SP Graniastosłupy Zadania sprawdzajà nast pujàce umiej tnoêci: r obliczanie pola powierzchni i obj toêç graniastos upa prostego i ostros upa 1. Na rysunku przedstawiono graniastos up prosty i jego wymiary. Ile wynosi obj toêç graniastos upa? 2. W prostopad oêciennym akwarium o wymiarach podanych na rysunku woda si ga 3 2 jego wysokoêci. Ile litrów wody jest w akwarium? 3. Szymon wykona szkielet prostopad oêcianu. Uk ada i skleja ze sobà kolejno drewniane klocki szeêcienne o kraw dzi 4 cm wzd u ka dej kraw dzi prostopad oêciennego pude ka o wymiarach: 36, 28 i 20 cm. Na rysunku przedstawiono cz Êç wykonanego szkieletu. Ile klocków àcznie zu y Szymon na wykonanie ca ego szkieletu? 4. SzeÊcian o obj toêci 1 m 3 rozci to na szeêciany o kraw dzi 1 cm. Gdyby wszystkie otrzymane szeêciany ustawiono jeden za drugim, tak jak na rysunku, to powsta by prostopad oêcian. Oceƒ prawdziwoêç podanych zdaƒ. Wybierz P je eli zdanie jest prawdziwe, lub F jeêli jest fa szywe. Jedna z krawędzi powstałego prostopadłościanu miałaby długość 10 km. P F Objętość prostopadłościanu byłaby 100 razy większa od objętości początkowego sześcianu. P F 5. Z szeêcianu zbudowanego z 64 ma ych szeêcianów o kraw dzi 1 cm z ka dego naro nika usuni to po jednym ma ym szeêcianie (patrz rysunek). Oblicz pole powierzchni powsta ej bry y i porównaj je z polem powierzchni du ego szeêcianu. Nauczycielka matematyki Zespołu Szkół im. Gen. Józefa Bema w Dębowej Łące. 18 MATEMATYKA
SP Pot gi Dzi ki zadaniom uczeƒ przeçwiczy: r porównywanie pot g o ró nych wyk adnikach naturalnych, zapisywania w postaci jednej pot gi iloczynu i ilorazu pot g o takich samych podstawach 1. Dokoƒcz zdanie tak, aby otrzymaç zdanie prawdziwe: 2 2 2 3 + 3 + 3 Liczba 3 3 jest równa: a) 3 0 b) 3 1 c) 3 2 d) 3 3 2. Dane sà liczby: a = ( 2) 12, b = ( 2) 11, c = 2 10. Dokoƒcz zdanie tak, aby otrzymaç zdanie prawdziwe. Liczby te, uporzàdkowane od najmniejszej do najwi kszej, to: a) c, b, a b) a, b, c c) c, a, b d) b, c, a 3. Dane sà liczby: 5, 5 4, 5 12. Dokoƒcz zdanie tak, aby otrzymaç zdanie prawdziwe. Iloczyn tych liczb jest równy: a) 5 16 b) 5 17 c) 5 48 d) 5 49 4. Poni ej podano kilka kolejnych pot g liczby 7. 7 1 = 7 7 2 = 49 7 3 = 343 7 4 = 2401 7 5 = 16 807 7 6 = 117 649 7 7 = 823 543 7 8 = 5 764 801 7 9 = 40 353 607 Dokoƒcz zdanie. Wybierz w aêciwà odpowiedê spoêród podanych. Cyfrà jednoêci liczby 7 190 jest: a) 1 b) 3 c) 7 d) 9 5. Dane sà liczby: a) 25 41 b) 125 41 c) 2 862 d) 5 431 Która z podanych liczb jest najwi ksza? Wybierz w aêciwà odpowiedê spoêród podanych. A. a) B. b) C. c) D. d) m a r ze c /k w i e c i e ń 20 17 19
SP 6. Oceƒ prawdziwoêç poni szych zdaƒ: 3,42 10 5 m = 34,2 km P F 6,2 10 7 kg = 6,2 10 4 g P F 8,3 10 5 m 2 = 83 ha P F 7. Dokoƒcz zdanie tak, by otrzymaç zdanie prawdziwe: 3 $ 3 3 4 ^3h 3 4 a) 3 5, b) 3 0, c) 3 5, d) 3 1 8. W tabeli zapisano cztery liczby. I. (0,2) 10 II. (2,5) 5 III. ( 2 5 )2 x ( 2 5 )3 IV. 2 5 x 5 1 Dokoƒcz zdanie, wybierajàc odpowiedê spoêród podanych. Liczba (0,4) 5 jest równa liczbom: a) I i II, b) I i III, c) II i IV, d) II i III, e) III i IV 9. Zapisano cztery liczby. I. (0,2) 4 II. (2,5) 2 III. ( 2 5 )4 x 2 14-1 IV. 25 2 Liczba 5 4 jest równa liczbom: a) I i II b) I i IV, c) II i IV, d) II i III Nauczycielka matematyki Zespołu Szkół im. Gen. Józefa Bema w Dębowej Łące. 20 MATEMATYKA
G Zadania dla starszych klas gimnazjów Zestaw trzeci Michał Kremzer Zadania sprawdzajà nast pujàce umiej tnoêci: r analizy i interpretacji problemu, rozumowania i argumentacji, syntezy faktów, myêlenia pami ciowego oraz umiej tnoêci heurystyczne. Zadanie 1 Czy istnieje liczba naturalna n wi ksza od 1 i taka, e liczby 10n, 10(n + 1), 10(n + 2) mo na przedstawiç w postaci sumy kwadratów dwóch liczb ca kowitych wi kszych od 2? Zadanie 2 Liczb 4000 przedstawiç w postaci sumy czterech kwadratów liczb ca kowitych wi kszych od 1. Zadanie 3 Podaç przyk ad liczby z o onej, której wszystkie dzielniki (ró ne od 1) sà wi ksze od 10 i majà równe sumy cyfr. Zadanie 4 Podaç przyk ad ró nych liczb ca kowitych dodatnich a, b, c, d takich, e liczby a% z liczby d, b% z liczby d i c% z liczby d sà kolejnymi liczbami ca kowitymi. Zadanie 5 Kiedy ostatnio by a data (dzieƒ, miesiàc, rok), w której wszystkie cyfry by y: a) kwadratami b) szeêcianami c) czwartymi pot gami liczb ca kowitych? Zadanie 6 Suma dwóch pot g liczby naturalnej a (o wyk- adnikach naturalnych dodatnich) jest liczbà podzielnà przez 5. Czy stàd wynika, e liczba a jest podzielna przez 5? Zadanie 7 Liczba naturalna ma w asnoêç W, je eli iloczyn pewnych dwóch ró nych cyfr tej liczby wynosi 4. Liczby n i n + 2 majà w asnoêç W. Czy stàd wynika, e liczba n +1 równie ma w asnoêç W? Zadanie 8 W liczbie naturalnej wi kszej od 1000 i podzielnej przez 15 skreêlono pierwszà cyfr. Otrzymana w ten sposób liczba równie dzieli si przez 15. Ile wynosi skreêlona cyfra? Zadanie 9 W liczbie naturalnej wi kszej od 1000 i podzielnej przez 19 skreêlono ostatnià cyfr. Otrzymana w ten sposób liczba równie dzieli si przez 19. Ile wynosi skreêlona cyfra? m a r ze c /k w i e c i e ń 20 17 21
G Zadanie 10 W liczbie naturalnej wi kszej od 1000 i podzielnej przez 25 skreêlono pierwszà i ostatnià cyfr. Otrzymana w ten sposób liczba równie dzieli si przez 25. Ile wynoszà skreêlone cyfry? Zadanie 11 Podaç przyk ad liczb wymiernych a, b, c spe niajàcych równanie: a) abc(a + b + c) = 1, b) abc(a + b + c) = 60. Zadanie 12 Podaç przyk ad dwóch liczb wymiernych i jednej niewymiernej tak, aby suma tych liczb by a równa: a) ich iloczynowi, b) wartoêci bezwzgl dnej z ich iloczynu. ROZWIĄZANIA: 1) Tak. Na przyk ad n = 16. Rozwa my równoêci: 160 = 16 + 144, 170 = 49 + 121, 180 = 36 + 144. 2) 4000 = 144 + 256 + 1296 + 2304. 3) 2701 (iloczyn liczb 37 i 73). 4) a = 50, b = 100, c = 150, d = 2. 5a) 19 listopada 1999. 5b) 18 listopada 1888. 5c) 11 listopada 1111. 6) Nie. Kontrprzyk ad stanowià liczby 9 i 81. 7) Nie. Kontrprzyk adem jest liczba 419. 8) 3, 6 lub 9. Zadanie 13 Podaç przyk ad dwóch liczb wymiernych nieca kowitych, których suma szeêcianów jest liczbà ca kowità dodatnià. 9) 0. 10) Pierwsza cyfra jest dowolnà cyfrà ró nà od 0, ostatnia cyfra jest równa 0. Zadanie 14 Jedna z linii Êrodkowych pewnego trójkàta odcina od tego trójkàta czworokàt, w którym miara jednego z kàtów wynosi 30 stopni, inna linia Êrodkowa tego trójkàta odcina od niego czworokàt, w którym miara jednego z kàtów wynosi 48 stopni. Wyznaczyç miary kàtów tego trójkàta. 11a) a = 1, b = 1, c = 1. 11b) a = 0,5, b = 0,5, c = 15. 12a) Nie ma takich liczb. 12b) 1, 1, c, gdzie c jest dowolnà liczbà niewymiernà. 13) 1/2, 7/2. 14) Miary te, wyra one w stopniach, wynoszà 8, 30, 142 lub 30, 48, 102. Michał Kremzer Autor zadań i artykułów. 22 MATEMATYKA