Czego można się nauczyć z prostego modelu szyny magnetycznej

Transkrypt

1 Czego można się nauczyć z prostego modelu szyny magnetycznej 1) Hamowanie magnetyczne I B F L m v L Poprzeczka o masie m może się przesuwać swobodnie po dwóch równoległych szynach, odległych o L od siebie. Szyny znajdują się w obszarze pola magnetycznego o indukcji B, skierowanego prostopadle do płaszczyzny szyn. Szyny zwarte są oporem, który reprezentuje zarazem opory resztkowe tzn. szyn, poprzeczki i doprowadzeń. Elementy opisu: siła elektrodynamiczna działająca na poprzeczkę z prądem, poruszającą się w polu magnetycznym. Przy danym zwrocie wektora indukcji magnetycznej zwrot tej siły zależy od kierunku przepływu prądu. F L = I L B siła elektromotoryczna (SEM) ε = B L V generowana w poruszającym się pręcie na skutek działania siły Lorentza na ładunki swobodne znajdujące się w metalu (zjawisko Halla). wersja alternatywna z prawa Faraday'a: ε = d Φ dt =B L d x d t zwrot generowanej SEM określa reguła przekory (Lenza): zmiany w układzie (ruch) powodują powstanie reakcji, która usiłuje im przeciwdziałać prąd generowany w takim kierunku aby zapobiec zwiększaniu strumienia magnetycznego przez hamowanie poprzeczki.

2 ozwiązanie: V (t)=v o e λ t λ= B2 L 2 m Bilans energetyczny: Energia kinetyczna Ciepło Joula-Lorenza

3 2) Prądnica magnetyczna prądu stałego I B F L m F L Elementy opisu: jw. + warunek Vo=0 dodatkowo zewnętrzna siła napędzająca F, wykonująca pracę nad układem i wprowadzająca do niego energię ewentualna obecność mechanicznych sił oporu, które na razie zostaną pominięte ównanie ruchu: m dv dt = (F F L ) = ( F B2 L 2 V ) ozwiązanie: V (t)=v k (1 e λ t ) V k = F B 2 L 2 W stanie ustalonym: Moc wprowadzana do układu: P = F V k = F 2 B 2 L 2 Moc wydzielana: P r = ε 2 = B2 L 2 2 V k = F 2 B 2 L 2

4 Bilans energetyczny: Praca mechaniczna Energia kinetyczna Ciepło Joula-Lorenza

5 3) Prosty a w miarę realistyczny model działania silnika elektrycznego prądu stałego (może też być modelem działa elektromagnetycznego ;-) I Uo + - B m F L v L Poprzeczka o masie m może się przesuwać swobodnie po dwóch równoległych szynach, odległych o L od siebie. Szyny znajdują się w obszarze pola magnetycznego o indukcji B, skierowanego prostopadle do płaszczyzny szyn. Do tych szyn podłączono źródło zasilania o napięciu Uo przez opornik o wartości (opornik ten zawiera w sobie wszystkie opory resztkowe tzn. szyn, poprzeczki i doprowadzeń). Na dynamikę ruchu poprzeczki mają wpływ następujące elementy: siła elektrodynamiczna działająca na poprzeczkę z prądem, poruszającą się w polu magnetycznym. Przy danym zwrocie wektora indukcji magnetycznej zwrot tej siły zależy od kierunku przepływu prądu. F L = I ( L B) siła oporu poprzeczki, zawierająca składową tarcia poprzeczki o szyny oraz ewentualną siłę oporu powietrza, zależną od prędkości poprzeczki. Zwrot siły oporu jest zawsze przeciwny do zwrotu wektora prędkości. F T = m g b V siła elektromotoryczna, generowana w poprzeczce przy jej ruchu w polu magnetycznym. =B LV Zwrot tej siły względem napięcia zasilającego Uo jest określony przez tzw. regułę przekory albo regułę Lenza. Mówi ona, że generowana siła elektromotoryczna ma taki zwrot, aby zapobiegać zmianom w układzie, w szczególności naszej sytuacji będzie zawsze skutkowała hamowaniem ruchu poprzeczki.

6 generowanie prądu w obwodzie pod wpływem wypadkowej siły elektromotorycznej, tzn. złożenia Uo i, określonego przez prawo Ohma z wartością oporności. Napięcie zasilające jest podłączone tak, aby wymuszać ruch poprzeczki w prawo. I = Uo Działanie tych czynników określa kompletną postać równania ruchu poprzeczki po szynach. m dv dt = F L F T = B L Uo B LV m g bv Po drobnych przekształceniach dostajemy: dv dt = a o g k V gdzie odpowiednie stałe dane są wzorami: a o = B LU o m k = B2 L 2 m b m ównanie to opisuje ruch poprzeczki, co oznacza, że dla prędkości początkowej Vo=0 równanie można stosować dla a o większego od g, kiedy poprzeczka sama rusza do przodu, albo w sytuacji V > 0. ozwiązanie równania dla Vo=0 ma postać: V t = V k 1 e t gdzie: V k = a o g k = B L U o m g k m = B L k m U o g k Po wstawieniu wartości stałej k otrzymujemy: V k = B LU o B 2 L 2 b m g B 2 L 2 b

7 Prąd pobierany w czasie ruchu poprzeczki wynosi: I k = U o B L V k = U o 1 B2 L 2 k m g B L k = U o b B 2 L 2 b m g B L B 2 L 2 b Pomijamy opór powietrza (b=0) W sytuacji gdy pominiemy opór powietrza dostajemy: I k = m g B L Oznacza to, że układ zużywa prąd tylko na pokonanie oporów tarcia (sił przeciwdziałających ruchowi silnika), natomiast sam ruch bez oporów (bieg swobodny silnika) nie powoduje żadnego zużycia energii ani wydzielania ciepła. Zamiast siły tarcia może tu wystąpić dowolna siła hamująca niezależna od prędkości np. siła wykonująca pracę użyteczną. Dodatkowo dla tego przypadku równanie na prędkość końcową przyjmuje postać: V k = U o B L m g B 2 L 2 Po uwzględnieniu wartości na prąd końcowy dostajemy prostą i zrozumiałą relację: V k = U o I k B L Po prostu prędkość musi osiągnąć wartość przy której indukowana siła elektromotoryczna równoważy napięcie zasilania pomniejszone o spadek napięcia na oporach w obwodzie: B LV k = U o I k Ponowne przyjrzenie się pełnym równaniom na prędkość i prąd końcowy prowadzi do istotnego wniosku, że napisane powyżej równanie jest prawdziwe ogólnie, nie tylko dla b=0! Oznacza to tylko tyle, że cała rola sił oporu, zarówno sił tarcia jak i sił oporu powietrza zostaje w pełni uwzględniona przez wartość prądu w stanie końcowym i wniosek końcowy wiążące wielkości mierzone w stanie końcowym prowadzi do prostego i oczywistego równania, którego sensem jest drugie prawo Kirchhoffa.

8 Bilans energetyczny: Energia zasilania Praca mechaniczna Energia kinetyczna Ciepło Joula-Lorenza