Knematyka prota owrotna ES9/9
Przypomnene: ruh ała ztywnego Ruh ała ztywnego jet kombnają obrotów przeunęć Zefnowany przez maerz rotaj (R) wektor przeunęa () Grupa wzytkh takh par (R) jet znana jako Spejalna grupa Eukleowa (ang. Speal Eulean group SE(3)) Można przetawć ruh ała ztywnego (obroty przeunęa) jako opowene operaje mnożena maerzy Mnożene maerzy H jet znane jako tranformaty homogenzne: H Tranformaja owrotna: R T H T T R R ES9/9
ES9/9 Przypomnene: tranformaje homogenzne Tranformaje potawowe: Trzy zyte przeunęa trzy zyte obroty b a z b y a x Tran Tran Tran γ γ γ γ γ β β β β β z y x Rot Rot Rot
Przykła Kąty Eulera : przetawlśmy kąty Eulera ZYZ. Jak jet zbór wzytkh możlwyh kątów Eulera który może być użyty o reprezentaj owolnej maerzy obrotu? XYZ YZX ZXY XYX YZY ZXZ XZY YXZ ZYX XZX YXY ZYZ ZZY ne może być użyty o opu owolnej maerzy obrotu poneważ wa kolejne obroty wzglęem o Z mogą być złożone w jeen obrót ES9/9
ES9/9 Przykła Oblzyć tranformatę homogenzną reprezentująą przeunęe o 3 jenotk wzłuż o x natępne rotaję o π/ wzglęem beżąej o z oraz przeunęe jenotkowe wzłuż utalonej o y 3 3 / 3 π z x y T T T T
Knematyka prota - wprowazene Zaane: mają ane wzytke parametry złązowe manpulatora znaleźć pozyję orentaję ukłau narzęza (ang. tool frame) Ukła narzęza: ukła wpółrzęnyh zwązany z najalzym elementem manpulatora Ukła oneena ukł. bezwłany (ang. nertal frame): utalony (neruhomy) ytem wpółrzęnyh zwązany z najblżzym elementem manpulatora Zatem hemy znaleźć owzorowane pomęzy ukł. narzęza a ukł. oneena Bęze to funkja zależna o wzytkh parametrów złązowyh fzyznyh parametrów (geometr) manpulatora Czyta geometra: ne mumy brać po uwagę momentów kręająyh na złązah zy ynamk (na raze!!!) ES9/9
Oznazena Manpulator z n topnam woboy ma n złązy (obrotowyh lub pryzmatyznyh) n+ złonów (każe złąze łązy wa złony) Zakłaamy że każe złąze ma tylko topeń woboy( złąza feryzne lub unweralne mająe wele topn woboy mogą być traktowane jako kombnaja złąz z t. w. połązonyh bezpośreno ze obą o oznaza bazowy ukła oneena o n oznaza ukła narzęza Złąze łązy złony - z Ukła o jet towarzyzony z złonem Zmenne złązowe q q la zlaza obrotowego la zlaza pryzmatyznego ES9/9
Oznazena Pokazalśmy że tranformata homogenzna pozwala wyrazć pozyję orentaję o j wzglęem o Szukamy pozyj orentaj ukł. narzęza wzglęem bazowego ukłau oneena Krok pośren polega na znalezenu maerzy tranformaj opująej pozyję orentaję o wzglęem o - : oznazonej Teraz można zefnować tranformaję o j w o jako: T j + +... j I j ( T ) f j > j f f < j j ES9/9
Wynk: Otatezne pozyja orentaja ukł. narzęza wzglęem bazowego ukł. oneena jet ana jeną maerzą tranf. homogenznej: Dla manpulatora z n t. Swoboy: H R o n n Tn ( q ) ( q ) ( q ) Poumowują aby w pełn określć knematykę protą owolnego manpulatora z zeregowym łańuhem knematyznym wytarzy znaleźć tranformaje wykonać mnożene maerzy n n le można zybej na króty ES9/9
ES9/9 Konwenja zapu Denavta-Hartenberga (DH) Każa nywualna tranformaja homogenzna przetawona jako lozyn ztereh tranformaj bazowyh: x a x z z a a a Rot Tran Tran Rot
Konwenja zapu Denavta-Hartenberga (DH) Cztery parametry DH: a : ługość złonu : kręene złonu : przeunęe (offet) złonu : kąt na złązu Poneważ każa ma. jet funkją tylko zmennej 3 z powyżzyh param. DH bęą tałe la każego złąza bęze zmenną la złązy pryzmatyznyh a -la złązy obrotowyh le la każego ała ztywnego potrzeba parametrów aby opać jego pozyję orentaję Trzy kąty (np. kąty Eulera) wektor pozyj 3x Wę lazego ą tylko parametry DH?... ES9/9
Itnene jenoznazność Key możemy wyrazć tranformaję homogenzną używają parametrów DH? Jako przykła rozważmy ukł. wpółrzęnyh o o Itneje jenoznazna tranformaja homogenzna pomęzy tym woma ukłaam Zakłaamy że zahoz:. DH: xˆ zˆ. DH: xˆ zˆ Jeśl tak to tneje jenoznazna tranformaja : Rot R z Tran o z Tran x a Rot x ES9/9
Itnene jenoznazność Dowó:. Zakłaamy że R ma potać:. Używamy DH w elu weryfkaj pota R xˆ zˆ r r r 3 T x z r Werze kolumny R muzą być weroram: 3 R R z R x r r r r r r r3 r Potać rezty elementów R wynka z włanoś ma. rotaj Tak wę założene ze tneje jenoznazne ająe R jet prawzwe z DH R 3 3 33 r r 3 + r + r 33 ES9/9
ES9/9 Itnene jenoznazność Dowó:. Używamy DH w elu znalezena pota o Poneważ we oe przenają ę można wyrazć lnę pomęzy woma ukł. wp. jako lnową kombnaję wóh o (na płazzyźne zefnowanej przez x z ) + + a a a o ax z o z x ˆ ˆ
Fzyzna baza parametrów DH a : ługość złonu ytan pomęzy z z (wzłuż x ) : kręene złonu kat pomęzy z z (merzony wokół x ) : przeunęe (offet) złonu ytan pomęzy o przeęem z x (wzłuż z ) : kąt złąza kąt pomęzy x x (merzony wokół z ) Konwenja oatna: ES9/9
Przypane ukłaów wpółrzęnyh Dla owolnego n-złonowego manpulatora zawze możemy tak obrać ukł. wp. żeby założena DH DH były pełnone Wybór tak ne jet unkalny ale końowy rezultat zawze bęze tak am. Wyberz z jako oś obrotu la złąza + z jet oą obrotu la złąza z jet oą obrotu la złąza et Jeśl złąze + jet obrotowe z jet oą obrotu złąza + Jeśl złąze + jet pryzmatyzne z jet oą przeunęa la złąza + ES9/9
. Wyznaz ukła bazowy Przypane ukłaów wpółrzęnyh Może to być owolny punkt wzłuż z 3. Wyberz x y tak aby pełnć zaaę prawej ręk. Start proeu terayjnego efnująego ukł. wzglęem ukł. - Rozważ trzy przypak zależnoś z - z :. z - z ne ą koplanarne (ne leżą na wpólnej płazzyźne).. z - z przenają ę z - z ą równoległe z - z ą koplanarne ES9/9
. ne ą koplanarne z - z Przypane ukłaów wpółrzęnyh Zawze tneje najkrótzy onek łąząy te oe (najmnejza oległość pomęzy tym oam) Wyberz tą lnę jako x o jet w punke przeęa z x Wyberz y zgone z konwenją prawej ręk ES9/9
. przenają ę z - z Przypane ukłaów wpółrzęnyh Wyberz x tak aby był normalny o płazzyzny zefnowanej przez z z - o jet w punke przeęa z x Wyberz y zgone z konwenją prawej ręk ES9/9
. ą równoległe z - z Przypane ukłaów wpółrzęnyh Nekońzene wele normalnyh o równej ługoś pomęzy z z - Dowolny wybór o gzekolwek wzłuż z azkolwek jeśl wyberzemy x wzłuż normalnej przenająej o - wynkowe bęze równe zero Wyberz y zgone z konwenją prawej ręk ES9/9
Przypane ukłau narzęza Poprzene przypana ą poprawne aż o ukł. n- Przypane ukł. narzęza jet najzęśej efnowane przez oe n a: a jet kerunkem zblżena (ang. approah reton) jet kerunkem ślzgu (ang. lng ) (kerunek wzłuż którego otwera ę zamyka hwytak) n jet kerunkem normalnym (ang. normal) o a ES9/9
Przykła : wuzłonowy manpulator planarny t. woboy: mumy przypać 3 ukł. wp.. Wyberz oś z (oś obrotu la złąza ukł. bazowy). Wyberz oś z (oś obrotu la złąza ) 3. Wyberz oś z (ukł. narzęza) W tym przypaku owolne jako że brak jet hwytaka Zamat tego zefnujmy z jako równoległe o z z (la konekwenj). Wyberz oe x wzytke oe z ą równoległe Zatem wyberz oś x tak aby przenała o - ES9/9
ES9/9 Przykła : wuzłonowy manpulator planarny Zefnowane parametrów DH najperw efnujemy parametry tałe a potem efnujemy parametry zmenne elementy ą bo wzytke z ą równoległe Tak wę tylko ą zmenne złon a a a a a a a + + a a a a T T
Przykła : trójzłonowy robot ylnryzny 3 t. wob.: trzeba przypać ukł. wp.. Wyberz oś z (oś obrotu la złąza ukł. bazowy). Wyberz oś z (oś przeunęa la złąza ) 3. Wyberz oś z (oś przeunęa la złąza 3). Wyberz oś z 3 (ukł. narzęza) W tym przypaku znowu owolne jako że ne rozważamy hwytaka Zamat tego zefnujmy z 3 jako równoległą o z ES9/9
ES9/9 Przykła : trójzłonowy robot ylnryzny Defnja parametrów DH najperw efnujemy parametry tałe a potem efnujemy parametry zmenne złon a -9 3 3 3 3 + 3 3 3 3 T
Przykła 3: przegub feryzny 3 t. wob.: trzeba przypać ukł. wp. Ohylene(yaw) nahylene(pth) obrót ( ): wzytke przenają ę w punke o (śroek przegubu) ES9/9
ES9/9 Przykła 3: przegub feryzny złon a -9 9 Defnja parametrów DH najperw efnujemy parametry tałe a potem efnujemy parametry zmenne 3 + + 3 T
Co za tyzeń Węej przykłaów la popularnyh konfguraj manpulatorów Co z równoległym łańuhem knematyznym? Knematyka owrotna ES9/9