Opis matematyczny Równanie modulatora Charakterystyka statyczna d t = v c t V M dla 0 v c t V M D 1 V M V c Po wprowadzeniu niewielkich odchyłek od ustalonego punktu pracy v c (t )=V c + v c (t ) d (t )=D+ d (t ) D+ d (t )= V c + v c (t ) V M D= V c V M d (t )= v c (t ) V M Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12 8
Transmitancja Układ klasyczny L{ v c (t ) } G m (s)= d (s) v c (s) = L { d (t )} V L { v c (t )} = M L { v c (t )} = Układ z niezerowym poziomem niskim 1 V M v c (s) v c (s) = 1 V M D 1 d (t )= v c (t ) V L V H V L dla V L v c (t ) V H 0 V L V H V c Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12 9
Ograniczenia modulatora Z zasady działania modulatora wynika jego próbkujący charakter Częstotliwość próbkowania jest równa częstotliwości pracy przetwornicy Twierdzenie Nyquista: nie da się analizować sygnałów (składowych) o częstotliwości wyższej niż f s /2 Nie można reagować na szybsze zmiany Model nie jest adekwatny do analizy dla częstotliwości wyższych Pasmo przenoszenia układu sterowania nie powinno sięgać wyżej Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12 10
Transmitancje układu zamkniętego v = v ref G c G m G vd 1H G c G m G vd v g G vg 1H G c G m G vd i load Z out 1H G c G m G vd = = v ref 1 H T 1T v G vg g 1T Z out i load 1T gdzie T =H G c G m G vd wzmocnienie pętli otwartej Zmodyfikowana transmitancja względem wejścia mocy G vg s = v s = G vg s v g s v ref =0 1T s i load =0 ujemne sprzężenie zwrotne zmniejsza transmitancję (1+T) razy wpływ zmian napięcia wejściowego na napięcie wyjściowe ulega zmniejszeniu tym silniejszemu, im większe wzmocnienie pętli Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12 11
Transmitancje układu zamkniętego (cd.) Modyfikacja impedancji wyjściowej również zmiany obciążenia w mniejszym stopniu oddziałują na napięcie wyjściowe Transmitancja względem napięcia odniesienia dla T 1 Z out s = v s v ref s v v s i load s v ref =0 v g =0 g =0 i load =0 = 1 H s = Z out s 1T s T s 1T s v s v ref s v g =0 i load =0 1 H s T s T s = 1 H V = 1 V ref H 0 T 0 1T 0 1 H jeżeli wzmocnienie pętli jest duże, to napięcie wyjściowe jest niezależne od tego wzmocnienia, a tylko od dzielnika wyjściowego Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12 12
Przykładowe wzmocnienie pętli otwartej częstotliwość odcięcia f c : T f c =1 0 db Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12 13
Konstrukcja wyrażenia T/(1+T) T 1T { 1 dla T 1 0 db T dla T 1 v s v ref s = 1 H s T s 1T s Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12 14
Konstrukcja wyrażenia 1/(1+T) 1 1T { 1/T dla T 1 T db 1 dla T 1 0 db G vg s = G vg s 1T s Z out s = Z out s 1T s Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12 15
Stabilność układu zamkniętego Nawet jeżeli układ otwarty jest stabilny, ujemne sprzężenie zwrotne może wprowadzić niestabilność Nawet jeżeli układ zamknięty jest stabilny, to praca blisko granicy stabilności oznacza znaczące przeregulowania i długie oscylacje Kryterium biegunów: Układ zamknięty jest stabilny, jeżeli jego transmitancja nie posiada biegunów w prawej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej s G vg s = G vg s 1T s Z out s = Z out s 1T s v s v ref s = 1 H s T s 1T s Wnioski jeżeli układ otwarty jest stabilny, to jego transmitancje (G vg, Z out, 1/H) nie posiadają biegunów w prawej półpłaszczyźnie może je więc wprowadzić wyłącznie transmitancja pętli otwartej T wyrażenie (1 + T) nie może mieć pierwiastków o dodatniej części rzeczywistej Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12 16
Ocena stabilności w oparciu o kryterium biegunów Kluczowe transmitancje przedstawia się w formie wielomianów T s 1T s = N s D s 1 N s D s = N s N s D s 1 1T s = 1 1 N s D s = D s N s D s Oblicza się miejsca zerowe mianownika i sprawdza się ich lokalizację na płaszczyźnie zespolonej wyrażenie 1+T(s) nazywa się funkcją charakterystyczną układu Programy analizy numerycznej pozwalają szybko obliczyć lokalizacje biegunów dla zmiennego wybranego parametru transmitancji, co pomaga poprawnie zaprojektować pętlę transmitancje posiadają wiele parametrów, a jednoczesne śledzenie wpływu ich wszystkich jest niemożliwe Podejście żmudne i mało mówiące o zachowaniu układu oraz możliwościach jego poprawy Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12 17
Kryterium Nyquista (jedno ze szczególnych sformułowań najprostsze) Jeżeli transmitancja układu otwartego T(s) nie posiada biegunów w RHP, to układ zamknięty jest stabilny, jeżeli charakterystyka częstotliwościowa transmitancji widmowej T(jω) na płaszczyźnie zespolonej nie obejmuje punktu ( 1, j0) (zostawia go po lewej idąc w kierunku rosnącej pulsacji ω) Charakterystykę taką nazywa się wykresem Nyquista (Nyquist plot) Ocena stabilności układu zamkniętego na podstawie wyłącznie transmitancji widmowej układu otwartego Brak konieczności obliczania pierwiastków sumy 1+T(s) lub N(s)+D(s) 1 + T(jω) = = T(jω) ( 1) tj. odległość od punktu s= 1 Im {T(jω)} T(jω) Re {T(jω)} Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12 18
Logarytmiczne sformułowanie kryterium Nyquista Jeżeli transmitancja układu otwartego T(s) nie posiada biegunów w prawej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej oraz jeżeli występuje tylko jedna częstotliwość odcięcia f c, to wyrażenie 1/[1+T(s)] nie posiada biegunów w prawej półpłaszczyźnie, jeżeli zapas fazy φ m układu otwartego jest dodatni φ m = T (ω c ) ( π)= = T (ω c )+π Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12 19
Kryteria stabilności przykład K T (s)= (s+1)(s+2)(s+3) = K /6 1 1+T (s) = (s+1)(s+2)(s+3) K +6+11s+6s 2 +s 3 ( 1+ s 1)( 1+ s 2)( 1+ s 3) Weźmy K =60: 1 1+T (s) =(s+1)(s+2)(s+3) 66+11s+6s 2 +s =(s+1)(s+2)(s+3) 3 (6+s)(11+s 2 ) s p1 = 1; s p2 = 2; s p3 = 3 f p1 =0,159 Hz; f p2 =0,318 Hz; f p3 =0,477 Hz (LHP) (s+1)(s+2)(s+3) = (s+6)(s+j 11)(s j 11) s z1 = 1 ; s z2 = 2; s z3 = 3 s p1 = 6+j0; s p2 =0 j 11; s p3 =0+j 11 Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12 20
Kryterium biegunów T(s) K = 60 OL: s p1 = 1; s p2 = 2; s p3 = 3 CL: s z1 = 1; s z2 = 2; s z3 = 3 s p1 = 6+j0; s p2 =0 j 11; s p3 =0+j 11 bieguny na granicy LHP i RHP granica stabilności odpowiedź impulsowa dla T cl (s) T cl (s) = 1/(1+T(s)) Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12 21
Kryterium Nyquista na płaszczyźnie zespolonej Przejście wykresu Nyquista funkcji charakterystycznej 1+T(jω) przez początek układu współrzędnych oznacza, że występują bieguny układu zamkniętego na granicy lewej i prawej półpłaszczyzny zmiennej zespolonej (układ stabilny granicznie) Jest to równoważne przejściu wykresu Nyquista transmitancji pętli otwartej T(jω) przez punkt 1+ j0 T(jω) K = 60 1+T(jω) Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12 22
Związek między wykresem Nyquista a wykresem Bodego T = 15,5 db = 6 270 T(jω) K = 60 180 100 Hz 0 0,001 Hz 0,528 Hz 1 e j( 180 ) 10 e j0 ~0,170 Hz 6 e j( 90 ) 90 T = 20 db 10 T(f c ) = 0 db 1 T db 0 f c = 0,528 Hz T(f c ) = 180 φ m = 0 Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12 23
Położenie biegunów dla układu stabilnego i dla układu niestabilnego T cl (s) = 1/(1+T(s)) K = 30 odpowiedź impulsowa dla T cl (s) T cl (s) = 1/(1+T(s)) K = 90 odpowiedź impulsowa dla T cl (s) Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12 24
Zapas fazy na wykresach Bodego i Nyquista Wykres Nyquista T(jω) nie obejmuje punktu 1+j0, który znajduje się po jego lewej stronie idąc w kierunku rosnącej pulsacji Zapas fazy 0 oznaczałby, że wykres przechodzi przez punkt 1+j0 T(jω) K = 30 180 = ( 1+j0) φ m T(f c ) 0,374 Hz 1 e j( 154,6 ) s = 1 T(f c ) = 0 db 1 f c = 0,374 Hz T(f c ) = 154,6 φ m = 25,4 Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12 25
Wykresy Bodego i Nyquista dla układu niestabilnego Wykres Nyquista T(jω) obejmuje punkt 1+j0, który znajduje się po jego prawej stronie idąc w kierunku rosnącej pulsacji Występuje niedobór fazy: T(f c ) = 192 T(jω) K = 90 f c T(f c ) s = 1 Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12 26
Zapas amplitudy Zapas amplitudy to odwrotność modułu wzmocnienia pętli otwartej T(jω) dla częstotliwości, dla której jego argument (faza) wynosi 180 ( π) Zgodnie z alternatywnym sformułowaniem kryterium Nyquista, układ jest stabilny, jeżeli jego zapas amplitudy wyrażony w db jest dodatni (g m ) db =0 db T ( f π ) db = T ( f π ) db T(jω) K = 30 1 g m = T ( f π ) g m,db = T(f π ) db = +6 db g m = 1 / T(f π ) = 2 T(f π ) = 180 f π = 0,528 Hz T(f π ) = 6 db 0,5 Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12 27
Zapas amplitudy na wykresie Nyquista Miarą stabilności jest odległość charakterystyki T(jω) od punktu ( 1, j0) Można ją wyrazić za pomocą: s= 180 zapasu fazy (phase margin) odległość kątowa, różnica argumentów zapasu amplitudy (gain margin) odległość w linii prostej, różnica modułów (w jednostkach logarytmicznych; iloraz wartości bezwzględnych) 1+j0 db 0 db T(f π ) db 6 db g m,db 1/g m T(jω) K = 30 f π = 0,528 Hz T(f π ) = 6 db 0,5 1= 1+j0 0,528 Hz 0,5 e j( 180 ) T(f π ) g m,db = 0 db T(f π ) db = +6 db g m = 1 / T(f π ) = 2 T(f π ) = 180 Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12 28
Uogólnione kryterium Nyquista Niech: P oznacza liczbę biegunów transmitancji pętli otwartej T(s) w RHP, N oznacza liczbę okrążeń punktu 1+j0 przez wykres Nyquista T(jω) liczonych w kierunku ruchu wskazówek zegara (okrążenia w odwrotnym kierunku liczone są ze znakiem minus), Z oznacza liczbę zer funkcji charakterystycznej układu 1+T(s) w prawej półpłaszczyźnie (a więc liczbę biegunów układu zamkniętego w RHP). Wówczas zachodzi równość: Z = P + N. Układ zamknięty jest więc stabilny: jeżeli P = 0 (układ otwarty stabilny) gdy N = 0, a więc wykres nie okrąża punktu 1+j0; jeżeli P > 0 (układ otwarty niestabilny) gdy N = P, a więc wykres okrąża punkt 1+j0 wypadkowo P razy w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Można to w miarę prosto pokazać graficznie Formalny dowód opiera się na przekształceniu płaszczyzny zmiennej zespolonej względem pewnego konturu w prawej półpłaszczyźnie Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12 29
Czasowe parametry odpowiedzi układu Czas narastania t r (rise time) różne progi Czas regulacji / ustalania t s (settling time) różne marginesy Przeregulowanie M p (overshoot) względne lub bezwzględne Dla układu II rzędu t r 1,8 ω 0 t s 4,6 ζ ω 0 =4,6 2Q ω 0 M p exp ( πζ 1 ζ 2) Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12 30
Dobroć a odpowiedź jednostkowa (układ II rzędu) Q =0,5 ζ = 1 2Q =1 tłumienie krytyczne (granica oscylacji) Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12 31
Zapas fazy a dobroć (układ II rzędu) Q= cosφ m sinφ m φ m =arctg 1+ 1+4 Q 4 2Q 4 Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12 32
Projektowanie układów automatycznej regulacji Typowe założenia projektowe: wrażliwość napięcia wyjściowego na zmiany obciążenia narzuca maksymalną impedancję wyjściową minimalne wzmocnienie pętli otwartej (dla DC i n.cz.) wrażliwość napięcia wyjściowego na zmiany napięcia wejściowego narzuca maksymalną transmitancję względem wejścia mocy minimalne wzmocnienie pętli otwartej (dla DC i n.cz.) szybkość odpowiedzi w stanach przejściowych narzuca minimalną częstotliwość odcięcia tym większa, im większe wzmocnienie pętli otwartej dla w.cz. narzuca także minimalną częstotliwość przełączania (z powodu działania modulatora) amplituda przeregulowania / czas stłumienia oscylacji narzuca maksymalną dobroć minimalny zapas fazy minimalne / maksymalne = jakie można dopuścić, aby układ można było uznać za wystarczająco dobry Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12 33