1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta przechodząca przez początek układu współrzędnych i nachylona do osi OX pod kątem, którego. Zmieniając wartość współczynnika a, otrzymujemy proste o różnym kącie nachylenia. Jeśli 0 to funkcja tworzy z osią kąt o mierze, i jest funkcją rosnącą. Jeśli 0 to funkcja tworzy z osią kąt o mierze, i jest funkcją malejącą. Jeśli to wykres funkcji : tworzy z osiąą kąt o mierze i jest funkcją stała, przedstawiającą oś OX. Jeśli wyraz wolny a to funkcja : jest funkcją stałą, a jej wykres jest równoległy do osi.
2 Jeśli wyraz wolny to wykres funkcji : będzie przesunięty w stosunku do wykresu funkcji : o wartość wzdłuż osi. Wykresem funkcji :, jest prosta nachylona do osi pod takim kątem, że, oraz przecina oś w punkcie o współrzędnych, zaś oś w punkcie o współrzędnych,. Wartość argumentu, dla którego wartość funkcji nazywamy miejscem zerowym funkcji. Wykresy dwóch funkcji liniowych są RÓWNOLEGŁE, wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki kierunkowe są równe, czyli : - jeśli : : oraz : i. Wykresy dwóch funkcji liniowych są PROSTOPADŁE, wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki kierunkowe spełniają warunek, czyli :
3 - jeśli : : = + oraz : = + i =. 3.1. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Weźmy układ dwóch równań liniowych : : + = : + = Rozwiązaniem układu równań liniowych (pierwszego stopnia), z dwoma niewiadomymi, nazywamy każdą parę liczb,, która spełnia równocześnie oba równania układu (czyli taki punkt na płaszczyźnie, który leży jednocześnie na obu prostych, będących wykresami obu równań)
4 3.2. METODY ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW RÓWNAŃ LINIOWYCH. Niech będzie dany układ równań : + = + = 1. METODA PODSTAWIANIA Metodę tą przedstawimy konkretnym przykładzie liczbowym. Rozwiążemy układ równań : + = ( ), + = ( ) - z równania ( 1 ) wyliczamy = + i wstawiamy do drugiego równania : + + = a stąd =, - oraz = + = + =, a więc rozwiązaniem układu jest para liczb 4, 6. 2. METODA PRZECWNYCH WSPÓŁCZYNNIKÓW Twierdzenie : Jeżeli obie strony równania pierwszego pomnożymy przez dowolną liczbę, różną od zera i obie strony drugiego równania pomnożymy też przez dowolną liczbę, różną od zera, a następnie te równania dodamy stronami i tak otrzymanym równaniem zastąpimy jedno z równań układu, to otrzymamy układ równań równoważny danemu. Równoważne układy równań charakteryzują się tym, że mają ten sam zbiór rozwiązań, Wykorzystując powyższe twierdzenie, rozwiążemy układ równań : + = ( ), + = ( ) Jeśli pomnożymy równanie ( 1 ) przez, otrzymamy : = +, dodajemy stronami + = = =, A następnie z obojętnie którego z równań układu, obliczamy drugą z niewiadomych : np. + = a stąd =. 3. METODA GRAFICZNA Metodę ta zostanie pokazana na przykładzie liczbowym. Rozwiążemy układ równań : + = ( ) + = ( ) Przekształcamy obydwa równania układu do postaci funkcji : : = + x 0 2 y 6 0 : = x 0-8 y -2 0
5 4. METODA WYZNACZNIKÓW Dla danego układu równań : układu : = = - możemy zapisać macierz współczynników - oraz trzy macierze kwadratowe : = i = i =. Każdej macierzy kwadratowej można przyporządkować wyznacznik, który posiada wartość. Definicja wyznacznika : = np. = = =. Możemy zatem utworzyć i obliczyć trzy wyznaczniki z podanego układu równań : = =, = =, = Jeśli układ równań : = + = + = + > 0 + > 0
jedno rozwiązanie, czyli jest układem oznaczonym to musi być : : = =, nieskończenie wiele rozwiązań, czyli jest układem nieoznaczonym to musi być : = = =, nie ma rozwiązań, czyli jest układem sprzecznym to musi być : =. 6 - przykład : Rozwiąż następujący układ równań, za pomocą wyznaczników : + = ( ), + = ( ) - obliczamy : = = =, = = =, = = =, - oraz : = = = = = =. 4. FUNKCJA KWADRATOWA Jednomianem stopnia drugiego ( jednomianem kwadratowym ), nazywamy funkcję : = \.
7 4.1. WŁASNOŚCI FUNKCJI KWADRATOWEJ typu = - jeśli > 0 : dziedzina = R, zbiór wartości = < 0,, funkcja ma jedno miejsce zerowe dla =, funkcja jest parzysta, jej wykres jest symetryczny względem osi, funkcja jest rosnąca,, funkcja jest malejąca,, funkcja osiąga wartość najmniejszą równą 0 dla =. - jeśli < 0 : dziedzina = R, zbiór wartości = (, >, funkcja ma jedno miejsce zerowe dla =, funkcja jest parzysta, jej wykres jest symetryczny względem osi, funkcja jest rosnąca,, funkcja jest malejąca,, funkcja osiąga wartość największą równą 0 dla =. 4.2. TRÓJMIAN KWADRATOWY, POSTAĆ KANONICZNA Funkcję = + +,,, R R nazywamy funkcją kwadratową lub trójmianem kwadratowym w postaci ogólnej. Jeśli na takim trójmianie dokonamy przekształceń jak poniżej: = + + = + + = + + + = + = + = ś = óż ó = oraz = - to otrzymane wyrażenie nazywamy postacią kanoniczną funkcji kwadratowej. Wykres funkcji = + + = + powstaje w wyniku przesunięcia jednomianu = o wektor =,. Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji = + + ma współrzędne = = czyli =,. 4.3. MIEJSCA ZEROWE FUNKCJI KWADRATOWEJ Liczba miejsc zerowych trójmianu kwadratowego = + + jest równa liczbie wspólnych punktów wykresu tej funkcji osi. Weźmy jednomian kwadratowy =, który niezależnie od wartości ma zawsze jedno miejsce zerowe dla =. Dokonując przesunięcia wykresu tego jednomianu o dowolny wektor, można uzyskać trzy różne przypadki jak na poniższych rysunkach.
8 0 0
9 Przeprowadźmy analizę trójmianu kwadratowego pod kątem liczby jego miejsc zerowych: = + + = + : jeśli > 0 = przedstawić jako różnice kwadratów : = + - jeśli = to : i możemy wyrażenie w nawiasie kwadratowym = + + + + = + + = - czyli = =. - wynika stąd, że trójmian posiada dwa miejsca zerowe ( dwa pierwiastki ) i można go przedstawić w postaci iloczynowej : = + + =. jeśli = to = + + = + posiada jeden podwójny pierwiastek, = =. przedstawia postać iloczynową i funkcja jeśli < 0 to wyrażenie w nawiasie kwadratowym jest sumą i w zakresie liczb rzeczywistych nie da się rozłożyć na postać iloczynową, nigdy nie przyjmuje wartości zero. Mówimy wtedy, że funkcja kwadratowa nie posiada pierwiastków lub, że jest nierozkładalnym trójmianem kwadratowym. 4.4. WZORY VIETE a Jeśli to funkcja kwadratowa ma pierwiastki i można obliczyć ich sumę i iloczyn. Jeśli > 0 to = + = + + i = = a stąd : = + = = = jeśli = to, = =. + = = = = = = = = =. Powyższe wzory zwane wzorami Viete a mają duże zastosowanie. Wykorzystuje się do badania znaków pierwiastków, do obliczania w pamięci wartości tych pierwiastków, oraz do obliczania wartości wyrażeń,, które zawierają te pierwiastki, bez konieczności ich określania..
10 4.4. RÓWNANIA KWADRATOWE Równaniem kwadratowym nazywamy równanie postaci : + + =,, R : jeśli ó ł = = = jeśli = + = = + = ł. Rozwiązaniem równania kwadratowego są pierwiastki funkcji tej postaci co lewa strona równania. Przykłady : Rozwiąż równanie : + = = = = = = =. + = = = = = = = = = + = = = = < 0. = = =. = = + = = =. =. + = + = - nierozkładalne, suma kwadratów. = = = =
11 + = + = = =. 4.5. RÓWNANIA PROWADZĄCE DO RÓWNAŃ KWADRATOWYCH RÓWNANIA DWUKWADRATOWE + + =,, R, - równanie takie rozwiązuje się sprowadzając je do równania kwadratowego przez podstawienie : = + + = Przykłady : Rozwiąż równanie : + = = + = = = = = = = = = = a stąd = = = = + = + = = = = =. + = = + = = = = = = = = = = a stąd = = + = = =. + + = = + + = = = = = = = = = a stąd = =. =
12 + = = + = = = = < 0 t. RÓWNANIA PIERWIASTKOWE Rozwiąż równanie : = + = = = + = + = = = = = = = = = = Ze względu na operację podnoszenia do kwadratu otrzymane rozwiązania mogą nie być rozwiązaniami równania wyjściowego. Aby wyeliminować obce pierwiastki, koniecznym staje się wykonanie sprawdzenia. - dla = = = = = = = ą - dla = = = = = = ą.
13 4.6. NIERÓWOŚCI KWADRATOWE Nierównością kwadratową nazywamy jedno z wyrażeń postaci : + + > + + < 0 + + + +,, R,, R Rozwiązać nierówność kwadratową to znaczy wyznaczyć taki zbiór argumentów, dla których funkcja = + + spełnia podany warunek, czyli przyjmuje wartości większe ( mniejsze ) lub większe bądź równe ( mniejsze bądź równe ) od zera. Dlatego też wygodnie jest rozwiązywać nierówność kwadratową na podstawie wykresu funkcji czyli określić jej miejsca zerowe ( o ile istnieją ) oraz analizując współczynnik naszkicować przybliżony kształt wykresu i stąd odczytujemy rozwiązanie. Przykłady : Rozwiąż nierówność : < 0 < 0 = =, + = = = = = = = = = =, > <, + + > 3 + + > 0 = = = = =
14,,...