Własności multifraktalne serii czasowych

Własności multifraktalne serii czasowych D. Instytut Fizyki Teoretycznej i Astrofizyki Uniwersytet Gdański Luty/Marzec 2009

nieformalnie... Skalowanie: rozumie się jako brak charakterystycznej skali czasowej w serii, mówi się, że całość nie może być statystycznie odróżniona od swojej części. Potrzeba nowych narzędzi do badania serii, które takie własności sa w stanie ujawnić, oszcować, badać. Analiza multifraktalna to jedno z takich narzędzi.

dlaczego fraktale? Fraktale, to geometryczne samo-podobne obiekty. Ich skomplikowana strkturę uzyskuje się poprzez proste iteracje: zbiór Cantora, krzywa Kocha, dywan Sierpińskiego,... Podejrzewajac, że nasze dane sa samo-podobne, chcemy własność samo-podobieństwa sprawdzić i uporzadkować, aby uzyskać bardziej zwarta uproszczona reprezentację sygnału lepsze możliwości przewidywania rozdzielenie, identyfikacje różnych sygnałów.

znane Własności multifraktalne pewnych procesów sa dobrze znane. Chcemy znaleźć odciski tych własności / wykazać ich nieobecność w naszych sygnałach ułamkowe procesy Browna

procesy samopodobne H-ss... Formalne podejście prowadzace do skalowania wiedzie przez procesy samopodobne. Proces X(t) jest samopodobnym o parametrze samopodobieństwa H > 0 jeśli {X(t), t R} d {c H X( t c), t R} dla c > 0 gdzie d oznacza równość wszystkich skończenie wymiarowych dystrybucji. w konsekwencji tej własności dowolny moment procesu X(t) jest funkcja potęgowa czasu: E{ X(t) q } = E{ X(1) q } t qh Momenty w poszczególnych chwilach sa różne (co oznacza, że proces H-ss jest niestacjonarny) ale różnia się one między soba w regularny sposób.

procesy samopodobne o stacjonarnych przyrostach: H-sssi... podklasa procesów H-ss o wyjatkowo regularnej niestacjonarności: Mówimy,że X(t) jest procesem o stacjonarnych przyrostach, jeśli {Y (δ, t) := Y δ (t) := X(t + δ) X(t), t R} d {X(δ) X(0)} dla δ > 0

wyróżnik procesów H-sssi maja 0 < H < 1 i taka sama funkcję kowariancji: E{X(t)X(s)} = Var{X(1)} 2 [ t 2H + s 2H t s 2H] jeśli stacjonarne przyrosty δ(t) procesu H-sssi maja identyczny rozkład normalny przy czym Var{X(1)} = Var{δ(t)} = σ 2 to procesy fbm H to jedyne takie H-sssi procesy procesy fgn H to jedyne takie procesy przyrostów δ(i) struktura kowariancji X(t) przenosi się na korelacje procesu przyrostów: c(τ) = σ2 2 ( τ + 1 2H + τ 1 2H 2 τ 2H) H(2H 1)τ 2H 2

fbm 0.70

fbm 0.30

w druga stronę... Niech δ(i) := δ i to stacjonarny proces rzędu drugiego i niech E{δ(i)} = 0, Var{δ(i)} = σ 2. ( ) Niech δ (m) (i) = 1 δ((m 1)i+1 + δ m (m 1)i+2 + + δ mi to proces zagregowanych średnich. Dla każdego m δ (m) jest procesem stacjonarnym o średniej 0. Mówimy, że stacjonarny proces rzędu drugiego δ(i) jest asymptotycznie samopodobny rzędu drugiego o indeksie samopodobieństwa H, 0 < H < 1 jeśli statystyki drugiego rzędu maja następujace własności: lim m Var{m 1 H δ (m) } = σ ( 2 lim m c (m) (τ) = σ2 2 τ + 1 2H + τ 1 2H 2 τ 2H) gdzie c (m) (τ) oznacza funkcję korelacji procesu zagregowanego δ (m) (i).

łacznik: H-sssi a samopodobne rzędu drugiego δ(i) nazywamy ściśle samopodobnym rzędu drugiego o indeksie samopodobieństwa H, 0 < H < 1 jeżeli dla każdego m > 1 proces {m 1 H δ (m) } ma takie same statystyki drugiego rzędu co δ(i). Czyli Var{m 1 H δ (m) (i)} = σ ( 2 c (m) (τ) = c(τ) = σ2 2 τ + 1 2H + τ 1 2H 2 τ 2H) dowolny proces przyrostów procesu H-sssi jest ściśle samopodobnym rzędu drugiego o indeksie H.

Long Range Dependence Proces stacjonarny rzędu drugiego X(i) o funkcji korelacji c(k) posiada własność długozasięgowej zależności (Long Range Dependence), jeżeli dla pewnego 0 < α < 1 zachodzi c(k) k α, przy dla k. Jeśli więc H (0.5, 1) to ścisłe czy też asymptotyczne oznacza LRD i α = 2 2H. Jeśli proces posiada własność LRD, to jest asymptotycznie samopodobny rzędu drugiego o indeksie samopodobieństwa H = 1 α 2 Asymptotyczne samopodobieństwo i LRD to równoważne charakterystyki sygnału. UWAGA: Procesy zagregowanych średnich uzyskane dla procesu z krótkozasięgowymi korelacjami, ze wzrostem m, szybko staja się szumem nieskorelowanym (skalowanie 0).

estymatory H Klasy narzędzi do szacowania wartości H: czasowe: R/S statystyka, analiza wariancji zagregowanych procesów częstotliwościowe: widmo mocy, periodogram falkowe

a co z małymi skalami: korelacjami krótkozasięgowymi czy własnościami o wysokiej częstości? co z własnościami typu różniczkowalność? sa to pytania o tzw. LOKALNA REGULARNOŚĆ sygnału

nieformalnie.. Lokalna porównanie zmiany wartości funkcji do zmiany wartości funkcji potęgowej: X(t) X(t 0 ) t t 0 h(t 0) h(t 0 ) to wykładnik Höldera w punkcie t 0. h(t 0 ) mierzy lokalne zachowanie funkcji X(t). X(t) w okolicy t 0 wyglada jak t t 0 h(t0) : dla dowolnego ε > 0 istnieje takie otoczenie t 0, że każda trajektoria X(t) jest zawarta wewnatrz obszaru c t t 0 h(t0) ε i c t t 0 h(t0) ε. α(t 0 ) bliskie 1 oznacza, że trajektoria jest gładka w t 0 α(t 0 ) bliskie 0 oznacza wysoka nieregularność.

praktycznie Niech {X(t), t [0, 1]} to proces stochastyczny. Dla danego n rozważmy podział przedziału [0, 1] na 2 n równych podprzedziałów [ k+1 2 n, k 2 n ), k = 0, 1,...2 n 1. Rozważmy proces przyrostów procesu X(t) w takich przedziałach: {X( k+1 ) X( k ), k = 0, 1,..., 2 n 1} 2 n 2 n Mówimy, że proces X(t) ma lokalny wykładnik skalujacy α n(t 0 ) w chwili t 0, jeśli proces przyrostów zachowuje się jak ( 1 ) αn(t0) przy k t 2 n 2 n 0 Jeżeli X(t) ma przyrosty dodatnie to: α(t 0 ) = lim n α n(t 0 ) gdzie α n(t 0 ) = 1 n [log 2 (X(k+1 2 n ) X( k 2 n ))]

lokalna regularność procesu stochastycznego Jeśli {X(t)} to proces H-sssi, to E{ X(t+δ) X(t) 2 } = σ 2 δ 2H niezależnie od t Jeśli {X(t)} to proces stacjonarny drugiego rzędu, przy czym jego funkcja korelacji ma własność E{X(t + δ)x(t)} σ2 (1 2C C δ 2h ), gdy δ 0, to E{ X(t +δ) X(t) 2 } σ 2 δ 2h dla małych δ

i dalej... Można pomysleć dalej. A mianowicie, że zachodzi E{ X(t + δ) X(t) 2 } C(t) δ 2h(t) czyli, że powyższe oszacowanie zalezy od t a h zmienia się z t w miarę gładko w czasie. Taki proces X(t) lokalnie miałby więc własności fraktalne, które byłyby podobne do fbm z H = h(t). to nie jest PRAWDZIWY MULTIFRAKTAL! Jeśli 0 < h(t) < 1 jest funkcja deterministyczna (nie zależy od realizacji procesu) i regularna, to mówimy, że X(t) jest to proces wieloułamkowy,. Jeśli ponadto rozkład X(t) jest Gaussa, to mówimy, że jest lokalnie samopodobny.

nieformalnie.. prawdziwy multifraktal: h(t) jest zmienna losowa: zmienia się w zależności od realizacji, h(t) zmienia się z punktu do punktu bardzo silnie: w dowolnie małym przedziale t znajdziemy pełny zakres wartości funkcji h(t). jak to możliwe? co stanowi istotę różnicy pomiędzy fraktalem a m?

fraktal vs multifraktal: geometrycznie i intuicyjnie FRAKTALE Fraktal to zbiór, który z definicji składa się z obiektów (punktów) Tutaj każdy punkt przestrzeni jest elementem zbioru albo nie jest jego elementem. {0, 1} Struktura zbioru ma własność samopodobieństwa, która jest opisywana pojedyńczym niecalkowitym wykładnikiem skalowania MULTIFRAKTALE Multifraktal to zbiór podzbiorów, w szczególny sposób poprzeplatanych między soba. Każdy podzbiór ma innych wymiar fraktalny. Tutaj wiele punktów jest ze soba zwiazanych, z punktem zwiazana jest miara [0, 1] Dane tutaj nie "wygladaj a" jak samopodobne, bowiem ich samopodobieństwo wymaga wielu wykładników skalowania

definicja Niech {X(t), t R} to proces stochastyczny. Lokalny wykładnik Höldera procesu h(s) w chwili s jest zmienna losowa określona jako największy możliwy h taki, że zachodzi X(t) P s(t) K t s h(s) gdzie P s(t) to wielomian stopnia n = h lokalnie aproksymujacy X(t). Jeśli 0 < h < 1, to P s(t) = X(s) (na mocy własności wielomianu Taylora) co daje: X(s + δ) X(s) K δ h(s)

widmo multifraktalne Widmo multifraktalne (widmo singularności) procesu X(t) to wymiary Hausdorffa podzdbiorów zbioru t, gdzie h(t) ma ustalona wartość: h D(h) := dim H ({t R : h(t) = h}) Dla fbm H widmo multifraktalne to jeden punkt (H, 1). Formalnie: D(h) = 1 dla h = H i D(h) = dla h H Dla wieloułamkowego procesu: połaczenia wielu fbm Hi o parametrze Hursta H i w przedziale I i = [t i, t i+1 ] mamy D(H i ) = I i.

prawdziwy multifraktal: konstrukcja Kaskada dwumianowa to miara prawdopodobieństwa µ(x) określona na przedziale [0, 1], która zazwyczaj definiuje się poprzez algorytm konstrukcji. Niech dane będa dwie dodatnie liczby m 0 i m 1 takie, że m 0 + m 1 = 1 w pierwszym kroku (k = 1) odcinek [0, 1] dzielimy na dwie równe części lewej części przypisujemy masę m 0 a prawej części przypisujemy masę m 1.

prawdziwy multifraktal: konstrukcja w drugim kroku (k = 2) obie części podzialu odcinka [0, 1] dzielimy na dwie równe części każdej nowej lewej części przypisujemy mnożnik masy m 0, a każdej nowej prawej części przypisujemy mnożnik masy m 1. Mamy zatem w drugim kroku 4 równe przedziały ponumerowane 0, 1, 2, 3 o masach odpowiednio: m 2 0, m 0 m 1, m 0 m 1, m 2 1.

skalowanie samopodobien stwo rz edu drugiego regularnos c Höldera prawdziwy multifraktal: konstrukcja W czwartym kroku jest 23 = 8 przedziałów ponumerowanych 0, 1,..., 7 o masach odpowiednio: m03, m02 m1, m02 m1, m0 m12, m02 m1, m0 m12, m0 m12, m13. W piatym kroku jest 24 przedziałów ponumerowanych 0, 1,..., 24 1 o masach m0j m14 j, j = 0,..., 4.

konstrukcja W kolejnych krokach połowienie każdego przedziału i przypisywanie lewym częściom mnożnika m 0 a prawym częściom m 1, powtarza się. W k-tym kroku mamy 2 k przedziałów: j = 0, 1,..., 2 k 1, których masę opisuje zależność: M (k) j = m k b(j) 0 m b(j) 1 gdzie b(j) oblicza ilość jedynek w reprezentacji binarnej liczby j. W granicy k otrzymujemy miarę dwumianowa µ(x) na [0, 1]. Dla ustalonego k ciag M (k), j = 0, 1,..., 2 j k 1 jest przybliżeniem tej miary.

Wykładnik Höldera h k (x) otrzymany w k-tym przybliżeniu dla punktu x [ j, j+1 ) to: 2 k 2 k h k (x) := log M(k) j = 1 log 1 k log 2 M(k) j = 1 k log 2 mk b(j) 0 m b(j) 1 2 k Zauważmy, że wartość h k (x) zależy od tego, jak x reprezentuje się binarnie 0.b 1 b 2... b k.... A w zasadzie wartość ta zależy od tego, jakie sa pierwsze k-cyfry reprezentacji binarnej x. Niech b (k) (x) oznacza ilość 1 wśród pierwszych k cyfr liczby x. h k (x) = k b(k) (x) k log 2 m 0 b(k) (x) k log 2 m 1 Czyli zbiór singularności h k (x) przyjmuje wszystkie wartości od h min = log 2 m 0 do h max = log 2 m 1 przy m 0 < m 1.

Pytanie, jak często dana wartość h jest przyjmowana, nie jest trywialne, bowiem zbiór {x [0, 1] : h k (x) = h} jest zbiorem o skomplikowanej strukturze.

losowa