Podstaw matematczne (rachunek różniczkow dot. unkcji ciągłch) 1) Pochodna unkcji 1 zmiennej () de. () d ( ) d d d lim h ( h) h ( ) (h) () h UWAGA: () tg(α) tangens kąta nachlenia stcznej Warunki e k s t r e m u m: () w p. : ( ) ( ) (p. przegięcia) ( ) > (min.) ( ) < (ma.) 1
) Różniczka unkcji 1 zmiennej: d De. ponieważ: d () to d ()d d Twierdzenie Różnica międz przrostem unkcji a różniczką unkcji d dzielona przez różniczkę d dąż do zera wraz z tą różniczką: lim d d d Twierdzenie Lagrange a (uogólnienie tw. Rolla) Jeżeli unkcja () jest ciągła w przedziale < a, b > i różniczkowalna w tm przedziale oraz na końcach tego przedziału przjmuje wartości odpowiednio równe (a) i (b) to w przedziale tm istnieje co- najmniej jeden taki punkt c, że: (c) ( b) ( a) b a ( *) c b stczna sieczna a
Wzór Talora (uogólnienie tw. Lagrange a) Zał: h b a; c a υ(b a) a υh, gdzie υ - ułamek właściw; a Ze wzoru wnika (*): (c) stąd: ( b) ( a) b a ( υh) ( h) ( ) h ( h) () h ( υh) wzór Talora z 1-szą pochodną wzór Talora z -gą pochodną Uogólniając: ( h) () ( h) () ( h) () '( ) 1! '( ) 1! h h ''( )! ''( )! h '( ) 1! h h ''( ϑh) h! '''( ϑh) h 3 3! n h n-1 ( 1) ( ) ( n 1)! z 3-cią pochodną ( ) n ( ϑh) h n n! 3) Badanie przebiegu zmienności unkcji jednej zmiennej (Procedur etap postępowania) określoność () dla którch mianownik miejsca zerowe () dla którch () punkt nieciągłości () poszukiwanie asmptot 3
pionowa: c gdzie: lim ( ) ukośna: a b oraz: gdzie: lim c ( ) lim () a b Badanie ekstremów oraz monotoniczności () a () oraz () gd () > minimum gd () < maksimum badanie punktów przegięcia, wklęsłości oraz wpukłości () () jest wklęsła ( ) ; punkt przegięcia () jest wpukła () jest ciągła i wklęsła w p. ( ) > () jest ciągła i wpukła w p. ( ) < () posiada punkt przegięcia w p. ( ) i ( ) tabela wkres () 4
4) Pochodna unkcji -zmiennch (,) - pochodna cząstkowa (, ) Powierzchnia z (, ) Y X D stczna stczna tg α const 5
6 1 sza pochodna cząstkowa unkcji z (,) De: ), ( ), ( lim ), ( ), ( lim ga pochodna cząstkowa unkcji z (, ) ( pochodne unkcji: oraz ) De: oraz: i pochodne cząstkowe mieszane Twierdzenie Schwarca Jeżeli istnieją pochodne cząstkowe mieszane i są one ciągłe w obszarze D, to są one sobie równe: 5) Różniczka z u p e ł n a unkcji z(, ) De. dz d d
Pt: kied dz P(, )d Q(, )d jest różniczką z u p e ł n ą? Odp: gd P Q wniosek z tw. Schwarca UWAGA: Funkcja złożona z (u,v) gdzie u u[] i v v[] z (u[],v[]) 6) Różniczka zupełna unkcji złożonej dz ( u, v) u du ( u, v) v dv d d dz d ( u, v) u du d ( u, v) v dv d (*) Pochodna unkcji z ł o ż o n e j Szczególne przpadki (*) (a p l i k a c j e) a) v const. Wted (u[],v[]) (u[],const.) (u[]). złożona dv więc (*) : dz du d d u d v d du du d pochodna zewnętrzna raz wewnętrzna (znan wzór) c.n.d. 7
b) v () oraz u. Wted (u[], v[]) (, []) 1-sza pochodna (, []) więc (*) dz d d d d d szczególn przpadek: z unkcja uwikłana w tm przpadku jest to unkcja jednej zmiennej. 1-sza pochodna (, []) Wted : Stąd: - Jest to ogóln wzór na obliczanie pochodnej unkcji jednowmiarowej. - ga pochodna (,[]) d d ' ' ( ' ) ' ' Warunki istnienia ekstremum unkcji uwikłanej: (,[]) : 1) ) ' ; ( ' ) ' '. 8
7) Klasikacja unkcji zmiennch a) krzwe przestrzenne ( płaszczznę przecinają w skończonej liczbie punktów śladem są punkt) ; b) powierzchnie (płaszczznę przecinają w nieskończonej ilości punktów śladem jest krzwa ) I n t e r e s u j e m s i ę k l a s ą p o w i e r z c h n i b) Postać uwikłana: F(,, z) N r Pł. stczna α M(,,z ) F(,, z) Prosta l 1 Prosta m Linie leżące na pow. F(,,z) w postaci parametrcznej: oraz są postaci: (t); (t); z(t) 1 9
Ponieważ leżą na powierzchni, zatem je s p e ł n i a j ą: d F[(t),(t),z(t)] dt F d dt F d dt F z dz dt ; (*) Sugeruje postać i l o c z n u s k a l a r n e g o wektorów: N r r F r r F F ; z r d dt r d dt r dz dt ; oraz S r ; ; ( ' ; '; z) r r r Z (*) wnika, że N r S r N r - wektor normaln do pł. α stcznej do pow. F[(t),(t),z(t)] S r - wektor prostej stcznej ( leżącej na pł. stcznej α ) Jeżeli p. M( ; ;z ) leż na powierzchni F[(t),(t),z(t)], wted: F (- ) F (- ) F z (z-z ) pł. stczna w p. M ; ' ' z z z' prosta stczna l F M F M z z F z prosta normalna m M Patrz: ANEKS Ekstremum F[(t),(t),z(t)] w p. M( ; ;z ) Problem l o k a l n o ś c i ekstremum W szczególności unkcja uwikłana F[(t),(t),z(t)] może wstapić w postaci jawnej : F(,) z (,) 1
F (- ) (- ) F F z (z-z ) musi bć do pł. o stąd: F F w a r u n e k k o n i e c z n Ekstremum lokalne wstępuje w tzw. punktach stacionarnch (spełniającch w a r u n e k k o n i e c z n ) Oznacznia: ; ; ; ; Oraz H(,) hesjan Twierdzenie Jeżeli unkcja z (,) jest klas C (posiada 1 i pochodną ciągłą) w otoczeniu p. M, i jeżeli (M), (M) oraz H(M) >, to unkcja z (,) w p. M posiada ekstremum l o k a l n e: > min. l o k a l n e < ma. l o k a l n e Ekstremum a b s o l u t n e uzskuje się badając wartości (,) na brzegu tego obszaru, a następnie porównuje się je z wartościami ekstremum l o k a l n e g o. ANEKS 11
Równanie prostej na płaszczźnie: n AP stąd: dla a ( ) b( ) c a b mam: a b c 1
N[a,b, c] A( o, o, z o ) P(,, z) Równanie płaszczzn w przestrzeni: N AP stąd: dla mam: a ( d ) b( ) c( z z ) a b c a b cz d Równanie prostej w przestrzeni: 13
14 z Równanie prostej w przestrzeni: γ β α z z Z rs. wnika, że: u N N 1 1 1 1 1 d z c b a d z c b a Rozwiązanie tego układu jest poszukiwanm miejscem geometrcznm. N 1 [a 1,b 1,c 1 ] N [a,b,c ] u[α,β,γ] A( o, o, z o )