5.1 Stopa Inflacji - Dyskonto odpowiadające sile nabywczej

5.1 Stopa Inflacji - Dyskonto odpowiadające sile nabywczej Stopa inflacji, i, mierzy jak szybko ceny się zmieniają jako zmianę procentową w skali rocznej. Oblicza się ją za pomocą średniej ważonej cząstkowych stóp inflacji, gdzie cząstkowa stopa inflacji odpowiada danemu towarowi. Wagi odpowiadają proporcji budżetów domowych wydanej na dany towar. 1 / 38

Stopa Inflacji W oparciu o zbiór składający się z n towarów, stopa inflacji wyraża się wzorem n n 100w k p k i = w k i k =, p k k=1 k=1 gdzie w k jest wagą k-tego towaru (proporcją budżetów domowych wydaną na towar k), i k jest cząstkową stopą inflacji odpowiadającej towarowi k, p k jest ceną towaru k z poprzedniego roku, p k jest zmianą ceny towaru k w ciągu ostatniego roku ( p k > 0 gdy cena rośnie, p k < 0 gdy cena maleje). 2 / 38

Stopa Inflacji Należy zauważyć że wagi te są odpowiednio zmieniane z roku na rok. W dodatku, gdy towary zostaną przestarzałe, przy obliczeniu stopy inflacji zostaną usunięte lub zamienione innymi towarami. np. Maszyny do pisania zostały zamienione komputerami, a płyty winylowe płytami kompaktowymi oraz plikami MP3. 3 / 38

Przykład 5.1 Zakładamy że stopa inflacji jest oparta na czterech rodzajach towarów: jedzenie, mieszkanie, transport oraz rozrywka. Udział tych 4 sektorów w budżetach domowych oraz poziom cen w latach 2015 i 2016 podano w następującej tabelce. Wyznaczyć stopę inflacji. Sektor Udział (%) Cena 2015 Cena 2016 Jedzenie 20 10 10,1 Mieszkanie 50 20 20,3 Transport 20 30 29,7 Rozrywka 10 40 42 4 / 38

Przykład 5.1 5 / 38

Stopa Inflacji - Dyskonto odpowiadające sile nabywczej Często chcemy żeby dyskonto odpowiedziało (oczekiwanej) inflacji. Daje to miarę siły nabywczej danej kwoty nominalnej. Gdy oczekiwana inflacja jest 100i% w skali rocznej, opdowiednie dyskonto roczne wynosi α = 1 1 + i. Wynika to z następujących faktów: 7 / 38

Stopa Inflacji - Dyskonto odpowiadające sile nabywczej i) Jeżeli płacimy 100zł za pewien koszyk towarów teraz a (średnia) inflacja wynosi 100i% rocznie, wtedy za t lat płacimy 100(1 + i) t za ten koszyk. ii) Wartość aktualna ceny koszyka za t lat wynosi 100(1 + i) t α t, gdzie α jest odpowiednim dyskontem. iii) Skoro siła nabywcza tych pieniędzy jest równoważna sile nabywczej sumy 100zł, którą mamy w tej chwili, odpowiednie dyskonto musi być α = 1 1+i Gdy inflacja jest dosyć niska ( 5% rocznie), możemy korzystać z przybliżenia. α 1 i. 8 / 38

Dyskonto odpowiadające sile inwestycyjnej Czasami chcemy żeby dyskonto odpowiedziało (oczekiwanej) rocznej stopie procentowej. Daje to miarę siły inwestycyjnej tej renty. W tym wypadku α = 1 1 + R. Uwaga: Gdy inwestuję 100zł teraz, po t latach wartość nominalna będzie 100(1 + R) t. Wartość aktualna tej kwoty jest 100(1 + R) t α t. Skoro siła inwestycyjna tej kwoty jest taka sama jak siła inwestycyjna sumy 100zł teraz, α = 1/(1 + R). 9 / 38

5.2 Wycena obligacji kuponowych Obligacja rządowa gwarantuje pewne kwoty nominalne w określonych czasach. Wypłaty te przychodzą regularnie (co roku lub co pół roku) a przy terminie obligacji zwykle zachodzi większa wypłata. Cena sprawiedliwa takiej obligacji równa się sumie wypłat dyskontowanych według siły inwestycyjnej, czyli α = 1 1+R, gdzie 100R% jest stopa procentowa. Chcemy obligację kupić wtedy i tylko wtedy gdy cena obligacji jest mniejsza niż cena sprawiedliwa, 10 / 38

Wzór na sumę szeregu geometrycznego Niech a i = cr i. Wtedy a 0, a 1, a 2,... jest ciągiem geometrycznym c, cr, cr 2,.... Niech S k będzie sumą pierwszych k elementów tego ciągu, a 0, a 1,... a k 1. Mamy k 1 S k = cr i = c(1 + r + r 2 +... + r k 1 ) i=0 Należy zanotować że rs k = c(r + r 2 + r 3 +... + r k ). Odejmując drugie równanie od pierwszego, otrzymujemy S k rs k = c(1 r k ) (1 r)s k = c(1 r k ) 11 / 38

Wzór na sumę szeregu geometrycznego Wynika z tego że k 1 S k = i=0 W szczególności, gdy r < 1 S = cr i = c(1 r k ). 1 r cr i = i=0 c 1 r Uwaga: c jest pierwszym elementem ciągu a r jest stosunkiem r = a i+1 a i. 12 / 38

Przykład 5.2 Obligacja gwarantuje wypłacić kwotę $200 co roku przez 9 lat (pierwsza wypłata zajdzie za rok), a przy terminie za 10 lat wypłaci $1000. Zakładamy że stopa procentowa jest 5% rocznie i nie zmieni się. Jaka jest cena sprawiedliwa tej obligacji? 13 / 38

5.3 Wartość aktualna renty stałej Zakładamy że dana osoba ma dostać kwotę o stałej wartości nominalnej x przez N okresów (zwykle miesięcznie lub rocznie), np. stała renta/emerytura. Zakładamy że pierwsza wypłata zajdzie w czasie t 0, potem wypłaty zajdą co jednostkę czasu, czyli ostatnia wypłata zajdzie w czasie t 0 + N 1. Uwaga: W tym wypadku, jednostką czasu jest czas między wypłatami. Jeżeli zachodzi taka potrzeba, należy wyznaczyć odpowiednie dyskonto, np. gdy dyskonto roczne jest α, dyskonto miesięczne wynosi α P = 12 α. 17 / 38

Wartość aktualna renty Wynika z tego że wartość aktualna renty otrzymywanej co jednostkę czasu, zaczynając w momencie t 0, wyraża się wzorem V A = t 0 +N 1 t=t 0 V (x; t)=xα t 0 + xα t 0+1 +... + xα t 0+N 1 =xα t 0 [1 + α +... + α N 1 ] =xα t 0 N 1 i=0 α i = xαt 0 (1 α N ). 1 α Tutaj N jest liczbą wypłat, x wartość nominalna wypłaty, α jest dyskontem na jednostkę czasu (niekoniecznie dyskonto roczne). 18 / 38

Przykład 5.3 Stała renta o kwocie 2000zł ma zostać wypłacona co miesiąc przez 10 lat. Zakładać że oczekiwana inflacja wynosi 5% rocznie. Korzystając z odpowiedniego przybliżenia dla dyskonta rocznego, wyznaczyć i) Dyskonto miesięczne ii) Wartość aktualna takiej renty, gdy pierwsza wypłata ma zajść teraz. iii) Wartość aktualna takiej renty, gdy pierwsza wypłata ma zajść za dwa lata. Na ćwiczeniach rozważamy co się dzieje gdy renta się zmienia w zależności od inflacji. 19 / 38

Wartość aktualna ogólnego ciągu przyszłych wypłat Gdy wartość wypłat jest zmienna, aby wyznaczyć wartość aktualną, najłatwiej zsumować wypłaty dyskontowane krok po kroku. Takie ciągi przychodów są często spotykane w analizie kosztów i zysków. 23 / 38

5.4 Analiza kosztów (strat) i zysków Zakładamy że firma decyduje czy ma wdrożyć nowy produkt lub projekt. Firma musi rozważyć czy przyszłe zyski (dyskontowane w czasie) z tego projektu są większe niż koszty (ponoszone teraz). 24 / 38

Analiza zysków i strat Zakładamy że firma może podjąć maksymalnie jeden z k projektów. Można to modelować jako wybór jednej z k + 1 opcji, 0, 1,..., k gdzie: 1. Opcja 0: nie wykonać żadnych z projektów. 2. Opcja i: wykonać projekt i, i = 1, 2,..., k. Należy powiedzieć że czasami firma może wykonać więcej niż jeden projekt z tej listy, ale nie rozważamy takiej możliwości. 25 / 38

Analiza zysków i strat Zakładamy że opcja 0 nie jest związana z żadnymi kosztami ani stratami. Natomiast, w rzeczywistości opcja ta może być związana z pewnymi kosztami (np. niewykorzystanego potencjału pracowników). Według metody analizy zysków i strat, firma powinna wybrać opcję, która daje największą sumę dyskontowanych zysków (gdzie straty są zinterpretowane jako zyski ujemne): o ile ta suma jest dodatnia. 26 / 38

Przykład 5.4 Zakładamy że firma może podjąć jeden z dwóch projektów: A lub B. Koszty inwestycji (podniesione teraz) a oczekiwane zyski w przyszłości podano poniżej: Projekt Inwestycja Zysk za Zysk za Zysk za rok dwa lata trzy lata A 1000 200 600 400 B 2000 300 1500 700 Zakładamy że dyskonto roczne wynosi 0,9. Czy firma powinna podjąć projekt A, projekt B, lub żaden z tych projektów? 27 / 38

Analiza zysków i strat - Gdy przyszłe zyski są losowe W poprzednim przykładzie zakładaliśmy że oczekiwane zyski były znane (ale nie podano z jakiego rozkładu pochodzą te zyski). W praktyce najpierw musimy ocenić z jakiego rozkładu pochodzą te zyski. Potem w oparciu o to, wyznaczamy oczekiwane zyski (które należą potem zdyskontować). 31 / 38

Analiza zysków i strat - Gdy przyszłe zyski pochodzą z rozkładu dyskretnego Oznaczamy zysk w czasie t przez Z t. E(Z t ) jest oczekiwany zysk w czasie t. Niech P(Z t = k) = p k,t, k = k 1, k 2,..., k n, gdzie prawdopodobieńatwa te sumują do 1. Wtedy E(Z t ) = n k i P(Z t = k i ) = i=1 n k i p ki,t. Czyli sumujemy iloczyn zysk p stwo takiego zysku po wszystkich możliwych wartościach zysku w danym momencie. i=1 32 / 38

Przykład 5.5 Zakładamy że w następujących 3 latach konienktura może być kiepska, średnia lub dobra. Oceniamy że prawdopodobieństwa tych stanów w każdym roku są 0,2; 0,6 a 0,2 odpowednio. Koszty wprowadzenie nowego towaru na rynek wynoszą 100 (w $ tys. - koszty są ponoszone teraz). 33 / 38

Przykład 5.5 Następująca tabelka definiuje zyski przez następne 3 lata w zależności od koniunktury: Rok 1 Rok 2 Rok 3 Kiepska 0 50 30 Średnia 20 70 60 Dobra 50 110 110 34 / 38

Przykład 5.5 i) Wyznaczyć oczekiwany zysk w danym roku ii) Przyjmując że dyskonto roczne wynosi 0,95, czy warto wprowadzić ten produkt na rynek. 35 / 38