Liczby i funkcje rzeczywiste

Podróże po Imperium Liczb Część 10 Liczby i funkcje rzeczywiste Andrzej Nowicki Wydanie drugie, poprawione i uzupełnione Olsztyn, Toruń, 013

RZL - 39(005) - 07.03.013

Spis treści Wstęp 1 1 Liczby rzeczywiste 5 1.1 Liczba e....................................... 5 1. Liczba π...................................... 8 1.3 Rozwinięcia dziesiętne pewnych liczb rzeczywistych.............. 13 1.4 Kolejne wyrazy ciągów i rozwinięcia dziesiętne................. 14 1.5 Niewymierność pewnych liczb rzeczywistych.................. 16 1.6 Całkowitość lub wymierność pewnych liczb rzeczywistych........... 18 1.7 Przybliżenia wymierne.............................. 0 1.8 Maksima i minima................................. 1 1.9 Metryki....................................... 1.10 Liczby postaci x + 1/x.............................. 6 1.11 Różne fakty i zadania dotyczące liczb rzeczywistych.............. 9 Liczby z pierwiastkami 31.1 Rozwinięcia dziesiętne liczb z pierwiastkami.................. 31. Równości z pierwiastkami kwadratowymi.................... 33.3 Pierwiastki kwadratowe i potęgi......................... 35.4 Pierwiastki trzeciego stopnia........................... 38.5 Równości z pierwiastkami trzeciego i drugiego stopnia............. 39.6 Równości z pierwiastkami wyższych stopni................... 41.7 Wymierność lub niewymierność liczb z pierwiastkami............. 4.8 Nieskończone ciągi z pierwiastkami....................... 48.9 Granice ciągów z pierwiastkami......................... 49.10 Przybliżenia wymierne liczb z pierwiastkami.................. 50.11 Różne fakty i zadania z pierwiastkami...................... 51 3 Ciągi liczb rzeczywistych 53 3.1 Skończone ciągi arytmetyczne.......................... 53 3. Nieskończone ciągi arytmetyczne......................... 54 3.3 Ciągi geometryczne................................ 56 3.4 Ciągi arytmetyczne i geometryczne....................... 57 3.5 Skończone ciągi liczb rzeczywistych....................... 58 3.6 Nieskończone ciągi liczb rzeczywistych...................... 59 3.7 Granice ciągów................................... 60 3.8 Sumy szeregów................................... 60 4 Część całkowita liczby rzeczywistej 63 4.1 Równości z częścią całkowitą (bez pierwiastków)................ 64 4. Równości z częścią całkowitą i pierwiastkami.................. 66 4.3 Część całkowita dla liczb z rozszerzeń kwadratowych.............. 70 4.4 Nierówności z częścią całkowitą......................... 7 4.5 Część całkowita i ciągi.............................. 74 4.6 Część całkowita, nwd i nww........................... 77 4.7 Część całkowita i liczby pierwsze......................... 78 4.8 Część całkowita i relacja podzielności...................... 80 i

4.9 Część całkowita i liczby kwadratowe....................... 8 4.10 Liczby postaci [nx]................................. 85 4.11 Część całkowita i wielomiany........................... 88 4.1 Ciąg x n+1 = x n + 1/[x n ]............................. 89 4.13 Różne fakty i zadania z częścią całkowitą.................... 91 5 Równania z częścią całkowitą 93 5.1 Równania pierwszego stopnia z częścią całkowitą................ 93 5. Równanie ax + b[x] + c = 0........................... 95 5.3 Równanie a[x] + bx + c = 0........................... 101 5.4 Inne równania drugiego stopnia z częścią całkowitą.............. 106 5.5 Równania trzeciego stopnia z częścią całkowitą................. 107 5.6 Równania z pierwiastkami i częścią całkowitą.................. 107 5.7 Różne równania z częścią całkowitą....................... 108 6 Część ułamkowa liczby rzeczywistej 109 6.1 Równości z częścią ułamkową........................... 109 6. Równania z częścią ułamkową.......................... 110 6.3 Nierówności z częścią ułamkową......................... 11 6.4 Różne fakty i zadania z częścią ułamkową.................... 113 7 Funkcje trygonometryczne 115 7.1 Wartości funkcji trygonometrycznych dla pewnych kątów ostrych....... 115 7. Wielokrotności kąta π 7............................... 118 7.3 Tożsamości trygonometryczne z sumami..................... 119 7.4 Tożsamości trygonometryczne z iloczynami................... 11 7.5 Nierówności trygonometryczne.......................... 13 7.6 Różne zadania z funkcjami trygonometrycznymi................ 14 8 Funkcje rzeczywiste 15 8.1 Przykłady i pewne własności funkcji rzeczywistych............... 15 8. Punkty stałe.................................... 16 8.3 Przykłady funkcji okresowych.......................... 17 8.4 Sumy funkcji okresowych............................. 19 8.5 Funkcje ciągłe................................... 130 8.6 Funkcje różniczkowalne.............................. 131 9 Równania funkcyjne 133 9.1 Wielomianowe równanie (x-a)f(x-p) = (x-b)f(x-q)............... 133 9. Inne wielomianowe równania funkcyjne..................... 135 9.3 Równania funkcyjne z iteracjami funkcji niewiadomej............. 137 9.4 a(x)f(u(x)) + b(x)f(v(x)) = c(x)......................... 139 9.5 Różne równania funkcyjne jednej zmiennej................... 141 9.6 f(x+y) = f(x) + f(y), funkcje Hamela, równanie Cauchy ego......... 14 9.7 f(x+y) = f(x) + f(y) + a(x,y).......................... 144 9.8 x s f(y) ± y r f(x) = a(x,y).............................. 145 9.9 f(xf(y))) = a(x,y)................................. 146 9.10 Różne równania funkcyjne dwóch i więcej zmiennych............. 146 9.11 Funkcje f(g(x)) i g(f(x)).............................. 148 ii

9.1 Dwie funkcje i równania funkcyjne........................ 149 9.13 Nierówności funkcyjne............................... 150 10 Pierścień funkcji ciągłych 153 10.1 Definicje i początkowe własności......................... 153 10. Elementy odwracalne............................... 155 10.3 Dzielniki zera.................................... 156 10.4 Idempotenty i przestrzenie spójne........................ 156 10.5 Zbiory zer..................................... 157 10.6 z-ideały....................................... 158 10.7 Ideały maksymalne................................ 159 10.8 Ideały pierwsze................................... 160 10.9 Homomorfizmy pierścieni funkcji ciągłych.................... 163 11 Ułamki łańcuchowe 167 11.1 Podstawowe pojęcia wstępne........................... 167 11. Skończone ułamki łańcuchowe.......................... 168 11.3 Nieskończone ułamki łańcuchowe......................... 170 11.4 Rozwinięcia dla pierwiastków kwadratowych.................. 17 11.5 Dodatkowe fakty.................................. 177 Spis cytowanej literatury 178 Skorowidz nazwisk 185 Skorowidz 189 iii

Wstęp Głównym tematem prezentowanej serii książek są liczby i ich przeróżne własności. Autor od najmłodszych lat zbierał wszelkie fakty i ciekawostki dotyczące najpierw liczb całkowitych i wielomianów o współczynnikach całkowitych, a następnie dotyczące również liczb wymiernych, rzeczywistych, zespolonych oraz wielomianów nad tymi zbiorami liczbowymi. Nazbierało się sporo interesującego materiału, którego wybrane fragmenty będą tu przedstawione. Materiał pochodzi z wielu różnych źródeł. Są tu zadania i problemy, które znajdziemy w popularnych czasopismach matematycznych. Wśród tych czasopism jest wychodzące od 1894 roku (przeważnie 10 numerów w roku) The American Mathematical Monthly. Są wśród tych czasopism również: angielskie czasopismo Mathematical Gazette,, kanadyjskie Crux Mathematicorum, rosyjskie Kwant, chińskie Mathematical Excalibur, itp. Godnymi uwagi są również polskie czasopisma popularno-naukowe: Delta, czasopismo dla nauczycieli Matematyka oraz inne. Istotną rolę w prezentowanym materiale odegrały zadania z olimpiad i konkursów matematycznych całego świata. Każdego roku pojawiają się opracowania, książki oraz artykuły dotyczące zadań z różnych zawodów matematycznych. Wspomnijmy tylko o prestiżowych seriach książek z zawodów International Mathematical Olympiad (IMO) oraz Putnam Mathematical Competition. Sporo oryginalnych zadań znajduje się w opracowaniach dotyczących olimpiad matematycznych w Rosji lub w państwach byłego Związku Radzieckiego. Polska również ma wartościowe serie tego rodzaju książek. Zebrany materiał pochodzi również z różnych starych oraz współczesnych podręczników i książek z teorii liczb. Wykorzystano liczne książki popularno-naukowe oraz prace naukowe publikowane w różnych czasopismach specjalistycznych. Są tu też pewne teksty pochodzące z internetu. Większość prezentowanych faktów ma swoje odnośniki do odpowiedniej literatury. Odnośniki te wskazują tylko wybrane miejsca, w których można znaleźć albo informacje o danym zagadnieniu, albo rozwiązanie zadania, albo odpowiedni dowód. Bardzo często omawiany temat jest powtarzany w różnych pozycjach literatury i często trudno jest wskazać oryginalne źródła. Jeśli przy danym zagadnieniu nie ma żadnego odnośnika do literatury, to oznacza to, że albo omawiany fakt jest oczywisty i powszechnie znany, albo jest to własny wymysł autora. Elementarna teoria liczb jest wspaniałym źródłem tematów zachęcających do pisania własnych programów komputerowych, dzięki którym można dokładniej poznać badane problemy. Można wykorzystać znane komputerowe pakiety matematyczne: MuPad, Mathematica, CoCoA, Derive, Maple i inne. W prezentowanej serii książek znajdziemy sporo wyników i tabel uzyskanych głównie dzięki pakietowi Maple. We wszystkich książkach z serii Podróże po Imperium Liczb stosować będziemy jednolite oznaczenia. Zakładamy, że zero nie jest liczbą naturalną i zbiór {1,, 3,... }, wszystkich liczb naturalnych, oznaczamy przez N. Przez N 0 oznaczamy zbiór wszystkich nieujemnych liczb całkowitych, czyli zbiór N wzbogacony o zero. Zbiory liczb całkowitych, wymiernych, rzeczywistych i zespolonych oznaczamy odpowiednio przez Z, Q, R oraz C. Zbiór wszystkich liczb pierwszych oznaczamy przez P. Największy wspólny dzielnik liczb całkowitych a 1,..., a n oznaczamy przez nwd(a 1,..., a n ) lub, w przypadkach gdy to nie prowadzi do nieporozumienia, przez (a 1,..., a n ). Natomiast najmniejszą wspólną wielokrotność tych liczb oznaczamy przez nww(a 1,..., a n ) lub [a 1,..., a n ]. 1

Zapis a b oznacza, że liczba a dzieli liczbę b. Piszemy a b w przypadku, gdy a nie dzieli b. Jeśli m jest liczbą naturalną, to ϕ(m) jest liczbą wszystkich liczb naturalnych mniejszych lub równych m i względnie pierwszych z liczbą m. Liczbę elementów skończonego zbioru A oznaczamy przez A. Pewne zamieszczone tutaj fakty przedstawione są wraz z ich dowodami. Początek dowodu oznaczono przez D.. Pojawiają się również symbole R., U., W. oraz O. informujące odpowiednio o początku rozwiązania, uwagi, wskazówki i odpowiedzi. Wszystkie tego rodzaju teksty zakończone są symbolem. Skrót Odp. również oznacza odpowiedź. Spis cytowanej literatury znajduje się na końcu tej książki (przed skorowidzami). Liczby pomiędzy nawiasami oraz, występujące w tym spisie, oznaczają strony, na których dana pozycja jest cytowana. W pewnych podrozdziałach podano również literaturę dodatkową lub uzupełniającą. Informuje o tym symbol. Seria Podróże po Imperium Liczb składa się z piętnastu nastpujących książek. 01. Liczby wymierne; 0. Cyfry liczb naturalnych; 03. Liczby kwadratowe; 04. Liczby pierwsze; 05. Funkcje arytmetyczne; 06. Podzielność w zbiorze liczb całkowitych; 07. Ciągi rekurencyjne; 08. Liczby Mersenne a, Fermata i inne liczby; 09. Sześciany, bikwadraty i wyższe potęgi; 10. Liczby i funkcje rzeczywiste; 11. Silnie i symbole Newtona; 1. Wielomiany; 13. Nierówności; 14. Równanie Pella; 15. Liczby, funkcje, zbiory, geometria. Wszystkie książki z serii Podróże po Imperium Liczb napisano w edytorze L A TEX. Spisy treści tych książek oraz pewne wybrane rozdziały moża znaleźć na internetowej stronie autora: http://www.mat.uni.torun.pl/~anow. Wszystkie książki z serii Podróże po Imperium Liczb zostały wydane przez Wydawnictwo Naukowe Olsztyńskiej Wyższej Szkoły Informatyki i Zarządzania im. prof. Tadeusza Kotarbińskiego. Pierwsze wydania tych książek pojawiły się w latach 008 011. Autor otrzymał sporo interesujących listów z uwagami i komentarzami dotyczącymi omawianych zagadnień. Były też listy, w których wytknięto szereg pomyłek, błędów i niedokładności. Autorom tych wszystkich listów należą się szczere i serdeczne podziękowania. Teraz, w tym drugim wydaniu książek serii Podróże po Imperium Liczb, przesłane uwagi zostały uwzględnione. Naprawiono błędy, dołączono pewne dowody oraz podano nową aktualną literaturę. Wydanie to jest rozszerzone, uzupełnione i wzbogacone o pewne nowe rozdziały lub podrozdziały.

o o o o o W dziesiątej książce z serii Podróże po Imperium Liczb, zajmujemy się liczbami rzeczywistymi i funkcjami rzeczywistymi. Przez funkcję rzeczywistą rozumiemy każdą funkcję określoną na podzbiorze zbioru wszystkich liczb rzeczywistych i przyjmującą wartości będące liczbami rzeczywistymi. Książka składa się z jedenastu rozdziałów. W rozdziale pierwszym zebrano różne fakty, informacje i zadania dotyczące samych liczb rzeczywistych. Mowa jest tu o rozwinięciach dziesiętnych, przybliżeniach wymiernych i o problemach niewymierności lub całkowitości pewnych liczb rzeczywistych. Oddzielne podrozdziały dotyczą wybranych własności liczb e i π. Rozdział drugi zajmują liczby rzeczywiste, będące pierwiastkami dowolnego stopnia z liczb naturalnych lub z dodatnich liczb wymiernych. W rozdziale trzecim zajmujemy sią ciągami liczb rzeczywistych. Mówimy tu o ciągach arytmetycznych i geometrycznych. Rozważane są ciągi zarówno skończone jak i nieskończone. Dla pewnych nieskończonych ciągów obliczane są granice i sumy szeregów. We wszystkich książkach serii Podróże po Imperium Liczb przez [x] oznaczamy część całkowitą liczby rzeczywistej x. Ta część całkowita występować będzie caęsto w dwóch następnych rozdziałach. W rozdziale czwartym rozważamy liczne równości i nierówności z częściami całkowitymi oraz przedstawiamy pewne problemy dotyczące części całkowitej i relacji podzielności. W rozdziale piątym jest szereg różnych równań z częściami całkowitymi liczb rzeczywistych. Dowodzi się tu, między innymi, że dla dowolnej liczby naturalnej n istnieją dwie liczby całkowite a i b takie, że równanie x + a[x] + b = 0 posiada dokładnie n rozwiązań. Podobną własność mają równania postaci [x] + ax + b = 0. Przez {x} oznaczamy część ułamkową liczby rzeczywistej x, tzn. {x} = x [x]. Różne zagadnienia dotyczące części ułamkowej znajdują się w rozdziale szóstym. W rozdziałach od siódmego do dziewiątego rozważane są funkcje rzeczywiste. W rozdziale siódmym są funkcje trygonometryczne: sinus, cosinus, tangens i cotangens. Są to szczególne przykłady funkcji okresowych. W następnym rozdziale (ósmym) przedstawiono, między innymi, pewne własności funkcji okresowych. Z funkcjami rzeczywistymi spotykamy się również w rozdziale dziewiątym zatytułowanym Równania funkcyjne. W tym rozdziale podano szereg różnych równań, w których niewiadome są funkcjami rzeczywistymi. W rozdziale dziesiątym zakładamy, że Czytelnik zna podstawowe pojęcia i fakty o przestrzeniach topologicznych i pierścieniach przemiennych z jedynką. Jeśli X jest przestrzenią topologiczną, to przez C(X) oznaczamy zbiór wszystkich funkcji ciągłych z X do R. Zbiór ten jest pierścieniem przemiennym z jedynką. Zajmujemy się pewnymi algebraicznymi własnościami tego pierścienia. Mówimy o dzielnikach zera, elementach odwracalnych, idempotentach, homomorfizmach. Sporo miejsca poświęcamy ideałom pierścienia C(X). Podajemy, między innymi, elementarny dowód na to, że jeśli X jest dowolną przestrzenią topologiczną, to każdy ideał pierwszy w C(X) zawarty jest w dokładnie jednym ideale maksymalnym. W omawianym rozdziale najbardziej nas interesują pierścienie C(R) i C([a, b]), gdzie a < b są liczbami rzeczywistymi. Znajdziemy tu, między innymi, prosty dowód twierdzenia, że w pierścieniu C([a, b]) istnieją niemaksymalne ideały pierwsze. Do powstania tego rozdziału w znacznej mierze przyczyniły się odczyty Profesora Stanisława Balcerzyka, wygłoszone w latach siedemdziesiątych 3

ubiegłego wieku, na Seminarium Algebraicznym Uniwersytetu Mikołaja Kopernika w Toruniu. Główną pozycją literatury, dotyczącej tego rozdziału, jest piękna książka L. Gillmana i M. Jerisona [G-J] z 1960 roku. Ostatni rozdział tej książki nie jest związany z rozdziałami poprzednimi. Podano w nim niezbędne informacje o ułamkach łańcuchowych. W rozdziale tym znajdziemy, między innymi, liczne przykłady rozwinięć na nieskończony ułamek łańcuchowy liczb niewymiernych postaci d, gdzie d jest niekwadratową liczbą naturalną. 4

1 Liczby rzeczywiste Zbiór wszystkich liczb rzeczywistych oznaczamy przez R. Każda liczba rzeczywista ma dokładnie jedno nieskończone rozwinięcie dziesiętne. Dla przykładu takim nieskończnonym rozwinięciem dziesiętnym liczby 1 3 jest 0, 3333, a liczby 1 jest 0, 4999. Dana liczba rzeczywista jest wymierna wtedy i tylko wtedy, gdy jej nieskończone rozwinięcie dziesiętne jest od pewnego miejsca okresowe. 1.1 Liczba e ( e = n lim 1 + n) 1 n e = 1 + 1 1! + 1! + 1 3! + 1.1.1. Rozwinięcie dziesiętne liczby e (tysiąc cyfr). e =, 7188188459045353608747135664977574709369995957496696767740 766303535475945713817855166474746639193003059918174135966904 3579003349560595630738133867943490763338988075319551019011 573834187930701540891499348841675094476146066808648001684774118 5374345444371075390777449906955170761838606613313845830007504 49338656097606737113007093870917443747047306969770931014169 83681905515108657463771115389784450569536967707854499699679468 6445490598793163688930098793177361781544999957635148086989 519366803318588693984964651058093939894887933036509443117301 38197068416140397019837679306838376464804953118038785098194 5581530175671736133069811509961818815930416903515988885193458077 38667385894879849989086805857497961048419844436346344968487 560336487041978630900160990353043699418491463140934317381436 40546531509618369088870701676839644378140597145635490613031070 85103837505101157477041718986106873969655167154688957035035 (Maple). 1.1.. Liczba pierwsza utworzona z 85 początkowych cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby e: 718818845904535360874713566497757470936999595749669676774076630353547594571. Liczby utworzone z n początkowych cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby e są pierwsze, gdy n = 1, 3, 7 lub 85. Czy są jeszcze inne tego rodzaju liczby pierwsze? (Maple). 1.1.3. Tabela przedstawia pewne liczby pierwsze utworzone z kolejnych cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby e. Podano: numer cyfry początkowej, liczbę cyfr oraz liczbę pierwszą (Maple). 49 718818845904535360874713566497757470936999 114 718818845904535360874713566497757470936999595749669676774 0766303535475945713817855166474746639193003 16 718818845904535360874713566497757470936999595749669676774 076630353547594571381785516647474663919300305991817413 4 5 881884590453536087471 4 6 8818845904535360874713 4 33 881884590453536087471356649 5

6 Liczby i funkcje rzeczywiste 1. Liczby rzeczywiste 1.1.4. e = 1, 6487170700181468486507878141635716537761007101480115750, e e = 15, 15464147964189760430769911905585485368561397691408, log e = 0, 4349448190351876511891891660508943970058036665661144, log e = 1, 44695040888963407359946810018913746645954159859341354, log 3 e = 0, 9103966683739361440165736107000616360575511744 (Maple). R. G. Stoneham, A study of 60, 000 digits of the transcendental e, [Mon] 7(5)(1965) 483-500. 1.1.5. Liczba e jest niewymierna. D. Przypuśćmy, że e jest liczbą wymierną. Niech e = a b, gdzie a, b N. Wiemy, że < e < 3, a więc e nie jest liczbą całkowitą i wobec tego b. Mnożymy obie strony równości e = 1 n! przez b! i mamy: ( ) a(b 1)! = ( ) b! + b! + (3 4 b) + (4 5 b) + + b + 1 + 1 b + 1 + 1 (b + 1)(b + ) +. Ale b, więc 0 < 1 b+1 + 1 (b+1)(b+) + < 1 3 + 1 3 + 1 3 + = 1 3. Stąd wynika, że równość ( ) jest sprzecznością; po lewej stronie tej równości jest liczba naturalna, a po prawej nie. Dalej znajdziemy inny dowód niewymierności liczby e (patrz 1.5.3). A. A. Buchsztab, Niewymierność liczby e, [Buch] 65. R. Courant, H. Robbins, Liczba Eulera e, [CouR] 381-383. M. Eastham, The irrationality of e 4 ; a simple proof, [MG] 88(51)(004) 05-07. A. E. Parks, π, e, and other irrational numbers, [Mon] 9(1986) 7-73. J. Sondow, A geometric proof that e is irrational and a new measure of its irrationality, [Mon] 113(7)(006) 637-641. W 1873 roku matematyk francuski Charles Hermite (18 1901) udowodnił, że liczba e nie jest algebraiczna, tzn. jest liczbą przestępną, czyli nie jest pierwiastkiem żadnego wielomianu jednej zmiennej o współczynnikach wymiernych. 1.1.6 (Hermite 1973). Liczba e jest przestępna. A. Baker, Transcendence of e, [Bak] 3-6. A. A. Buchsztab, Przestępność liczby e, [Buch] 67. A. I. Gałoczkin, Y.V. Nesterenko, A. B. Szydłowski, Przestępność liczby e, [G-ns] 113-118. I. Stewart, Transcendence of e, [Stet] 7-73. O. Veblen, The transcendence of π and e, [Mon] 11(1)(1904) 19-3. Następne dwie równości dotyczą ułamków łańcuchowych, o których dokładniej powiemy w ostatnim rozdziale tej książki. 1.1.7. [ e = ] [; 1,, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1,... ] (ułamek łańcuchowy). Innymi słowy, e = ; (a n ), gdzie a 3n = a 3n+1 = 1 oraz a 3n 1 = n dla n N. ([Buch] 16). e + 1 e + 1 [ ] 1.1.8. = [; 6, 10, 14, 18,... ]. Dokładniej, e 1 e 1 = ; (a n ), gdzie a n = 4n + dla n N. ([Buch] 15). n=0

Liczby i funkcje rzeczywiste 1. Liczby rzeczywiste 7 H. Cohn, A short proof of the simple continued fract. expansion of e, [Mon] 113(1)(006) 57-4. T.J. Osler, A proof of the continued fraction expansion of e 1/M, [Mon] 113(1)(006) 6-66. 1.1.9. 1.1.10. n=0 ( (n + 1) (n + 1)! n=0 = e. ([Crux] 000 s.308). ) ( (n)! ) 1 1 (n!) 3 (n!) n=0 = e. ([Crux] 000 s.54 z.450). 1.1.11. lim n ( n k=0 ( )) /n n = e. ([Dlt] /1995 1). k 1.1.1. Jeśli a 1 = 0, a = 1, a n+ = (n + 1)(a n+1 + a n ), to lim a n n! = k=0 ( 1) k k! = 1. ([Mat] 5/1963 09). e 1.1.13. Która z liczb (.71) e oraz e.71 jest większa? 1.1.14. Dla każdej liczby naturalnej n zachodzi równość [ 1 n e 1 ] = n 1. ([Dlt] 7/000 z.398). D. ([Dlt] 7/000). Liczba e jest granicą ciągów (a n ) i (b n ), gdzie a n = ( 1 + n) 1 n, bn = ( 1 + n) 1 n+1. Wiadomo, że ciąg (a n ) jest rosnący. Ciąg (b n ) jest natomiast malejący (łatwo to wynika ze znanej nierówności Bernoulliego). Mamy zatem: ( 1 + n) 1 n ( < e < 1 + 1 ) n, n 1 dla n. Stąd 1 + 1 n < n [ ] e < 1 + 1 n 1 i mamy: n 1 < n 1 1 e 1 < n, a zatem n e 1 = n 1 (dla n = 1 to jest również prawdą). J.L. Coolidge, The number e, [Mon] 57(9)(1950) 591-60. Zofia Kowalska, Pewne własności i zastosowania liczby e, [Pmgr] 1983. E. Kuźmin, A. Szirszow, Liczba e, [Kw] 8/1979 3-8.

8 Liczby i funkcje rzeczywiste 1. Liczby rzeczywiste 1. Liczba π 1..1. Rozwinięcie dziesiętne liczby π (tysiąc cyfr). π = 3, 141596535897933846643383795088419716939937510580974944593078 16406860899868034853411706798148086513830664709384460955058 3175359408184811174508410701938511055596446948954930381964 4881097566593344618475648337867831657101909145648566934603486 104543664813393607604914173745870066063155881748815090968 954091715364367895903600113305305488046651384146951941511609433 05770365759591953091861173819361179310511854807446379967495673 5188575748917938183011949198336733644065664308601394946395 4737190701798609437077053917176931767538467481846766940513000 568171456356087785771347577896091736371787146844090149534301 4654958537105079796895893540199561119019608640344181598136 977477130996051870711349999998379780499510597317381609631859504 459455346908306453085334468503561931188171010003137838758865 8753308381406171776691473035985349048755468731159568638835378 7593751957781857780531716806613001978766111959091640198 (Maple). W książce Joaquina Navarro [Nava] podano 10 tysięcy początkowych cyfr liczby π. W tej książce, na stronie 119 jest informacja, że na 76 pozycji po przecinku, rozpoczyna się blok składający się z sześciu dziewiątek i zauważył to po raz pierwszy laureat Nagrody Nobla w dziedzinie fizyki, Richard Feynman (1918 1988). Również z tej książki dowiadujemy się, że na pozycji 1 387 594 880 po przecinku, rozpoczyna się blok 013456789. Odkryto to za pomocą komputera. W internecie można znaleźć ponad milion cyfr po przecinku rozwinięcia dziesiętnego liczby π. 1... Liczba pierwsza utworzona z 38 początkowych cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby π: 314159653589793384664338379508841. Liczby utworzone z n początkowych cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby π są pierwsze, gdy n = 1,, 6 lub 38. Innych liczb pierwszych tego typu nie znaleziono. ([Szu87] 63, Maple, K.Brown Primes in the decimal expansion of π). 1..3. Tabela przedstawia pewne liczby pierwsze utworzone z kolejnych cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby π. Podano: numer cyfry początkowej, liczbę cyfr oraz liczbę pierwszą (Maple). 5 14159 1 14159653589 3 1 41596535897 3 6 41596535897933846643383 3 38 415965358979338466433837950884197 4 7 159653 4 41 159653589793384664338379508841971693 7 50 65358979338466433837950884197169399375105809 7 81 65358979338466433837950884197169399375105809749445930781640 686089986803 7 193 65358979338466433837950884197169399375105809749445930781640 68608998680348534117067981480865138306647093844609550583 175359408184811174508410701938511055596446948954930381

Liczby i funkcje rzeczywiste 1. Liczby rzeczywiste 9 1..4. π = 1, 774538509055160798167483341145187975494561387181381 log π = 0, 49714987694133854351688890898873651678343804444613405 log π = 1.65149619473187980437995108007335018476967630415940678, log 3 π = 1.04197804599185865114743195863860634330571987457378796334, π = 9.86960440108935861883449099987615113531369940740790664133, π /6 = 1.64493406684864364741516664605189189499010679843773556, π π = 36.461596070791177099086069136663655084088187387090, e π = 3.14069637796900579086367948547380661064600119934450, π e =.459157718361045473471504543735075893151339966949030, e π = 8.53973467356706546355086954657449503488853576511496187960, e + π = 5.859874480488384738930854631653819544164930750653959 (Maple). P. Borwein, L. Jörgenson, Visible structures in number theory, [Mon] 10(001) 897-910; tutaj są ilustracje dotyczące np. 1600 cyfr po przecinku modulo liczby π. A. Zwonkin, Co to jest π?, [Kw] 11(1978) 8-31. 1..5 (J.H. Lambert 1766). Liczba π jest niewymierna. Po raz pierwszy udowodnił to Johann Heinrich Lambert (178-1777); matematyk i astronom szwajcarski pochodzenia francuskiego. Dzisiaj znamy kilka różnych dowodów tego faktu. Krótki i bardzo elegancki dowód podał w 1947 roku Ivan Niven. D. (Niven 1947). Oznaczmy przez P rodzinę wszystkich takich wielomianów g(x) o współczynnikach rzeczywistych, dla których wszystkie wartości g(0), g(π), g (0), g (π), g (0), g (π),..., g (k) (0), g (k) (π),... są liczbami całkowitymi. (Przez g (k) oznaczamy k-tą pochodną wielomianu g). Wielomiany z rodziny P posiadają następujące dwie własności. (1) Jeśli g(x) P, to π Wynika to z całkowania przez części: π 0 f(x)g(x)dx = 0 sin(x)g(x)dx jest liczbą całkowitą. [ ] π f 1 (x)g(x) f (x)g (x) + f 3 (x)g (x) + ( 1) d f d+1 (x)g (d) (x), 0 gdzie d jest stopniem wielomianu g(x) oraz f n (x) jest ciągiem funkcji zdefiniowanych następująco: sin(x), gdy n 0 (mod 4), cos(x), gdy n 1 (mod 4), f n (x) = sin(x), gdy n (mod 4), cos(x), gdy n 3 (mod 4). () Jeśli g(x), h(x) P, to g(x)h(x) P. To z kolei wynika ze wzoru Leibniza: (g h) (n) (x) = n k=0 ( n k) g (k) (x)h (n k) (x). Mamy udowodnić, że π jest liczbą niewymierną. Przypuśćmy, że tak nie jest. Załóżmy, że π = a b, gdzie a, b N. Rozpatrzmy ciąg wielomianów g 0 (x), g 1 (x), g (x),... zdefiniowanych następująco: g n (x) = 1 n! xn (a bx) n,

10 Liczby i funkcje rzeczywiste 1. Liczby rzeczywiste dla n = 0, 1,,. Udowodnimy indukcyjnie, że każdy wielomian g n (x) należy do rodziny P. Dla n = 0 jest to oczywiste. Dla n 1 zachodzi równość g n(x) = g n 1 (x) (a bx). Zauważmy, że wielomian a bx należy do rodziny P. Jeśli więc wielomian g n 1 (x) należy do rodziny P, to - na mocy () oraz powyższej równości - do tej rodziny należy również wielomian g n(x). Ale g n (0) = g n (π) = 0, więc jeśli g n 1 (x) P, to g n (x) P. Zauważmy jeszcze, że jeśli r jest liczbą z przedziału (0, π), to każda liczba g n (r) jest ostro większa od zera i wobec tego każda liczba sin(r)g n (r) jest również ostro większa od zera. Stąd w szczególności wynika, że każda całka π taka całka jest liczbą całkowitą. Zatem, 0 sin(x)g n (x)dx jest liczbą dodatnią. Wiemy jednak, na mocy (1), że każda (3) π 0 sin(x)g n (x)dx 1 dla wszystkich n = 0, 1,,. Niech M będzie maksymalną wartością wielomianu x (a bx) w przedziale [0, π]. Dla każdej liczby naturalnej n mamy wtedy: π 0 sin(x)g n (x)dx π 0 M n n! dx = π M n n!. M Ale lim n n n! = 0, więc mamy sprzeczność z (3). Przypuszczenie, że π jest liczbą wymierną prowadzi więc do sprzeczności. K. Brown, Proof that π is irrational. R. Breusch, A proof of the irrationality of π, [Mon] 61(9)(1954) 631-63. A. A. Buchsztab, Niewymierność liczby π, [Buch] 66. J. Hanel, A simple proof of the irrationality of π 4, [Mon] 93(5)(1986) 374-375. M. K. Mentzen, Krótka prezentacja długiej historii liczby π, [Min] 14(004), 1-4. T. Nagell, Irationality of the number e and π, [Nagl] 38-40. I. Niven, A simple proof that π is irrational, [Bams] 53(1947), 509. A. E. Parks, π, e, and other irrational numbers, [Mon] 9(1986) 7-73. 1..6 (Tożsamość Eulera). e πi + 1 = 0. 1..7. i i = e π. ([Nava] 95). W 188 roku matematyk niemiecki Ferdynand Lindemann (185-1939) udowodnił, że π jest liczbą przestępną. Udowodnił on nawet więcej: 1..8 (Lindemann 188). Jeśli u 1,..., u n (gdzie n 1) są niezerowymi liczbami algebraicznymi oraz v 1,..., v n są parami różnymi liczbami algebraicznymi, to liczba jest różna od zera. ([Bak] 6-8, [Buch]). Z tego twierdzenia otrzymujemy: u 1 e v 1 + u e v + + u n e vn 1..9 (Lindemann 188). Liczba π jest przestępna.

Liczby i funkcje rzeczywiste 1. Liczby rzeczywiste 11 D. Przypuśćmy, że π jest liczbą algebraiczną. Wtedy πi jest również liczbą algebraiczną i wobec tego z twierdzenia 1..8 wynika, że liczba 1 e πi + 1 e 0 jest różna od zera. Tymczasem, na mocy tożsamości Eulera 1..6, liczba ta jest równa zero. A. A. Buchsztab, Przestępność liczby π, [Buch] 69. A. I. Gałoczkin, Y. V. Nesterenko, A. B. Szydłowski, Przestępność liczby π, [G-ns] 118-130. I. Niven, The transcendence of π, [Mon] 46(8)(1939) 469-471. I. Stewart, Transcendence of π, [Stet] 74-76. O. Veblen, The transcendence of π and e, [Mon] 11(1)(1904) 19-3. 1..10 (Euler). n=1 1 n = π 6. ( 1) n 1 1..11. n=1 n = π. ([Cmj] 1978 s.180, [Nava] 78). 6 1..1 (R. Chartres 1904). Prawdopodobieństwo tego, że dwie wybrane losowo liczby całkowite są względnie pierwsze wynosi. ([Nava] 67). 6 π 1..13. Niech Φ(n) = n ϕ(k) dla n N. Wówczas: k=1 lim n n Φ(n) = π 6. ([Nava] 95). B. R. Choe, An elementary proof of n=1 1 n = π 6, [Mon] 94(7)(1987) 66-663. Y. Matsuoka, An elementary proof of the formula n=1 1 n = π 6, [Mon] 68(5)(1961) 485-487. E. L. Stark, Another proof of the formula n=1 1 n = π 6, [Mon] 76(5)(1969) 55-553. P. Strzelecki, O równości 1/n = π /6, [Dlt] 4/00 4-5. 1..14. 1..15. 1..16. n=0 n=0 n+1 (n + 1) ( n) = π. ([Crux] 00 s.187). n 1 (n + 1) = π 8 ( 1) n (n + 1) 3 = π3 3 n=0. ([Crux] 1998 s.413).. ([Nava] 79). 1..17 (J. Gregory 1670). arctg x = x x3 3 x5 5 + x7 7. Wstawiając x = 1, otrzymujemy: 1..18 (Leibniz). n=0 ( 1) n n + 1 = π. ([Nava] 9). 4

1 Liczby i funkcje rzeczywiste 1. Liczby rzeczywiste 1..19 (Euler). Dla każdej liczby naturalnej m zachodzi równość ζ(m) = ( 1) m+1 m 1 B m π m, (m)! gdzie ζ jest funkcją zeta Riemanna oraz B m jest liczbą Bernoulliego. Przykłady: ([IrR] 31). n=1 1 n 4 = π4 90, n=1 1 n 6 = π6 945, n=1 1 n 8 = π8 9450, n=1 1 n 10 = π10 93555. 1..0. Niech A, B, C oznaczają zbiory wszystkich liczb naturalnych odpowiednio niekwadratowych, bezkwadratowych oraz pełnopotęgowych (patrz [N-9]). Wtedy 1 n = π (15 π ), 90 n A ([Cmj] 17(1)(1986) 98-99). n B 1 n = 15 π, n C 1 n = 15015 138π. 1..1. n=0 sin n n = ( ) sin n = π 1 n n=0. ([Mon] 113(7)(006) 597). 1.. (Viéte 1597). cos π 4 cos π 8 cos π 16 cos π 3 =. Wykorzystując tożsamość cos α = π cos α 1, powyższą równość można przedstawić w postaci ([Mat] 1/003 13-14). 1..3. + + + = π. ( ) ( 1 1 1 1 + 1 + 1 ) ( 1 1 3 + 1 + 1 + 1 ) 1 3 4 + = π4. ([Mon] 41(1)(1934) s.9). 10 1..4 (J. Wallis 1656). π = 1 3 4 3 4 5 6 5 6 7 8 7 8 9, tzn.: n=1 ([Mon] 5(1980) s.391, [Nava] 81, [Mat] 3/003 137-139). 4n 4n 1 = π. 1..5 (Euler). n=1 (n + 1) (n + 1) 1 = π 8, n=1 (n + 1) 4 (n + 1) 4 1 = 5π4 9 16. 1..6. Niech a 0 = 1, a n+1 = a n + 1 + a n. Wtedy lim a n n = 4. ([OM] Polska 1989). π

Liczby i funkcje rzeczywiste 1. Liczby rzeczywiste 13 1..7. Niech (a n ) będzie ciągiem liczb rzeczywistych takim, że a n a n+1 = n dla wszystkich a n n N oraz lim = 1. Wtedy πa n 1 =. ([Putn] 1969). a n+1 1..8. e π > π e. ([Uiuc] 00, [MG] 87(509)(003) s.306). 1..9. (3.14) π > π 3.14. ([Uiuc] 007). 1..30. 0 dx x 4 + 4 = π 4. ([Ssm] 10(6)(00) z.4706 rozw.). Zanotujmy jeszcze kilka innych całek. e x dx = π, 1 1 1 x dx = π 1, 1 dx 1 x = π, 1..31. dx 1 x = π, 1 0 x 4 (1 x) 4 1 + x dx = 7 π, 0 sin x x dx = π. ([Nava]). H. Chan, More formulas for π, [Mon] 113(5)(006) 45-455. E. Kofler, Kwadratura koła, [Kofl] 89-319. M. Skwarczyński, Sto lat dla ludolfiny, [Dlt] 3/1983 10-15. Witold Więsław opublikował w czasopiśmie [Mat] serię 3 interesujących artykułów o liczbie π. Pierwszy z tych artykułów pt. O kole i walcu, czyli π po raz pierwszy, jest w [Mat] (000) s.74. Ostatni artykuł pt. O czym jeszcze nie wiemy; π po raz dwudziesty trzeci, jest w [Mat] 1(004) 7-8. 1.3 Rozwinięcia dziesiętne pewnych liczb rzeczywistych 1.3.1. 0, 577350691... = 3/3, 0, 693147805... = ln, 1, 618033988... = (1 + 5)/,, 665144146... =. [Lion]. Przykłady otrzymane przy pomocy Maple. 1.3.. ln = 0, 69314718055994530941731145817656807550013436055541068, ln 3 = 1, 09861886681096913954536955704647490557874945173469, ln 4 = 1, 38694361119890618834464491635313615100068705105084136, ln 5 = 1, 6094379143410037460075933361876395560135468517719165, ln 6 = 1, 79175946980550008147735838070779906918300470585537, ln 7 = 1, 94591014905531330510535743443179796370847958186118845939, ln 8 =, 0794415416798359851696364374597046500403080765763604, ln 9 =, 197457733619387904904738450514099498111564549890346939, ln 10 =, 305850999404568401799145468436407601101488687797603333..

14 Liczby i funkcje rzeczywiste 1. Liczby rzeczywiste 1.3.3. log = 0, 301099956639811951373889474493067681898814610854131047, log 3 = 0, 477115471966437950790355115309001886419069586489863, log 4 = 0, 600599913796390474777894489860535363797694170860854, log 5 = 0, 698970004336018804786611057550697331810118537891458689573, log 6 = 0, 77815150383643635087667979796083359683187456580440614091, log 7 = 0, 84509804001456830711658596361934835739633965406503634, log 8 = 0, 9030899869919435856411668417347908030456964438635639318, log 9 = 0, 95445094393487459005580651030618400577838139179659731. 1.3.4. log 3 = 1, 58496500711561814537389439478165087598144076948106045575, log 5 =, 31980948873634787031949489390175864831393045806105476, log 6 =, 58496500711561814537389439478165087598144076948106045575, log 7 =, 80735490576041074419693173183080864106659661407836779, log 3 = 0, 630997535714574370995711434760854995856401318804787065, log 3 4 = 1, 6185950714914874199054868551708599171806376085574131, log 3 5 = 1, 4649735071797167197040407678640396307933666660496890590, log 4 3 = 0, 794815036057809076869471973908543799070384640530787, log 4 5 = 1, 1609640474436811739351597147446950879341569651903060738. 1.3.5. W każdym ułamku dziesiętnym istnieją dowolnie długie ciągi następujących po sobie cyfr, występujące w rozwinięciu nieskończenie wiele razy. ([Mat] 6/1954 68, [S59] 307, [S64] 165). 1.3.6. Każda liczba dodatnia jest sumą dziewięciu liczb, których rozwinięcia dziesiętne zawierają tylko cyfry 0 i 7. ([TTss] 1981, [Kw] 7/198 43). D. Niech a > 0. Jest oczywiste, że każda liczba dodatnia, a więc w szczególności liczba a/7, jest sumą dziewięciu liczb, których rozwinięcia dziesiętne zawierają tylko cyfry 0 i 1. Zatem a = 7 (a/7) jest sumą dziewięciu liczb z zerami i siódemkami. M. S. Gelfand, Rozwinięcia dziesiętne pewnych liczb, [Kw] 7/1983 5. 1.4 Kolejne wyrazy ciągów i rozwinięcia dziesiętne 1.4.1. Liczba 0, 1345678910111131415... jest niewymierna. ([S50], [BoL] 76 76, [B-zm]). D. Przypuśćmy, że jest to liczba wymierna. Wtedy rozważane nieskończone rozwinięcie dziesiętne jest (od pewnego miejsca) okresowe. Niech s będzie długością okresu i załóżmy, że tym okresem jest ciąg cyfr (a 1, a,..., a s ). Ponieważ badana liczba powstała z cyfr kolejnych liczb naturalnych, w jej rozwinięciu dziesiętnym występuje nieskończenie wiele bloków składających się z s jedynek. Okres (a 1,..., a s ) składa się więc z samych jedynek. W tym rozwinięciu dziesiętnym występuje również nieskończenie wiele bloków składających się z s dwójek. Okres (a 1,..., a s ) składa się więc z samych dwójek. Mamy zatem sprzeczność: 1 = a 1 =. 1.4.. Po zerze i przecinku wypisano kolejne liczby kwadratowe 1, 4, 9, 16, 5, 36,. Powstała liczba 0, 149165364964. Jest to liczba niewymierna. D. Przypuśćmy, że jest to liczba wymierna. Wtedy rozważane nieskończone rozwinięcie dziesiętne jest (od pewnego miejsca) okresowe. Niech s będzie długością okresu i załóżmy, że tym okresem jest ciąg cyfr (a 1, a,..., a s ). W [N-] wykazaliśmy, że jeśli m jest dowolnym skończonym ciągiem cyfr,

Liczby i funkcje rzeczywiste 1. Liczby rzeczywiste 15 to istnieje nieskończenie wiele takich liczb kwadratowych, których początkowe cyfry tworzą dany ciąg m. Badana liczba powstała z cyfr kolejnych liczb kwadratowych. W jej rozwinięciu dziesiętnym występuje więc nieskończenie wiele bloków składających się z s jedynek. Okres (a 1,..., a s ) składa się więc z samych jedynek. Z tych samych powodów tym rozwinięciu dziesiętnym występuje również nieskończenie wiele bloków składających się z s dwójek. Okres (a 1,..., a s ) składa się więc z samych dwójek. Mamy zatem sprzeczność: 1 = a 1 =. W ten sam sposób wykazujemy następne stwierdzenie 1.4.3. Po zerze i przecinku wypisano kolejne sześciany 1, 8, 7, 64, 15, 16,. Powstała liczba 0, 187641516343. Jest to liczba niewymierna. Stosując odpowiednie fakty o początkowych cyfrach, podane i udowodnione w [N-], można w ten sam sposób udowodnić następujące twierdzenie. Powyższe stwierdzenia są szczególnymi przypadkami tego twierdzenia. 1.4.4. Po zerze i przecinku wypisano kolejno liczby f(1), f(), f(3),..., gdzie f jest wielomianem jednej zmiennej o współczynnikach całkowitych takim, że f(x) > 0 dla x > 0. Wówczas otrzymana liczba jest niewymierna. ([Nagl] s.16 z.55, [B-zm] 116). 1.4.5. Po zerze i przecinku wypisano kolejno liczby pierwsze. Powstała liczba Jest to liczba niewymierna. ([S59] 347). 0, 357111317193. D. Przypuśćmy, że jest to liczba wymierna. Wtedy rozważane nieskończone rozwinięcie dziesiętne jest (od pewnego miejsca) okresowe. Niech s będzie długością okresu i załóżmy, że tym okresem jest ciąg cyfr (a 1, a,..., a s ). Z twierdzenia Dirichleta o liczbach pierwszych w postępie arytmetycznym (patrz [N-4]) wynika, że jeśli m jest dowolnym skończonym ciągiem cyfr (przy czym ostatnią cyfrą jest 1, 3, 7 lub 9), to istnieje nieskończenie wiele takich liczb pierwszych, których końcowe cyfry tworzą dany ciąg m. Badana liczba powstała z cyfr kolejnych liczb pierwszych. W jej rozwinięciu dziesiętnym występuje więc nieskończenie wiele bloków składających się z s jedynek. Okres (a 1,..., a s ) składa się więc z samych jedynek. Z tych samych powodów tym rozwinięciu dziesiętnym występuje również nieskończenie wiele bloków składających się z s trójek. Okres (a 1,..., a s ) składa się więc z samych trójek. Mamy zatem sprzeczność: 1 = a 1 = 3. 1.4.6. Niech (a n ) będzie rosnącym ciągiem liczb naturalnych, w którym a n+1 10a n dla wszystkich n. Wtedy nieskończony ułamek dziesiętny 0, a 1 a a 3... jest liczbą niewymierną. ([GaT] 11/1980). 1.4.7. Niech a n = 1, gdy n jest bezkwadratowe i niech a n = 0 w przeciwnym wypadku. Wtedy nieskończony ułamek dziesiętny 0, a 1 a a 3... jest liczbą niewymierną. ([Nagl] s.15 z.54). 1.4.8. Po zerze i przecinku wypisano kolejno liczby 1,, 4, 8, 16,.... Wykazać, że otrzymana liczba jest niewymierna. ([Dlt] /1981, [Fom] 9/71, [Mat] 6/1983 360).

16 Liczby i funkcje rzeczywiste 1. Liczby rzeczywiste D. Przypuśćmy, że jest to liczba wymierna. Wtedy rozważane nieskończone rozwinięcie dziesiętne jest (od pewnego miejsca) okresowe. Niech s będzie długością okresu i załóżmy, że tym okresem jest ciąg cyfr (a 1, a,..., a s ). W [N-] wykazaliśmy, że jeśli m jest dowolnym skończonym ciągiem cyfr, to istnieje nieskończenie wiele takich potęg dwójki, których początkowe cyfry tworzą dany ciąg m. Badana liczba powstała z cyfr kolejnych potęg dwójki. W jej rozwinięciu dziesiętnym występuje więc nieskończenie wiele bloków składających się z s jedynek. Okres (a 1,..., a s ) składa się więc z samych jedynek. Z tych samych powodów tym rozwinięciu dziesiętnym występuje również nieskończenie wiele bloków składających się z s dwójek. Okres (a 1,..., a s ) składa się więc z samych dwójek. Mamy zatem sprzeczność: 1 = a 1 =. W ten sam sposób wykazujemy następne stwierdzenie. 1.4.9. Po zerze i przecinku wypisano kolejno liczby 3 1, 3, 3 3, 3 4,.... Wykazać, że otrzymana liczba jest niewymierna. ([Dlt] 11/1985). 1.4.10. Po zerze i przecinku wypisano kolejno potęgi danej liczby naturalnej większej od 1. Wykazać, że otrzymana liczba jest niewymierna. ([Mat] 1/1985 z.118). 1.5 Niewymierność pewnych liczb rzeczywistych Na stronie 9 przedstawiliśmy dowód Nivena niewymierności liczby π. Drobne modyfikacje tego dowodu pozwalają udowodnić następujące twierdzenie. 1.5.1 (A.E. Parks 1986). Niech c > 0 będzie liczbą rzeczywistą i niech f : [0, c] R będzie taką funkcją ciągłą, że f(x) > 0 dla wszystkich x z przedziału otwartego (0, c). Niech ponadto f 1, f, f 3,... będą funkcjami różniczkowalnymi z [0, c] do R takimi, że f 1 = f, f = f 1, f 3 = f,. Jeśli dla każdego n 1 liczby f n (0) oraz f n (c) są całkowite, to c jest liczbą niewymierną. D. (A.E. Parks 1986). Oznaczmy przez P rodzinę wszystkich takich wielomianów g(x) o współczynnikach rzeczywistych, dla których wszystkie wartości g(0), g(c), g (0), g (c), g (0), g (c),..., g (k) (0), g (k) (c),... są liczbami całkowitymi. (Przez g (k) oznaczamy k-tą pochodną wielomianu g). Wielomiany z rodziny P posiadają następujące dwie własności. (1) Jeśli g(x) P, to c Wynika to całkowania przez części: c 0 f(x)g(x)dx = gdzie d jest stopniem wielomianu g(x). () Jeśli g(x), h(x) P, to g(x)h(x) P. To z kolei wynika ze wzoru Leibniza: 0 f(x)g(x)dx jest liczbą całkowitą. [ ] c f 1 (x)g(x) f (x)g (x) + f 3 (x)g (x) + ( 1) d f d+1 (x)g (d) (x), 0 (g h) (n) (x) = n k=0 ( ) n g (k) (x)h (n k) (x). k

Liczby i funkcje rzeczywiste 1. Liczby rzeczywiste 17 Mamy udowodnić, że c jest liczbą niewymierną. Przypuśćmy, że tak nie jest. Załóżmy, że c = a b, gdzie a, b N. Rozpatrzmy ciąg wielomianów g 0 (x), g 1 (x), g (x),... zdefiniowanych następująco: g n (x) = 1 n! xn (a bx) n, dla n = 0, 1,,. Udowodnimy indukcyjnie, że każdy wielomian g n (x) należy do rodziny P. Dla n = 0 jest to oczywiste. Dla n 1 zachodzi równość g n(x) = g n 1 (x) (a bx). Zauważmy, że wielomian a bx należy do rodziny P. Jeśli więc wielomian g n 1 (x) należy do rodziny P, to - na mocy () oraz powyższej równości - do tej rodziny należy również wielomian g n(x). Ale g n (0) = g n (c) = 0, więc jeśli g n 1 (x) P, to g n (x) P. Zauważmy jeszcze, że jeśli r jest liczbą z przedziału (0, c), to każda liczba g n (r) jest ostro większa od zera i wobec tego każda liczba f(r)g n (r) jest również ostro większa od zera. Stąd w szczególności wynika, że każda całka c taka całka jest liczbą całkowitą. Zatem, (3) 0 f(x)g n (x)dx jest liczbą dodatnią. Wiemy jednak, na mocy (1), że każda c 0 f(x)g n (x)dx 1 dla wszystkich n = 0, 1,,. Oznaczmy przez M oraz L maksymalne wartości odpowiednio wielomianu x (a bx) oraz funkcji f(x) na przedziale [0, c]. Dla każdej liczby naturalnej n mamy wtedy: c 0 f(x)g n (x)dx c 0 L M n dx = clmn n! n!. M Ale lim n n n! = 0, więc mamy sprzeczność z (3). Przypuszczenie, że c jest liczbą wymierną prowadzi więc do sprzeczności. 1.5.. Niech r > 0, r 1. Jeśli r jest liczbą wymierną, to ln(r) jest liczbą niewymierną. D. (Parks 1986). Zamieniając ewentualnie r na 1/r, możemy założyć, że r > 1. Wtedy ln(r) > 0. Niech r = a b, a, b N. Niech c = ln(r) oraz f(x) = be x. Przyjmujemy ponadto, że f n (x) = f(x) = be x (dla wszystkich n N) i mamy spełnione wszystkie założenia twierdzenia 1.5.1. Na mocy tego twierdzenia liczba ln(r) = c jest niewymierna. Na stronie 6 przedstawiliśmy pewien dowód niewymierności liczby e.. Teraz możemy podać drugi dowód. 1.5.3. Liczba e jest niewymierna. D. Oczywiście e > 0 oraz e 1. Przypuścmy, że e Q. Wtedy (na mocy poprzedniego twierdzenia) 1 = ln(e) jest liczbą niewymierną; sprzeczność. 1.5.4. Jeżeli liczba naturalna n nie jest potęgą dziesiątki, to log n jest liczbą niewymierną. ([S59] 40, [Kw] 5/1978 4). 1.5.5. Niech s N. Liczba n=0 ( 1) n (n!) s jest niewymierna. ([Mat] 5-6/1975 353).

18 Liczby i funkcje rzeczywiste 1. Liczby rzeczywiste 1.5.6. Jeśli 1 < a 1 < a < jest ciągiem liczb naturalnych, to liczba jest niewymierna. ([Mon] 99(10)(199) E93). n=1 an a n! 1.5.7. (1) Czy istnieją liczby rzeczywiste a i b takie, że a+b Q oraz a n +b n Q dla wszystkich naturalnych n > 1? Odp. Istnieją. Przykład: a = +, b =. () Czy istnieją liczby rzeczywiste a i b takie, że a+b Q oraz a n +b n Q dla wszystkich naturalnych n > 1? Odp. Nie istnieją. ([OM] ZSRR 1989). 1.5.8. Załóżmy, że co najmniej jedna z liczb x i y jest niewymierna. Wtedy co najmniej jedna z liczb x y, y x, x + y jest niewymierna. ([OM] St Petersburg 199). 1.5.9. Danych jest 6 liczb niewymiernych. Wykazać, że można z nich wybrać trzy liczby a, b, c takie, że liczby a + b, b + c i c + a są niewymierne. ([MOc] 000 z.15). E. Gałkin, Wymierne czy niewymierne?, [Kw] 5/1977 45-47. M. Grant, M. Perella, Descending to the irrational, [MG] 497(1999) 63-67. R. Hajłasz, Dowody niewymierności pewnych liczb, [Dlt] 10/1994 1-3. A. E. Parks, π, e, and other irrational numbers, [Mon] 9(1986) 7-73. A. Turowicz, Usuwanie niewymierności z mianownika, [Mat] 1/1974 51-54. 1.6 Całkowitość lub wymierność pewnych liczb rzeczywistych 1.6.1. Niech p będzie nieparzystą liczbą całkowitą. Jeśli liczby rzeczywiste a i b są pierwiastkami wielomianu x + px 1, to dla każdego naturalnego n liczby a n + b n i a n+1 + b n+1 są całkowite i względnie pierwsze. ([Str7] 11, [B-rs] 184). 1.6.. Jeśli liczby rzeczywiste a i b są pierwiastkami wielomianu x 6x + 1, to dla każdego naturalnego n liczby a n + b n są całkowite i niepodzielne przez 5. ([BoL] 110 s.61). 1.6.3. Niech x 1, x będą pierwiastkami wielomianu g(x) = x + ax + b, gdzie a, b Z. Jeśli f(x) jest dowolnym wielomianem o współczynnikach całkowitych, to jest liczbą całkowitą. ([Szn] 11.7, patrz 1.6.6). f(x 1 ) + f(x ) D. f(x) = h(x)g(x)+cx+d, gdzie h(x) Z[x], c, d Z. Wtedy f(x 1 )+f(x ) = c(x 1 +x )+d = ca + d Z.

Liczby i funkcje rzeczywiste 1. Liczby rzeczywiste 19 1.6.4. Jeśli liczby x 1, x, x 3 są pierwiastkami równania x 3 x + (a + 1)x 1 = 0, gdzie a jest liczbą całkowitą różną od 0, ±1, ±3, to każda liczba postaci x n 1 + x n + x n 3 jest całkowita i niepodzielna przez a. ([Mat] /1965 88). 1.6.5. Niech x 1, x, x 3 będą pierwiastkami wielomianu g(x) = x 3 +ax +bx+c, gdzie a, b, c są liczbami całkowitymi. Jeśli f(x) jest dowolnym wielomianem o współczynnikach całkowitych, to f(x 1 ) + f(x ) + f(x 3 ) jest liczbą całkowitą. ([Szn] 11.7, patrz 1.6.6). D. f(x) = h(x)g(x) + px + qx + r, gdzie h(x) Z[x], p, q, r Z. Wtedy f(x 1 ) + f(x ) + f(x 3 ) = p(x 1 + x + x 3) + q(x 1 + x + x 3 ) + 3r = p(a b) + qa + 3r Z. 1.6.6. Niech z 1, z,..., z n, będą wszystkimi pierwiastkami wielomianu monicznego g(x) Z[x] stopnia n. Jeśli f(x) jest dowolnym wielomianem o współczynnikach całkowitych, to liczba f(z 1 ) + f(z ) + + f(z n ) jest całkowita. D. Rozpatrzmy wielomian n-zmiennych h(x 1,..., x n ) = f(x 1 ) + f(x ) + + f(x n ). Jest to symetryczny wielomian należący do Z[x 1,..., x n ]. Ze znanego twierdzenia o wielomianach symetrycznych wynika, że istnieje wielomian w Z[x 1,..., x n ] taki, że h(x 1,..., x n ) = w(σ 1,..., σ n ), gdzie σ 1,..., σ n są podstawowymi wielomianami symetrycznymi zmiennych x 1,..., x n. Ponieważ wielomian g(x) jest moniczny i ma całkowite współczynniki, wszystkie liczby postaci σ i (z 1,..., z n ), dla i = 1,..., n, są całkowite (są z dokładnością do znaku równe odpowiednim współczynnikom wielomianu g(x)). Mamy więc: f(z 1 ) + f(z ) + + f(z n ) = w(σ 1 (z 1,..., z n ),..., σ n (z 1,..., z n )) Z i to kończy dowód. 1.6.7. Niech x y będą liczbami rzeczywistymi (mogą być nawet liczbami zespolonymi). Jeśli dla czterech kolejnych liczb naturalnych n liczba x n y n x y jest całkowita, to jest całkowita dla każdego n. ([Mon] E998, [OM] Bułgaria 1995). 1.6.8. Niech x, y R. (1) Jeśli liczby x + y, x + y, x 4 + y 4 są całkowite, to dla każdego n N liczba x n + y n jest całkowita. ([OM] Polska 1998/1999) () Jeśli liczby x + y, x + y, x 3 + y 3 są całkowite, to nie musi być prawdą, że każda liczba postaci x n + y n jest całkowita. Przykład: Jeśli x = / i y = /, to x + y = 0, x + y = 1, x 3 + y 3 = 0, x 4 + y 4 = 1. ([OM] Polska 1997). 1.6.9. Niech a b będą liczbami rzeczywistymi. Jeśli liczby a b, a b, a 3 b,... są całkowite, to liczby a i b również są całkowite. ([OM] Indie 1994).

0 Liczby i funkcje rzeczywiste 1. Liczby rzeczywiste 1.6.10. Niech a b będą liczbami zespolonymi. Jeśli liczby a b, a 3 b 3, a 5 b 5 są wymierne, to liczby a i b również są wymierne. ([MM] 000 s.38). 1.6.11. Niech x R. Jeśli x x Z oraz x n x Z dla pewnego n 3, to x Z. ([OM] Irlandia 1998). 1.6.1. Niech x R. Jeśli liczby x 1919 x, x 1960 x i x 001 x są całkowite, to x jest liczbą całkowitą. ([OM] RPA 001). 1.6.13. Niech x, y, z R {0}. Załóżmy, że xy, yz, zx Q. Wtedy: (1) x + y + z Q; () jeśli x 3 + y 3 + z 3 Q, to x, y, z Q. ([OM] Rumunia 001). 1.6.14. Dla każdej niewymiernej liczby a istnieją niewymierne liczby b, c takie, że liczby a + b, ac są wymierne i liczby ab, a + c są niewymierne. ([A-P] 005). 1.6.15. Liczby log(8 + 3 1) log(1 + 1) log, log 6 + log(33 + 19 3) log( 3 1) log log 3, log(97 56 3) log( 6 ) log są całkowite. ([Mat] 5/1954 54). ( ) m i 1.6.16. Niech f(m, n) = i n, gdzie m, n N. m + 1 i=1 (1) Każda liczba postaci f(m, n) jest całkowita. () Ostatnią cyfrą liczby f(1, n) może być tylko 0, lub 6. ([Mon] 10()(1995) 175-176 z.1031). 1.7 Przybliżenia wymierne 1.7.1. Wykazać, że istnieje nieskończony i ograniczony ciąg (x n ) taki, że x n x m dla dowolnych n, m N, n m. ([WaJ] 57(78)). O. Np. x n = 4{n }, gdzie {a} = a [a]. 1 n m 1.7.. Dla każdej liczby rzeczywistej x istnieją liczby naturalne a, b takie, że ax b 1. ([B-zm] 98). 3