Fale elektromagnetyczne

Fale elektromagnetyczne dr inż. Ireneusz Owczarek CMF PŁ ireneusz.owczarek@p.lodz.pl http://cmf.p.lodz.pl/iowczarek 2012/13 Plan wykładu Spis treści 1. Analiza pola 2 1.1. Rozkład pola............................................... 2 1.2. Dywergencja i rotacja.......................................... 3 1.3. Równania Maxwella........................................... 4 2. Fale elektromagnetyczne 5 2.1. Wstęp................................................... 5 2.2. Modele w optyce............................................. 5 2.3. Model falowy światła........................................... 6

1. Analiza pola 1.1. Rozkład pola Gradient pola Gradient funkcji pola skalarnego ϕ przypisuje każdemu punktowi tego pola określony wektor: grad ϕ = ϕ i + ϕ y j + ϕ z k Wyznacza pole wektorowe, przyporządkowane danemu polu skalarnemu. Wektor grad ϕ: jest prostopadły do powierzchni ekwiskalarnej, ma zwrot skierowany od powierzchni ekwiskalarnej o mniejszej wartości do powierzchni o większej wartości. Gradient pola... Funkcje pola grad ϕ zapisuje się grad ϕ = ϕ gdzie Operator nabla = i + y j + z k, w operacjach matematycznych traktowany jest jak symboliczny wektor. Pozwala zapisać operacje różniczkowe na funkcjach w prostej i zwartej formie działań wektorów. c Ireneusz Owczarek, 2013 2

Gradient pola... Iloczyn skalarny dwóch operatorów nabla: = 2 = ( i + j y + k z ) 2 = 2 2 + 2 y 2 + 2 z 2. Operator Laplace a (laplasjan) jest to operator różniczkowy drugiego rzędu = 2 = 2 2 + 2 y 2 + 2 z 2. Laplasjan jest operatorem skalarnym działającym na pole skalarne. Operator traktowany jest formalnie jako wektor, można więc utworzyć iloczyn skalarny i wektorowy wektora z dowolnym innym wektorem. Np. pewną funkcja pola wektorowego V (x, y, z) = i V x(x, y, z) + j V y(x, y, z) + k V z(x, y, z). 1.2. Dywergencja i rotacja Definicje Dywergencja (rozbieżność, źródłowość) pola wektorowego V (x, y, z) to operator różniczkowy przyporządkowujący trójwymiarowemu polu wektorowemu pole skalarne będące formalnym iloczynem skalarnym operatora nabla z polem: V = ( i + j y + k z = Vx + Vy y + Vz z = div V. Pole nazywa się bezźródłowym gdy div V = 0. ) ( i V x + j V y + k V z) = Rotacja (wirowość) pola wektorowego V (x, y, z) to operator różniczkowy działający na pole wektorowe V (x, y, z), tworzy pole wektorowe wskazujące wirowanie (gęstość cyrkulacji) pola wyjściowego ( ) V = i ( i V x + j V y + k V z) = + j y + k z ( ) Vz = i y Vy + j z i j k = y z V x V y V z = rot V. ( Vx z Vz ) + k Pole nazywa się bezwirowym lub zachowawczym gdy rot V = 0. ( Vy Vx y ) = c Ireneusz Owczarek, 2013 3

1.3. Równania Maxwella Wstęp Równania Maxwella stanowią fundamentalną podstawę teorii zjawisk elektromagnetycznych, podobnie jak zasady dynamiki Newtona są podstawą mechaniki. Można znaleźć pola E i B w dowolnym punkcie przestrzeni i w dowolnej chwili czasu, jeżeli znane są współrzędne i prędkości ładunków wytwarzających pola. Równania Maxwella są niesymetryczne względem pól elektrycznego i magnetycznego (istnieją ładunki elektryczne, a brak jest ładunków magnetycznych). Prawa te są słuszne zarówno w przypadku statycznym (pola niezależne od czasu) jak i w przypadku pól zależnych od czasu. Ważną konsekwencją równań Maxwella jest istnienie fali elektromagnetycznej. Prawa Maxwella 1. Prawo Gaussa dla elektryczności. Ładunki są źródłem pola elektrycznego E = ρ ε 0. 2. Prawo Gaussa dla magnetyzmu. Pole magnetyczne jest bezźródłowe B = 0. 3. Prawo Faraday a. Zmienne w czasie pole magnetyczne wytwarza pole elektryczne E = B t. 4. Prawo Ampére a. Przepływający prąd oraz zmienne pole elektryczne wytwarzają pole magnetyczne B = µ 0 J + ε0µ 0 E t. W sposób niejawny równania te zawierają równanie ciągłości J + ρ t = 0. c Ireneusz Owczarek, 2013 4

Dla fal rozchodzących się w próżni Prawo Gaussa dla elektryczności Prawo Gaussa dla magnetyzmu Prawo Faraday a E = 0. B = 0. E = B t. Prawo Ampére a B = ε 0µ 0 E t. c Ireneusz Owczarek, 2013 5

2. Fale elektromagnetyczne 2.1. Wstęp 2.2. Modele w optyce Co to jet światło? Fala elektromagnetyczna jest falą rozchodzącą się w próżni lub ośrodku materialnym wywołaną zmianami rozkładu przestrzennego ładunków elektrycznych. Istotną cechą wszystkich fal elektromagnetycznych jest ta sama wartość prędkości rozchodzenia się fali, tj. c 2, 99 10 8 m/s. Światło to promieniowanie elektromagnetyczne o długościach fali, zawierających się w zakresie czułości oka ludzkiego, tj. od 380nm do 760nm. Jest to tzw. zakres widzialny. Największa czułość wypada dla fal o długości ok. 550nm. Porównanie systemów sensorycznych człowieka. 2.3. Model falowy światła Fala elektromagnetyczna płaska Ważne cechy pól: elektrycznego i magnetycznego które występują zawsze, niezależnie od tego jak wytwarzana jest fala: 1. Wektory E i B są zawsze prostopadłe do kierunku rozchodzenia się fal, zatem fala elektromagnetyczna jest falą poprzeczną. c Ireneusz Owczarek, 2013 6

2. Wektor natężenia pola elektrycznego jest zawsze prostopadły do wektora natężenia pola magnetycznego. 3. Iloczyn wektorowy E B zawsze wyznacza kierunek rozchodzenia się fali. 4. Natężenie pola elektrycznego i indukcja pola magnetycznego zmieniają się zawsze sinusoidalnie. Ponadto wektory pól zmieniają się z taką samą częstością, a ich oscylacje są zgodne w fazie. Jaki jest kierunek indukcji magnetycznej? Jeżeli E ma składową w kierunku osi y, a B w kierunku z, to płaską, poprzeczna fala elektromagnetyczna ma postać: { Ey(x, y, z, t) = E m sin(kx ωt), B z(x, y, z, t) = B m sin(kx ωt), c Ireneusz Owczarek, 2013 7

i rozchodzi się wzdłuż osi x to oraz E x = E z = 0 i E y = E y(x, y, z, t), E i j k = y z E x E y E z = ( ) ( ) ( ) = i Ez y E y E + j x z z Ez + Ey k Ex = y = k Ey. Korzystając z prawa Faraday a otrzymuje się B t = k Ey, lub E y = Bz t. (1) Oznacza to, że istnieje tylko jedna składowa wektora B z, czyli pole magnetyczne wskazuje kierunek z (pole indukcji magnetycznej jest prostopadłe do pola elektrycznego). Podobnie można pokazać (dla B z = B z(x, t)), że B = j Bz, i korzystając z prawa Ampére a otrzymuje się B z = ε0µ0 E y t. (2) Prędkość fal elektromagnetycznych Korzystają z równań dla płaskiej fali elektromagnetycznej oraz z tego, że E y = E i B z = B otrzymuje się E y B z t = kem cos(kx ωt), = ωb m cos(kx ωt). Wobec tego równanie ( 1) sprowadza się do postaci Prędkość fali biegnącej zatem iloraz amplitud ke m cos(kx ωt) = ωb m cos(kx ωt). Postępując podobnie w przypadku równania ( 2) można zapisać w postaci z której otrzymuje się c = ω k, (3) E m B m = c. (4) kb m cos(kx ωt) = ε 0µ 0ωE m cos(kx ωt), E m = 1 ω B m µ 0ε 0 k = 1 µ 0ε 0c = c, Prędkości fal elektromagnetycznych w próżni Wszystkie fale elektromagnetyczne, w tym również światło widzialne, rozchodzą się w próżni z tą samą prędkością 1 c =, (5) µ0ε 0 która wynosi ok. 2, 99 10 8 m s. c Ireneusz Owczarek, 2013 8

Równanie falowe dla fali elektromagnetycznej Postać równania falowego można uzyskać jeżeli policzy się pochodną cząstkową względem x wyrażenia ( 1) 2 E 2 = 2 B t, oraz pochodną cząstkową względem t wyrażenia ( 2) 2 B t = ε0µ0 2 E t 2. Przyrównanie do siebie tych równań daje równanie które ma postać równania falowego 2 E t 2 = 1 ε 0µ 0 2 E 2, (6) 2 ξ t 2 = v2 2 ξ 2, lub w bardziej zwartej postaci równania różniczkowego ruchu falowego 2 ξ = 1 c 2 2 ξ t 2. (7) Własności fali elektromagnetycznej Źródłem fali elektromagnetycznej jest przyspieszający ładunek. W punkcie, do którego dociera fala, natężenie pola elektrycznego zmienia się zgodnie z relacją E y(x, y, z, t) = E m sin(kx ωt). Drgający ładunek nie promieniuje we wszystkich kierunkach jednakowo. W kierunku, w którym drga ładunek, fala elektromagnetyczna nie rozchodzi się. Fala elektromagnetyczna jest to rozchodzenie się w próżni lub w ośrodku materialnym wzajemnie indukujących się zmiennych pól E i B. Z tego powodu nie wymaga istnienia ośrodka do swego przemieszczania się. Fala elektromagnetyczna jest falą poprzeczną: wektory E i B są wzajemnie do siebie prostopadłe i są też prostopadłe do kierunku rozchodzenia się fali. Prędkość fal elektromagnetycznych zależna jest od własności elektrycznych i magnetycznych ośrodka, w którym się ona rozchodzi Literatura c = 1 = 2, 99 10 8 m ε0µ 0 s, [1] Halliday D., Resnick R, Walker J. Podstawy Fizyki t. 1-5. PWN, 2005. [2] Praca zbiorowa pod red. A. Justa Wstęp do analizy matematycznej i wybranych zagadnień z fizyki. Wydawnictwo PŁ, Łódź 2007. [3] Jaworski B., Dietłaf A. Kurs Fizyki t. 1-3. PWN, 1984. [4] Strona internetowa prowadzona przez CMF PŁ http://cmf.p.lodz.pl/efizyka e-fizyka. Podstawy fizyki. [5] Kąkol Z. Żukrowski J. http://home.agh.edu.pl/ kakol/wyklady_pl.htm Wykłady z fizyki. c Ireneusz Owczarek, 2013 9