Podstawowe umiejętności matematyczne - przypomnienie. Podstawy działań na potęgach założenie:. założenie: założenie: a>0, n jest liczbą naturalną założenie: Uwaga:. Zapis dużych i małych wartości w postaci wykładniczej: Gdzie: r liczba nie mniejsza niż jeden i nie większa niż dziesięć ( 000000 = 000000 = ) (n=6) n (liczba zer za jedynką) 0,00000007 = 7 0,0000000 = (n= 8) n (liczba miejsc po przecinku, na którym znajduje się jedynka) Wniosek ogólny: jeżeli w danej liczbie L przesuwamy przecinek (,) o n miejsc, to otrzymaną w ten sposób liczbę p (otrzymaną po przesunięciu przecinka) należy pomnożyć przez: jeżeli przecinek został przesunięty w lewo L p n=5 jeżeli przecinek został przesunięty w prawo L p n=4 Podstawowe umiejętności matematyczne - teoria Strona
. Przedrostki jednostek wielokrotności i podwielokrotności a. Podwielokrotności 0 0 0 0 00 0 0 000 0 6 0 6 000000 0 9 0 9 000000000 0 0 000000000000 0 decy- (d-) dm (decymetr), db (decybel) centy- (c- ) cm (centymetr), cl (centylitr) mili- (m-) mm (milimetr), mg (miligram) mikro- (μ-) μm (mikrometr), μa (mikroamper) nano- (n-) nm (nanometr), nf (nanofarad) piko- (p-) pm (pikometr), pc (pikokulomb) [dawniej: dc-] b. Wielokrotności 0 0 deka- (da-) dag (dekagram), dan (dekaniuton) [dawniej: dk-] 00 0 hekto- (h-) hpa (hektopaskal), hm (hektometr) 000 0 kilo- (k-) km (kilometr), kw (kilowat) 000000 0 6 mega- (M-) MW (megawat), MPa (megapaskal) 000000000 0 9 giga- (G-) GPa (gigapaskal), GW (gigawat) 4. Przyrost bezwzględny i względny skalarnej wielkości fizycznej Przyrost (zmiana) bezwzględny (bezwzględna) skalarnej wielkości fizycznej x różnica wartości końcowej i początkowej rozpatrywanej skalarnej wielkości fizycznej x. Gdzie: początkowa wartość rozpatrywanej skalarnej wielkości fizycznej x końcowa wartość rozpatrywanej skalarnej wielkości fizycznej x Możliwe przypadki: wartość rozpatrywanej wielkości fizycznej x wzrosła wartość rozpatrywanej wielkości fizycznej x zmalała wartość rozpatrywanej wielkości fizycznej x nie uległa zmianie Podstawowe umiejętności matematyczne - teoria Strona
Względny przyrost (względna zmiana) skalarnej wielkości fizycznej x iloraz przyrostu bezwzględnego i wartości początkowej rozpatrywanej wielkości fizycznej x Uwaga: Wartość względnej zmiany rozpatrywanej skalarnej wielkości fizycznej wyraża się zazwyczaj w procentach, wtedy: Przykład. Jasiu Kowalski zmierzył masę swojego ciała na wadze łazienkowej pierwszego dnia wakacji ( 0 czerwca) oraz ostatniego dnia wakacji (tzn. sierpnia). Pierwszy z pomiarów dał wynik 50kg, natomiast drugi z nich 48 kg. Ile wyniosła wartość bezwzględnej i względnej zmiany wartości jego masy? Dane: Rozwiązanie: Odpowiedź. ( W czasie wakacji Jasiu schudł o kg ( ). ), inaczej mówiąc masa jego ciała zmalała o 4 procent 5. Funkcja liniowa i wielkości wprost proporcjonalne Znane z matematyki równanie prostej (tzw. postać kierunkowa prostej) ma postać: gdzie: a - współczynnik kierunkowy prostej. Jeżeli to mamy do czynienia z funkcją rosnącą, dla mamy do czynienia z funkcją stałą.,to funkcja jest malejąca, natomiast dla b - wartość tego współczynnika określa współrzędne punktu przecięcia z osią (osią rzędnych). Możliwe przypadki przedstawiono na poniższych wykresach. : : : : : : Podstawowe umiejętności matematyczne - teoria : : : Strona
Jeżeli dwie proste mają takie same wartości współczynników kierunkowych a, to są one do siebie równoległe. W sytuacji gdy iloczyn współczynników kierunkowych dwóch prostych jest równy minus jeden: to proste takie są do siebie prostopadłe. W przypadku różnych wartości współczynników kierunkowych, dwie proste są względem siebie skośne, to znaczy przecinają się. Wartość współczynnika kierunkowego jest związana również z kątem nachylenia prostej względem dodatniej półosi osi (osi odciętych). Jeżeli dwie proste mają różne dodatnie wartości tego współczynnika, to na wykresie bardziej stromy przebieg ma prosta o większej wartości a (większa wartość kąta między daną prostą a dodatnią półosią osi ). Natomiast gdy dwie proste mają różne ujemne wartości tego współczynnika, to bardziej stromy przebieg ma prosta o większej wartości ujemnej współczynnika a. Pokazano to na poniższych wykresach. Jeżeli prosta przechodzi przez dwa punkty o współrzędnych i, to wartości współczynników a i b tej prostej można znaleźć rozwiązując dowolną metodą następujący układ równań: Wartość współczynnika kierunkowego prostej można również wyrazić następująco: y y α x x Średnia watość funkcji liniowej w rozpatrywanym przedziale wartości x, jest równa średniej arytmetycznej liczonej z wartości początkowej i końcowej tej funkcji w tym przedziale. Podstawowe umiejętności matematyczne - teoria Strona 4
Uwaga: Jeżeli wykres pewnej zależności jest liniowy i przechodzi przez początek układu współrzędnych (nie będąc funkcją stałą, tzn. ), tzn, to można również powiedzieć, że wielkości opisane na tych osiach są do siebie wprost proporcjonalne (tzw. propocjonalność prosta); prosta dana jest wtedy równanie: ( ). Oznacza to, że jeżeli wartość jednej z nich rośnie dwa razy, to wartość drugiej z nich też rośnie dwa razy. Inaczej mówiąc: Jeżeli, (wykres nie przechodzi przez początek układu współrzędnych i nie jest funkcją stałą) to: W zagadnieniach fizycznych często przedstawiane są zmiany pewnej wielkości fizycznej od czasu, na przykład zależność prędkości od czasu czy zależność odległości ciała od punktu odniesienia. Przykład. W pewnej chwili samochód jadący po linii prostej zaczął się poruszać przez kolejne 5 sekund ruchem jednostajnie przyspieszonym. Po upływie drugiej sekundy takiego ruchu jego prędkość wynosiła 7 m/s, natomiast po kolejnych trzech sekundach ruchu miała wartość m/s. Napisz równanie zależności prędkości samochodu od czasu trwania ruchu (. Ile wynosiła wartość prędkości samochodu w momencie rozpoczęcia ruchu jednostajnie przyspieszonego? Ile wynosiła wartość przyspieszenia samochodu? Oblicz wartość prędkości samochodu po upływie 5 sekund takiego ruchu, wyraź jej wartość w km/h. Narysuj wykres zależności. Dane: Rozwiązanie: Szukane równanie ma postać:, gdzie i wartości współczynników, które należy wyznaczyć. Dla chwili mamy: Dla chwili mamy: Rozwiązując układ równań: dowolną metodą ( metodą przeciwnych współczynników lub metodą podstawiania) otrzymuje się: Współczynniki mają pewien sens fizyczny, który można określić znając jednostki tych współczynników. Można to uczynić dzięki tzw. analizie wymiarowej. Jeśli powstałe równanie ma sens fizyczny, to obie jego strony muszą być wyrażone w takich samych jednostkach. Ponieważ nie ma sensu fizycznego dodawanie wielkości fizycznych o różnych jednostkach, to widać, że współczynnik musi mieć taką samą jednostką, jak lewa strona równania, tzn. jest wyrażony w ; jest to zatem pewna prędkość. Podstawowe umiejętności matematyczne - teoria Strona 5
Jednostką iloczynu też musi być, co będzie miało miejsce, gdy współczynnik a będzie wyrażony w ; jest to zatem jednostka przyspieszenia. Ostatecznie: Ponieważ nie jest określona konkretna godzina rozpoczęcia ruchu jednostajnie przyspieszonego, to można przypisać chwili początkowej wartość Stąd: Jest to nic innego, jak wartość współczynnika, tzn. wartość współrzędnej przecięcia wykresu z osią rzędnych (osią prędkości). Wartość przyspieszenia samochodu jest wartością współczynnika kierunkowego prostej, tzn. ma wynosi. Można również obliczyć jego wartość wprost (bez rozwiązywania układu równań) z zależności: Wartość prędkości samochodu po 5 sekundach ruchu ( ): Sposób przeliczenia na Wykres zależności prędkości samochodu od czasu trwania ruchu: 6 0 7 4 8 5 9 6 0 Zależność prędkości samochodu od czasu trwania ruchu 0 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 Podstawowe umiejętności matematyczne - teoria Strona 6
6. Wielkość fizyczna, jej jednostka i wymiar. Wielkość fizyczna - zmienna służąca do opisu stanu układu fizycznego lub procesów fizycznych w nim zachodzących, której wartości można zmierzyć lub wyznaczyć z pomiaru. Poszczególne wielkości fizyczne powiązane są równaniami wyrażającymi prawa przyrody lub definiującymi nowe wielkości fizyczne. Wielkościami podstawowymi są umownie przyjęte wielkości, których nie można określić za pomocą równań definicyjnych, ale które pozwalają określić wszystkie inne wielkości układu i są niezależne od innych wielkości. Wielkości określone za pomocą wielkości podstawowych nazywa się wielkościami pochodnymi. Wielkościami podstawowymi w układzie SI są: czas, masa, długość, temperatura, natężenie prądu elektrycznego, światłość, liczność materii (wyrażana w molach). Jednostka fizyczna - pomiar fizyczny jest możliwy tylko wtedy, gdy istnieje jednostka miary badanej wielkości fizycznej. Jest to umownie przyjęta i ściśle zdefiniowana wartość danej wielkości fizycznej, której umownie przypisuje się wartość liczbową równą jedności. Jednostki podstawowych wielkości fizycznych nazywa się jednostkami podstawowymi. W układzie SI (franc. Systeme International d'unités) - Międzynarodowy Układ Jednostek Miar zatwierdzony w 960 (później modyfikowany) przez Generalną Konferencję Miar, w Polsce układ SI obowiązuje od 966) jednostkami podstawowymi są: sekunda (s), kilogram (kg), metr (m), kelwin (K), amper (A), kandela (cd) i mol (mol). Oprócz tego istnieją jeszcze dwie jednostki uzupełniające: miara kąta płaskiego, tj. radian (rad) i miara kąta bryłowego, tj. steradian (sr). Jednostki wielkości pochodnych nazywa się jednostkami pochodnymi. Wszystkie jednostki wielkości pochodnych można wyrazić przez jednostki podstawowe. Wyrażając jednostkę pochodną przez jednostki podstawowe, podaje się wymiar pochodnej wielkości fizycznej. Wyrażenie to ma postać iloczynu symboli jednostek podstawowych w odpowiednich potęgach (całkowitych lub ułamkowych, dodatnich lub ujemnych), tzn. ma postać: Na przykład: N kg m kg m s s pozostałe wykładniki mają wartość zerową J kg m N m kg m s s pozostałe wykładniki mają wartość zerową m kg V J s kg m kg m A s C A s A s pozostałe wykładniki mają wartość zerową Wartości wykładników wynoszących jeden nie trzeba pisać (tzn. ). Uwaga: a. w użyciu są również jednostki pozaukładowe, jak : elektronowolt ( ), angstrem, bar, litr, b. dodawać i odejmować można tylko wielkości fizyczne o takim samym wymiarze, c. występują również wielkości fizyczne niemianowane, tzn. nie posiadające jednostki. Często są to pewne współczynniki definiowane jako iloraz dwóch wielkości fizycznych o takich samych jednostkach. Na przykład: sprawność urządzenia, bezwzględny współczynnik załamania światła danego ośrodka. Wymiar wielkości niemianowanych oznacza się symbolicznie, jako: lub. Wielkością niemianowaną jest procent i promil! d. Może się zdarzyć, że jednostki dwóch różnych wielkości fizycznych mają ten sam wymiar. Na przykład: jednostka momentu siły (tzw. niutonometr) i jednostka energii (tzw. dżul). Są to tzw. jednostki homologiczne. Podstawowe umiejętności matematyczne - teoria Strona 7