Oscylacyjna relaksacja

V. DYNAMIKA LASERÓW Oscylacyjna relaksacja Oscylacje relaksacyjne Gęstość fotonów we wnęce Czas Oscylacje relaksacyjne po włączeniu lasera Niech N 1 0, wtedy N N 2. Równania kinetyczne dn 2 W kn dt 2 N 2 2, kn dt 2 c. Niech N 0 i 0 będą rozwiązanimi stacjonarnymi N 0 1/k c, 0 W c 1/k 2. Małe zaburzenie N 2 t N 0 N z t, Wtedy t 0 z t. 1

Stąd dn z dt z dt WkN z c z c, Wk c 1 2 N z. d 2 z r z dt 2 2 1 dt 2 c r 1 z 0, gdzie: r W W t Wk c 2. Rozwiązanie z 0 exp i t. Otrzymujemy r 2 2 i 1 c 2 r 1 r 2 2 2. Warunek generacji zanikających impulsów 1 c 2 r 1 r 2 2 2 2

Impulsy gigantyczne Q switching impulsy gigantyczne Inwersja progowa N t 1/k c 2 /kq. Na początku: Q małe zwiększenie dobroci impuls gigantyczny. Metody zmian dobroci wnęki 1. Metoda elektrooptyczna Napięcie modulujące Zwierciadło wyjściowe Ośrodek czynny Polaryzator Komórka Kerra Zmiana dobroci wnęki za pomocą komórki Kerra (lub Pockelsa) 3

2. Z wirującym pryzmatem Wirujący pryzmat Ośrodek czynny Zwierciadło wyjściowe Zmiana dobroci wnęki za pomocą wirującego pryzmatu 3. Nasycające się absorbery Do lasera Nd:YAG Cr:YAG. Wybielanie się (ang. bleaching effect) absorbera Zwierciadło wyjściowe Ośrodek czynny Nasycający się absorber Przykładowa realizacja pasywnej modulacji dobroci wnęki Różnica obsadzeń stanów w przypadku ośrodka absorbującego N 1 N 2 1 1 I/I s. 4

Opis generacji gigantycznej Zaniedbamy wszystkie procesy, z wyjątkiem przejść wymuszonych. W chwili t 0 N 0 N 2,0 g 2 /g 1 N 1,0 N t 1/k c. Równania na ewolucję obsadzeń stanów czasie i zmianę gęstości fotonów w czasie redukują się do dwóch N 1, N t N 2 N N, t gdzie: t/ c. Szkic rozwiązania przedstawia rys. N 0 Gęstość fotonów ρ N ρ N t Inwersja obsadzeń N N e Zależność czasowa inwersji obsadzeń i gęstości fotonów 5

Ale Całkując 0 N 1 2 N t N 1. 1 2 N t ln N N N N 0, 0 gdzie: 0 i N 0 odnoszą się do t 0. W t 0 0 0 izezwiązku P h V / c wyznaczamy moc wyjściową lasera P 2 h V N t ln N N N c N 0. 0 Maksymalna moc wyjściowa P max jest osiągana wtedy, gdy N N t oraz P max 2 h V N 0. c Czas trwania impulsu gigantycznego jest w przybliżeniu równy czasowi życia fotonów we wnęce. 6

Modulacja wnęki o dużej dobroci Wyjście Rura laserowa Zwierciadło 100% Modulator akustooptyczny Zwierciadło 100% Zwierciadło 100% Generacja impulsu metodą cavity dumping za pomocą modulatora akustooptycznego odchylającego wiązkę dzięki ugięciu Bragga Synchronizacja modów podłużnych Synchronizacja modów podłużnych pozwala na otrzymanie impulsów światła o bardzo krótkim czasie trwania. Synchronizacja modów przy modulacji amplitudy Różnica częstotliwości między dwoma sąsiednimi modami f. Amplituda pola elektrycznego modu q we wnęce 7

E q t E 0 1 M cos t cos q t, gdzie: M głębokość modulacji, 2 f. Rozwijając E q t E 0 cos q t ME 0 cos 2 q t ME 0 cos 2 q t. Występują częstotliwości różnicowe i sumacyjne, które pokrywają się z częstościami sąsiednich modów. Wszystkie mody są w tej samej fazie, dlatego mówimy o synchronizacji modów. W przypadku synchronizacji E s t E 0 exp i 0 n t. n gdzie: 0 jest częstością centralną, a 2 f jest różnicą częstości między sąsiednimi modami. Sumując po wszystkich modach: n N 1 /2,..., N 1 /2, (N jest liczbą modów) 8

E s t E 0 exp i 0 t sin N t 2 sin t. 2 Stąd natężenie promieniowania wyraża się wzorem sin 2 N I sm t I t 2 0 sin 2 t. 2 Maksymalne natężenie światła I sm N 2 E 0 2. Przy braku synchronizacji E ns t E 0 exp i 0 t n, a natężenie wypadkowe I ns t K E t 2 Inaczej I ns t K n K E 0 exp i 0 t n 2. n E 0 2 K n m n E 0 E 0 exp i n m 0 t n m. 9

Drugi człon jest równy zeru I ns N E 0 2 NI. 1. Dzięki synchronizacji modów natężenie promieniowania jest N razy większe niż przy jej braku I sm NI ns. 2. Czas trwania impulsu w warunkach synchronizacji modów N 2 1 Nf. Ponieważ Nf, zatem czas trwania impulsu jest odwrotnie proporcjonalny do szerokości pasma albo liczby modów. 3. Czas między dwoma sąsiednimi impulsami jest funkcją długości rezonatora i wynosi (w naszym przybliżeniu) 2L/c. Rola laserów Ti:Al 2 O 3. 10

Synchronizacja modów przy modulacji częstości Niech E q t E 0 sin q t q mcos t, Rozwińmy sin q t q mcos t sin q t q cos mcos t cos q t q sin mcos t. Ale cos mcos t J 0 m 2 1 k J 2k m cos 2k t k 1 oraz sin mcos t 2 1 k J 2k 1 m cos 2k 1 t, k 1 gdzie: J n k jest funkcją Bessela pierwszego 11

rodzaju rzędu n Tak więc sin q t q mcos t J 0 m sin q t q J 1 m cos q t q cos q t q J 2 m sin q 2 t q sin q 2 t q J 3 m cos q 3 t q cos q 3 t q J 4 m sin q 4 t q sin q 4 t q, W wyniku modulacji częstości powstają równocześnie wszystkie częstości boczne i jeżeli 2 c/2l, toczęstości boczne odpowiadają częstościom modów rezonatora i są w zgodnych fazach. Obserwujemy zatem synchronizację modów. 12

Metody realizacji synchronizacji modów podłużnych 1. Aktywna synchronizacja a) Gazowy laser ciągły z aktywną synchronizacją modów Ciąg impulsów nanosekundowych Laser barwnikowy Ciąg impulsów pikosekundowych b) Laser tytanowo-szafirowy Ciąg impulsów femtosekundowych Przesłona Synchronizacja modów w laserze pompowanym synchronicznie (a) oraz przy wykorzystaniu efektu Kerra (b) 2. Pasywna synchronizacja Nasycający się absorber. Odpowiednie zwierciadła rezonatora Optyczny efekt Kerra 13

n n 0 KI, gdzie: K stała Kerra, n 0 współczynnik załamania ośrodka przy I 0. 3. Pompowanie synchroniczne 4. Samosynchronizacja Generacja impulsów femtosekundowych Możliwości Kompensacja dyspersji Niech faza fali ma postać t z. Prędkość fazowa v f, prędkością grupowa v g. Znajdziemy rozszerzenie impulsu światła o długości fali 0 iszerokości spektralnej 0, po przejściu ośrodka dyspersyjnego odługości L. 14

Prędkość grupowa v g dk Ponieważ c/n, to v g c 0 2 1 0 2 n 1 0 n 2 0 2. dn n c 1 0 n dn, zatem z dv g / rozszerzenie impulsu o szerokości spektralnej 0 v g c 0 d 2 n n 2 2 2 dn 2 n 0. Po przejściu drogi L L v g. 2 v g Przy pewnych uproszczeniach L c 0 0 2 d 2 n 2. Współczynnik dyspersji materiałowej m L 0 d 2 n ps c 2 kmnm. Paczkę falową z centrum w 0 dzielimy na dwie: 15

oczęstościach 1 i 2. Wzajemne opóźnienie paczek L 1 vg2 v 1 g1 L W przybliżeniu 2 Zatem i 2 1. 1 d2 2 2 1. L d2. 2 d 2 2 d 1 v g 1 v g 2 dv g. 16

Kompensacja za pomocą pryzmatów A D Θ C H B Zwierciadło Kompensacja dyspersji za pomocą pryzmatów Droga optyczna promienia P n z dz, dla dwu przejść dwu pryzmatów w rezonatorze P 2DB 2ABcos 2Lcos, gdzie: L jest odległością między pryzmatami. Dyspersja jest proporcjonalna do drugiej pochodnej współczynnika załamania oraz do drugiej pochodnej drogi optycznej po długości fali dp dp dn dn i 17

d 2 P 2 d2 P 2 dp dn dn dn d2 n 2 2 d2 dn 2 dn 2. Pryzmat pod kątem Brewstera α ε φ 1 φ 2 ψ 1 ψ 2 Oznaczenia kątów w pryzmacie 1 2, sin 1 nsin 1, sin 2 nsin 2. i 2 dn 1 dn, dalej 2 dn 1 cos 2 sin 2 cos 2 tan 1, d 2 2 2 tan 2 tan 2 dn 2 2 1 2 dn n dn. Zauważmy, że kąt i są zdefiniowane w przeciwne strony, tzn. że 18

2 dn Ponieważ dn. oraz to i Stąd 1 2 tan 2 n, dn 2 d 2 dn 2 4 2 n 3. d 2 P 4L d2 n 2 2n 1 dn 2 n 3 8L dn 2 cos. Ponieważ kąt jest małym kątem drugi czynnik może dominować i tym samym uzyskamy układ o ujemnej dyspersji. 2 sin 19

Przykład Znaleźć L, od którego układ pryzmatyczny staje się układem z ujemną dyspersją, jeśli 1. pryzmaty są pod kątem Brewstera (kąt najmniejszego odchylenia), 2. n 1.516, dn/ 0.0364 m 1 i d 2 n/ 2 0.1388 m 1. Wielkość Lsin jest rozszerzeniem wiązki na zwierciadle po przejściu przez dwa pryzmaty i przyjmijmy, że jest ono dwukrotnie większe niż średnica wiązki, która wynosi np. 1mm. Podstawiając te dane d 2 P 2.279 0.0106 L mm/ m, 2 stąd dlal 215 otrzymujemy ujemną dyspersję. 20

Kompensacja za pomocą siatek B(ω ) 2 B(ω ) 1 L Θ b(ω ) 2 β γ b(ω ) 1 H(ω ) 1 H(ω ) 2 A Optyczna droga promienia między parą siatek Policzmy drogi promieni światła oróżnych częstotliwościach. Kąt dyfrakcji promieni, w następujący sposób 2 c sin sin, d gdzie: d jest stałą siatki. Droga optycznej promieni P b 1 cos, gdzie: b jest odległością AB, którazależy od odległości L, ponieważ b L cos. Można pokazać, że całkowita zmiana fazy wynosi 21

i c P 2 L d tg. P c. Czas potrzebny na przejście drogi P. Dyspersja prędkości grupowej w układzie pary siatek d2 1 2 c dp. Różniczkując d 2 4 2 cl 1 2 c 2 3 d 2 d sin 2 3/2. Dyspersja jest nieliniową funkcją częstości i jej wartość jest zawsze ujemna. 22

Układy dwu par siatek Wejście Wyjście Działanie układu dwu par siatek dyfrakcyjnych (kompresor) Wejście Wyjście Układ siatkowego rozszerzacza impulsów w czasie Przykład γ A L b B Θ H Optyczna droga promienia między parą siatek Znajdziemy odległość między siatkami układu każda o 1500 rys/mm, by optymalnie skompresować impuls o czasie trwania 20 ps, paśmie 12 nm, przy 1.06 m. 23

Droga optyczna b L cos, gdzie: L jest odległością między siatkami. Równanie siatek dyfrakcyjnych m a sin sin, gdzie: m jest rzędem dyfrakcji, a a stałą siatek. Dla dyfrakcji pierwszego rzędu sin a sin. Długość drogi optycznej ABH b 1 cos, czasprzejścia impulsu od A do H wynosi b c 1 cos. Dyspersja układu siatek (b jak i są zależne od długości fali) wynosi ca b /a 1 /a sin. 2 Wymagamy, by impuls o czasie trwania 20 ps uległ maksymalnemu skróceniu, czyli opóźnienie skrajnych częstotliwości powinno, zgodnie z warunkami zadania, 24

wynosić 20ps, przy 12 nm, / 1.67 ps/nm. Otrzymujemy 1.67 10 9 s/ m b 1.59 3 10 14 0.67 1 1.59 0.87, 2 stąd optymalna odległość odległość między siatkami wynosi 102 mm. Praktycznie, użycie kompresorów tego typu pozwala zmniejszyć czas trwania impulsu 30 90 razy. Kompensacja za pomocą zwierciadeł dielektrycznych λ 1 > λ 2 > λ 3 λ 1 λ 2 λ 3 Warstwy dielektryka Konstrukcja zwierciadła kompensującego dyspersję (za [14]) 25

Kompresja impulsów Przeciwbieżne impulsy Nasycający się absorber Lasery z nakładającymi się impulsami Samomodulacja fazowa Optyczny efekt Kerra n n 0 KI, gdzie: K jest stałą Kerra (rzędu 10 20 m 2 /W), a n 0 jest współczynnikiem załamania światłowodu przy I 0. Wyjście Wejście t t Światłowód Układ siatek dyfrakcyjnych Kompresja impulsu przez samomodulację fazową w jednomodowym światłowodzie i układ siatek dyfrakcyjnych Opóźnienie fazy 26

L 2 n 0L 2 KIL Zmiany zmiany częstotliwości rozchodzącego o 2 KL di dt. Niech w światłowodzie rozchodzi się impuls gaussowski 2 KL t T I 0exp t 2. 2 T Jeśli t 0 (czoło impulsu), to przesunięcie jest ujemne, czyli obserwuje się przesunięciukuczerwieni. Dla t 0 (zbocze) przesunięcie częstotliwości jest w kierunku niebieskiej części widma. Impuls świergoczący (ang. chirped pulse) dodatnio świergoczący ujemnie świergoczący. kompresja solitonowa).. 27

Sygnał wejściowy Sygnał wyjściowy Natężenie [j.w.] 2.3 nm 1322 1321 1320 1319 1318 1317 Długość fali [nm] Widmo impulsu przed i po przejściu przez światłowód Najkrótsze impulsy osiągają czas trwania 4.5 fs (16 fs to ok. 10 okresów światła widzialnego). Selekcja pojedynczego impulsu Generator impulsów HV Ciąg impulsów ultrakrótkich Fotodioda Komórka Pockelsa Polaryzator Separacja pojedynczego impulsu za pomocą komórki Pockelsa Inna metoda cavity dumping. 28

Laser pomujący Dynamika laserów Wzmacniacze laserowe Wzmacniacze z jednym przejściem Wzmacniacze z wieloma przejściami (wzmacniacze regeneratywne) Komórka Pockelsa Ośrodek czynny pręt Ti:S Polaryzator Wyjście Wejście Prosty układ regeneratywnego wzmacniacza Układ rozszerzający impuls wejściowy Układ kompresji impulsu Wejście Wyjście Laser pomujący Ośrodek czynny pręt Ti:S Polaryzator Komórka Pockelsa Komórka Pockelsa Polaryzator Schemat wzmacniacza regenaratywnego impulsów femtosekundowych 29

Poszerzacze impulsu (typowo 10000) (ang. stretcher) Wzmocnienie do10 6. Pomiary czasu ultrakrótkich impulsów Jeśli E t E 0 exp 2ln2 t t FWHM gdzie: c t jest liniowym świergotaniem impulsu w czasie jego trwania. to wartość FWHM widma FWHM 1 2ln2 t FWHM exp i 2 c t t 2 2 c t FWHM. Dolna granica FWHM t FWHM 2ln2 0.44. Ten czynnik dla innych kształtów obwiedni impulsów wynosi Funkcja FWHM t FWHM sech 2 1.76t t 2 0.315 exp ln 2 t t 0.11 30

1. Metoda interferencyjna Interferometr Michelsona Ostry obraz otrzymujemy wtedy, gdy impulsy będą się pokrywały. funkcja autokorelacji natężenia G I t I t dt. FunkcjaG osiąga wartość maksymalną, jeżeli obie wartościi t i I t osiągają maksimum. 2. Metoda oparta na generacji drugiej harmonicznej Dzielnik wiązki Kryształ KDP Wiązka 2ω, ω Detektor Linia opoźniająca 31

Natężenie drugiej harmonicznej w funkcji opóźnienia jest proporcjonalne do funkcji autokorelacyjnej drugiego rzędu G 2 I t I t dt G 2, I 2 t dt gdzie: I t jest natężeniem impulsu. Amplituda drugiej harmonicznej E 2 E 2. Natężenie drugiej harmonicznej I s 2T 1 T I 2 t, dt, T gdzie: I 2 t, E 2 t 2 E t E t 2 2. Zatem należy znaleźć całkę I s 2T 1 T E t E t 2 2 dt. T Załóżmy, że E t E 0 t Re exp i t, 32

Po podstawieniu I s 1 T E 2T 4 0 t cos 4 t dt T 2T 1 T E 4 0 t cos 4 t dt T 4 2T 1 T E 3 0 t E 0 t T cos 3 t cos t dt 6 2T 1 T E 2 0 t E 2 0 t T cos 2 t cos 2 t dt 4 2T 1 T E 0 t E 3 0 t T cos t cos 3 t dt. Przybliżenie wolno zmiennej amplitudy pierwsze dwie całki są identyczne z dokładnością do przesunięcia w czasie, 33

która to zależność szybko znika i możemy ją pominąć, a ponieważ: cos 4 t 3 8 1 2 cos2 t 1 8 cos4 t, więc sumatychcałek 2 3 8 2T 1 T E 4 0 t dt, T trzecia całka 4 3 8 cos 2T 1 T E 3 0 t E 0 t dt, T ponieważ cos 3 t cos t cos 4 t cos t cos 3 t sin t sin, czwarta całka zawiera cos 2 t cos 2 t 1 4 1 8 co daje cos 2 czynniki oscylujace, 34

T 6 1 4 1 8 cos 2 1 2T E 0 t E 3 0 t T piąta całkę 4 3 8 cos 2T 1 T E 0 t E 3 0 t dt, T Wtedy I s 3 4 1 T E 2T 4 0 t dt T 3 2 1 T E 2T 2 0 t E 2 0 t dt T T 3 2 cos 1 2T E 3 0 t E 0 t T E 0 t E 3 0 t dt T 3 4 cos 2 1 2T E 2 0 t E 2 0 t dt. T Pierwszy wyraz daje stały przyczynek do natężenia, 35

drugi jest funkcją autokorelacji obwiedni natężenia, dwa ostatnie wyrazy dają modulację przebiegu funkcji autokorelacji i mogą zawierać informacje o strukturze fazowej impulsów, które mają tę strukturę bardziej złożoną, np. o świergotaniu impulsów. 6 4 2-4 -2 0 2 4 Funkcja autokorelacji impulsu gaussowskiego. Przyjmijmy, że funkcja jest gaussowska E 0 t exp at 2. Pomijając czynnik 1/2T icałkując w przedziale, otrzymamy I s 3 8 a 1 2exp a 2 4cos exp 3 4 a 2 cos 2 exp a 2. Stosunek maksimum I s (w 0) dotła (w ) wynosi 8:1. 36

Dzielnik wiązki Kryształ KDP Wiązka 2ω Detektor 2ω Filtr 2ω Linia opoźniająca Układ pomiarowy do pomiaru natężenia funkcji autokorelacyjnej 3. Fluorescencja dwufotonowa Wadą metody mały stosunek sygnału do szumu Dzielnik wiązki Roztwór barwnika Aparat fotograficzny Miejsce nakrywania się impulsów Metoda fluorescencji dwufotonowej przy pomiarze czasu trwania impulsu 4. Kamera smugowa 37

Literatura 1. J. Advantovic, D. Uttamchandani, Principles of modern optical system, Artech House, Norwood (MA) 1989. 2. Ch.C.Davis,Lasers and electro optics, Cambridge University Press, Cambridge 1996. 3. W. Demtröder, Spektroskopia laserowa, PWN, Waraszawa, 1993. 4. K. J. Eberling, Integrated optoelectronics, Springer-Verlag, Berlin 1993. 5. A. K. Ghatak, K. Thyagarajan, Optical electronics, Cambridge University Press, Cambrige 1989. 6. R. G. Hunsperger, Integrated optics, Springer-Velag, Berlin 1995. 7. E. R. Mustiel, W. N. Parygin, Metody modulacji światła, PWN,Warszawa 1974. 8. F. Kaczmarek, Wstęp do fzyki laserów, PWN, Warszawa 1986. 9. J. C. Palais, Zarys telekomunikacji światłowodowej, WKŁ, Warszawa 1991. 10. A. Pawluczyk, Elementy i układy 38

optoelektroniczne, WKŁ, Warszawa 1984. 11. J. Petykiewicz, Podstawy fizyczne opyki scalonej, PWN, Warszawa 1989. 12. F. Ratajczyk, Optyka ośrodków anizotropowych, PWN,Warszawa 1994. 13. F. P. Schäfer, Dye lasers, Springer-Verlag, ed. III, Berlin 1990. 14. J. Wilson, J. F. Hawkes, Optoelectronics an introduction, Prentice Hall, New York 1989 15. J. T. Verdeyen, Laser electronics, Prentice Hall, New Jersey 1989. 16. A. Yariv, P. Yeh, Opticzeskie wołny w kristałah, Mir, Moskwa 1987, tłm. z ang. Propagation and control of laser radiation, J.Wiley&Sons,NewYork 1984. 17. A. Yariv, Quantum Electronics, ed. III, John Wiley & Sons, New York 1989. 18. M. L. Riaziat, Introduction to Hight Speed Electronics and Optoelectronics, John Wiley & Sons, New York 1996 19. A.Ghatak, K. Thyagarajan, Introduction to Fiber Optics, Cambridge University 39

Press,Cambridge 1998. 20. E. Rosencher, B. Vinter, Optoelectronics, Cambrige University Press, Cambridge 2002. 21. B. E. A. Saleh, M. C. Teich, Fundamentals of photonics, John Wiley & Sons, New York Toronto Singapore Brisbane Chicheste 1991. 22. L. A. Coldren, S.W. Corzine, Diode lasers and photonic integrated circuits, John Wiley & Sons, New York 1995. 23. W. Lauterborn, T. Kurz, Coherent Optics, Springer-Verlag, Berlin 2003. 40