Modele nieliniowe sprowadzalne do liniowych

Modele nieliniowe sprowadzalne do liniowych Modele liniowe względem parametrów przykłady, zastosowania Modele hiperboliczne i wykładnicze Związek kształtu modelu z celem analizy ekonometrycznej NajwaŜniejsze typy modeli liniowych względem parametrów - c.d. β X. Model hiperboliczny 2 Y = β + + Z

Przypadek a) to np. krzywa długookresowych średnich kosztów stałych producenta Przypadek b) to np. krzywa Philipsa procentowy wzrost płac [%] Naturalna stopa bezrobocia stopa bezrobocia [%] 2

Przypadek c) często wykorzystywany jest w opisach popytu konsumpcyjnego Są to tzw. krzywe Engla (Ernst Engel, 82-896 ) Związki między postacią modelu a interpretacją parametrów strukturalnych β β 2. Model log-log : lny = + 2 ln( X ) + Z Interpretacja: β 2 to elastyczność Y względem X ; X E X = Y ' = Y dy dx X Y 3. Model log-lin: lny β + β X + Z = 2 Interpretacja: β 2 = względny przyrost Y przyrost X względny przyrost Y =β przyrost X Wyjaśnić skąd to się wzięło i dlaczego warto zmienić postać modelu? 3

Związki postaci modelu z estymacją wybranych wskaźników analizy marginalnej Typ modelu równanie przyrost krańcowy elastyczność Model liniowy Model log-log Model log-lin Model lin-log Model hiperboliczny Y β + β X + Z = 2 lny = β + β2 ln X + Z lny β + β X + Z = 2 Y = β + β 2 ln X + Z β2 Y = β + + Z X β 2 β 2 β Y 2 Y X β2 X β2 X 2 β 2 β 2 X β 2 β 2 β 2 X Y Y XY Przykład Model wydatków konsumpcyjnych Przeprowadzono badania dotyczące wydatków konsumpcyjnych w rodzinach zamieszkujących pewien region przemysłowy. Przedstawione dane podają roczne wydatki na pewne dobra (W) oraz roczne dochody w tych rodzinach per capita (DC) DC W DC W 20800. 028. 64400. 8362. 72800. 2042. 9600. 077. 40200. 7556. 43300. 8082. 9700. 2325. 7600. 20849. 94800. 23360. 44700. 7260. 80500. 2367. 04300. 22592. 40600. 7049. 46400. 8608. 26800. 408. 22000. 572. 9800. 8938. 5500. 4269. 69300. 939. 69300. 2074. 23500. 206. 45900. 7626. 76900. 263. 54600. 9726. 5600. 9690. 83800. 9669. 35300. 698. 76700. 2095. 52900. 2007. 42000. 852. 55000. 8452. 44600. 7673. 70200. 20583. 7500. 22752. 88600. 2242. 0000. 2236. 64200. 9249. 58800. 8870. 57500. 20333. 87800. 2088. 4

Przykład Model wydatków konsumpcyjnych Wybrane części procesu budowy modelu Etap I: Propozycja postaci modelu - propozycja modelu liniowego W = β + β 2 DC + Z Etap II: Estymacja parametrów b = 9257, b 2 = 0.55 Etap III : Weryfikacja modelu - A - wskaźniki jakości modelu. Współczynnik determinacji: R 2 =0.77 2. Wskaźnik wyrazistości: V=% 3. Standardowe błędy ocen parametrów: S b = 844, S b2 = 0.035 Przykład Model wydatków konsumpcyjnych Etap III : Weryfikacja modelu - etap C - test serii - 7389.7, - 26.95, - 3386.94, - 226.88, - 093.8, - 692.22, 698.485, 47.5, 2070.3, 50.32, 2747.4, 25.99, 505.57, 077.07, 257.4, 26.68, 2563.57, 2009.7, 673.97, 740.76, 266.85, 502.428, 44.7557, - 873.232, - 855.435, 746.565, 449.2, 246.7, 505.278, - 99.022, -225.985, 459.027, -362.755, -2572.05, -979.8, - 572.763, -340.075, - 585.387, - 2450.56, - 2825.3 - - - - - - + + + + + + + + + + + + + + + + + - - + + + + - - + - - - - - - - - Liczba plusów N + =22, liczba minusów N_=8. Liczba serii N s = 7. 5

Przykład Model wydatków konsumpcyjnych Etap III : Weryfikacja modelu - etap C - graficzna analiza reszt W 25000 2000 20000 40000 60000 80000 00000 5000-2000 0000-4000 -6000 T 20000 40000 60000 80000 00000 Diagram korelacyjny DC Wykres: reszty vs. zmienna objaśniająca DC Odrzucamy model Przykład Model wydatków konsumpcyjnych Wybrane części procesu budowy modelu - inna postać wersja 2. Etap I: Propozycja nowej postaci modelu W = β + β 2 + Z DC 6

Przykład Model wydatków konsumpcyjnych Wybrane części procesu budowy modelu - inna postać wersja 2. Etap II: Estymacja parametrów Dane: DC W /DC 20800. 028. 64400. 8362....... 69300. 2074. X = 20800 64400...... 69300 Estymator MNK b = (X T X) - X T W W= 028. 8362.... 2074. Przykład Model wydatków konsumpcyjnych Wybrane części procesu budowy modelu - inna postać wersja 2. Etap II: Estymacja parametrów b = 2507, b 2 = -30 740 000 Etap III : Weryfikacja modelu - A - wskaźniki jakości modelu. Współczynnik determinacji: R 2 =0.96 2. Wskaźnik wyrazistości: V=5% 3. Standardowe błędy ocen parametrów: S b = 277, S b2 = 0 696 000 7

Przykład Model wydatków konsumpcyjnych Wybrane części procesu budowy modelu - inna postać wersja 2. Etap III : Weryfikacja modelu - C - test serii 463.605, 32.6, 530.6, 405.97, 8.539, - 687.505, - 730.57, 9.44, 564.48, - 4.35, - 75.373, 202.723, 990.33, - 98.882, - 484.7, 7.299, - 920.53, - 08.5, - 952.989, 629.49, 2.355, - 005.86, 309.526, 783.42, 97.30, - 7.747, - 896.003, - 467.46, 50.763, 802.89, - 404.986, 78.7, - 06.846, 595., - 678.695, 588.872, 49.7509, - 475.732, 823.4, - 790.924 + + + + + - - + + - - + + - - + - - - + + - + + + - - - + + - + - + - + + - + - Liczba plusów N + =22, liczba minusów N_=8. Liczba serii N s = 22. Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o liniowości modelu. Przykład Model wydatków konsumpcyjnych Wybrane części procesu budowy modelu - inna postać wersja 2. Etap III : Weryfikacja modelu - C - graficzna analiza reszt 2000 20000 000 5000 20000 40000 60000 80000 00000 0000-000 20000 40000 60000 80000 00000 Diagram korelacyjny -2000 Wykres: reszty vs. zmienna objaśniająca DC 8

30000 25000 20000 5000 0000 5000 25000 50000 75000 00000 25000 50000 75000 200000 Otrzymaliśmy krzywą Engla 30740000 W = 2507 DC Przykład Model wydatków konsumpcyjnych Wybrane części procesu budowy modelu - inna postać wersja 3. Proponowana postać lnw = β + β2 ln DC + Z Postać ta umoŝliwi nam precyzyjniejsze (?) oszacowanie elastyczności dochodowej popytu na to dobro Otrzymujemy oszacowany model (juŝ trochę na skróty) ln W = 3.55 + 0.57 ln DC Oznacza to, Ŝe elastyczność dochodowa popytu na to dobro wynosi 0.57 Jak nazywamy takie dobra? Kwestie do rozwaŝenia czy model jest poprawny, czy moŝna go było wykorzystać w opisanym celu? czy elastyczność dochodowa jest dla tego dobra stała? 9

Przykład Model popytu PoniŜsze dane* przedstawiają obserwacje wielkości spoŝycia kawy w USA w latach 970-980 CP DP 970 2.57 0.77 97 2.5 0.74 972 2.35 0.72 973 2.3 0.73 974 2.25 0.76 975 2.2 0.75 976 2..08 977.94.8 978.97.39 979 2.06.2 980 2.02.7 gdzie CP to wielkość spoŝycia mierzona w filiŝankach na dzień per capita, zaś DP to cena kawy w dolarach za funt ( w dolarach z roku 969) *Dane z Summary of National Coffee Drinking Study, Data Group, Inc., Elkins Park, Penn.,!98 Przykład Model popytu Proponowana postać modelu CP β + β DP + Z = 2 Oszacowania i podstawowe wskaźniki modelu: CP = 2.69 0. 48DP Współczynnik determinacji r 2 =0.66 (0.2) (0.) W teście serii otrzymujemy ciąg + + + - - - - + - - - co nie przeczy hipotezie o liniowości modelu. 0

Przykład Model popytu, wersja 2 Proponowana teraz postać modelu to lncp = β + β2 ln DP + Z Oszacowania i podstawowe wskaźniki modelu: Który model wybrać? lncp = 0.77 0.25ln DP (0.05) (0.05) Współczynnik determinacji r 2 =0.74 W teście serii otrzymujemy ciąg + + - - - - - + - - - co nie przeczy hipotezie o liniowości modelu. Dyskusja? Tak czy owak, jeszcze do tego wrócimy na kolejnym wykładzie, na razie tylko jedno: Przykład Model popytu, wersja 2 Postać lncp = 0.77 0.25ln DP (0.05) (0.05) modelu popytu na kawę umoŝliwia nam lepszą ocenę elastyczności dochodowej popytu. Po co nam ona? Przypomnijmy, Ŝe ułatwia ona pewne decyzje producenckie, np. ocenę opłacalności zmiany cen.

Przykład Modele hiperboliczne cd. Krzywa Philipsa procentowy wzrost płac [%] Naturalna stopa bezrobocia stopa bezrobocia [%] Przykład. ZaleŜność wzrostu płac od stopy bezrobocia. Dane brytyjskie PoniŜsze dane przedstawiają procentowy wzrost płac (increase of wages) i wielkość stopy bezrobocia (unemployment rate) w UK w latach 950-966 IW UR 950.8.4 95 8.5. 952 8.4.5 953 4.5.5 954 4.3.2 955 6.9 956 8.. 957 5..3 958 3.6.8 959 2.6.9 960 2.6.5 96 4.2.4 962 3.6.8 963 3.7 2. 964 4.8.5 965 4.3.3 966 4.6.4 2

Zgodnie z teorią Philipsa budujemy model hiperboliczny: β2 IW = β + + Z UR W wyniku estymacji otrzymujemy model IW =.428 + 8.724 UR (2.07) (2.85) Otrzymana krzywa jest zgodna z teorią - nie tylko jej przebieg, ale takŝe znaki współczynników modelu. Współczynnik determinacji dla modelu R 2 =0.38 I co z tego? IW =.428 + 8.724 UR procentowy wzrost płac [%] 6 4 2 Naturalna stopa bezrobocia 2 4 6 2 4 6 8 stopa bezrobocia [%] Krzywa Philipsa dla danych brytyjskich z lat 950-66 ZauwaŜmy, Ŝe oszacowanie tzw. naturalnej stopy bezrobocia wynosi w tym przypadku 6.% 3

IW =.428 + 8.724 UR 8 procentowy wzrost płac [%] 6 4 2 Naturalna stopa bezrobocia 2 44 66 8 stopa bezrobocia [%] Krzywa Philipsa dla danych brytyjskich z lat 950-66 Przykład. ZaleŜność wzrostu płac od stopy bezrobocia. Dane polskie PoniŜsze dane przedstawiają procentowy wzrost inflacji i wielkość stopy bezrobocia w Polsce w latach 99-2006 WI WSB 99 70.3 6.6 992 43 2. 993 35.3 4.2 994 32.2 6.7 995 27.8 6. 996 9.9 5.4 997 4.9 3. 998.8 0.7 999 07.3.4 2000 0. 3.7 200 05.5 5.7 2002 0.9 8. 2003 00.8 8.6 2004 03.5 20.6 2005 02. 9.4 2006 0 8 4

Ponownie, stosując się do teorii Philipsa budujemy model hiperboliczny: β2 WI = β + + Z WSB W wyniku estymacji otrzymujemy model WI = 23.6 + 578.2 WSB (0.5) (38.3) Otrzymana krzywa takŝe jest zgodna z teorią - tak jej przebieg, jak i znaki współczynników modelu. Współczynnik determinacji dla modelu R 2 =0.56 WI = 23.6 + 578.2 WSB procentowy wzrost inflacji [%] 50 25 00 75 50 25 Naturalna stopa bezrobocia 5 0 5 stopa bezrobocia [%] 5 0 5 20 25 30 Krzywa Philipsa dla danych polskich z lat 99-2006 ZauwaŜmy, Ŝe oszacowanie naturalnej stopy bezrobocia wynosi w tym przypadku 24.5% 5

Przykład. ZaleŜność wzrostu płac od stopy bezrobocia. Dane USA PoniŜsze dane przedstawiają procentowy wzrost inflacji i wielkość stopy bezrobocia w USA w latach 976-995 WI WSB 976 5.8 7.7 977 6.5 7. 978 7.6 6. 979.3 5.8 980 3.5 7. 98 0.3 7.6 982 6.2 9.7 983 3.2 9.6 984 4.3 7.5 985 3.6 7.2 986.9 7 987 3.6 6.2 988 4. 5.5 989 4.8 5.3 990 5.4 5.6 99 4.2 6.8 992 3 7.5 993 3 6.9 994 2.6 6. 995 2.8 5.6 WI = 5.8 3.2 WSB procentowy wzrost inflacji [%] 8 7 6 5 4 3 2 6 8 0 stopa bezrobocia [%] Krzywa Philipsa dla danych amerykańskich z lat 976-995 Oczywiście Ŝadne wskaźniki tego modelu nie są zadowalające nawet gorzej ZauwaŜmy, absolutną niezgodność z teorią! 6

Przykład: model wzrostu dochodu narodowego USA (growth of real GNP) PoniŜsze dane przedstawiają wielkość dochodu narodowego USA w latach 962-98 (miliardy dolarów) GNP 962 560.3 963 590.5 964 632.4 965 684.9 966 749.9 967 793.9 968 865. 969 93.4 970 992.7 97 077.6 972 85.9 973 326.4 974 434.2 975 549.2 976 78. 977 98.3 978 263.9 979 247.8 980 2633. 98 2937.7 Przykład Model dochodu narodowego USA Proponowana postać modelu GNP β + β Year + Z = 2 Oszacowania i podstawowe wskaźniki modelu: GNP = 22922 +6. 9Year (6632) (8.44) Współczynnik determinacji r 2 =0.9 Wskaźnik wyrazistości modelu V=6% 7

Przykład Model dochodu narodowego USA, wersja 2 Proponowana teraz postać modelu to ln GNP β + β Year + Z = 2 Oszacowania i podstawowe wskaźniki modelu: lngnp = 65.4 0. 088Year Współczynnik determinacji r 2 =0.99 Wskaźnik wyrazistości modelu V=6% (3.29) (0.007) Który model wybrać? Interpretacja parametrów: 8