Wykład 4 4. Prąd elektryczny i pole magnetyczne Prąd elektryczny Natężenie prądu elektrycznego Q (4.) t Jednostka: amper, A. Gęstość prądu elektrycznego j (4.) S W nieobecności zewnętrznego pola elektrycznego elektrony poruszają się chaotycznie we wszystkich kierunkach. W zewnętrznym polu E uzyskują wypadkową (stałą z założenia) prędkość unoszenia v u. Jeżeli n jest koncentracją elektronów to ilość ładunku Q jaka przepływa przez przewodnik o długości l w czasie t = l/v u wynosi l S
Q = nsle Tak więc natężenie prądu wynosi Q nsle nsev l u (4.3) t v u a gęstość prądu j nev u v u (4.4) S gdzie jest gęstością ładunku. UMOWA: kierunek prądu = kierunek ruchu ładunków dodatnich. Przykład Prąd o natężeniu A płynie w drucie miedzianym o przekroju mm. Jaka jest średnia prędkość unoszenia elektronów przewodnictwa? Masa atomowa miedzi = 63.8 g/mol, a gęstość = 8.9 g/cm 3. Z równania na natężenie prądu otrzymujemy
v u nse Zakładamy, że na jeden atom przypada elektron przewodnictwa (Cu + ). Możemy więc obliczyć koncentrację nośników n N Av n = 8.4 0 8 atom/m 3 Wstawiając do równania na prędkość otrzymujemy v u = 7.4 0-5 m/s = 0.074 mm/s Prądy mogą też płynąć w gazach i cieczach. Lampy jarzeniowe są przykładem wykorzystania przepływu prądu w gazach. W gazach prąd jest wynikiem ruchu nie tylko elektronów ale i jonów dodatnich. Jednak lżejsze elektrony są znacznie szybsze i ich wkład do prądu jest dominujący. W zderzeniu elektronu z jonem lub atomem gazu energia może zostać zaabsorbowana przez atom, a następnie wypromieniowa- 3
na w postaci promieniowania elektromagnetycznego, w tym również widzialnego. 4. Prawo Ohma Jeżeli do przewodnika przyłożymy różnicę potencjałów V, to przez przewodnik płynie prąd. Na początku XX wieku Ohm zdefiniował opór przewodnika jako napięcie podzielone przez natężenie prądu V U (4.5) Jest to definicja oporu. Ten stosunek jest stały pod warunkiem, że utrzymuje się stałą temperaturę. Jednostką oporu (S) jest (Ohm). 4.. Wyprowadzenie prawa Ohma Bez pola elektrycznego prędkość ruchu chaotycznego u (nie powoduje przepływu prądu). Prędkość u jest związana ze średnią drogą swobodną i średnim czasem pomiędzy zderzeniami t zależnością: u = /t. Jeżeli przyłożymy napięcie to na każdy elektron będzie działała siła F = ee i po czasie t każdy 4
elektron osiągnie prędkość unoszenia v u = u daną zasadą Newtona Stąd u u m t v u ee eet m Podstawiając t = /u otrzymujemy v u ee (4.6) mu Prędkość unoszenia ma ten sam kierunek (przeciwny do E) dla wszystkich elektronów. Przy każdym zderzeniu elektron traci prędkość unoszenia. Średnia droga swobodna jest tak mała, że v u jest zawsze mniejsza od u. Obliczamy teraz natężenie prądu wstawiając wyrażenie na v u do wyrażenia (4.3) na natężenie. nsev u ne SE mu 5
Dla elementu przewodnika o długości l (rysunek) obliczymy opór korzystając z faktu, że napięcie U = El. Z prawa Ohma U El mul (4.7) ne S jest proporcjonalny do długości przewodnika i odwrotnie proporcjonalny do przekroju. Zauważmy, że pozostaje stały tak długo jak długo u jest stałe, a u zależy tylko od temperatury. ównanie (4.7) przepiszmy w postaci l (4.8) S Stałą nazywamy oporem właściwym. Typowa zależność oporu od temperatury dla przewodników metalicznych jest pokazana na rysunku na następnej stronie. Z dobrym przybliżeniem jest to zależność liniowa ~ T za wyjątkiem temperatur bliskich zera bezwzględnego. Wtedy zaczyna odgrywać rolę tzw. opór resztkowy 0 zależny w dużym stopniu od czystości metalu. stnieją jednak me- 6
0 0 T tale i stopy, dla których obserwujemy w dostatecznie niskich temperaturach całkowity zanik oporu. Zjawisko to nosi nazwę nadprzewodnictwa. Prądy wzbudzone w stanie nadprzewodzącym utrzymują się w obwodzie bez zasilania zewnętrznego. Ta możliwość utrzymania stale płynącego prądu rokuje duże nadzieje na zastosowania techniczne, które znacznie wzrosły po odkryciu w 987 r materiałów przechodzących w stan nadprzewodzący w stosunkowo wysokich temperaturach, około 00 K. Materiały te noszą nazwę wysokotemperaturowych nadprzewodników a ich odkrywcy Bednorz i Müller zostali wyróżnieni Nagrodą Nobla. 4.. Straty cieplne Gdy elektron zderza się z atomem traci nadwyżkę energii, którą uzyskał w polu elektrycz- 7
nym. Ponieważ energia kinetyczna nie wzrasta, cała energia stracona przez elektrony daje de cieplna = Udq gdzie dq jest ładunkiem przepływającym(elektronów przewodnictwa). Dzieląc obie strony przez dt otrzymujemy d E ciepln a d t U d q d t U P = U (4.8) przedstawia straty mocy elektrycznej. 4..3 Siła elektromotoryczna Aby utrzymać prąd potrzeba źródła energii elektrycznej. Np. baterie, generatory. Nazywamy je źródłami siły elektromotorycznej SEM. W takich źródłach jeden rodzaj energii jest zamieniany na drugi. SEM oznaczamy i definiujemy W (4.9) q 8
gdzie W jest energią elektryczną przekazywaną ładunkowi q, gdy przechodzi on przez źródło SEM. 4.3 Obwody prądu stałego Łączenie oporów: szeregowe (ten sam prąd przez oporniki) z = + +... równoległe (to samo napięcie na opornikach) / z = / + / +... 4.3. Prawa Kirchoffa Twierdzenie o punkcie rozgałęzienia: algebraiczna suma natężeń prądów przepływających przez punkt rozgałęzienia jest równa zeru. Twierdzenie o obwodzie zamkniętym: algebraiczna suma przyrostów napięć w dowolnym obwodzie zamkniętym jest równa zeru. (Spadek napięcia jest przyrostem ujemnym napięcia). Twierdzenie o obwodzie zamkniętym jest wynikiem prawa zachowania energii, a twierdzenie o punkcie rozgałęzienia wynika z prawa zachowania ładunku. 9
Przykład egulator napięcia (rysunek na następnej stronie). Opornik ma napięcie określone przez a prąd pobiera z. W każdej gałęzi obwodu trzeba z osobna przyjąć kierunek prądu i jego natężenie. Prawdziwy kierunek rozpoznamy po znaku obliczonego natężenia. Spadek napięcia pojawia się przy przejściu przez każdy opornik w kierunku zgodnym z prądem. Przyrost napięcia pojawia się przy przejściu przez źródło od "-" do "+". Zastosowanie prawa Kirchoffa do "dużej" 3 pętli daje 3 = 0 a dla "małej" pętli 3 = 0 Po odjęciu stronami otrzymamy = 0 0
Dla węzła + 3 = 0 skąd 3 Zauważmy, że gdy dobrać warunki tak aby to = 0 i nie daje żadnego prądu. Taki układ ma ważne zastosowanie praktyczne. Napięcie może być niskoprądowym ogniwem wzorcowym, mimo że może pobierać duży prąd (głównie z ). 4.4 Pole magnetyczne Doświadczalnie stwierdzamy, że występuje oddziaływanie: magnesów naturalnych (Fe 3 O 4 )
oddziaływanie przewodników z prądem na ładunki w ruchu (kineskop) oddziaływanie przewodników z prądem na siebie Magnesem jest sama Ziemia. Jej działanie na igłę kompasu jest znane od Starożytności. Te oddziaływania opisujemy wprowadzając pojęcie pola magnetycznego. 4.4. Siła magnetyczna Fgraw Pole grawitacyjne (natężenie) g m Felekt Pole elektryczne (natężenie) E q Fmagn Pole magnetyczne (indukcja) B qv (Siła działa na ładunki w ruchu i jest proporcjonalna do qv). Jednostką B jest tesla; T = N/(Am) Powyższy wzór jest prawdziwy dla ruchu ładunku prostopadle do B ale siła F magn (siła Lorentza) zależy od kierunku v. Ta zależność od kierunku jest zapisana poprzez równanie wektorowe
Fmagn qv B (4.0) gdzie kierunek definiuje się z reguły śruby prawoskrętnej (iloczyn wektorowy). Zauważmy, że F magn jest zawsze prostopadłe do v. Zatem, zgodnie z twierdzeniem o pracy i energii F magn nie może zmienić energii kinetycznej poruszającego się ładunku i ładunek krąży po okręgu. Stąd v m qvb mv qb jest promieniem okręgu. Siła działa na ładunki w ruchu więc działa na cały przewodnik z prądem. F = ev u B F e nse B 3
W przewodniku o długości l znajduje się nsl elektronów, więc całkowita siła F nsl ns B lb ównanie w ogólnym przypadku ma postać F l B (.) 4.4. Działanie pola magnetycznego na obwód z prądem ozważymy teraz działanie pola magnetycznego na zamknięty obwód z prądem. Prostokątną ramkę o bokach a i b umieszczamy w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji B. Przez ramkę płynie prąd o natężeniu, a normalna do płaszczyzny ramki tworzy kąt z polem B (rysunek). ozpatrujemy siłę działającą na każdy z boków. Siły F b dzia- 4
łające na odcinki b znoszą się wzajemnie. Siły F a działające na odcinki a też się znoszą ale tworzą parę sił dającą wypadkowy moment siły F a b sin F a b sin F a bsin lub wektorowo (na podstawie definicji iloczynu wektorowego) τ b F a Siła F a wynosi więc F a ab abbsin SBsin (4.) gdzie S = ab jest powierzchnią ramki. ównanie (4.) możemy zapisać w postaci wektorowej τ S B (4.3) gdzie S jest wektorem powierzchni. Wielkość μ S (4.4) 5
nazywamy magnetycznym momentem dipolowym. Pole magnetyczne działa więc na ramkę z prądem (dipol magnetyczny) momentem skręcającym obracając ją. Położenie równowagi ramki (dipola magnetycznego) występuje dla = 0 tj. gdy ramka jest ustawiona prostopadle do pola B. Przykładem dipola magnetycznego jest igła kompasu, która umieszczona w polu magnetycznym obraca się ustawiając zgodnie z polem. Taką "kołową ramką z prądem" jest również elektron krążący po orbicie w atomie. Moment dipolowy elektronu krążącego po orbicie o promieniu r wynosi e ( r ) Natężenie prądu wytwarzanego przez elektron o ładunku e przebiegający orbitę w czasie T (okres obiegu) wynosi q t e T ev r gdzie v jest prędkością elektronu. Stąd 6
e ev r ( r ) evr e ( mvr) m e m L gdzie L = mvr jest momentem pędu elektronu. Elektron, krążący po orbicie jest więc elementarnym dipolem magnetycznym. Własności magnetyczne ciał są właśnie określone przez zachowanie się tych elementarnych dipoli w polu magnetycznym. Własności te omówimy na dalszych wykładach. Z momentem siły działającym na dipol związana jest tzw. energia magnetyczna dipola Można również pokazać, że ta energia wyraża się wzorem E m = - B = - Bcos (4.5) Zauważmy, że minimum energii odpowiada ustawieniu dipola w kierunku równoległym do pola magnetycznego B ( = 0). 4.4.3 Efekt Halla 7
Jeżeli płytkę metalu (lub półprzewodnika) umieścimy w polu magnetycznym, prostopadłym do kierunku przepływu prądu, to na ładunki będzie działała siła odchylająca powodująca zakrzywienie torów ładunków w kierunku jednej ze ścianek bocznych płytki. Niezależnie czy prąd jest związany z ruchem ładunków dodatnich czy ujemnych mamy do czynienia z odchylaniem ładunków w kierunku jednej krawędzi. Przesunięcie ładunków powoduje powstanie poprzecznego pola elektrycznego Halla E H. To pole przeciwdziała dalszemu przesuwaniu ładunków. Pole Halla jest dane wzorem x v u v u d B F F y E H U d xy W stanie równowagi odchylające pole magnetyczne jest równoważone przez pole elektryczne qe H + q(v u B) = 0 Stąd 8
E H = v u B Wynika stąd, że jeżeli zmierzymy E H i B to możemy znaleźć v u. Gdy v u i B są prostopadłe to Ponieważ: więc E H = v u B v u = j/(ne) E H = (jb)/(ne) lub n = (jb)/(ee H ) Możemy wyznaczyć n. Można też wykorzystać ten efekt do pomiaru pola magnetycznego. 9