Marcin Malinoski marcin.malinoski@prao.uni.roc.pl OPCJE KOZYKOWE JAKO NOWOCZENY INTRUMENT FINANOWY ODPOWIADAJĄCY POTRZEBOM RYNKU FINANOWEGO XXI WIEKU Wstęp Współczesna działalność gospodarcza czy inestycyna est ziązana z aktynością na ielu rynkach ielu kraach śiata. Rozó globalizaci z kaŝdym rokiem pogłębia tendencę do zanikania granic, torząc ieloszczebloy system finansoy, nastaiony na zaspokaanie określonych potrzeb rynkoych. Jedną z takich potrzeb est moŝliość zabezpieczania się przed ryzykiem, które est nieodzonie ziązane z kaŝdą czynnością gospodarczą. Odpoiedzią na potrzeby ochrony przed złoŝonymi rodzaami ryzyka nieątpliie są zaliczane do instrumentó egzotycznych opce ieloczynnikoe, których artość est uzaleŝniona od ięce niŝ ednego instrumentu bazoego. Do nabardzie popularnych opci ieloymiaroych (multivariate zaliczamy: opce koszykoe (basket, tęczoe (rainbo, portfeloe (portfolio, ymiany (Exchange, spreadoe (spread itp. Opca tęczoa est zdefinioana ako funkca maksimum lub minimum, która określa indeks ypadkoy. Opca spread est storzona ten sposób, Ŝe indeksem ypadkoym est róŝnica dóch indeksó podstaoych. Opca ymiany pozala zaś posiadaczoi terminie ygaśnięcia opci zmienić eden instrument podstaoy na drugi. Opca koszykoa, ak sugerue e naza, est kontraktem, który słuŝy asekuraci całego koszyka aloró, tzn. specyficznego portfela instrumentó. Zaletą opci koszykoych est to, Ŝe są one bardzie efektyne pod zględem kosztó niŝ portfel złoŝony z poedynczych opci. Taki portfel nadmiernie redukue ryzyko i kosztue zykle ięce niŝ opca koszykoa, co ynika faktu, Ŝe opca koszykoa uzględnia korelacę między róŝnymi czynnikami ryzyka. Opca koszykoa generue dochód uzaleŝniony od kształtoania się cen składnikó całego portfela instrumentó bazoych, co namnie dóch aktyó. Aktya te naleŝeć mogą do te same klasy lub róŝnych klas, np. akci, obligaci, alut czy toaró. Opce koszykoe są torzone zgodnie z zamóieniem klienta. ą one ykorzystyane do zabezpieczania specyficznego portfela aloró (inacze koszyka. Ze zględu na czynnik kosztó opce te są efektyniesze porónaniu z portfelem złoŝonym z opci standardoych, co K. Jauga, T. Jauga, Inestyce, Warszaa 6, s.. A. Weron, R. Weron, InŜynieria finansoa, Warszaa 999, s. 9.
6 Marcin Malinoski iąŝe się z tym, Ŝe taki portfel redukue ryzyko i z reguły kosztue ięce od opci koszykoe. Typoe przykłady opci koszykoych to opce dla akci i opce alutoe. Opce koszykoe zyskały na popularności dzięki rozooi międzynarodoego rynku finansoego. Integraca rynkó narodoych a takŝe regionalnych doproadziła do ziększenia znaczenia opci egzotycznych, tym takŝe koszykoych. Celem opracoania est ykazanie, iŝ opce koszykoe posiadaą istotne cechy niezbędne przy proadzeniu działalności inestycyne na ielu rynkach, oraz Ŝe są przy tym mnie kosztone niŝ opce standardoe. Ponadto zostanie ykazane, iŝ konstrukce opci koszykoych pozalaą dopasoać instrument do potrzeb inestora. Reoluca instrumentó pochodnych Początek historii instrumentó pochodnych sięga czasó staroŝytne Greci. Źródła historyczne opisuą działanie filozofa i matematyka Talesa z Miletu, który okresie letnim negocoał prao do uŝyania maszyny do tłoczenia oliy z oliek następnym roku. Rzeczyisty popyt na takie urządzenia kształtoał się dopiero okresie iosennych zbioró i zaleŝał od ich ielkości. Pierszy rynek opci postał Holandii XVII ieku, kiedy to kra ogarnęło szaleństo spekulaci cebulkami tulipanó. Pod koniec XIX ieku rozpoczęto poszukiania reguł rządzących rynkiem instrumentó pochodnych; m.in. Russel aga opracoał poęcie parytetu call put zanego óczas konersą. Do końca lat 6. XX ieku handel instrumentami pochodnymi opierał się yłącznie na przesłankach spekulacynych, a artość oych instrumentó była dla szystkich ielką nieiadomą. kutkiem tego były gałtone zmiany cen instrumentó pochodnych, ysokie spready, a przede szystkim niska płynność. Momentem przełomoym rozou instrumentó pochodnych był rok 97. Wóczas to miały miesce da fundamentalne ydarzenia, które istotny sposób płynęły na rozó rynku instrumentó pochodnych: opracoano model yceny opci standardoych oraz proadzono e do obrotu giełdoego. W ciągu następnych lat nastąpił gałtony rozó rynku pierszych instrumentó pochodnych, takich ak kontrakty futures oraz opce standardoe. ukces ten ynikał z kilku przyczyn. Jedną z nich było opracoanie pierszego modelu yznaczenia artości teoretyczne instrumentó pochodnych (97 r., przedstaienie przez Fishera, Blacka i Myrona cholesa modelu yceny europeskich opci standardoych na akce spółek nie ypłacaących dyidendy. W ciągu następnych kilkunastu lat rozszerzono model Blacka cholesa na inne instrumenty bazoe: aluty (modele Garmana B. Kraiec, M. Kraiec, Opce na giełdach toaroych Polsce, Warszaa, s. 8.
Opce koszykoe ako nooczesny instrument finansoy 7 Kohlhagena oraz Grabbego, kontrakty futures (model Blacka, akce spółek ypłacaących dyidendy (model Mertona. Rónolegle podęto prace nad przybliŝeniem modelu do rzeczyistości poprzez uchylenie ego niektórych załoŝeń. Ich oocem były modele Thorpe a (zniósł ograniczenia dotyczące krótkie sprzedaŝy, Coxa i Rossa (proadzili nieciągłe zmiany cen instrumentu bazoego, Jarroa i Rudda (odeszli od logarytmiczno-normalnych rozkładó cen oraz Mertona (proadził zmienną stopę procentoą. NaleŜy zaznaczyć, iŝ duŝym poodzeniem inestoró cieszy się do te pory opracoany połoie lat 7. XX ieku model dumianoy J. Coxa,. Rossa i M. Rubinsteina. Model ten est oparty na dumianoym (dudzielnym drzeie decyzynym i stochastycznie modeloanym rozkładzie pradopodobieństa. Podstaoą rolę odgrya załoŝenie, Ŝe kaŝdym z ielu analizoanych okresó instrument bazoy, na który opiea opca, moŝe z góry określonym stopniu podroŝeć lub stanieć. Wszystkie yŝe ymienione modele miały soe bezpośrednie przełoŝenie na praktykę obrotu, umoŝliiaąc instytucom finansoym efektyniesze i bardzie śiadome zarządzanie pozycami na rynku instrumentó pochodnych. NaleŜy rónieŝ zaznaczyć, iŝ skazane modele są naaŝnieszymi modelami yceny opci. Rozó tych modeli spoodoał, Ŝe 997 r. Nagroda Nobla z ekonomii została przyznana łaśnie za opracoanie modeli yceny opci, a otrzymali ą Robert Merton i Myron choles (trzeci spółtórca modeli, Fischer Black, zmarł 99 r.. Podmioty gospodarcze, chcąc zlikidoać lub przynamnie ograniczyć ponoszone ryzyko, zmuszone były do zabezpieczania posiadanych pozyci na rynku instrumentó pochodnych. Jednocześnie zrost zmienności cen ielu aktyó starzał znacznie iększe moŝliości osiągania zyskó spekulacynych. Obyda te czynniki przyczyniły się do uformoania się strony popytoe. Ceną, którą inestorzy musieli zapłacić za korzystanie z opci giełdoych, była ich standaryzaca. Ograniczenie sobody yboru parametró opci zrekompensoane było yŝszą płynnością na rynku giełdoym, a tym samym niŝszymi kosztami otarcia i zamknięcia pozyci na rynku. W późnych latach 8. XX ieku, gdy tylko rynek bazoych instrumentó terminoych został ugruntoany dzięki rozooi teorii yceny opci oraz praktyki redukci ryzyka, od razu poaiła się konieczność konstrukci noych instrumentó finansoych o specyficzne dla danego klienta funkci ypłaty. Podyktoane to było głónie potrzebami strategii dynamicznego zabezpieczenia, ak i strategii ubezpieczania portfela, uŝyanymi do kontroloania A. Fierla, Opce na akce, Warszaa, s. 6. K. Jauga, K. Kuziak, P. Markoski, Rynek kapitałoy. Inestyce finansoe, Wrocła 998, s..
8 Marcin Malinoski ryzyka inestycynego na rynku kapitałoym i alutoym 6. Takie potrzeby znalazły oddźięk postaci opci egzotycznych, których rozó był nieako rónoległy do rozou opci standardoych (anilioych. Podobnie ak przypadku opci klasycznych, opracoanie modeli yznaczania artości teoretyczne niektórych opci egzotycznych było katalizatorem rozou. JuŜ 97 roku Merton przedstaił model yceny barieroych opci kupna z barierą yścia dół, na którym oparto ycenę takŝe innych opci barieroych. Pod koniec lat 7. opracoano modele yceny opci zmiany (model Margrabe a, opci złoŝonych (model Geskego oraz opci stecznych (model Goldmana, osina i Gatto. Lata 8o. przyniosły m.in. modele tulza (ycena opci na maksimum lub minimum du instrumentó bazoych oraz Ingersolla (pierszy model yceny opci azatyckich. Jako eden z głónych czynnikó rozkitu okazał się fakt akceptaci osiągnięć badaczy przedmiotu opci przez praktykó. Wiedza zgromadzona ośrodkach badaczych coraz częście i na iększą skale została draŝana do śiata finansó. Kolenym czynnikiem rozou rynku opci, którego znaczenia nie moŝna nie zauaŝyć, była chęć zaoferoania klientom noych produktó inestycynych. Opce egzotyczne posiadaą bardzo specyficzną budoę i są bardzo oryginalne. Ich fenomen polega na tym, iŝ mogą zostać tak skonstruoane, aby zaspokoić potrzeby bardzo ymagaących odbiorcó. Podobnie ak garnitur moŝe być uszyty na konkretną miarę, to tak samo opca egzotyczna moŝe zostać tak skonstruoana, aby odpoiadać konkretnym ymaganiom inestora. W praktyce oznacza to moŝliość yboru zasadzie doolnego instrumentu podstaoego, ak i zastosoania inne niŝ standardoa funkca ypłaty. Ponadto naleŝy zauaŝyć, iŝ po proadzeniu do obrotu giełdoego opci standardoych i kontraktó futures zainteresoanie inestoró instrumentami pochodnymi zaczęło systematycznie rosnąć, spready się zaę- Ŝać, iedza inestoró pogłębiać, co z kolei ograniczyło zyski market makeró. Wproadzenie do obrotu noych instrumentó, dodatku o znaczenie mniesze standaryzaci, pozoliło na osiągnięcie ponadprzeciętnych zyskó. Budoanie rynku instrumentó egzotycznych ma soą historię i soe przesłanki. Początkoo noe funkce ypłaty były replikoane syntetycznie z bazoych instrumentó za pomocą linioych kombinaci standardoych opci, ednak często taka replikaca okazyała się zbyt kosztona. Z czasem, gdy Ŝądane funkce ypłaty staały się coraz bardzie skomplikoane, trzeba było noe instrumenty torzyć metodami inŝynierii finansoe. W ten sposób poaiły się noe instrumenty, nie tylko bardzie elastyczne z punktu idzenia inestoró, ale rónieŝ relatynie tańsze po- 6 A. Weron, R. Weron, InŜynieria finansoa..., s..
Opce koszykoe ako nooczesny instrument finansoy 9 rónaniu z kombinacami instrumentó standardoych. Ponadto nie kaŝde sytuaci moŝlie było storzenie pozyci, która odpoiadała potrzebom inestoró przy ykorzystaniu edynie instrumentó standardoych. Opce egzotyczne oferoały ięc nabycy duŝo iększą elastyczność i pozalały na lepsze dopasoanie do indyidualnych potrzeb. Metoda yceny opci Na artości opci koszykoe płya kilka czynnikó, z których część est taka sama, ak przypadku opci standardoych (tzn. artość instrumentó bazoych, czas do ygaśnięcia opci, stopa olna od ryzyka, stopa dyidendy, zmienność cen instrumentó bazoych, cena ykonania, ale poaiaą się rónieŝ die dodatkoe zmienne. ą to agi poszczególnych instrumentó koszyku oraz korelaca instrumentó podstaoych. Niech t dla,,..., k oznacza ceny k instrumentó podstaoych, np. akci czasie t dla t [, T ]. Funkca ypłaty dla koszykoe opci kupna ynosi óczas: f T k i ( i T K, i k gdzie: agi - tego instrumentu, przy czym. T cena - tego instrumentu czasie T` ykonania opci, K cena ykonania opci z terminem ygaśnięcia T. Aproksymaca ma postać: Cˆ Ĉ t ceny koszykoe opci kupna [ cf( h ( K c F( ] h k t t i gdzie: c exp k, ( T t k i, i i, i, przy czym zmodyfikoane agi i określa się zorem: C t podana przez Musieli i Rutkoskiego 7, 7 M. Musiela, M. Rutkoski, Martingale methods in financial modeling, [:] A. Weron, R. Weron, InŜynieria finansoa..., s. 6.
6 Marcin Malinoski i i t k, t natomiast zmodyfikoana cena ykonania K est yraŝona zorem: K e k r( T t K t, gdzie: r - stopa zrotu olna od ryzyka, zaś pozostałe artości to: h ± ln c ln K c ± v T t gdzie: v k i i, i,, i v ( T t, zaś i, est spółczynnikiem korelaci pomiędzy stopami zrotu instrumentó, a i, to spółczynniki zmienności cen akci, tz. odchylenia standardoe. ymbolami F oznaczono dystrybuantę standaryzoanego rozkładu normalnego. Opce koszykoe mogą obemoać praktycznie kaŝdą liczbę instrumentó podstaoych pod arunkiem, Ŝe rynki tych instrumentó są płynne oraz istniee ystarczaąca liczba danych, by ustalić korelacę między poszczególnym składnikami koszyka. Wraz ze zrostem liczby aloró koszyku rośnie takŝe stopień skomplikoania obliczeń proadzących do yznaczenia premii opcyne. Analizie yceny ninieszego opracoania zostało poddanych pięć spółek, tym celu naleŝy poddać modyfikaci poyŝsze zory. Jak uŝ zostało zaznaczone, poziom skomplikoania zoró rośnie proporconalnie raz ze zrostem liczby poddanych badaniu instrumentó bazoym (akci. Aby uzyskać przybliŝoną artość yceny koszykoe opci kupna, naleŝy uzględnić kaŝde składoe udział analizoanych instrumentó oraz ich pły na cały portfel.
Opce koszykoe ako nooczesny instrument finansoy 6 Parametry zoró przymuą następuącą postać po proadzeniu załoŝeń: } ] ( ( ( ( ( exp{[ T c Zmodyfikoana cena ykonania ' K dla pięciu instrumentó yraŝona est zorem: ' K e K rt, gdzie: T v T v c K c h ' ' ' ln( ln ± ± gdzie: v Zmodyfikoane agi dla pięciu instrumentó bazoych maą postać: Wzór na aproksymacę ceny koszykoe opci kupna składaące się z pięciu instrumentó bazoych chili t ma postać: [ ] ( ( ( ˆ ' ' ' ' h F c K h F c C.
6 Marcin Malinoski Przedstaione poyŝe zory zostały dostosoane do potrzeb ninieszego opracoania. Ponadto ich koleność odpoiada etapom, akie naleŝy prześć, aby uzyskać aproksymacę, czyli przybliŝoną artość yceny koszykoe opci kupna. NaleŜy rónieŝ zaznaczyć, iŝ ziązku z faktem, Ŝe zaróno notoane na Giełdzie Papieró Wartościoych Warszaie opce indeksoe, ak i opce na akce poedynczych spółek, których proadzenie uŝ zapoiedziano, maą charakter europeski, moŝliość ykonania opci koszykoe rónieŝ ograniczono tylko do daty oznaczaące termin ygaśnięcia. Dlatego skazane yŝe zory dla chili t posiadaą taką a nie inną konstrukce. Przykład yceny opci koszykoe Budoa przykładoe opci koszykoe została dokonana na podstaie pięciu ybranych spółek sektoroych z indeksu WIG-BANKI. Na podstaie notoań cen akci na zamknięcie okresie od..9 do..9 8 yznaczono historyczną zmienność cen akci ybranych spółek (tab., oraz macierz spółczynnikó korelaci dla poszczególnych par akci (tab.. Do skonstruoania koszykoe opci kupna zostały ykorzystane następuące spółki: Bre Bank, BZWBK Bank Zachodni, Getin Bank, Citi Bank Handloy oraz PKO Bank Polski. Tabela. Historyczna zmienność akci Zmienność [%] Źródło: Opracoanie łasne. BRE BZWBK GETIN HANDLOWY PKOBP,6,7,7,67,7 Tabela. Macierz spółczynnikó korelaci BRE BZWBK GETIN HANDLOWY PKOBP BRE,98,98,9,96 BZWBK,98,97,88,969 GETIN,98,97,89,968 HANDLOWY,9,88,89,8 PKOBP,96,969,968,8 Źródło: Opracoanie łasne. Ponadto do badań, przyęto stopę olną od ryzyka na poziomie r 6%, czas do ygaśnięcia opci miesiące (T,, a ceny początkoe akci przyęto edług notoań na zamknięcie dniu..9 roku (tab.. 8.bossa.pl
Opce koszykoe ako nooczesny instrument finansoy 6 Tabela. Cena akci na zamknięcie BRE BZWBK GETIN HANDLOWY PKOBP CENA AKCJI 9,9 69,,8, Źródło:.bossa.pl Udział poszczególnych instrumentó (akci koszyku est ednakoy i stanoi:,. Korzystaąc ze cześnie zaprezentoanych zoró, moŝna ycenić europeską opcę koszykoą kupna akci pięciu ybranych bankó przy załoŝeniu, Ŝe okresie funkconoania opci analizoane spółki nie będą ypłacać dyidendy. Ponadto naleŝy zauaŝyć, iŝ koszty transakci nie będą brane pod uagę. Tabela. Zmodyfikoane udziały (agi akci spółek koszyku i ich ariaca BRE BZWBK GETIN HANDLOWY PKOBP ZMODYWIKOWANA WAGA,8,8,,,9 WARIANCJA, Źródło: Opracoanie łasne. Korzystaąc z poyŝszych zoró, naleŝy koleno dokonać obliczeń zmodyfikoane agi poszczególnych składnikó koszyka oraz arianci (tab.. Kolenym etapem obliczeń est zmodyfikoana cena ykonania K oraz spółczynnik c ykorzystyany przy liczeniu aproksymaci C t ceny koszykoe opci kupna zaproponoany przez Musiele i Rutkoskiego 9 (tab.. Tabela. Zmodyfikoana cena ykonania opci kupna oraz spółczynnik c Zmodyfikoane K,99 Dane do aproksymaci c,998 Źródło: Opracoanie łasne. Aby uzyskać ostateczny ynik, naleŝy yliczyć zmienne h± dla artości h oraz artości h, a następnie korzystaąc z tablicy dystrybuanty rozkładu normalnego standaryzoanego odczytać uzyskane artości (tab. 6. Tabela 6. Zmienne h ±,artości z tablicy dystrybuanty rozkładu normalnego standaryzoanego oraz artość przybliŝona premii za koszykoą opcę kupna Zmienna h ± h, h, F(h,,78 Aproksymaca (premia za opcę, Źródło: Opracoanie łasne. 9 M. Musiela, M. Rutkoski, Martingale methods in financial modeling, [:] B. Kraiec, M. Kraiec, Opce na giełdach toaroych Polsce, s. 6.
6 Marcin Malinoski Oszacoana premia dla analizoane koszykoe opci kupna ynosi, zł przy cenie ykonania K zł. Dla porónania uzyskanego yniku dokonano yceny pięciu standardoych opci kupna akci poedynczych spółek, przymuąc takie same zmienne ak przypadku koszykoe opci kupna. W tym miescu naleŝy zaznaczyć, iŝ ceny ykonania poszczególnych opci standardoych K zostały przyęte takie same ak ceny początkoe Wycena została dokonana przy ykorzystaniu arkusza kalkulacynego, dostępnego na oficalne stronie Giełdy Papieró Wartościoych Warszaie (GPW. Uzyskane yniki przedstaiaą się następuąco: Bre Bank: c,8 zł/ akcę; BZWBK: c, zł/ akcę; GETIN: c,6 zł/ akcę; HANDLOWY: c,9 zł/ akcę; PKOBP: c,8 zł/ akcę. Średnia z oszacoanych premii ynosi, zł, co oznacza, Ŝe koszt nabycia opci koszykoe est o,79 zł niŝszy od średnie ceny pięciu opci kupna poedynczych akci. W uęciu procentoym ta róŝnica ynosi % i est bardzie idoczna.. Podsumoanie Opce koszykoe są instrumentami chętnie ykorzystyanymi zaróno przez inestoró na rynku akci, ak rónieŝ przez przedsiębiorsta proadzące działalność na skalę śiatoą. Kontrakty te garantuą strukturę dochodu odmienną niŝ standardoe europeskie czy amerykańskie opce kupna i sprzedaŝy. Instrumenty te są przedmiotem obrotu na pozagiełdoym rynku instrumentó pochodnych. Maą one lepie niŝ opce standardoe odpoiadać potrzebom inestoró, pragnących zabezpieczyć się przed niepoŝądanymi zmianami cen instrumentó bazoych. Ponadto opce koszykoe umoŝliiaą rónieŝ przyszłe zmiany cen ykorzystać calach zarobkoych przez zaęcie odpoiednie pozyci. Banki inestycyne i firmy zarządzaące aktyami bardzo często odpoiadaą na potrzeby soich klientó buduąc dla nich odpoiedni instrument akim est opca koszykoa. W Polsce opce egzotyczne do których zaliczamy opce koszykoe są oferoane na rynku przez: ING, Bre Bank, BPH oraz Citibank Handloy. Opce te ystępuą głonie na rynku międzybankoym i są to opce alutoe ystaione na dolara amerykańskiego i euro. Nale-.gp.pl
Opce koszykoe ako nooczesny instrument finansoy 6 Ŝy rónieŝ zaznaczyć, iŝ po raz pierszy takie opce zaoferoał soim klientom 998 roku ociete Generale i od tamte pory zyskuą one na popularności. Zapoiadane przez Giełdę Papieró Wartościoych Warszaie proadzenie opci standardoych na akcę notoanych spółek pozala sądzić, iŝ niedalekie przyszłości poaią się rónieŝ opce egzotyczne na akcę, tym takŝe opce koszykoe. zukaąc przyczyn rozou tego rynku, naleŝy zaznaczyć, iŝ ich cena est niŝsza od standardoe opci, co ykazała poyŝsza analiza, a takŝe opce te maą iększą elastyczność i lepie dopasouą się do indyidualnych potrzeb inestoró. Dodatkoo opce koszykoe charakteryzuą się ysoką stopą zrotu sytuaci trafnych przeidyań rozou sytuaci rynkoe. Bibliografia Fierka A., Opce na akce, Warszaa. Jauga K., Jauga T., Inestyce, Warszaa 6. Jauga K., Kuziak K., Markoski P., Rynek kapitałoy. Inestyce finansoe, Wrocła 998. Kraiec B., Kraiec M., Opce na giełdach toaroych Polsce, Warszaa. Weron A., Weron R., InŜynieria finansoa, Warszaa 999..gp.pl.bossa.pl THE BAKET OPTION A MODERN FINANCIAL INTRUMENT ANWERING THE NEED OF FINANCIAL MARKET OF THE XXI CENTURY Abstract The paper presents characteristics of basket options belonging to the group of exotic multivariate options. The basket option is a contract that gives the purchaser the option to buy or sell the underlying financial instrument (basket instrument at a specified price, called the exercise price or strike price, ithin a specific period of time. Moreover the author presents methods of their pricing and examples of construction and pricing of basket call on stocks. The basket options permit investor to adapt to their needs investment portfolio. Analyzed enterprises are representing bank sector and that enterprises are quoted at the Warsa tock Exchange.