleent o kształcie sześcianu, liniowych funkcjach kształtu i zredukowany całkowaniu (jeden punkt całkowania) [17]. Rysunek 4.1. Scheat podparcia i obciążenia sześciennej próbki. Wyuszenie jest dobrane tak, aby aksyalne odkształcenie ateriału osiągało wartość 5 5 10 (50 /). W rzeczywistej konstrukcji ateriał doznaje odkształceń podobnego rzędu oraz ożliwa jest analiza w raach teorii ałych odkształceń.
W wyniku przeprowadzonych syulacji otrzyano wykresy naprężeń i odkształceń przy różnych częstotliwościach. Przykładowe porównanie wykresów naprężeń i odkształceń (przeskalowane) uzyskane dla wyuszenia z częstotliwością 0,5 Hz, przedstawiono na rys. 4.2. Możliwe było na ich podstawie wyliczenie wartości odułu aicznego i kąta przesunięcia fazowego. Uzyskane wartości porównano z wynikai eksperyentu, na podstawie których dobierano współczynniki odelu. Zestawienie w postaci wykresów przedstawiono na rys. 4.3 i rys. 4.4. W przypadku niskich częstotliwości [0,1 Hz; 0,5 Hz; 1,0 Hz] uzyskano bardzo dobrą zgodność wyników. Kilkuprocentowe rozbieżności, jakie pojawiły się dla wyższych częstości ożna wytłuaczyć prawdopodobnie błędai w całkowaniu nueryczny równań. Rysunek 4.2. Lepkosprężyste zachowanie ieszanki ineralno-asfaltowej. Przesunięcie fazowe poiędzy naprężenie a odkształcenie. Rysunek 4.3. Wyniki testów nuerycznych uogólnionego odelu Maxwella (odel 5- gałęziowy). Charakterystyka yquista. Mieszanka Typ-1.
Rysunek 4.4. Wyniki testów nuerycznych uogólnionego odelu Maxwella (odel 5- gałęziowy). Charakterystyka yquista. Mieszanka Typ-2. 4.2. Relaksacja naprężeń Proces relaksacji naprężeń to jeden z podstawowych sposobów ujawniania się cech reologicznych ateriałów. W eksperyencie bada się odpowiedź ateriału na skokowe wyuszenie odkształceniowe. W celu wyznaczenia relaksacji naprężeń ateriału, próbka odkształcana jest do odpowiedniej wartości odkształcenia i ierzony jest spadek naprężenia w wydłużony czasie ekspozycji próbki w stałej teperaturze. Poiary relaksacji prowadzono w próbie jednoosiowego rozciągania. a początku analizy wyuszono stałe przeieszczenie pionowe o takiej wartości, aby odkształcenie na kierunku działania przeieszczenia wynosiło 5 przedstawiono na rys. 4.5. Łatwo widać, iż charakter krzywej odpowiada założenio teorii, z której wynika, że powinna ona być funkcją onotonicznie alejącą [np. 10]. 5 10 (50 /). Wyniki syulacji dla jednej z ieszanek Rysunek 4.5. Ziany wartości naprężeń noralnych w czasie. Mieszanka Typ-1.
5. Podsuowanie i bibliografia W pracy analizowano odel konstytutywny ieszanki ineralno-asfaltowej oraz jego ipleentację nueryczną. Pokazano sforułowanie jednowyiarowe oraz trójwyiarowe uogólnionej struktury Maxwella, która odpowiada odelowi MMA. a podstawie wyników badań zaczerpniętych z literatury dokonano optyalizacji paraetrów struktury wykorzystując charakterystykę teoretyczną i doświadczalną MMA na płaszczyźnie aplitudowo-fazowej. Sforułowany zestaw równań konstytutywnych MMA, w forie różniczkowej, zaipleentowano w systeie etody eleentów skończonych. Przedstawiono wyniki syulacji nuerycznych testu cyklicznego obciążania i relaksacji próbki. Otrzyane wyniki potwierdziły adekwatność przyjętego odelu ateatycznego. Przedstawiony odel ateriału oże być wykorzystany w zagadnieniach początkowobrzegowych, w których poszukujey stanu naprężeń, odkształceń i przeieszczeń w nawierzchni asfaltowej poddanej działaniu ruchoych obciążeń odelujących koła pojazdów. Uzyskane wyniki, odniesione do krytycznych punktów nawierzchni, wykorzystuje się w procedurach echanistycznego projektowania, określając trwałość zęczeniową konstrukcji wg odpowiednich foruł epirycznych [18, 19]. Możliwości ulepszenia zaproponowanego odelu ogą być związane z jego wzbogacenie o eleenty opisywane pochodnyi ułakowego rzędu [20]. Klasyczną strukturą tego typu jest odel Hueta- Sayegha (1967) [21]. Pewne wstępne propozycje, związane z odyfikacją wsponianego odelu zawarto w pracy [22]. Analiza trwałych deforacji konstrukcji nawierzchni asfaltowej, z wykorzystanie związków lepkosprężystości nie jest wystarczająca. Przy dużych wartościach obciążeń pojawiają się również odkształcenia plastyczne, które generowane są natychiastowo, gdyż nie zależą od prędkości obciążenia, a jeie od jego intensywności. Uwzględnienie własności plastycznych, w połączeniu z efektai pełzania konstrukcji, pozwala na analizę zjawisk zachodzących w nawierzchniach asfaltowych w szeroki zakresie intensywności obciążeń i ich prędkości. W pracy [23] podano propozycję uogólnienia lepkosprężystej struktury reologicznej Burgersa z uwzględnienie zjawiska plastyczności. Sforułowano jednowyiarowe relacje konstytutywne, a następnie przeanalizowano różne warianty związków w przestrzenny stanie naprężenia. Skupiono uwagę na opisie plastyczności przyjując hipotezę Misesa- Schleichera [24]. Zaproponowane równania fizyczne ają forę nieliniowego układu równań różniczkowych w postaci noralnej y f y, co było ożliwe dzięki wyprowadzeniu ścisłych foruł określających tzw. nożniki Lagrange a. Wydaje się, że podobna procedura oże zostać zastosowana w przypadku uogólnionego odelu Maxwella rozważanego w niniejszej pracy. Obecnie, prace autorów koncentrują się na ipleentacji nuerycznej związków ateriału sprężysto-lepko-plastycznego, którego relacje konstytutywne będą forułowane na podstawie analizy uogólnionej struktury Maxwella wzbogaconej o eleenty odelujące zjawisko plastyczności. Bibliografia [1] Judycki J.: Modele reologiczne betonu asfaltowego. Zeszyty aukowe Politechniki Gdańskiej, nr 368, Gdańsk, 1984, 123-145. [2] Ki Y. R.: Modeling of Asphalt Concrete. ASC Press, McGraw-Hill, ew York, 2009. [3] Wang L.: Mechanics of Asphalt, Microstructure and Microechanics. Mc Graw Hill, ew York, 2011.
[4] Sybilski D., Bańkowski W., Mularzuk R.: Ocena konstrukcji nawierzchni z BAWMS z zastosowanie prograu koputerowego VROAD. I Polski Kongres Drogowy, Warszawa, 2006, 451-460. [5] owacki W.: Teoria pełzania. Arkady, Warszawa, 1963. [6] Zbiciak A., Grzesikiewicz W., Wakulicz A.: One-diensional rheological odels of asphaltaggregate ixtures. Logistyka, 6, 2010, 3825-3832. [7] Kalabińska M., Piłat J.: Właściwości reologiczne asfaltów i kopozytów ineralnoasfaltowych. Seria Budownictwo, z. 121, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa, 1993. [8] Liao Y.: Viscoelastic F Modeling of Asphalt Paveents and Its Application to U.S. 30 Perpetual Paveent. OhioLIK lectronic Thesis and Dissertation Center, 2007, http://drc.ohiolink.edu/handle/2374.ox/2821, 25.01.2013. [9] Bland D. R.: The Theory of Linear Viscoelasticity. Pergaon Press, Oxford, 1960. [10] Christensen R.M.: Theory of Viscoelasticity. Acadeic Press, ew York, 1982. [11] Ostrowska-Maciejewska J.: Mechanika ciał odkształcalnych. PW, Warszawa, 1994. [12] Zbiciak A.: Application of elasto-visco-plastic constitutive odel for asphalt paveent creep siulation. Archives of Civil ngineering, 54, 3, 2008, 635-647. [13] Zbiciak A.: Constitutive odelling and nuerical siulation of aic behaviour of asphaltconcrete paveent. ngineering Transactions, 56, 4, 2008, 311-324. [14] Grzesikiewicz W., Zbiciak A.: Zastosowanie pochodnej ułakowego rzędu do odelowania ieszanek ineralno-asfaltowych. Poiary Autoatyka Kontrola, 9, 2011, 1048-1051. [15] Zbiciak A., Grzesikiewicz W.: Identification of constitutive odel for asphalt-aggregate ixes using linear rheological schees. Polioptyalizacja i Koputerowe Wspoaganie Projektowania, 10, Wydawnictwo Uczelniane Politechniki Koszalińskiej, Koszalin, 2012, 187-196. [16] MATLAB and Siulink online docuentation, R2012b, http://www.athworks.co/help. [17] Rakowski G., Kacprzyk Z.: Metoda eleentów skończonych w echanice konstrukcji. Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa, 2005. [18] Piłat J., Radziszewski P.: awierzchnie asfaltowe. WKŁ, Warszawa, 2003. [19] Papagiannakis A. T., Masad. A.: Paveent Design and Materials, Wiley, 2008. [20] Podlubny I.: Fractional Differential quations. Matheatics in Science and ngineering Vol. 198, Acadeic Press, 1999. [21] Kalabińska M., Piłat J.: Reologia asfaltów i as ineralno-asfaltowych. WKŁ, Warszawa, 1982. [22] Zbiciak A.: Identification of viscoelastic properties of asphalt-aggregate ixes using classical and fractional rheological odels. Teoretyczne podstawy budownictwa, To 1: Mechanika ateriałów i konstrukcji, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa, 2012, 63-72. [23] Zbiciak A.: Matheatical description of rheological properties of asphalt-aggregate ixes. Bulletin of the Polish Acadey of Sciences: Technical Sciences 61 (1), pp. 65-72, 2013. [24] Jeioło S., Szwed A.: Dualne relacje konstytutywne idealnego płynięcia ateriałów izotropowych z warunkie plastyczności Misesa-Schleichera. Zeszyty aukowe Politechniki Warszawskiej, Budownictwo z. 133, s. 53-86, Warszawa 1999.