Historia kwadratów magicznych



Podobne dokumenty
Rysunek 1: Żółw Loh-Shu

CIEKAWE WŁASNOŚCI KWADRATÓW MAGICZNYCH

Własności kwadratów magicznych

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych.

Wykład 4. Informatyka Stosowana. Magdalena Alama-Bućko. 25 marca Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca / 25

A a B b C c D d E e F f są magiczne.

Macierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A =

Innowacyjne cele edukacyjne

VIII Mistrzostwa Polski W Sudoku. Instrukcje. Bonus:

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem

Chen Prime Liczby pierwsze Chena

Zadanie 1 - MŁODZIKI

1 Macierze i wyznaczniki

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI

Treści zadań Obozu Naukowego OMJ

Met Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn

Mini tablice matematyczne. Figury geometryczne

Suma dziewięciu poczatkowych wyrazów ciagu arytmetycznego wynosi 18, a suma siedmiu poczatkowych

Wykład 14. Elementy algebry macierzy

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej

Rozmaitości matematyczne. dr Agnieszka Kozak Instytut Matematyki UMCS

Algebra WYKŁAD 3 ALGEBRA 1

CO DWIE GŁOWY TO NIE JEDNA

SZKOLNA LIGA ZADANIOWA

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Literatura. Terminy wykładów i ćwiczeń. Warunki zaliczenia. tnij.org/ktrabka

Liczby rzeczywiste. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych. Robert Malenkowski 1

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy I gimnazjum wg programu Matematyka z plusem

Liczby geometryczne. Radosław Żak Katolickie Gimnazjum im. Świętej Rodziny z Nazaretu. Kraków Opieka: dr Jacek Dymel

O CIEKAWYCH WŁAŚCIWOŚCIACH LICZB TRÓJKĄTNYCH

XX edycja Międzynarodowego Konkursu Matematycznego PIKOMAT rok szkolny 2011/2012

1. Operacje logiczne A B A OR B

Bukiety matematyczne dla gimnazjum

RACHUNEK MACIERZOWY. METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6. Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska

X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

Konkurs Mikołajkowy. 6-9 grudnia Zadania konkursowe. Autorzy zadań Łukasz Bożykowski Piotr Gdowski Łukasz Kalinowski

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik

1. A 2. A 3. B 4. B 5. C 6. B 7. B 8. D 9. A 10. D 11. C 12. D 13. B 14. D 15. C 16. C 17. C 18. B 19. D 20. C 21. C 22. D 23. D 24. A 25.

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/15

Odwrócimy macierz o wymiarach 4x4, znajdującą się po lewej stronie kreski:

XVII MISTRZOSTWA POLSKI

Uniwersytet Kazimierza Wielkiego w Bydgoszczy Zespół Szkół nr 5 Mistrzostwa Sportowego XV Liceum Ogólnokształcące w Bydgoszczy

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 3.

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji

XX edycja Międzynarodowego Konkursu Matematycznego PIKOMAT rok szkolny 2011/2012

VII Mistrzostwa Dolnego Śląska w Sudoku - Eliminacje SP7/GIM/LIC str. 1. imię i nazwisko:... kl... szkoła:... 6 pkt. 3 pkt 4 pkt.

ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE

AKADEMIA ŁAMANIA GŁOWY Część II KAKURO

MACIERZE. Sobiesiak Łukasz Wilczyńska Małgorzata

Definicja macierzy Typy i właściwości macierzy Działania na macierzach Wyznacznik macierzy Macierz odwrotna Normy macierzy RACHUNEK MACIERZOWY

Edytor tekstu MS Word 2010 PL. Edytor tekstu MS Word 2010 PL umożliwia wykonywanie działań matematycznych.

ALGEBRA LINIOWA. Wykład 2. Analityka gospodarcza, sem. 1. Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;

Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3. Łańcuchy Markowa. Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi.

(mniejszych od 10 9 ) podanych przez użytkownika, wypisze komunikat TAK, jeśli są to liczby bliźniacze i NIE, w przeciwnym przypadku.

SCENARIUSZ LEKCJI W KLASIE I GIMNAZJUM

KONKURS MATEMATYCZNY

Zestaw 1 Organizacja plików: Oddajemy tylko źródła programów (pliki o rozszerzeniach.adb)!!!

XIX Mistrzostwa Polski w Łamigłówkach. Runda 1 29 minut NAME: pkt. 35 pkt. 20 pkt. 31 pkt. 36 pkt. 45 pkt. 45 pkt. 98 pkt. 60 pkt. 95 pkt.

do instrukcja while (wyrażenie);

STOSUNEK LICZB PIERWSZYCH DO ICH ILOCZYNÓW

Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 9 Zadania ciągi

; B = Wykonaj poniższe obliczenia: Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję wyniki. Mam nadzieję, że umiesz mnożyć macierze...

PYTANIA TEORETYCZNE Z MATEMATYKI

Lista 6. Kamil Matuszewski 13 kwietnia D n =

WYMAGANIA KONIECZNE - OCENA DOPUSZCZAJĄCA:

KONKURS Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW SZKÓŁ PODSTAWOWYCH

RUNDA 2 90 minut / 400 punktów

macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same

VI PUCHAR POLSKI W ROZWIĄZYWANIU ŁAMIGŁÓWEK. 13 grudnia 2009

MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY V

Katarzyna Bereźnicka Zastosowanie arkusza kalkulacyjnego w zadaniach matematycznych. Opiekun stypendystki: mgr Jerzy Mil

1. LICZBY DZIAŁ Z PODRĘCZNIKA L.P. NaCoBeZu kryteria sukcesu w języku ucznia

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.

Etap finałowy konkursu MbG Senior - edycja 2016/2017

Liczby naturalne i ca lkowite

Podzielność liczb; iloczyn i suma dzielników

XXV Rozkosze Łamania Głowy konkurs matematyczny dla klas I i III szkół ponadgimnazjalnych. zestaw A klasa I

Moneta 1 Moneta 2 Kostka O, R O,R 1,2,3,4,5, Moneta 1 Moneta 2 Kostka O O ( )

WOJEWÓDZKI KONKURS MATEMATYCZNY

P o w o d z e n i a!

Macierze. Rozdział Działania na macierzach

Przykładowe zadania z teorii liczb

MATLAB - laboratorium nr 1 wektory i macierze

MATEMATYKA W SZKOLE HELIANTUS LICZBY NATURALNE I CA LKOWITE

2. LICZBY RZECZYWISTE Własności liczb całkowitych Liczby rzeczywiste Procenty... 24

Metoda eliminacji Gaussa. Autorzy: Michał Góra

KRZYŻÓWKA Może być np. równoboczny lub rozwartokątny. Jego pole to a b HASŁO:

Powtórzenie podstawowych zagadnień. związanych ze sprawnością rachunkową *

B.B. 2. Sumowanie rozpoczynamy od ostatniej kolumny. Sumujemy cyfry w kolumnie zgodnie z podaną tabelką zapisując wynik pod kreską:

Dodawanie liczb binarnych

XVII edycja Międzynarodowego Konkursu Matematycznego PIKOMAT rok szkolny 2009/2010

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie IV

Konkurs dla szkół ponadgimnazjalnych Etap szkolny 9 stycznia 2013 roku

MACIERZE I WYZNACZNIKI

Sumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych

1. Napisz program, który wyświetli Twoje dane jako napis Witaj, Imię Nazwisko. 2. Napisz program, który wyświetli wizytówkę postaci:

Transkrypt:

Kwadraty magiczne Magiczne kwadraty to liczby tak ułożone, że suma każdej kolumny i rzędu jest równa tej samej liczbie. Składają się one z czterech lub więcej pól. Najpopularniejsze maja 9 lub 16 pól. W wieku XV zainteresowanie tymi łamigłówkami rozpowszechniło się z Chin do Europy. Kwadraty magiczne nie mają żadnego zastosowania naukowego, ich układanie jest rodzajem rozrywki matematycznej.

Historia kwadratów magicznych Kwadraty magiczne to jedna z najstarszych łamigłówek na świecie. Podłoże historyczne kwadratów magicznych sięga czasów starożytnych. Odkrył go ok. 2800 roku chiński filozof Lo Shu, jego kwadrat składa się z dziewięciu pól z wpisanymi liczbami od 1 do 9. Kolejny etap rozwoju kwadratów magicznych rozpoczął się w Indiach, gdyż to właśnie tam został odkryty magiczny kwadrat rzędu czwartego. Żydowscy badacze pisma także stworzyli na swój użytek magiczny kwadrat. W odróżnieniu od chińskiego, zbudowany był wyłącznie z nieparzystych liczb, a ich literowe odpowiedniki miały składać się na imię Boga. Te litery, wypisane w formie magicznego kwadratu na pergaminie, miały moc uzdrawiania, a nawet powoływania do życia martwych. Islamczycy i Arabowie przejęli wiedzę o kwadratach magicznych dopiero około IX wieku n.e.. Były używane do przepowiedni oraz astrologii. To właśnie Islamscy matematycy wprowadzili po raz pierwszy, prostą zasadę tworzenia kwadratów magicznych. Od tego czasu magiczne kwadraty były rozważane na przykład w relacjach w stosunku do religii, planet, słońca i sztuki. W przeszłości stały się bardzo ważne, również dla kultury afrykańskiej, gdyż miały dla nich znaczenie duchowe. Wypisywali je sobie na ubraniach, maskach, przedmiotach religijnych oraz na budynkach. Do dziś można spotkać amulety chińskie z kwadratami magicznymi, na których zamiast liczb są odpowiednie ilości nakłuć lub wydrążeń. W Europie upowszechnił je w początkach XV wieku Grek Moscopulos.

Podział I 1. Kwadrat półmagiczny, to taki w którym suma liczb w każdym wierszu i każdej kolumnie jest taka sama, ale sumy liczb w przekątnych są różne. 2. Brzegowy kwadrat magiczny, wyróżnia się tym, że jeśli usuniemy boczne kolumny i wiersze (brzegi/boki) to kwadrat nadal będzie magiczny, lecz będą inne sumy niż wcześniej. 3. Symetryczny kwadrat magiczny charakteryzuje się tym, że jeśli poprzestawiamy jego kolumny oraz wiersze leżące symetrycznie względem środka kwadratu, to pozostanie on nadal magiczny. 4. Zerowy kwadrat magiczny, to taki w którym sumy kolumn i wierszy wynoszą 0. Warto zaznaczyć że liczby w kwadracie to liczby ujemne. 5. Kwadrat magiczny mnożenia, to kwadrat w której iloczyn elementów z każdej kolumny, z każdego wiersza i z obu przekątnych daje tę samą stałą.

6. Kwadrat magiczny dodawanie-mnożenie, odznacza się tym, iż zarówno suma jak i iloczyn elementów z każdego wiersza, z każdej kolumny i z obu przekątnych jest taka sama. Podział II Kwadraty magiczne można także podzielić ze względu na postęp w jakim idą liczby. arytmetyczne geograficzne Podział III Kwadraty są też dzielone ze względu na podział w zależności od rzędu kwadratu. Parzyste, np.: 2x2, 6x6, 18x18 nieparzyste, np.: 3x3, 7x7, 15x15

Cechy kwadratu magicznego Jeżeli zwiększymy lub zmniejszymy każdy składnik, jaki zawiera kwadrat magiczny, o pewną liczbę to nadal pozostanie on magiczny. Jeśli wszystkie składniki w kwadratu podzielimy lub pomnożymy przez jakąś liczbę to kwadrat wciąż będzie magiczny. z dwóch tablic możemy otrzymać trzecia, jeśli zsumujemy elementy stojące w analogicznych polach Znane kwadraty magiczne 1. Najbardziej znanym kwadratem magicznym jest najprawdopodobniej ten kwadrat, który został umieszczony w miedziorycie przez Albrechta Dürera. 2. Kolejnym znanym kwadratem magicznym jest kwadrat zamieszczony przy rzeźbie na zachodniej fasadzie Pasjii Sagrada Familia w Barcelonie.

3. Ciekawy i niezwykły kwadrat magiczny znajdziemy w ogrodzie sztuki The Eaton Fine Art Gallery w Palm Beach na Florydzie. Jego twórcą jest Patrick Ireland. Rzeźba składa się z 9 słupków, z których każdy, zbudowany jest z określonej ilości bloków. Ilości tych bloków odpowiadają pewnym liczbom, których suma w każdym rzędzie i na przekątnej jest równa 30. Od strony matematycznej Kwadrat magiczny z matematycznego punktu widzenia to macierz kwadratowa, w której suma liczb w kolumnach wierszach i obu przekątnych jest taka sama. Taka suma jest nazywana sumą magiczną. Kwadratów magicznych jest nieskończenie wiele.

Źródła: http://www.math.edu.pl/kwadrat-magiczny http://mif.pg.gda.pl/kmd/magda/pdfy http://www.educarium.pl/index.php/matematyka-menu-karty-pracy-102/164-kwadratymagiczne-i-pgiczne.html http://maga.witrynaszkolna.pl/strona=kwadraty http://pl.wikipedia.org/wiki/kwadrat_magiczny_%28matematyka%29#w.c5.82asno.c5.9bci Spis treści Kwadraty magiczne... 1 Historia kwadratów magicznych... 2 Podział I... 3 Podział II... 4 Podział III... 4 Cechy kwadratu magicznego... 4 Znane kwadraty magiczne... 5 Od strony matematycznej... 6 Źródła:... 7