Astronomi Wykłd II Wykłd dl studentów geogrfii Ukłdy współrzędnych sferycznych Wldemr Ogłoz www.s.up.krkow.pl > dl studentów > zjęci W.Ogłozy>4g-w2.pdf RównoleŜniki to koł młe Równik-Koło Wielkie Koł Wielkie i Koł Młe Płszczyzn Koł Wielkiego zwier środek sfery 3 Współrzędne sferyczne (np. geogrficzne n powierzchni Ziemi) Szerokość geogrficzn ϕ: kąt pomiędzy kierunkiem pionu w dnym miejscu płszczyzną równik ziemskiego Długość geogrficzn λ: kąt dwuścienny pomiędzy płszczyzną południk zerowego płszczyzną południk przechodzącego przez dne miejsce. 4 Elementy ukłdów współrzędnych Współrzędne geogrficzne Oś ukłdu Płszczyzn podstwow Pierwsz współrzędn jednostki; zkres; zwrot Drug współrzędn Półkole początkowe jednostki; zkres; zwrot Oś obrotu Ziemi Równik (prostopdły do osi obrotu) Szerokość geogrficzn ϕ ; od -90 (S) do +90 (N) Długość geogrficzn λ Południk zerowy ; od -180 (W) do +180 (E) Pion - wyznczony przez kierunek siły grwitcji Horyzont - Koło Wielkie prostopdłe do pionu i Ndir - punkty przecięci pionu ze sferą niebieską Oś świt - prost równoległ do osi obrotu Ziemi przechodząc przez obserwtor Bieguny Niebieskie - przecięcie Osi Świt ze sferą Równik Niebieski - Koło Wielkie prostopdłe do Osi Świt, równoległe do równik ziemskiego Przecin horyzont w punktch E, W Południk Niebieski - Koło Wielkie przechodzące przez Bieguny, i Ndir. Jego przecięcie z horyzontem wyzncz punkty N, S Biegun niebieski północny B N N Sfer niebiesk E W S 5 Ndir B S Biegun niebieski południowy 6 1
Współrzędne horyzontlne Wysokość h: kąt pomiędzy kierunkiem do dnego obiektu n sferze niebieskiej płszczyzną horyzontu Azymut : kąt dwuścienny pomiędzy półpłszczyzną południk niebieskiego półpłszczyzną zwierjąc pion i przechodzącą przez dne miejsce n sferze niebieskiej. 7 Elementy ukłdów współrzędnych Współrzędne horyzontlne Oś ukłdu Płszczyzn podstwow Pierwsz współrzędn jednostki; zkres; zwrot Drug współrzędn Półkole początkowe jednostki; zkres; zwrot Pion Horyzont mtemtyczny (prostopdły do pionu) Wysokość h ; od -90 do +90 Azymut lub Az Kierunek S ; 0-360 ; S W N E 8 Współrzędne równikowe-południkowe Kąt godzinny t : kąt pomiędzy płszczyzną południk niebieskiego płszczyzną wyznczoną przez Oś Świt i obiekt n niebie Deklincj δ : kąt pomiędzy kierunkiem do obiektu płszyczyzną równik niebieskiego N B N t E Równik niebieski W δ południk t S Elementy ukłdów współrzędnych Współrzędne równikowe-południkowe Oś ukłdu Oś świt Płszczyzn podstwow Równik niebieski Pierwsz współrzędn deklincj δ jednostki; zkres; zwrot ; od -90 (S) do +90 (N) Drug współrzędn kąt godzinny t Półkole początkowe od południk jednostki; zkres; zwrot h m s ; 0-24; n zchód B S 9 10 Współrzędne równikowe-równonocne Deklincj δ: kąt pomiędzy kierunkiem do dnego obiektu n sferze niebieskiej płszczyzną równik niebieskiego Rektscensj α: kąt dwuścienny pomiędzy półpłszczyzną wyznczoną przez Oś Świt i punkt równonocy wiosennej (Punkt Brn) półpłszczyzną zwierjąc Oś Świt i przechodzącą przez dne miejsce n sferze niebieskiej. Punkt Brn Elementy ukłdów współrzędnych Współrzędne równikowe-równonocne Oś ukłdu Oś świt Płszczyzn podstwow Pierwsz współrzędn jednostki; zkres; zwrot Drug współrzędn Półkole początkowe jednostki; zkres; zwrot Równik niebieski deklincj δ ; od -90 (S) do +90 (N) rektscensj α od punktu równonocy wiosennej * h m s ; 0-24; n wschód * tzw. punkt Brn 11 12 2
Czs gwizdowy T * Obie współrzędne gwizd w ukłdzie horyzontlnym cły czs się zmieniją z niejednorodną prędkością Obie współrzędne gwizd w ukłdzie równikowym-równonocnym są stłe W ukłdzie równikowym-południkowym deklincj jest stł kąt godzinny rośnie jednostjnie w czsie Wzjemną orientcję obu ukłdów równikowych określ tzw czs gwizdowy Czs gwizdowy T * jest równy rektscensji obiektów górujących lub kątowi godzinnemu punktu Brn 1 1 Punkt Brn, pozycj Słońc w czsie równonocy wiosennej, przecięcie ekliptyki z równikiem niebieskim 13 Współrzędne równikowe-południkowe Kąt godzinny punktu Brn t Czs gwizdowy T * t =T * t rośnie jednostjnie wrz z upływem czsu gwizdowego T *. (dltego wygodnie jest uŝywć miry czsowej kątów!) Rektscensj gwizd górujących α gór jest równ T * α gór = T * Dl innych obiektów: t = T * - α N B N E Równik niebieski α W t α gór. Gwizd góruje B S t S południk 14 Trójkąt sferyczny Trójkąty sferyczne i prlktyczne Trójkąt leŝący n powierzchni kuli Boki są frgmentmi kół wielkich Boki opisujemy jko kąty z wierzchołkmi w środku sfery 16 B c Trójkąt sferyczny A b C Kąty wierzchołkowe oznczmy A,B,C ich przeciwległe boki,b,c Boki trójkąt sferycznego są równieŝ kątmi! (wierzchołek w środku sfery) Sum A+B+C jest większ od 180 stopni i mniejsz od 540 stopni! Podobnie jk w trójkątch płskich by rozwiązć trójkąt potrzeb znć trzy elementy orz odpowiednie wzory: B c A Trójkąt sferyczny b C sin /sin A = sin b / sin B =sin c / sin C sin cos B = cos b sin c - sin b cos c cos A cos = cos b cos c + sin b sin c cos A A, B,b C,c Reguł zminy oznczeń 17 18 3
B n 90 0 -ϕ ϕ 90 0 -δ Trójkąt prlktyczny 90 0 -h h Wierzchołki: Trójkąt n sferze niebieskiej o ustlonych wierzchołkch:, Biegun, Obiekt Łączy współrzędne horyzontlne z równikowo-południkowymi Biegun Niebieski gwizd Przeciwległe boki 90 0 -δ ( δ deklincj ) 90 0 -h ( h wysokość - - - ) 90 0 -ϕ (ϕ szer. geogr. - -) 19 B n N t Trójkąt prlktyczny Wierzchołki: Biegun Niebieski S gwizd Kąty wierzchołkowe: 180 0-180 0 - (Az Azymut) kąt godzinny t kąt prlktyczny 20 kąty: Trójkąt prlktyczny A = 180 0 - = 90 0 -δ B = t b = 90 0 -h C * c = 90 0 -ϕ przeciwległe boki: * Tk zwny kąt przy gwieździe n ogół nie potrzebny do obliczeń sin(90 0 -δ) /sin (180 0 -) = sin (90 0 -h ) / sin t = sin(90 0 - ϕ) / sin C sin(90 0 -δ) cos t = cos(90 0 -h) sin(90 0 -ϕ) - sin (90 0 -h) cos (90 0 -ϕ) cos(180 0 -) cos(90 0 -δ) = cos(90 0 -h) cos (90 0 -ϕ) + sin (90 0 -h) sin (90 0 -ϕ) cos (180 0 -) cos(90 0 -h) = cos(90 0 -ϕ) cos (90 0 - δ) + sin (90 0 -ϕ) sin (90 0 - δ) cos ( t ) c B (biegun) A (zenit) b C 21 Zstosowni trójkątów sferycznych do nwigcji: Ortodrom i Loksodrom czyli szybk lub łtw podróŝ po powierzchni sfery Ortodrom - prostobieŝni jest njkrótszą drogą pomiędzy dwom punktmi n powierzchni sfery (np.: dw mist n kuli ziemskiej) Do obliczeni jej długości stosuje się trójkąt sferyczny n powierzchni Ziemi z wierzchołkmi: Biegun ziemski, punkt 1, punkt 2 jest frgmentem koł wielkiego przecin kolejne południki pod róŝnymi kątmi (podróŝnik musi ciągle zmienić kurs) Loksodrom - skośnobieŝni przecin wszystkie południki pod tym smym kątem, ztem podróŝnik moŝe utrzymywć stły kurs by dotrzeć do celu jest dłuŝsz od ortodromy 22 Ortodrom - njkrótsz drog (łuk koł wielkiego) 90-ϕ A λ B - λ A 90-ϕ B Równik Ziemi Kąt przy biegunie jest równy róŝnicy długości geogrficznych obu miejsc (λ B - λ A ) Długości geogrficzne zchodnie podstwimy ze znkiem minus! Boki przy biegunie są związne z szerokością geogrficzną punktów A i B (90-ϕ A ) i ( 90-ϕ B ) Z wzoru kosinusowego moŝn obliczyć cos() nstępnie bok cos = cos(90-ϕ B )cos(90-ϕ A ) + sin(90-ϕ B )sin(90-ϕ A )cos(λ B -λ A ) Ortodrom = rccos (cos ()) * Z proporcji: /360 = x / 2πR gdzie: X to odległość punktów A i B R promień Ziemi A x 1 mil morsk = 1852 metry odpowid kątowi = 1 1 koł wielkiego odpowid odległości ~111.2 kilometrów * Funkcj: cos (60 o ) = 0.5 ; funkcj do niej przeciwn: rc cos (0.5) = 60 o R B Przekrój Ziemi w płszczyźnie wyznczonej przez punkty A i B orz środek Ziemi: 23 24 4
Loksodrom przecin południki pod stłym kątem n mpie Merktor jest linią prostą Wyzncznie kursu loksodromy Dl punktów o współrzędnych (λ 1,ϕ 1 ) i (λ 2,ϕ 2 ) obliczmy wielkości pomocnicze: Φ 1 = ln ( tg (45 0 - ϕ 1 /2) i Φ 2 = ln ( tg (45 0 - ϕ 2 /2) Kurs α (kąt pomiędzy kierunkiem N kierunkiem ruchu mierzony zgodnie z kierunkiem wskzówek zegr) obliczymy ze związku : tg α = (λ 1 - λ 2 ) / (Φ 1 - Φ 2 ) W prktyce nwigcj odbyw się po linii łmnej zbliŝonej do ortodromy poszczególne odcinki są frgmentmi róŝnych loksodrom 25 26 Njdwniejsze wyobrŝeni Ksztłt i rozmiry Ziemi 28 Kulistość globu ziemskiego Obiekty n horyzoncie wyłninie się msztów sttków zz horyzontu zmin wysokości Biegun Niebieskiego przy zminie szerokości geogrficznej obserwtor okrągły ksztłt cieni Ziemi widoczny podczs zćmieni KsięŜyc doświdczenie Ertostenes (obserwcj wysokości górowni Słońc n róŝnych szerokościch geogrficznych) Ziemi 29 30 5
ObniŜenie horyzontu PołoŜenie Biegun Niebieskiego Horyzont dl obserwtor znjdującego się n pewnej wysokości H nd powierzchnią Ziemi obniŝ się o pewien kąt, moŝn obliczyć wrtość obniŝeni: [ ]=1.779 ( H [m]) 1/2 D H Zsięg widoczności: D [km] = 3.86 (H [m]) 1/2 31 32 Zmin wysokości Biegun B N ϕ N B N ϕ Równik niebieski Horyzont Przekrój sfery niebieskiej w płszczyźnie południk niebieskiego S 33 PołoŜenie Biegun Niebieskiego Wysokość biegun niebieskiego jest równ szerokości geogrficznej miejsc obserwcji N biegunie ziemskim biegun niebieski znjduje się w zenicie N Równiku widć ob bieguny niebieskie leŝące n horyzoncie kierunek n kierunek n Biegun Płszczyzn horyzontu 34 Zrys cieni Ziemi n KsięŜycu Doświdczenie Ertostenes - pomir rozmirów Ziemi α = 7.5 0 Równik cień D Promienie słoneczne (równoległe!) W czsie zćmieni KsięŜyc cień Ziemi pd n KsięŜyc Cień Ziemi m większą średnicę niŝ KsięŜyc lecz brzeg cieni jest zokrąglony 35 Ziemi W Syne Słońce było w Zenicie, w Aleksndrii nie! α Odległość D pomiędzy studnią w Syne (Assun) Aleksndrią wynosi 5000 stdionów (1 stdion =157.7 m) Ob mist leŝą w przybliŝeniu n jednym południku (Koło Wielkie) 36 6
Dokłdniejsze przybliŝeni ksztłtu Ziemi 1. Kul (stły promień) 2. Elipsoid obrotow Równik jest kołem (róŝne półosie 1 i 2) 3. Elipsoid trójosiow Równik jest elipsą (róŝne półosie 2 i 3 ) 4. Geoid Biegun Ziemi Półoś 1 (mł) 3 Półoś 2 (wielk) Równik Elipsoid obrotow Skonstruown n podstwie pomirów długości 1 0 frgmentów południków ziemskich n róŝnych szerokościch geogrficznych Spłszczenie Ziemi powoduje, przy by zmienić szerokość geogrficzną o 1 stopień przy równiku trzeb przebyć inną drogę niŝ przy biegunie ( > b) b Ziemi 37 38 Elipsoid obrotow WGS-84 Promień równikowy Ziemi Promień biegunowy Ziemi b Spłszczenie s = (-b)/ Obecnie stosuje się elipsoidę o rozmirch: = 6378137.0 m b = 6356087.0 m s = 1/298.25722356 Współrzędne geogrficzne i geocentryczne Szerokość geocentryczn ϕ : kąt pomiędzy płszczyzną równik ziemskiego prostą przechodzącą przez środek Ziemi i dne miejsce n jej powierzchni Szerokość geogrficzn ϕ: kąt pomiędzy płszczyzną równik ziemskiego kierunkiem pionu w dnym miejscu Szerokość geodezyjn ϕ : kąt pomiędzy płszczyzną równik ziemskiego kierunkiem prostopdłym do elipsoidy obrotowej w dnym miejscu Ziemi ϕ ϕ pion ϕ - ϕ = -11.5 sin (2ϕ) [ ] 39 40 Elipsoid trójosiow Promień biegunowy Ziemi jest o ok. 21 km krótszy od równikowego Równik ziemski nie jest kołem lecz elipsą, której wielk oś jest dłuŝsz o 200m od krótszej i oś skierownej w kierunku południków: -15 0 i 165 0 Południowy promień biegunowy jest o 30 m dłuŝszy od północnego 41 Geoid Jest to powierzchni prostopdł do kierunku pionu w kŝdym punkcie MoŜe być wyznczn loklnie lub globlnie Obecnie njczęściej stosuje się globlną geoidę WGS-84 (World Geodetic System) Ellipsoid Dte Equtoril Polr Polr Where its used rdius rdius flttening Airy 1830 3962.65 3949.32 1/299.32 Gret Britin Austrlin 1969 3962.93 3949.64 1/298.25 Austrli, South Americ Bessel 1841 3962.46 3949.21 1/299.15 Chin, Kore, Jpn Clrke 1866 3962.96 3949.53 1/294.98 North Americ, Centrl Americ, Greenlnd Clrke 1880 3962.99 3949.48 1/293.46 Much of Afric Everest 1830 3962.38 3949.21 1/300.80 Indi, Southest Asi, Indonesi GRS 1980 3962.94 3949.65 1/298.25 Newly dopted for North Americ Interntionl 1924 3962.07 3949.73 1/297.00 Europe, Indivisul sttes in South Americ Krssovsky 1940 3962.98 3949.7 1/298.30 Russi WGS 1972 3962.92 3949.62 1/298.26 NASA, US DOD, oil compnies, Russi 42 7
Wysokość n.p.m. zleŝy od ukłdu odniesieni X 70 m 77 m Powierzchni Ellipsoid Ziemi Geoid 43 44 Biegun mgnetyczny Deklincj mgnetyczn Deklincj mgnetyczn to kąt pomiędzy rzeczywistym kierunkiem N n wskznimi kompsu mgnetycznego Deklincj jest zmienn w czsie. Jej wrtość orz tempo zmin podją mpy nwigcyjne n dny rok Deklincję mgnetyczną liczy się od rzeczywistego (geogrficznego) południk n wschód i zchód, od 0 do 180. Wrtość deklincji jest dodtni lub ujemn. Dodtni (E) jest wtedy gdy południk mgnetyczny jest odchylony od południk rzeczywistego w prwo, n wschód. Ujemn (W) wrtość deklincji jest wtedy gdy południk mgnetyczny jest odchylony od południk rzeczywistego w lewo, n zchód. 45 46 Nwigcj stelitrn System GPS (stelity n wysokości 20200km, n 6 orbitch nchylonych pod kątem 55 0 ) System GALILEO Stcje nziemne kontroli orbit (np: Borówiec pod Poznniem) Rok 2005 47 KŜdy stelit ndje sygnł czsu i prmetry swojej orbity. Odbiornik oblicz współrzędne stelity x,y,z orz poprwkę zegr Potrzeb sygnłu co njmniej 4 stelitów by obliczyć pozycję z równń opisujących odległość stelity od obserwtor w ukłdzie prostokątnym: (x-x o ) 2 + (y y o ) 2 + (z z o ) 2 = c 2 (t t o ) 2 48 8
Eksperyment Cvendish MoŜn porównć cięŝr cił i siłę grwitcji: Ms Ziemi mg = G M m R 2 gdzie: M - ozncz niewidomą msę obiektu (np.:ziemi). g przyspieszenie grwitcyjne (n Ziemi g=9.81m/s 2 ) R promień cił niebieskiego (R Ziemi =6371km) są znne więc moŝn obliczyć msę Ziemi M: M = g R 2 / G gdybyśmy tylko znli stłą G Podobne zleŝności moŝn stosowć do innych obiektów stronomicznych! 50 Eksperyment Cvendish Zstosowno wgę skręceń dl wyznczeni G G = 6.67259 10-11 [m 3 kg -1 s -2 ] z czego wynik M Ziemi = 5.9736 10 24 kg gęstość Ziemi 5520 kg/m 3 m 1 m 1 m 2 m 2 Eksperyment Jolly ego ZrównowŜono czułą wgę Podtoczono msę m 2 co wytrąciło wgę z równowgi Dodno msę m 3 dl ponownego zrównowŝeni szlek m 1 m 1 m 3 m 2 51 52 Eksperyment Jolly ego G m 1 m 2 G M z m 3 r 2 12 = R 2 z Ruch obrotowy Ziemi m 1 m 1 m 3 r 12 m 2 53 9
Efekty ruchu wirowego Ziemi Zmierzchy i świty Zjwisko dni i nocy Spłszczenie Ziemi przez siłę odśrodkową bezwłdności ZleŜność cięŝru od szerokości geogrficznej Sił Coriolis Zmin płszczyzny whń whdł Foucult 55 Zjwisko: Zchód, wschód Zmierzch cywilny Zmierzch nutyczny Zmierzch stronomiczny Noc stronomiczn Wysokość Słońc : h = 0 0 (bez refrkcji) h = - 51 (z refrkcją i uwzględnieniem promieni trcze słonecznej) 0 0 > h -6 0 Jest jsno -6 0 > h -12 0 Nie moŝn czytć bez świtł -12 0 > h -18 0 Widć jsne gwizdy -18 0 > h Nie widć Ŝdnej części oświetlonej tmosfery ziemskiej 56 Obrót Ziemi Sił odśrodkow bezwłdności Okres obrotu Ziemi trw 23h 56m 04.09s Ziemi obrc się z zchodu n wschód PoniewŜ Ziemi przemieszcz się wokół Słońc, to po obrocie o kąt 360 0 musi obrócić się jeszcze dodtkowo o ok. 1 0 by Słońce wróciło n swoją pozycję. Trw to około 4 minut. Ztem dob słoneczn trw 24 h i jest dłuŝsz od doby gwizdowej Kąt ~1 0 (zleŝy od pozycji Ziemi n orbicie) 57 F odś = mv 2 /r F g =mg grw Q = F g - F odś r ϕ g(ϕ)=9.7805+0.0517sin 2 (ϕ) g przyspieszenie Q cięŝr Q = m g(ϕ) ϕ - szer. geog. 58 Whdło Foucult N biegunie płszczyzn whń jest stł w przestrzeni (zsd zchowni momentu pędu) Dl obserwtor związnego z wirującą Ziemią płszczyzn whń będzie się pozornie skręcć okres jej obrotu będzie równy okresowi obrotu Ziemi Whdło Foucult Poz biegunem płszczyzn whń nie moŝe być stł gdyŝ porusz się punkt zmocowni whdł Zobserwowno, Ŝe poz biegunem okres obrotu płszczyzny whń będzie zleŝł od szerokości geogrficznej ϕ: P = T / sin (ϕ)= ( 23h 56m 04.09s ) / sin (ϕ) 59 60 10