Naprężenia i odkstałcenia Stress & strain
Naprężenia i odkstałcenia Simplifing assumptions:. Soil is continuous. Soil is homogeneous. Soil is isotropic A continuous bod subjected to a sstem of eternal forces Normal strain definition l l l l l
Naprężenia i odkstałcenia Shear strain definition Poison s ratio definition γ G ν r
Naprężenia i odkstałcenia States of strains
Naprężenia i odkstałcenia Stress definition ij lim A i F j A i Stress tensor ij
Naprężenia i odkstałcenia Naprężenie jest to granicna wartość stosunku sił diałającej na nieskońcenie mał element pola prekroju ciała do wmiaru tego pola: F F Prekrój ciała stwnego. lim A F A gdie: -naprężenie F -siła A - pole prekroju
Naprężenia i odkstałcenia ij lim A i F j A i
Naprężenia i odkstałcenia The state of stress at a point according to a reference coordinate is (9 components)
Naprężenia i odkstałcenia States of stress Aismmetric
Naprężenia i odkstałcenia Normal stresses and strains P P,,,, P
Naprężenia i odkstałcenia Volumetric strain Assume the initial volume is V, so the final volume is: ) ( ) )( )( ( ) )( )( ( strains small V V V V V V V V p f f p f p
Naprężenia i odkstałcenia Hooke s law E Shear modulus G E ( ν ) Bulk modulus K E ( ν ) ν K G G 6K
Naprężenia i odkstałcenia Hooke s law in D E ν ν ν ν ν ν ν ν ν γ γ γ ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) E E E ν ν ν G G G γ γ γ
Naprężenia i odkstałcenia Elastic materials obe the principle of superposition. The applied loading order is not important and the equilibrium strain is the same. E G γ
Naprężenia i odkstałcenia Soils are elastoplastic materials actuall, (elastic deformation plastic deformation)
Naprężenia i odkstałcenia Vertical stress Horiontal stress h v K γ h v i i K lateral earth pressure coefficient
Naprężenia i odkstałcenia Naprężenie pierwotne lub geostatcne γ to naprężenie istniejące w gruncie od ciężaru wżej leżącch warstw. Zgodnie asadą superpocji naprężenie całkowite w gruncie jest sumą naprężenia pierwotnego γ i naprężenia od obciążenia ewnętrnego q : γ q W prpadku prłożenia obciążenia nie na powierchni półprestreni, lec na pewnej głębokości po wkonaniu wkopu, naprężenie całkowite w dowolnm punkcie wnaca się jako sumę naprężenia pierwotnego geostatcnego γ mniejsonego o odciążenie wkopem γ : ( ) γ γ q Wartość poiomej składowej naprężenia geostatcnego γ oblica się e woru: γ γ K γ gdie: K -współcnnik parcia bocnego w spocnku, γ - pionowa składowa naprężenia pierwotnego.
Naprężenia i odkstałcenia γ γ γ γ γ Składowe naprężenia pierwotnego. γ γ γ γ γ K γ Wartość współcnnika K ależ od rodaju gruntu i historii jego naprężenia i mienia się w akresie..6 dla gruntów normalnie skonsolidowanch i.8. dla gruntów prekonsolidowanch.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 5 5 5 5 P P P P r r P r r P π ν π π π ν π ν π r P r r Boussinesq solution Naprężenia i odkstałcenia
Naprężenia i odkstałcenia Prkład: Znaleźć naprężenia w gruncie wwołane prłożeniem sił skupionej równej P 5 kn w punkcie o współrędnch m, m, 4m; ν.. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).67.49..66 5 5 5 5 5 5 P P kpa P kpa P kpa r r P kpa r r P π ν π π π ν π ν π 5 r
Naprężenia i odkstałcenia Flamant s solution etension to line loads P π ( P ) π ( ) P Pν π ( ) P π ( ) A strip load is the load transmitted b a structure of finite width and infinite length on a soil surface. The increase in stresses due to a surface stress q s (force/area) is as follows: qs α sinα cos( α β ) π qs π qs π [ ] [ α sinα cos( α β )] [ sinα sin( α β )]
α β π β α π β α π B q B B q B q s s s cos sin ln sin Naprężenia i odkstałcenia B L L B L B B q.84.6.6.8 Simplified solution for rectangular loaded areas beneath the centre of the loaded area bearing pressure q
Naprężenia i odkstałcenia Metoda punktów narożnch umożliwia wnacanie naprężenia pionowego ora sum naprężeń głównch pod narożem prostokątnego obciążonego obsaru według worów: ( LB L B ) ( L )( B ) L B q LB n arctg L B qη n gdie: η n q -współcnnik wnacan nomogramu w ależności od stosunku L/B (długość obsaru obciążonego do jego serokości) ora od stosunku /B (agłębienie punktu poniżej powierchni do serokości), - obciążenie ciągłe.
Naprężenia i odkstałcenia,5,,5,,5 η n A a) F B, E M G 4, 6, q D b) A H C AFME FBGM EMHD MGCH ( η η η ) q η n n naroże wewnątr obciążonego obsaru n n B E 8, D C F H G M, /B ( ) q AEMH BEMG DFMH CFMG Nomogram do wnacania q ηn ηn ηn ηn współcnnika η naroże na ewnątr obciążonego obsaru. n Zastosowanie metod punktów narożnch do oblicania naprężeń w dowolnm punkcie podłoża.
Naprężenia i odkstałcenia Metodą punktów środkowch można wnacć naprężenie pionowe pod środkiem prostokątnego obsaru obciążonego, posługując się worem:,,,,4,6,8, η q η Wartość można również wnacć, stosując superpocję naprężeń pod wspólnm narożem cterech obciążonch prostokątów o bokach L/ i B/., 4, 5, /B Nomogram do wnacania współcnnika η.
Naprężenia i odkstałcenia okład Naprężenia Pod Fundamentami Stwnmi q ma S S q ecwist rokład naprężeń pr q ma Z Teoretcn rokład naprężeń w pocątkowm okresie obciążenia pr obciążeniu granicnm okład naprężenia pionowego w poiomie posadowienia absolutnie stwnego fundamentu Teoretcn rokład naprężenia w poiomie posadowienia wnaca się e woru q ρ r gdie: S >S ρ -odległość ropatrwanego punktu od środka fundamentu, r -promień podstaw fundamentu Z
Naprężenia i odkstałcenia Naprężenia pionowe na głębokości (poniżej poiomu posadowienia) wnaca się jako naprężenia średnie (całkowe) w obrębie prostokąta najdującego się pod obsarem obciążanm wg woru: s qη s gdie: η s -współcnnik rokładu naprężenia q L s okład naprężenia i naprężenie średnie s na głębokości pod obsarem prostokątnm obciążonm równomiernie
Naprężenia i odkstałcenia,,,4,6,8, η s, Nomogram do wnacania współcnnika η,, 4, 5, /B
Naprężenia i odkstałcenia Simplified solution for square loaded areas beneath the centre of the loaded area bearing pressure q B B.76 B q bearing pressure q Simplified solution for circular loaded areas beneath the centre of the loaded area B - diameter.5 B q
Naprężenia i odkstałcenia Simplified solution for continuous loaded areas (strip loads) of width B and infinite length beneath the centre of the loaded area q B.8.6 In preliminar analses of vertical stress increase under the center of rectangular loads, geotechnical engineers often use an approimate method (sometimes called the : method). The vertical stress increase under the center of the load is: q s BL The approimate method is reasonabl ( B )( L ) accurate (compared with Boussinesq s elastic solution) when > B
Naprężenia i odkstałcenia Chart solutions for rectangular and circular loaded area - pressure bulbs (stress bulbs).
Naprężenia i odkstałcenia okład naprężenia w gruncie od diałania obciążenia ciągłego Zastosowanie superpocji do wnacania naprężenia od obciążenia ciągłego. P Obsar obciążon dieli się na mniejse element, w środku elementów prkłada się astępce sił skupione. P BnB i r PqL i B i LmL i Wartość naprężenia pionowego normalnego w dowolnm punkcie ośrodka gruntowego obciążonego wnaca się na podstawie woru Boussinesqa: π P r 5
M Naprężenia i odkstałcenia Wnacanie naprężenia pod narożem prostokątnego obsaru obciążonego d r d B dp Wnacanie naprężeń pionowch od obciążenia ciągłego a pomocą elementarnch astępcch sił skupionch. d L Na danm obsare A wdiela się nieskońcenie mał element o polu da d d; elementarna siła dp qda wwołuje w ropatrwanm punkcie M na głębokości poniżej powierchni półprestreni elementarne naprężenie: d π dp Naprężenie pionowe w ropatrwanm punkcie M od obciążenia ciągłego diałającego w obsare A wnosi: LB π qdd r 5 5
Naprężenia i odkstałcenia http://www.prenhall.com/coduto/html/geotechnical/software.htm Geotechnical Engineering: Principles and Practices includes the following computer software: STESSP - Geostatic and induced stresses beneath a point load STESSL - Geostatic and induced stresses beneath a line load STESS - Geostatic and induced stresses beneath a rectangular area load STESSC - Geostatic and induced stresses beneath a circular area load
JOB TITLE :. Naprężenia i odkstałcenia FLAC (Version 4.) LEGEND -Oct-4 8:48 step 496.47E << 7.58E -4.6E <<.9E YY-stress contours -.E5-9.E4-7.E4-5.E4 -.E4 -.E4 Contour interval.e4 Net Applied Forces Ma Vector 5.E4.5 -.5 -.5 -.5 E 5 -.5 Marek Cala Katedra Geomechaniki. 4. 5. 6. 7. Naprężenia pionowe wwołane siłą P 5 kn.
Naprężenia i odkstałcenia JOB TITLE :. FLAC (Version 4.) LEGEND. -Oct-4 8:5 step 687.9E << 8.78E -6.66E << 8.99E- YY-stress contours -4.5E4-4.E4 -.5E4 -.E4 -.5E4 -.E4 -.5E4 -.E4-5.E.E Contour interval 5.E Net Applied Forces Ma Vector.E4 E 4 -. -. -. -4. -5. -6. Marek Cala Katedra Geomechaniki.. 4. 5. 6. 7. 8. Naprężenia pionowe wwołane obciążeniem ciągłm q 5 kn/mb o serokości m
Naprężenia i odkstałcenia Bardo prdatnm i poglądowm sposobem predstawienia stanu naprężenia jest koło Mohra. Znając wartość i kierunek składowch naprężenia i, można wnacć naprężenia normalne i stcne w dowolnm kierunku, stosując następujące wiąki: θ cos θ cos θ sin θ θ sin θ ma
Naprężenia i odkstałcenia Wor na naprężenia główne ora ich kierunek: θ tan Transformacja składowch stanu naprężenia. Wartości składowch stanu naprężenia można określić następującch worów: ϕ ϕ sin cos ϕ ϕ sin cos
Naprężenia i odkstałcenia Koło Mohra dla odkstałceń γ γ θ γ θ sin θ θ θ θ sin cos cos
Naprężenia i odkstałcenia Koło Mohra dla prestrennego stanu naprężenia i odkstałcenia If all the principal stresses are considered (-D), there are three Mohr s circles. However, in general we concern the maimum shear mostl and therefore the major and the minor are onl important. ( - intermediate principal stress.
Naprężenia i odkstałcenia Odworowanie Stanu Naprężenia w Układie p q Predstawienie na jednm wkresie wielu stanów naprężenia dokonuje się popre nanosenie punktu, którego współrędne są równe: p q W więksości prpadków naprężenia główne wstępują na pionowch bądź na poiomch płascnach, a atem równania można napisać w postaci: p q Ten sposób predstawienia stanu naprężenia w gruncie sprowada się do naniesienia jednego najwżej leżącego punktu dla q dodatniego lub najniżej leżącego punktu dla q ujemnego na kole Mohra.
Naprężenia i odkstałcenia Ścieżki Naprężenia Ścieżka naprężenia to linia prosta lub krwa powstała w wniku połącenia seregu punktów stanu naprężenia naniesionch na wkres, predstawia ciągłość kolejnch stanów naprężenia. a) b) θ A B C D E θ q Ścieżka naprężenia A B C D E p koło Mohra wkres p q Predstawienie kolejnch stanów naprężenia pr więkseniu pionowej składowej naprężenia i stałej wartości składowej
Eample problem: Naprężenia i odkstałcenia At some point on the free surface of a machine element, the Cartesian stresses were determined. Construct the Mohr's circle for this state of plane stress to determine the principal stresses and principal directions. MPa 7 MPa o tan θ.4 θ 67.8
Literatura Smański A. Wkład mechaniki gruntów i budownictwa iemnego Wiłun Z. Zars geotechniki Lambe T. W. Whitman.V (976, 977) Mechanika gruntów,tom I i II, Arkad, Warsawa Verruijt A.. Soil Mechanics Coduto D.P. 999. Geotechnical Engineering. Coduto D.P.. Foundation design. Jarominiak A. 999. Lekkie konstrukcje oporowe. Mślińska E.. Laboratorjne badania gruntów. Obrcki M., Pisarck S. 999. Zbiór adań mechaniki gruntów.