I. Wstęp Ćwicenie 71 INDUKCJA ELEKROMAGNETYCZNA Wynacanie indukcyjności solenoidu Niech w jednorodnym polu magnetycnym o indukcji B, patr rys. 1, porusa się prędkością v prewodnik. Pod wpływem siły Lorenta F = ev B, 1) gdie F_ _v i F_ _B, elektrony (o ładunku e) płyną wdłuż prewodnika, wtedy jeden jego koniec ładuje się dodatnio (stąd elektrony odpływają), a drugi ujemnie (tam elektrony dopływają). Znak ładunku pry ustalonym B ależy od kierunku ruchu prewodnika, a tym samym od siły F, której moduł F = evbsin( v; B). Jeżeli v_ _B, wówcas sin( v ; B) = 1, a F = evb jest maksymalną wartością siły. Rys.1. Prepływ ładunków trwa tak długo aż siła Lorenta 1) ostanie równoważona pre siłę elektrycną F = ee, 2) pochodącą od pola elektrycnego, o natężeniu E, wytworonego międy końcami prewodnika. Prepływ elektronów ostaje wyhamowany, gdy F = F. Warunek równowagi da się predstawić równaniem ee = ev B, a stąd E = v B 3) Napięcie miedy końcami prewodnika U = Edl = ε, 4) gdie: dl jest elementem prewodnika, a ε siłą elektromotorycną. Uwględniając ależność 3), równanie 4) możemy apisać w postaci: Ćwicenie 71 1 r ε = (v B) dl. 5) r
Zauważmy, że ( v B) dl = B( dl v) = B( dl dr / dt), gdie: v = dr / dt. We współrędnych kartejańskich wektory: B, dl, dr/dt pryjmą postać: B = B i + B j B k 6a) 6b) Utwórmy wynacnik: B B dl x x dx / dt dl y y dy / dt x y + dl = dlx i + dl y j + dl dr / dt = dx / dti + dy / dtj + d / dtk 6c) B dl d / dt B [ B( dl r) ] = d / dt dl dl dl = d / dt, gdie pryjęliśmy, że B i dl są nieależne od casu, ponadto ałóżmy, że funkcje 6a), 6b) ora promień wodący 6c) są jednostajnie ciągłe, wówcas możemy amienić kolejność operacji całkowania i różnickowania. Wtedy x x x B y y y B [ B( dl r) ] = d dt ε = d / dt / BdS, r gdie: dl r = ds jest elementem powierchniowym powierchni S ropiętej na krywej amkniętej Γ. Ponieważ Φ = BdS 6) s jest strumieniem indukcji magnetycnej, to ε = d Φ / dt. 7) Okauje się, że miarą siły elektromotorycnej indukcji jest pochodna strumienia indukcji magnetycnej wględem casu. s k Rys.2. Roważmy obwód elektrycny taki, jaki predstawiono na rysunku 2. W jednorodnym polu magnetycnym o indukcji B, prostopadłym do płascyny kartki, umiescono prostokątną ramkę drutu, w której jeden bok jest ruchomy. Ramkę precięto i włącono galwanometr G. Diałając siłą F na ruchomy prewodnik presunęliśmy go, więksając powierchnię ramki. Ćwicenie 71 2
Zmienił się strumień indukcji magnetycnej, ponieważ mieniła się powierchnia obejmowana pre obwód i w obwodie pojawiła się siła elektromotorycna indukcji. W ramce popłynął prąd indukcyjny o natężeniu I. Wskaówka galwanometru wychyliła się. Obwód mieści się w ewnętrnym polu magnetycnym, więc na prewodniki prądem diała siła elektrodynamicna, w tym na cęść ruchomą, siła F 1. Aby presunąć pręcik o odcinek dx należy preciwko tej sile wykonać pracę bo F = F1, pry cym dw = Fdx, F 1 = BIl, gdie I onaca natężenie prądu indukcyjnego, a l długość ruchomego prewodnika. Łatwo auważyć, że dw = BIldx, 8) ale ldx = ds, jest polem powierchni, akreślonym pre ruchomy prewodnik o długości l. Z drugiej strony, prąd o natężeniu I płynący w obwodie, wykonuje pracę dw = ε i I dt, 9) gdie: ε i jest siłą elektromotorycną indukcji, a dt nieskońcenie małym prediałem casu. Praca prądu indukcyjnego 9) ostatecnie prekstałca się w energię wewnętrną, która ogrewa elementy obwodu i roprasa się w środowisku. Zgodnie asadą achowania energii prace opisane worami 8) i 9) są sobie równe, atem ε iidt + BIldx = IBdS = IdΦ, gdie: d Φ = BdS jest mianą strumienia indukcji magnetycnej obejmowanego pre obwód. Po prostym prekstałceniu dostajemy siłę elektromotorycną indukcji ε i = dφ / dt. 10) Wory 7) i 10) można uogólnić również na prypadek mienności pola magnetycnego. Aby w obwodie cy prewodniku aindukowała się siła elektromotorycna indukcji należy wytworyć mienny strumień indukcji magnetycnej obejmujący obwód lub prewodnik. Wychodąc definicji miary strumienia 6), łatwo auważyć, że mianę strumienia możemy wywołać pre mianę pola powierchni obejmowanej pre obwód, pre mianę wektora indukcji magnetycnej, bądź pre mianę jednej i drugiej wielkości. Wartość siły elektromotorycnej indukcji ależy od sybkości mian strumienia indukcji magnetycnej. Jeżeli obwód amkniemy, wówcas popłynie prąd indukcyjny o natężeniu I, pry cym I = ε i / R, 11) gdie: R jest oporem elektrycnym obwodu. Jeżeli obwód składa się n wojów, wówcas wór 10) możemy apisać w postaci: ε = ndφ dt. 12) i / Ćwicenie 71 3
W każdym woju indukuje się siła elektromotorycna indukcji nieależnie od obecności poostałych. Ponieważ woje połącone są seregowo, to siła elektromotorycna aindukowana w całym obwodie jest sumą sił elektromotorycnych aindukowanych oddielnie w każdym woju. Znak minus występujący we worach 7), 10) i 12) określa pewnego rodaju preciwieństwo, międy kierunkiem mian strumienia indukcji magnetycnej wbudającego siłę elektromotorycną w obwodie amkniętym, a kierunkiem mian pola magnetycnego wytworonego pre prąd indukcyjny. Jeżeli pole ewnętrne narasta, to kierunek prądu jest taki, że pole pre niego wytworone jest skierowane preciwnie i powoduje osłabienie pola ewnętrnego. Jeżeli pole ewnętrne maleje, wówcas kierunek prądu mienia się i jego pole magnetycne jest godne, i podtrymuje anikające pole ewnętrne. Możemy sformułować regułę określającą kierunek prądu indukcyjnego naną jako reguła Lena następująco: Kierunek prądu indukcyjnego jest taki, że jego własne pole preskada mianom pola, które prąd ten wywołują. Regułę dobre ilustruje rysunek treci. Rys.3. Jeżeli mamy do cynienia prostoliniowym prewodem o długości l, porusającym się prędkością v ora gdy indukcja B, prewodnik l i prędkość v są do siebie prostopadłe, to siłę elektromotorycną indukcji możemy również policyć ależności ε i = Blv. 13) Korystając e woru 4) ora 7) otrymamy Edl = dφ / dt. 14) Γ Jest to uogólnienie prawa indukcji i określa wiąek międy miennym polem magnetycnym o indukcji B ora miennym polem elektrycnym o natężeniu E. Wokół każdego prewodnika, w którym płynie prąd o natężeniu I wytwara się pole magnetycne o indukcji B. Wartość indukcji, godnie prawem Biote a Savarte a, jest proporcjonalna do natężenia płynącego prądu B ~ I. 15) Ćwicenie 71 4
Każdy obwód, w którym płynie prąd elektrycny najduje się wewnątr strumienia indukcji magnetycnej wytworonego pre prąd płynący we własnym obwodie. Z proporcjonalności 15) wynika proporcjonalność strumienia indukcji magnetycnej do natężenia I Φ ~ I. Zapisując w postaci równania otrymamy Φ = L I, 16) gdie L jest współcynnikiem proporcjonalności wanym indukcyjnością. Jest to wielkość fiycna ależna od cech geometrycnych obwodu i środowiska, w którym obwód się najduje. Jeżeli w obwodie płynie prąd mienny I = f(t), wówcas strumień indukcji magnetycnej obejmującej obwód też jest mienny Φ =f (t). W obwodie pojawia się siła elektromotorycna indukcji własnej ε L, pry cym ε L = di / dt. 17) Zgodnie regułą Lena siła elektromotorycna samoindukcji 17) preciwdiała mianom prądu, które ją wywołują. Jeżeli prąd mienny płynie w pierwsym obwodie, to strumień indukcji tego prądu prenikający drugi obwód, wbuda w nim siłę elektromotorycną indukcji wajemnej. Zjawisko indukcji wajemnej dobre ilustruje rysunek 4. Rys.4. Niech w obwodie 1 płynie prąd mienny o natężeniu I 1, wówcas strumień indukcji magnetycnej obejmowanej pre obwód 2 wyniesie Φ 21. Ponieważ strumień mienia się w casie, to w obwodie 2 aindukuje się siła elektromotorycna ε 2 = d Φ 21 / dt. Strumień obejmowany pre obwód 2 jest proporcjonalny do natężenia prądu I 1 płynącego w obwodie 1. Zatem Φ 21 = M 21I1 i ε 2 = M 21dI1 / dt. 18) Z kolei prąd mienny o natężeniu I 2 płynący w obwodie 2 wbuda siłę elektromotorycną indukcji wajemnej w obwodie 1, pry cym Φ 12 = M12I 2 ora ε 1 = M 12dI 2 / dt. 19) Współcynniki indukcyjności wajemnej są sobie równe M 12 = M 21. Zależą od geometrii obwodów elektrycnych i środowiska, i są dość trudne do oblicenia. Zarówno indukcyjność, jak i indukcyjność wajemną mierymy w henrach. Ćwicenie 71 5
Rys.5. Roważmy układ predstawiony na rysunku 5. Międy biegunami magnesu umiescono ramkę drutu obracającą się e stałą prędkością kątowąω. Strumień indukcji magnetycnej prenikający pre ramkę mienia się godnie równaniem Φ = Φ 0 cosωt, gdie: Φ 0 = B a b, a a i b są wymiarami ramki. Podstawiając do 10) i 11) ora wykonując odpowiednie diałania otrymamy wór na natężenie prądu indukowanego w ramce w postaci: I = I0 sinωt, 20) gdie: I 0 = Babω / R, pry cym ω = 2π / T lub ω = 2πν ( T - okres obrotu, ν - cęstotliwość). Siła elektromotorycna aindukowana w ramce ε = ε 0 sinωt, 21) gdie: ε 0 = abbω. Zauważmy, że natężenie prądu i napięcie są w faach godnych. Milcąco ałożyliśmy, że w obwodie występuje tylko opór omowy R. Sytuacja mienia się radykalnie, gdy w obwodie pojawi się indukcyjność L, pojemność C lub jedno i drugie. Jeżeli L 0, wówcas w obwodie indukuje się jesce siła elektromotorycna samoindukcji i ε = ε i + ε L = RI. Uwględniając równania 17) i 21) ora porądkując wględem natężenia prądu otrymamy równanie różnickowe w postaci: LdI / dt + RI = U 0 sinωt. 22) Łatwo auważyć, że rowiąaniem tego równania jest funkcja I = I0 sin( ωt φ). 23) Porównując 21) i 23) widimy, że w obwodie awierającym indukcyjność, natężenie prądu opóźnia się wględem siły elektromotorycnej (i napięcia U). Podstawiając 23) do 22) najdiemy wartości stałych: amplitudę I 0 i presunięcie faowe φ. Po prostych prekstałceniach otrymamy: tg φ = Lω / R 2 2 2 0,5 ora I = U /( R + ω L, 0 0 ) 2 2 2 2 gdie: Z = R + ω L 24) jest kwadratem awady. Opór bierny oblicymy e woru R L = ωl. Ćwicenie 71 6
Weźmy po uwagę taki obwód, jak na rysunku 6, awierający indukcyjność L, pojemność C ora opór omowy R. Włącmy asilanie prądem premiennym o napięciu U = U sinωt. 0 Rys.6. W obwodie mamy try źródła siły elektromotorycnej: asilanie, cewkę i kondensator. Ponieważ płynie prąd premienny, to w cewce wbuda się siła elektromotorycna samoindukcji, a kondensator ładuje się do napięcia U i roładowuje. Na podstawie prawa Kirchhoffa możemy sformułować równanie: U + U + ε L = RI, ale U = - Q/C, gdie Q jest ładunkiem elektrycnym gromadonym na okładkach kondensatora, a ε L dane jest worem 17). Więc U = Q / C + LdI / dt + RI = U 0 sinωt Zróżnickujmy obie strony równania wględem casu, wówcas 2 2 1/ CdQ / dt + Ld I / dt + RdI / dt = U 0ω cosωt, Zauważmy, że I = dq/dt, i uporądkujmy równanie wględem rędów pochodnych, wtedy 2 2 d I / dt + ( R / L) di / dt + [ 1/ ( LC )] I = ( U 0ω / L) cosωt. 25) Otrymaliśmy równanie różnickowe drugiego rędu, niejednorodne, o współcynnikach całkowitych. Całkę scególną równania 25) wybieramy w postaci: I = I0 sin( ωt φ), 26) gdie: I 0 i φ są to stałe, które wynacymy układu równań algebraicnych po podstawieniu 26) do 25). Wykonując proste rachunki otrymamy: tg φ = { ωl [ 1/ ( ωc )]} / R 27) ora 2 2 { R + [ ωl 1 ( ω ) ] } I0 = U 0 / / C. 28) Łatwo auważyć, że I 0 = f (ω ) i jest funkcją cęstości kołowej. I 0 osiąga maksimum, gdy mianownik w 28) minimum. Zbadajmy atem ekstremum funkcji f(ω ) = R 2 + [ω L - 1/(ω C)] 2. Warunkiem koniecnym istnienia ekstremum jest erowanie się pierwsej pochodnej. Ćwicenie 71 7 1/ 2
Rys.7. df/dω = 2[ω L - 1/(ω C)][L + 1/(ω 2 C)] = 0, stąd ω re = 1/ LC, 29) dla tej wartości funkcja f(ω ) osiąga minimum, a I 0 = U 0 /R maksimum. Zjawisko to nane jest jako reonans seregowy. Amplitudy napięć na cewce U L i kondensatore U C osiągają wartości maksymalne. Napięcia są w faach preciwnych, a ich suma jest równa spadkowi napięcia na opore omowym U R tak, że U R = U L. - U C. Wykres funkcji 28) predstawiliśmy na rysunku 7. Zmiany napięcia na okładkach kondensatora dobre pokauje wykres na rysunku 8. Rys.8. Moc chwilową wydieloną w casie jednego okresu T w danym elemencie obwodu oblicymy ależności P T 1 1 = T U ( t ) I ( t ) dt = T U 0I0 sin( ωt ) sin( ωt φ ) dt = 1/ 2I 0U 0 cosφ 0 0 T. 30) Otrymaliśmy tak waną moc cynną. I 0 i U 0 są to scytowe wartości natężenia i napięcia prądu premiennego (sinusoidalnego). Porównując skutki Ćwicenie 71 8
energetycne wywoływane pre prąd premienny i prąd stały możemy wprowadić pojęcie wartości skutecnych natężenia, i napięcia. Otóż, jeżeli astąpimy źródło prądu premiennego, źródłem prądu stałego dającego takie natężenie i napięcie, że skutki energetycne będą identycne, to wielkości te określamy jako natężenie i napięcie skutecne. Innymi słowy są to takie wartości napięcia i natężenia prądu stałego, które wywołują takie same skutki energetycne jak napięcie i natężenie prądu premiennego. Zatem 1/ 2 I 0 U 0 cosφ = I sk U sk cosφ. Stąd łatwo auważyć, że I sk = I 0 / 2 i U sk = U 0 / 2. 31) A więc moc cynna może być oblicona e woru: P = I sk U sk cosφ, 32) gdie P p = I sk U sk = 1/2 I 0 U 0 33) nosi nawę mocy poornej. Mocą bierną naywamy wielkość wyrażającą się ależnością: P b = I sk U sk sinφ. 34) Zjawisko indukcji wajemnej nalało astosowanie pry budowie bardo użytecnego urądenia, jakim jest transformator. Transformator składa się rdenia dobre indukującego pole magnetycne (awycaj budowanego cienkich blach e stali transformatorowej) ora uwojenia pierwotnego i wtórnego nawiniętych na rdeń. Rys.9. Pre uwojenie pierwotne prepuscamy prąd premienny. W rdeniu pojawia się mienny strumień indukcji magnetycnej. Prenika również do wnętra uwojenia wtórnego wbudając w nim siłę elektromotorycną indukcji o tej samej cęstotliwości, co asilający uwojenie pierwotne prąd premienny. Wartość siły elektromotorycnej jest proporcjonalna do licby wojów uwojenia wtórnego. Całkowita siła elektromotorycna aindukowana w uwojeniu wtórnym jest sumą wsystkich sił elektromotorycnych powstałych w każdym woju. Jeżeli licba wojów uwojenia wtórnego jest więksa niż uwojenia pierwotnego, wówcas uyskamy podwyżsenie napięcia, jeżeli mniejsa, to obniżenie. Zakładając, że presunięcia faowe w obu uwojeniach są takie same i nie ma strat energii na roprasanie strumienia i energię wewnętrną, wówcas możemy pryjąć, że moc wydielona w uwojeniu pierwotnym i wtórnym jest taka sama cyli Ćwicenie 71 9
I psk U psk = I wsk U wsk, a stąd U wsk /U psk = I psk /I wsk, ponieważ U wsk ~n w, a U psk ~ n p, to U wsk /U psk = n w /n p. 35) naywamy prekładnią transformatora. Stosunek recywistej mocy wydielonej w uwojeniu wtórnym do recywistej mocy wydielonej w uwojeniu pierwotnym naywamy wydajnością transformatora. Straty mocy powstają wskutek wydielania się ciepła Joule a w obydwu uwojeniach ransformatora, wydielania się energii wewnętrnej w rdeniu spowodowane histereą żelaa ora wydielania się energii wewnętrnej w rdeniu wskutek prepływu prądów wirowych. Gdy obwód wtórny jest otwarty - transformator jest na biegu jałowym, wówcas straty spowodowane ciepłem Joule a są nikome, poostałych prycyn usunąć się nie da. Różnica fa jest bliżona do 90 o. Zmniejsa się nacnie pry obciążeniu uwojenia wtórnego. Ćwicenie 71 10
Wynacanie indukcyjności solenoidu Zawada obwodu asilanego prądem premiennym wyraża się worem 24). Po prostych prekstałceniach otrymamy L = (1/ω ) (Z 2 - R 2 ) 1/2, 36) gdie ω = 2π ν, a opór R i awadę Z wynacymy prawa Ohma dla odcinka obwodu, pry cym R = U/I, a Z = U sk /I sk. 37) Zatem wór 36) da się predstawić w postaci Wykonanie ćwicenia L = [1/(2πν )]{(U sk /I sk ) 2 - (U/I) 2 } 1/2. 38) 1. Montujemy obwód, jak na rysunku 10. Źródłem prądu stałego jest asilac Rys. 10. Rys. 11. stabiliowany. Pred amknięciem obwodu należy wrócić się do prowadącego ajęcia o sprawdenie połąceń. 2. Zmieniając ustawienia suwaka opornicy suwakowej, wykonujemy diesięć pomiarów napięcia i natężenia prądu płynącego pre solenoid be rdenia. 3. Cynności punktu 2 powtaramy, wkładając do wnętra cewki rdenie wskaane pre prowadącego. 4. Źródło stałej siły elektromotorycnej astępujemy źródłem prądu premiennego (patr schemat na rysunku 11). 5. Zmieniając ustawienia suwaka opornicy suwakowej, wykonujemy diesięć pomiarów napięcia i natężenia skutecnego prądu, płynącego pre solenoid be rdenia. 6. Cynności punktu 5 powtaramy dla cewki rdeniami używanymi do pomiarów w punkcie 3. 7. Korystając e worów 37) oblicamy opór omowy dla każdego pomiaru oddielnie, a następnie wynacamy wartość średnią oporu e wsystkich pomiarów. Ćwicenie 71 11
8. Podobnie oblicamy awadę. Wartość średnią awady wynacamy oddielnie dla każdego rdenia. 9. Indukcyjność oblicamy e woru 36). Znając indukcyjność ora opór omowy możemy wynacyć presunięcie faowe φ ponieważ tgφ = 2πν L/R. 39) 10. Korystając e woru 39) wynacamy presunięcie faowe dla każdego rdenia oddielnie. 11. Błąd pomiaru napięcia i natężenia licymy jako błąd średni kwadratowy i porównujemy błędem wynikającym klasy i akresu użytych pryrądów pomiarowych. Błąd popełniony pry wynacaniu indukcyjności i presunięcia faowego oblicamy, jak dla wielkości łożonych. 12. Prowadimy dyskusję wyników i błędów pomiarowych, wracając uwagę i odpowiednio dyskutując wpływ oporności wewnętrnych pryrądów pomiarowych na otrymane wyniki. Ćwicenie 71 12
Literatura: 1. Kucera, red. Laboratorium fiyki i biofiyki. 2. Fulińska, red. Opisy i instrukcje do ćwiceń laboratoryjnych fiyki, II. 3. T. Dryński, red. Ćwicenia laboratoryjne fiyki. 4. Z. Zawisławski Metody opracowywania danych doświadcalnych. 5. B. Jaworski i inni Kurs fiyki, t.2. 6. A. Janusajtis. Fiyka dla politechnik, t.2. Ćwicenie 71 13