Mirosław ZAJDEL *, Bogusław FILIPOWICZ ** WIELOWYMIAROWY PROBLEM PRZYDZIAŁU JAKO NARZĘDZIE WSPOMAGANIA PROCESÓW DECYZYJNYCH W PRZEDSIĘBIORSTWIE Streszczenie Proble przydziału (ang. AP - Assignent Proble) jest dobrze znany teate, występujący w licznych zagadnieniach natury technicznej i ekonoicznej. Jego cechą szczególną jest wysoka złoŝoność, która juŝ dla dziedziny obejującej trzy wyiary predestynuje go do przynaleŝności do probleów NP-trudnych. Niniejsza praca obejuje kwestię rozszerzenia probleu AP do przestrzeni o dowolnej liczbie wyiarów oraz przedstawia skuteczny algoryt rówkowy dla rozwiązywania tego zagadnienia w ogólny przypadku. Wyniki badań porównane zostały z opublikowanyi dotychczas rozwiązaniai.. Proble przydziału Zagadnienie przydziału naleŝy do fundaentalnych probleów optyalizacji kobinatorycznej, a jego teat często poruszany jest w sferze badań operacyjnych oraz produkcji czy zarządzania. RóŜnorodne jego fory adaptowane są do wielu kwestii, w których kluczowy eleente jest czynnik ekonoiczny. Począwszy od prostego zarządzania personele obsługiwanego przez proble przydziału przy liniowy wskaźniku jakości, poprzez transport towarów i obróbkę kaieni szlachetnych, aŝ po wielokryterialne zagadnienia natury technicznej, związane z ponoszenie kosztów zaleŝnych od doboru określonej liczby czynników. * gr inŝ., Akadeia Górniczo-Hutnicza, Wydział Elektrotechniki, Autoatyki, Inforatyki i Elektroniki, 30-059 Kraków, al. Mickiewicza 30, pawilon B, III p., pokój 32, zajdel@agh.edu.pl ** prof. zw. dr hab. inŝ., Akadeia Górniczo-Hutnicza, Wydział Elektrotechniki, Autoatyki, Inforatyki i Elektroniki, 30-059 Kraków, al. Mickiewicza 30, pawilon B, III p., pokój 32, filip@agh.edu.pl
Wielowyiarowy proble przydziału 289.. Zagadnienie liniowe W swojej najprostszej, a zaraze najbardziej szablonowej i najczęściej spotykanej postaci, zagadnienie przydziału jest problee opisany w przestrzeni dwuwyiarowej przy liniowy wskaźniku jakości. Oznacza to, iŝ oŝna je sprowadzić do poszukiwania aksyalnego skojarzenia w waŝony grafie dwudzielny. W praktyce oznacza to zazwyczaj analizę dwóch zbiorów o ocy n (w literaturze oŝna znaleźć etody rozwiązań dla zbiorów róŝnolicznych [7], jednak nie jest to przediote bieŝącego zainteresowania), dla których poszukuje się iniu funkcji kosztu. Algoryty rozwiązujące tak postawiony proble to iędzy innyi techniki iunologiczne, które dają bardzo dobre rezultaty dla probleów o ałych roziarach oraz niesyetrycznej liczności obu zbiorów. Natoiast zdecydowanie najpopularniejsza oraz najchętniej stosowana jest tak zwana etoda węgierska, która ze względu na swoją dokładność oraz stałą, sześcienną złoŝoność obliczeniową jest takŝe techniką lepszą w ogólny przypadku [0]. Dla zagadnienia wielowyiarowego probleu przydziału nie istnieje jednakŝe podobnie uniwersalna etoda, co nastręcza znacznie więcej trudności, ale teŝ stwarza przy ty pole do badań, ulepszeń i analiz dla technik niedeterinistycznych oraz inspirowanych biologicznie etod populacyjnych..2. Uogólnienie wielowyiarowe Chcąc rozszerzyć proble przydziału przy liniowy wskaźniku jakości na dowolną, skończoną liczbę wyiarów, opisujey go na rozłącznych zbiorach X,, X w następujący sposób. gdzie: Funkcja celu przyjuje postać: c i... i x i... i przy ograniczeniach:... f = c x, i... i i... i () - dana tablica kosztów o eleentach rzeczywistych, - poszukiwana, binarna tablica przydziału, {,..., } :...... k =, xi... i k k k+ k+,..., i X... X : xi... i { } { 0,} i, X =... = X = n, X... X = φ. (2)
290 Mirosław Zajdel, Bogusław Filipowicz Tak postawiony proble polega na znalezieniu aksyalnego skojarzenia w grafie -dzielny. Łatwo zauwaŝyć, iŝ istniejących rozwiązań dla zbiorów o ocy n kaŝdy jest (n!) jako Ŝe dla kaŝdego zbioru oŝna wskazać n! perutacji jego eleentów. Karp pokazał, Ŝe juŝ dla =3 zagadnienie przydziału naleŝy do zbioru probleów NP-trudnych [9]. Z tego teŝ względu nie istnieje (zakładając P NP) deterinistyczny algoryt rozwiązujący je w czasie wieloianowy i naleŝy raczej poszukiwać algorytów dla wielowyiarowego, osiowego probleu przydziału wśród technik niedeterinistycznych. Jak do tej pory zaproponowano kilka algorytów rozwiązujących wielowyiarowy proble przydziału. Skupiają się one przede wszystki na zagadnieniu w jego forie trójwyiarowej, zapewne ze względu na fakt, iŝ a ona bardziej uniwersalny charakter i łatwiej jest znaleźć w naturalnej dla człowieka przestrzeni kwestie, do których oŝna je adaptować. Przykłade oŝe być tutaj wszelkiego rodzaju obróbka ze skrawanie, dla której rozwiązując proble przydziału AP3 oŝna zinializować ilość odpadów. Propozycje rozwiązań algoryticznych dla tego probleu znaleźć oŝna w wielu pracach. Przedstawili je iędzy innyi Balas i Saltzan [2], Craa i Spieksa [5], Burkard, Rudolf i Woeginger [3][4], Aiex, Resende, Pardalos i Toraldo [] a takŝe Huang i Li [8], których hybrydowy algoryt genetyczny LSGA okazał się najbardziej wydajny wśród opracowanych i opublikowanych do tej pory. Wielowyiarowy proble przydziału dla liczby wyiarów wynoszącej 4 i więcej jest raczej poijany w literaturze, io Ŝe znajduje on juŝ zastosowanie w zaawansowanych echanizach, jak wieloczujnikowe systey obserwacji i równoległego śledzenia wielu obiektów [6]. Z pewnością oŝe on być takŝe atrakcyjny rozwiązanie dla przedsiębiorstw, które gotowe są zainwestować w zebranie odpowiednio dokładnych danych statystycznych, aby w konsekwencji zastosowania odelu wielowyiarowego probleu przydziału uzyskać optyalizację choćby procesu produkcyjnego względe wielu czynników. Liczba owych kryteriów, która w konsekwencji pokrywa się z liczbą wyiarów dla probleu przydziału, usi być jednak logiczną konsekwencją rozsądnego koproisu iędzy roziare wydatków na badania statystyczne, a udziałe poszczególnych czynników w funkcji celu. 2. Algoryt rówkowy Proponowany sposób rozwiązania bazuje na sprowadzeniu zagadnienia w postaci grafu -dzielnego do fory sieci widocznej na rysunku, w której dodano wierzchołek źródłowy ( Mrowisko ), połączony z wagą 0 z kaŝdy z n
Wielowyiarowy proble przydziału 29 wierzchołków zbioru X oraz wierzchołek ujścia ( PoŜywienie ), połączony równieŝ z wagą 0 z kaŝdy z n wierzchołków zbioru X. Rys.. Model -wyiarowego probleu przydziału, wykorzystywany w prezentowany algorytie rówkowy Idea działania algorytów rówkowych opiera się na analogii do kounikacji w koloniach owadów, które wyruszają z gniazda ( Mrowiska ) w duŝej liczbie na poszukiwanie poŝywienia. W przypadku gdy owad znajdzie takowe, zabiera je do gniazda, a całą drogę powrotną znaczy odpowiedni zapache (tzw. feroone), aby inne owady, które natkną się na tę ścieŝkę, wiedziały w jaki sposób szybko dotrzeć do poŝywienia. KaŜdorazowo kiedy jakiś owad przechodzi ową ścieŝką, stęŝenie feroonu rośnie i więcej owadów tę ścieŝkę wybiera. Z analogicznej zasady korzysta prezentowany algoryt. Paiętając o załoŝeniach probleu przydziału, które w taki odelu oznaczają, Ŝe kaŝdy eleent zbiorów X,, X a znaleźć się na ścieŝce rówek dokładnie raz, naleŝy wykorzystać n rówek w taki sposób, Ŝe wierzchołek sieci leŝący na ścieŝce uŝytej przez daną rówkę nie oŝe juŝ zostać wykorzystany przez następne rówki, aŝ do wyczerpania populacji, po czy procedura jest powtarzana dla kolejnej populacji juŝ z nowyi oznaczeniai feroonu na ścieŝkach. Po pewny czasie działania algorytu dostajey n ścieŝek -eleentowych (źródło i ujście poijay), spełniających ograniczenia probleu przydziału, dla których stęŝenie feroonu jest suarycznie największe, zaś funkcja celu a wartość inialną.
292 Mirosław Zajdel, Bogusław Filipowicz 3. Wyniki badań Do testów algorytu wybrane zostały dwa standardowe zbiory danych o róŝnej charakterystyce złoŝoności, Balas-Saltzan oraz Craa-Spieksa, opracowane w początkowych publikacjach na teat wielowyiarowego probleu przydziału i z powodzenie stosowane przez badaczy tego zagadnienia do tej pory. Zestawienie porównawcze obejuje obok algorytu rówkowego opisanego w niniejszej pracy takŝe najlepsze opublikowane do tej pory algoryty rozwiązujące trójwyiarowy proble przydziału. Są to etaheurystyka GRASP [] oraz hybrydowy algoryt genetyczny LSGA [8]. Rys. 2. Porównanie wydajności proponowanego algorytu rówkowego z innyi rozwiązaniai opracowanyi dla probleu AP3 Pierwsza część testów oparta została na zbiorze 60 testów opracowanych przez duet Balas-Saltzan, po 5 instancji dla kaŝdego z roziarów probleu n=4,6,8,0,2,4,6,8,20,22,24,26. Algoryt rówkowy okazuje się być dalece lepszy od etaheurystyki GRASP i wykazuje tendencję do dobrej asyptotycznej zbieŝności, io Ŝe przegrywa jeszcze dla ałych roziarów probleu z hybrydowy algoryte genetyczny LSGA. W drugiej części testów wykorzystany został zbiór 8 testów dla duŝych roziarów probleu, rzędu n=33,66, opublikowany przez zespół Craa- Spieksa. W ty przypadku algoryt rówkowy potwierdza swoją efektywność dla duŝych n oraz o wiele lepsze w porównaniu z innyi algorytai górne ograniczenie złoŝoności. Podsuowując, prezentowany algoryt rówkowy dla ałych roziarów probleu ieści się w średniej klasie wydajności dotychczas opracowanych rozwiązań. JednakŜe dla roziarów probleu n 30 okazuje się ieć wyjątkowo ałe asyptotyczne tepo wzrostu, co predestynuje go do bycia wydajny narzędzie dla probleów przydziału o wysoki rzędzie wyiaru, będących odelai najbardziej złoŝonych probleów optyalizacyjnych, w których funkcja celu inializowana jest względe wielu kryteriów.
Wielowyiarowy proble przydziału 293 Abstract Assignent Proble is well known proble, which has been studied extensively in any operational and technical researches. It has been shown to be NP-hard for three or ore diensions and a few non-deterinistic ethods has been proposed to solve it. This paper is introducing a new heuristic search ethod for the n-diensional assignent proble, based on swar intelligence and coparing results with those obtained by other scientists. Bibliografia: [] Aiex R.M., Resende M.G.C., Pardalos P.M., Toraldo G., GRASP with path relinking for the three-index assignent proble w INFORMS Journal on Coputing 7/2, 2005. [2] Balas E., Saltzan M.J., An algorith for the three-index assignent proble w Operations Research 39, 99. [3] Burkard R.E., Rudolf R., Woeginger G.J., Three diensional axial assignent probles with decoposable cost coefficients w Discrete Applied Matheatics 65, 996. [4] Craa Y., Spieksa F.C.R., Approxiation algoriths for threediensional assignent probles with triangle inequalities w European Journal of Operational Research 60, 992. [5] Escailla-Abrosio P.J., Lieven N., A Multiple-Sensor Multiple-Target Tracking Approach for the Autotaxi Syste w IEEE Intelligent Vehicles Syposiu, Para 2004. [6] Filipowicz B., Mateatyczne odelowanie zagadnień decyzyjnych Część I, Wydawnictwa AGH, Kraków 998. [7] Huang G., Li A., A hybrid genetic algorith for the Three-Index Assignent Proble w European Journal of Operational Research 72, 2006 [8] Karp R.M., Reducibility aong cobinatorial probles w Coplexity of Coputer Coputations, Plenu Press, New York 972. [9] Kuhn H.W., The Hungarian ethod for the assignent proble, Naval Research Logistics Quarterly, 955. [0] Merkle D., Middendorf M., Swar intelligence w Search Methodologies Introductory Tutorials in Optiization and Decision Support Techniques, Springer Science+Business Media, Inc., 2005. Recenzent: prof. Konrad Wala