Rozdział 32 Wspomaganie podejmowania decyzji w rozmytych bazach danych metodą AHP Streszczenie. Rozdział zawiera propozycje wspomagania podejmowania decyzji w rozmytych bazach danych (BD). Hierarchiczna metoda stosowana w celach modelowania preferencji oraz funkcja użyteczności uzyskana poprzez wnioskowanie rozmyte, mogą być podstawą do podejmowania decyzji na podstawie danych rozmytych. Metoda jest pokazana na tle sposobów i przykładów dotyczących reprezentacji w BD informacji rozmytej i realizacji rozmytych zapytań. W rozdziale zaprezentowano aplikacje implementujące omawiane zagadnienia. 1 Wstęp W rzeczywistym świecie informacja jest zwykle podawana w sposób nieprecyzyjny i niepewny. W tradycyjnych, relacyjnych bazach danych, informacje przechowywane są w sposób konkretny i precyzyjny. Jest to rozwiązanie wygodne i proste. Dane pozyskiwane np. z pomiarów są uzyskiwane w formie precyzyjnej. Katalogując dany obiekt lepiej jest jego nieprecyzyjne cechy określić i zapisać w sposób precyzyjny, bo nieprecyzyjna ocena obiektu katalogowanego może być subiektywna. Transformacja atrybutów nieprecyzyjnych do ścisłych wartości pomaga w zachowaniu obiektywnego opisu danego obiektu. Inaczej ma się sprawa z wydobywaniem informacji zapisanej w formie precyzyjnej. Jeśli baza danych zawiera informacje z urządzeń pomiarowych, to istotna jest ich interpretacja w postaci pewnego rozkładu. Przeszukując bazę danych często szuka się informacji nieprecyzyjnych, np. cena produktu jest nieco mniejsza niż 100, a jakość produktu jest około 3. Ogólnie celem jest z danych zapisanych precyzyjnie pozyskiwać pewną wiedzę o obiekcie. Mieczysław Drabowski Politechnika Krakowska, Samodzielne Laboratorium Informatyki Technicznej, ul. Warszawska 24, 31-155 Kraków, Polska email: drabowski@pk.edu.pl Krzysztof Czajkowski Politechnika Krakowska, Instytut Teleinformatyki, ul. Warszawska 24, 31-155 Kraków, Polska email: kc@pk.edu.pl
M. Drabowski, K. Czajkowski 2 Reprezentacja informacji w rozmytej bazie danych Idea rozmytej bazy danych najczęściej jest oparta na formułowaniu nieprecyzyjnych zapytań i pozyskiwaniu pewnego rozkładu ostrych odpowiedzi. Reprezentowanie informacji w rozmytej relacyjnej bazie danych polega na przypisaniu atrybutom funkcji przynależności, które determinują krotkę do występowania w danej relacji. Rozkład wartości atrybutu w danej relacji to możliwość, tabela 2. Tabela 2. Informacja rozmyta reprezentowana przez rozkład wartości atrybutu Termin zmiennej lingwistycznej Wartość bardzo mała 0 mała 0,25 średnia 0,75 duża 0 bardzo duża 0 Zależność pomiędzy wartościami atrybutu to podobieństwo. Jest ono relacją rozmytą i dotyczy atrybutów dyskretnych, np. podobieństwo pomiędzy położeniem lokalu w bloku mieszkalnym reprezentuje się przy pomocy macierzy podobieństwa, tabela 3. Tabela 3. Macierz podobieństwa atrybutu położenie lokalu w bloku mieszkalnym I piętro II piętro III piętro IV piętro I piętro 1 0,8 0,6 0,4 II piętro 0,8 1 0,8 0,6 III piętro 0,6 0,8 1 0,8 IV piętro 0,4 0,6 0,8 1 3 Rozmyte zapytania Rozmyte zapytanie w relacyjnej bazie danych realizuje się przez konstrukcje specjalnego modułu, który przetwarza zapytanie w języku naturalnym na język bazy danych (np. SQL), tabela 4. Tabela 4. Realizacja zapytań rozmytych id powierzchnia cena spełnienie 4 54 850 0.92 5 62 1100 0.72 3 48 700 0.63 Innym sposobem może być implementacja dedykowanego języka zapytań rozmytych FSQL, który można skonstruować na bazie języka SQL. Na przykład mając daną tabelę 5 wykonujemy następujące zapytanie SQL: SELECT cena, powierzchnia FROM mieszkania 346
Modelowanie preferencji w rozmytych bazach danych metodą AHP WHERE cena<= 1000 and cena>= 800 and powierzchnia>= 50 and powierzchnia <= 60 To samo zapytanie można przedstawić w postaci rozmytego zapytania FSQL następująco: SELECT cena, powierzchnia FROM mieszkania WHERE min(cena = średnia ; powierzchnia = duża ) FULFILMENT RATE (FR) 0,6 Tabela 5. Tabela mieszkanie id powierzchnia cena 1 30 500 2 35 650 3 48 700 4 54 850 5 62 1100 Tabele 6 i 7 przedstawiają wyniki obu zapytań. W przykładzie atrybuty cena i powierzchnia są zmiennymi lingwistycznymi określonymi na zbiorze terminów: cena: {bardzo mała, mała, średnia, duża, bardzo duża} i powierzchnia: {bardzo mała, mała, średnia, duża, bardzo duża}. Tabela 6. Wynik zapytania SQL id powierzchnia cena 4 54 850 Wynikiem zapytania rozmytego jest zbiór wszystkich krotek z przetwarzanych tabel, które spełniają ograniczenie nazywane współczynnikiem spełnienia (FR), który jest wyznaczany przez rozmytą implikację wszystkich zbiorów rozmytych biorących udział w zapytaniu. Tabela 7. Wynik zapytania FSQL id powierzchnia cena spełnienie 4 54 850 0.92 5 62 1100 0.72 3 48 700 0.63 Aby zwiększyć funkcjonalność zapytań rozmytych są implementowane rozmyte operatory porównania. Klasyczne operatory porównania takie jak =, >, < można zastąpić ich rozmytymi odpowiednikami, np. takimi jak: mniej więcej równe (~=), nieco większe(~>), nieco mniejsze(~<), znacznie mniejsze(~<<), znacznie większe(~>>). 4 Wnioskowanie w rozmytej bazie danych Procedura wnioskująca na podstawie danych wejściowych (przesłanek) oraz informacji z bazy wiedzy (implikacji) buduje wniosek w postaci zbioru rozmytego (rys. 1). 347
M. Drabowski, K. Czajkowski Rys. 1. Operacja wnioskowania rozmytego Tak powstały zbiór rozmyty jest poddawany operacji defuzyfikacji, która w wyniku daje ostrą wartość wniosku. Przykładem wymagającym zastosowanie wnioskowania rozmytego w aplikacji opartej na rozmytej bazie danych, może być sytuacja, w której celem jest wybranie najlepszej oferty spośród zbioru ofert zgromadzonych w bazie danych, a wybór jest dokonywany przez wielu decydentów, którzy mogą mieć różne rangi. Jeśli decyzję podejmuje dwóch decydentów oraz dane są 2 zbiory rozmyte A, B, to zbiór C będzie decyzją (wnioskiem) rozmytą. Dla wyżej wymienionego przypadku można zapisać następujące reguły rozmyte: Reguła I: Jeśli x jest A 1 and y jest B 1 to z jest C 1 Reguła II: Jeśli x jest A 2 and y jest B 2 to z jest C 2 Decyzję dla decydenta 1 stanowi zbiór rozmyty C 1 o funkcji przynależności: µ C z ) = min[ µ A ( x ), µ B ( )] (1) ( y 1 1 1 Decyzję dla decydenta 2 stanowi zbiór rozmyty C 2 o funkcji przynależności: µ z ) = min[ µ ( x ), ( )] (2) ( C 2 A µ y 2 B 2 Wnioskiem z obu reguł jest zbiór C o funkcji przynależności: µ z) = max[ µ ( z ), ( )] (3) C ( C µ z 1 C 2 Powyższa metoda wnioskowania często nazywana jest metodą maksymalnego pesymizmu. Wartość ostrą decyzji rozmytej można uzyskać stosując różne metody defuzyfikacji, np. metodę środka ciężkości oraz metodę ważonej wysokości. 5 Modelowanie preferencji metodą AHP Metoda hierarchicznej analizy procesu (AHP Analytic Hierarchy Process) znajduje zastosowanie we wspomaganiu wyboru wariantów decyzyjnych przez określenie ich preferencji, przy założeniu porównywalności wariantów. Metodę AHP można realizować w czterech etapach: etap I hierarchizacja problemu decyzyjnego, etap II ocena kryteriów przez porównanie parami, etap III określenie preferencji kryteriów, 348
Modelowanie preferencji w rozmytych bazach danych metodą AHP etap IV podjęcie decyzji na podstawie uzyskanych preferencji przez zastosowanie funkcji użyteczności. Na rys. 2 przedstawiony jest proces hierarchizacji problemu decyzyjnego w przypadku decyzji grupowej. Oceny kryteriów dokonuje się przez względne porównanie parami każdego z nich nadając stopnie dominacji jednego kryterium nad drugim. Zakres i znaczenie stopni dominacji jest przedstawiony w tabeli 8a. W tym celu buduje się macierz parzystych porównań i wypełnia się ją wartościami stopni dominacji, tak jak w tabeli 8b. Kolejnym krokiem jest wyliczenie współczynników względnej ważności kryteriów, które to zostaną użyte podczas wnioskowania rozmytego jako rangi zbiorów rozmytych zastosowanych w regułach rozmytych. W podejściu [6] wykorzystuje się metodę maksymalnej wartości własnej. Jednak metoda ta w przypadku rozmytych wartości kryteriów nie zawsze gwarantuje dobre rozwiązania. Inną metodą, która gwarantuje dobre rozwiązanie jest metoda średniej geometrycznej: α i = n n 1 j = 0 a ij (4) gdzie a ij to stopnie dominacji. Nadanie rang decydentom biorącym udział w podejmowaniu decyzji grupowej jest dokonywane według następującego algorytmu [2], [1]. Każdy decydent d i przypisuje odpowiedni termin t ij zmiennej RANGA dla każdego decydenta d j. Na rys. 3 a, b, c, jest przedstawiony wybór terminów lingwistycznych dla trzech decydentów. Działanie to można przedstawić w postaci koniunkcji rozmytych faktów: x 1 jest t i1 AND x 2 jest t i2 AND AND x n jest t in (dla i =1,,n) (5) Decydent nie wybiera rangi dla samego siebie. Z koniunkcji (5) otrzymuje się funkcję przynależności, która odzwierciedla decyzję grupową dla i-tego decydenta. Funkcję tę można zapisać w postaci: d j ( x ) µ = υ υ j max j ( x ) ( x ) C ij jest singeltonem rozmytym terminu t ij wybranym przez i-tego decydenta dla określenia pozycji j-tego decydenta. j [ 0,1] IR υ : υ ( x) = µ ( x) +... + ( x) (7) 1 j C µ j C nj (6) υ max j x j ( x ) = sup υ (8) Tabela 8a. Tabela stopni dominacji stopień dominacji określenie 1 równoważność 3 niewielka przewaga 5 silna przewaga 7 bardzo silna przewaga 9 absolutna przewaga 2, 4, 6, 8 wartości pośrednie 349
M. Drabowski, K. Czajkowski Tabela 8b. Macierz parzystych porównań kryteria cena powierzchnia wiek cena 1 5 7 powierzchnia 1/5 1 3 wiek 1/7 1/3 1 Rys. 2. Hierarchizacja procesu decyzyjnego w metodzie AHP Rys. 3. Ranga decydentów d1, d2, d3 6 Przykładowa aplikacja wspomaganie wyszukiwania nieruchomości 6.1 Motywacje Prezentowana aplikacja jest rozmytą bazą danych zawierającą oferty wynajmu lub sprzedaży mieszkań, posiadającą interfejs umożliwiający rozmyte wyszukiwanie ofert, oraz moduł wnioskowania i podejmowania decyzji rozmytej. Jej funkcjonalność jest rozszerzona przez implementację modułu wspomagającego podejmowanie decyzji grupowej, opartego na wnioskowaniu rozmytym [9] i wariancie metody AHP [7], [8] kształtującym preferencje. Aplikacja jest pomocna dla klientów zamierzających zakupić mieszkanie i może być uzupełnieniem pracy [5], gdzie proces wyceny nieruchomości jest rozpatrywany z punktu widzenia sprzedającego. Proces zakupu mieszkania wiąże się z podjęciem bardzo wielu ważnych i trudnych decyzji. Jest czasochłonny i skomplikowany. Decydując się na wybór konkretnej nieruchomości bierze się pod uwagę wiele różnych kryteriów i warunków, których znaczenie i waga są zróżnicowane. Przy wykonywaniu zapytania w klasycznym systemie wyszukującym, znale- 350
Modelowanie preferencji w rozmytych bazach danych metodą AHP zione zostaną tylko te oferty, które dokładnie spełniają wszystkie podane kryteria. Może się jednak okazać, że w bazie są oferty, których część własności różni się od podanych granicznych wartości tylko nieznacznie, np. o kilka procent, i różnica ta byłaby do przyjęcia dla klienta. W ludzkim rozumieniu, tego typu oferty nadal spełniają w pewnym, większym lub mniejszym stopniu wybrane kryteria, lecz w świecie logiki dwu wartościowej [0;1] zostają odrzucone. Innym przykładem może być bardzo często spotykany problem decyzyjny w sytuacji, gdy wyboru dokonuje grupa osób (decydentów). Problem jest o tyle trudniejszy, że decydenci mogą mieć różne preferencje i różny pogląd na ich znaczenie. Istotnym elementem też są relacje pomiędzy nimi samymi, czyli ich znaczenie w procesie decyzyjnym. 6.2 Konfiguracja aplikacji Przed przystąpieniem do pracy z aplikacją, należy odpowiednio ją skonfigurować, to znaczy ustawić parametry dla wybranych kryteriów oraz rozmytych operatorów porównywania choć istnieje możliwość przyjęcia ustawień domyślnych. Dla poszczególnych kryteriów możliwe jest wybranie jednej z sześciu funkcji przynależności. Funkcje te zostały dobrane ze względu na ich łatwość w implementacji przy zachowaniu bardzo dobrej interpretacji zbiorów rozmytych. Każda z funkcji ma pewne punkty charakterystyczne, które określają jej maksimum i minimum. Punkty są dobierane przez użytkownika w zależności od wybranego kryterium i terminu lingwistycznego. Użytkownik ma możliwość określenia do pięciu terminów lingwistycznych przypadających na jedno kryterium. Każdy z zainicjowanych terminów lingwistycznych musi mieć wybraną funkcję przynależności, oraz określone punkty charakterystyczne w zależności od typu wybranej funkcji (rys. 4). Rys. 4. Ustawienia dla wybranego kryterium. W przypadku ustawienia rozmytych operatorów porównania dostępnych jest pięć operatorów o nazwach: FNM (Fuzzy Nieco Mniejsze ~<), FNW (Fuzzy Nieco Większe ~>), FMR (Fuzzy Mniej więcej Równe ~=), FZW (Fuzzy Znacznie Większe ~>>), FZM (Fuzzy Znacznie Mniejsze ~<<). 351
M. Drabowski, K. Czajkowski Dokonuje się tego przez dobranie odpowiednich wartości punktów charakterystycznych. Dla ułatwienia dostępne są pomocnicze rysunki przedstawiające funkcje przynależności określające dany operator [9] (rys. 5). Wartości punktów ustala się przez podanie procentowej długości odcinka np. AX (gdzie A jest punktem charakterystycznym, a X jest wartością poddawaną działaniu operatora) w odniesieniu do długości uniwersum atrybutu, którego wartością jest X. Rys. 5. Ustawienia dla operatorów rozmytych. 6.3 Wyszukiwanie Dostępne są dwa rodzaje wyszukiwania: proste i zaawansowane. Do wyboru są tylko te kryteria, które wcześniej ustawił w opcjach ustawień aplikacji. Dla ustawień domyślnych dostępne są wszystkie kryteria wyboru. W przypadku wyszukiwania prostego należy wybrać odpowiednie terminy lingwistyczne i określić współczynnik spełnienia, który może przyjmować wartości z przedziału [0,1]. Jeśli dla któregoś kryterium nie zostanie określony żaden termin lingwistyczny, to kryterium to nie bierze udziału w operacji wyszukiwania. W przypadku wyszukiwania zaawansowanego możliwe jest przypisywanie kryteriom (atrybutom) odpowiednich wag w zależności od preferencji użytkownika, oraz terminów lingwistycznych określających dane kryterium. Dodatkowo można określić typ relacji rozmytych pomiędzy poszczególnymi atrybutami lub operatorami przez wybór T-norm lub S-norm (na rys. 6 przedstawione jako and i or). Możliwe jest wykonywanie operacji porównań rozmytych przez wykorzystanie rozmytych operatorów. Wybór wagi nie jest konieczny, jeśli została ona wybrana wyżej przy ustalaniu terminów lingwistycznych dla kryteriów. Jeśli waga nie zostanie wcale określona, to zostanie przypisana domyślna waga o wartości 1. Rys. 6 przedstawia przykładową konfigurację dla czterech kryteriów. Wyjściowy zbiór rozmyty jest określany jako relacje and i or, czyli odpowiednio T-normy lub S-normy na wybranych zbiorach rozmytych z uwzględnieniem ich wag. Wynikiem jest tabela ofert. 352
Modelowanie preferencji w rozmytych bazach danych metodą AHP Rys. 6. Interfejs zapytań rozmytych. 6.4 Wspomaganie podejmowania decyzji grupowej Aplikacja umożliwia wspomagania decyzji grupowej w warunkach niepewności rozmytej, stosując modelowanie preferencji metodą AHP i wnioskowanie rozmyte do określenia zbioru wynikowego ofert. Pierwszym etapem jest wybranie liczby decydentów biorących udział w procesie oraz nadanie im nazw. Następnie każdy decydent określa wagi pozostałych (jak omówiono w podrozdziale 5). Decydenci wspólnie muszą wybrać wszystkie kryteria, które są dla nich istotne w procesie podejmowania decyzji. Decydenci mogą dokonać ustawień manualnie określając nośnik zbioru rozmytego dla wybranego kryterium, czyli podając minimalną i maksymalną wartość wybranego atrybutu. Następnie wszyscy decydenci muszą wspólnie określić i zainicjować do pięciu terminów lingwistycznych określających dane kryterium. Po zatwierdzeniu ustawień dla wybranych terminów lingwistycznych zostaną utworzone zbiory rozmyte o trójkątnych funkcjach przynależności na przedziale wartości określonym przez punkty A i B (rys. 7). Rys. 7. Określenie terminów lingwistycznych 353
M. Drabowski, K. Czajkowski Każdy decydent wybiera terminy lingwistyczne dla wybranych kryteriów (rys. 8). Wszystkie kryteria muszą zostać określone terminami lingwistycznymi. Następnie każdy decydent wypełnia macierz względnych porównań w celu określenia swoich preferencji. Kryteria, które nie są istotne dla wybranych decydentów, zostaną zweryfikowane przez otrzymanie najniższych współczynników względnej ważności i będą miały minimalny wpływ na podjętą decyzję cząstkową. Kryteria najbardziej istotne otrzymają najwyższe współczynniki. Metoda wyliczania współczynników względnej ważności jest opisana w podrozdziale 5. Decydenci określają swoje preferencje przez wybór stopni dominacji jednego kryterium nad drugim (rys. 8). W ten sposób określana jest decyzja cząstkowa dla każdego decydenta. Zbiór rozmyty określający decyzję cząstkową decydenta można wyznaczyć metodą wnioskowania rozmytego tak, jak jest to opisane w rozdziale 4, lub wyznaczając funkcję przynależności metodą multiplikatywną zaproponowaną w [6]. Aplikacja umożliwia wybranie jednej z wyżej wymienionych metod agregacji zbioru ofert. Aby otrzymać zbiór wynikowy ofert należy podać współczynnik spełnienia o wartości z przedziału [0,1], który ograniczy ilość wyświetlanych ofert tylko do tych, które najlepiej spełniają określone preferencje. Rys. 8. Określenie preferencji decydentów 7 Przykładowa aplikacja wspomaganie wyboru samochodu Przedstawiana aplikacja ma za zadanie wsparcie procesu podejmowania decyzji przy zakupie samochodu. Zaimplementowano procedury umożliwiające obliczanie średnich wartości funkcji przynależności, zmienne lingwistyczne charakteryzujące pojazd, wraz z odpowiednimi wartościami, którym przyporządkowano stosowne funkcje przynależności oraz różne rodzaje iloczyn i sumy. Konstruując zapytanie należy określić, które dane mają zostać wyświetlone (dla ułatwienia są pogrupowane w działy). Po ustaleniu listy kolumn można sprecyzować warunki, które spełniać będą musiały dane wynikowe. Po wybraniu kolumny, dla której zdefiniowane zostały wartości rozmyte, z listy będzie można wybrać wartość nieprecyzyjną, np. spalanie: 354
Modelowanie preferencji w rozmytych bazach danych metodą AHP niskie, średnie, wysokie lub wartość precyzyjną wpisaną przez użytkownika. Istnieje możliwość określenia rodzaju sortowania według wybranych kolumn w bazie lub według obliczonego indeksu, czyli możliwości, z jaką spełniony jest warunek rozmyty. Indeks ten obliczany jest w oparciu o wybraną funkcję przynależności i pobierany z odpowiedniej tabeli z bazy. Możliwy jest również wybór funkcji przynależności (typy: S, L, T, Z, Pi) (rys. 9). Jeżeli zostaną wybrane dwa warunki o wartościach nieprecyzyjnych, dodana zostanie możliwość wyboru sposobu przynależności do zbioru rozmytego, który jest iloczynem lub też sumą wcześniej wybranych zbiorów rozmytych (np. samochody bardzo szybkie i o niskim spalaniu). Do wyboru są iloczyn i suma: mnogościowa, Hamachera, algebraiczna, Einsteina, logiczna i drastyczna (rys. 10). Wynikowe dane zostaną zaprezentowane w postaci tabeli, z dodatkową kolumną, której wartości będą przedstawiały współczynnik spełnienia. Rys. 9. Konstruowanie zapytania Rys. 10. Konstruowanie zapytania cd. 355
M. Drabowski, K. Czajkowski 8 Podsumowanie W niniejszym rozdziale zaprezentowano zastosowania metody AHP we wspomaganiu podejmowania decyzji. Opracowane aplikacje potwierdzają jej przydatność szczególnie w tych zastosowaniach, gdzie znaczna część kryteriów oceny ma charakter niepewny lub rozmyty, a ocena dokonywana jest przez grupę subiektywnych decydentów. Literatura 1. Drabowski M., Tracz K.: Rozmyte bazy danych, Raport Techniczny, TR3/2004, SLIT PK, Kraków, 2004. 2. Drabowski M., Turek W.: Rozmyte bazy danych z modułem wnioskowania, TR4/2005, SLIT PK, Kraków, 2005. 3. Kandel A.: Fuzzy Expert Systems, CRC Press, New York 1991. 4. Kandel A., Langholz G.: Fuzzy Control Systems, CRC Press, New York 1993. 5. Korcala A.: Wybór wielokryterialny w warunkach niepewności rozmytej, w zastosowaniu do wyceny nieruchomości, Politechnika Częstochowska, 2003. 6. Łachwa A.: Rozmyty świat zbiorów, relacji i reguł, Exit, Warszawa 2001. 7. Saaty T.L. How to Make a Decision: The Analytic Hierarchy Process, European Journal of Operations Research, 48, 1990. 8. Saaty T.L.: Axiomatic Foundation of the Analytic Hierarchy Process, Management Science, Vol. 32, No. 7, 1986. 9. Siler W., Buckley J.J.: Fuzzy expert systems and fuzzy reasoning, Wiley-Interscience, John Wiley & Sons, Inc., 1994. 356