SYSTEMY ROZMYTE
ZBIORY ROZMYTE I WNIOSKOWANIE PRZYBLIŻONE 2
965 Lotfi A. Zadeh: Fuzzy sets Metoda reprezentacji wiedzy wyrażonej w języku naturalnym: Temperatura wynosi 29 o C informacja liczbowa - naturalna dla systemów komputerowych. Jest dość ciepło informacja opisowa - naturalna dla człowieka. Klasyczna teoria zbiorów: dowolny element należy lub nie należy do danego zbioru. Teoria zbiorów rozmytych: element może częściowo należeć do pewnego zbioru. 3
Zamiast dwóch wartości logicznych (prawda i fałsz) nieskończenie wiele wartości [,]. Np.: młody człowiek : A= młody µ.8 A= młody 3 klasycznie [lata] 3 sposób rozmyty [lata] Umożliwiają formalne określenie pojęć nieprecyzyjnych i wieloznacznych: - wysoki hałas, - małe zarobki, - niskie zużycie paliwa. 4
Obszar rozważań X (theuniverseofdiscourse) - zbiór nierozmyty (np. płaca w Niemczech i w Polsce). Zbiór rozmyty w pewnej przestrzeni (niepustej) X - zbiór par : {(, ( )); } A= µ X A µ A () funkcja przynależności zbioru rozmytego A. Funkcja przynależności przypisuje każdemu elementowi X stopień jego przynależności do zbioru rozmytego A 5
µ A () = pełna przynależność elementu do zbioru rozmytego A; µ A () = brak przynależności do zbioru rozmytego A; µ A () częściowa przynależność do zbioru rozmytego A. Symboliczny zapis zbioru rozmytego o skończonej liczbie elementów: A µ n A( ) µ A( 2) µ A( n) µ A( i) = + +... + = 2 n i= i suma mnogościowa przyporządkowanie 6
Np. Ciepła woda na basenie : Obszar rozważań: X = [2, 2,..., 29] Zbiór rozmyty A (subiektywnie!):..3.4.6.8.9.8.75.7 A = + + + + + + + + + 2 2 22 23 24 25 26 27 28 29 Jeśli X -przestrzeń o nieskończonej liczbie elementów, to zapis symboliczny: A = µ A ( ) 7
Np. Zbiór liczb bliskich liczbie 7 : 2 µ ( A ) = + ( -7) - A + ( 7) = a) 2 µ ( ) - 7 5 8
Np. Zbiór liczb bliskich liczbie 7 : -7 jeżeli 4 µ A( )= 3 w przeciwnym razie µ ( ) 7 4 9
STANDARDOWE FUNKCJE PRZYNALEŻNOŚCI
F. PRZYNALEŻNOŚCI KLASY s sabc ( ;,, ) dla a 2 - a 2 dla b a c- a = 2 - c 2 dla b c c- a dla c µ ( ).5 a b c
F. PRZYNALEŻNOŚCI KLASY π (zdef. poprzez klasę s) sc ( ; - bc, - b/2, c) dla a π ( bc ;, ) = - scc ( ;, + b/2, c+ b) dla c µ ( ).5 c-b c-b/2 c c+b/2 c+b 6 2
F. PRZYNALEŻNOŚCI KLASY γ (alternatywa dla s) dla µ ( ).5 a b c a a γ ( ab ;, ) = dla a b b a dla b µ ( ) a b 3
F. PRZYNALEŻNOŚCI KLASY t (alternatywa dla π) µ ( ).5 c-b c-b/2 c c+b/2 c+b 6 µ ( ) dla a a dla a b b a tabc ( ;,, ) = c dla b c c b dla c a b c 4
F. PRZYNALEŻNOŚCI KLASY L dla a b- L( ab ;, )= dla a b b- a dla b µ ( ) a b 5
F. PRZYNALEŻNOŚCI KLASY singleton ( ) ( - )= jeżeli µ A = δ jeżeli = µ ( ).5 ' Singleton charakteryzuje jednoelementowy zbiór r rozmyty. Funkcja ta jest wykorzystywana głównie g do operacji rozmywania w systemach wnioskujących. 6
Np.: prędkość samochodu: X: [, ma ] Mała prędkość samochodu (A) typ L Średnia prędkość samochodu (B) typ t Duża prędkość samochodu (C) typ γ µ A () µ B () µ C ().5 4 6 8 ma =5 µ A () = µ B ()=.5, µ C ()= 7
µ() Baza Nośnik (baza) zbioru rozmytego A: zbiór elementów ZR, dla których µ () > { } supp A= X; µ ( ) > A 8
µ() Jądro Baza Jądro zbioru rozmytego A: zbiór elementów ZR, dla których µ () = core( A) = { X : µ ( ) = } A 9
µ() α Jądro α - przekrój Baza α -przekrój zbioru rozmytego A: zbiór nierozmyty taki, że: { } A = X : ( ) ( [,] µ α α α A 2
Np.:..3.7.6.3 A = + + + + 2 4 5 8 X={,..., } A = X = {,..., }, A = {2, 4, 5, 8, },. A = {4, 5, 8, },.3 A = {5, 8},.6 A = {5}..7 2
Wysokość zbioru rozmytego A: ha ( ) = sup µ ( ) A A Zbiór normalny: ha= ( ) Normalizacja zbioru: µ A N ( ) µ A( ) = ha ( ) X Np.: - przed normalizacją:.2.5.4 A = + + 3 5 7 - po normalizacji:.4..8 A N = + + 3 5 7 22
Inkluzja (zawieranie sie ZR A w ZR B): µ () µ B () µ A () ZR wypukły: µ () ZR wklęsły: µ () 23
OPERACJE NA ZBIORACH ROZMYTYCH Suma µ A B ()=min{, µ A ()+µ B ()} : µ () µ A () µ B () µ A () µ B () lub µ A B ()=ma{µ A (),µ B ()} : µ () µ A () µ B () µ A () µ B () 24
Iloczyn µ A B ()=min{µ A (),µ B ()} : µ () µ A () µ B () µ A () µ B () lub µ A B ()=µ A () µ B () : µ () µ A () µ B () µ A () µ B () 25
Dopełnienie zbioru rozmytego: µ () µ A () µ Â () Równość dwu ZR A i B: µ ( ) = µ ( ) X A B 26
LICZBY ROZMYTE: Zbiory rozmyte, zdefiniowane na osi liczb rzeczywistych. Wymagania: zbiór normalny: h(a)=; zbiór wypukły; funkcja przynależności przedziałami ciągła. np.: µ () 27
LICZBY ROZMYTE: dodatnie ujemne; ani dodatnie ani ujemne µ () 28
Dodawanie liczb rozmytych: { } µ A ( ) ma µ A( y B ), µ B( z ) y z + = = + µ µ A (y) µ B (z) µ A+B () 29
Mnożenie liczb rozmytych: { } µ A ( ) min µ A( y B ), µ B( z ) y z = = µ µ A (y) µ B (z) µ A B () 3
PRZYBLIŻONE WNIOSKOWANIE 3
REGUŁY WNIOSKOWANIA W LOGICE ROZMYTEJ Reguły, których przesłanki lub wnioski wyrażone są w języku zbiorów rozmytych. Reguły pochodzące od ekspertów zwykle wyrażone są w języku nieprecyzyjnym. Zbiory rozmyte pozwalają przełożyć ten język na konkretne wartości liczbowe. Praca systemu decyzyjnego opartego na logice rozmytej zależy od definicji reguł rozmytych w bazie reguł. 32
Reguły mają postać IF...AND...THEN. np.: IF a is A AND b is B THEN c is C IF a is A2 AND b is NOT B2 THEN c is C2 gdzie: a, b, c zmienne lingwistyczne, A,..., C2 zbiory rozmyte. Zmienne lingwistyczne: zmienne, które przyjmują jako wartości słowa lub zdania wypowiedziane w języku naturalnym. (również wartości liczbowe). 33
STEROWNIKI ROZMYTE 34
Nie wymagają tworzenia modelu rozważanego procesu (co często jest trudne); Należy jedynie sformułować zasady postępowania w postaci rozmytych reguł (IF..THEN). Np.: Schemat układu klimatyzacji: STEROWNIK ROZMYTY pomieszczenie czujnik temperatury czujnik wilgotności KLIMATYZATOR 35
pomieszczenie czujnik temperatury y STEROWNIK ROZMYTY 2 czujnik wilgotności KLIMATYZATOR, 2 y zmierzone wartości wejściowe; sygnał sterujący (intensywność chłodzenia). 36
Zastosowania praktyczne: sprzęt AGD (pralki, lodówki, odkurzacze); kamery (autofokus); nadzór wentylacji w tunelach; sterowanie światłami na wjeździe na autostradę; klimatyzacja; automatyka przemysłowa; sterowanie robotów;... 37
STEROWNIK ROZMYTY: BAZA REGUŁ BLOK ROZMYWANIA A' X BLOK WNIOSKOWANIA B' BLOK WYOSTRZANIA y Baza reguł (model lingwistyczny): zbiór rozmytych reguł w postaci: R ( k ) : IF ( is A AND is A AND is A ) k k k 2 2 n n k THEN ( y is B AND y is B AND y is B ) k k 2 2 m m 38
Np. Sterowanie ogrzewaniem: Cena ogrzewania mróz Temperatura zimno chłodno tanio średnio drogo 39
Np. Sterowanie ogrzewaniem: Cena ogrzewania mróz Temperatura zimno chłodno tanio mocno mocno średnio średnio mocno średnio słabo drogo średnio słabo wcale () R : IF ( is AND is Temperatura mróz Cena _ ogrz tanio) THEN ( Grzać is mocno) R (2) : IF ( Temperatura is chłodno AND Cena _ ogrz is drogo) THEN ( Grzać is wcale) 4
ROZMYWANIE (fuzzyfikacja) Przejście od pomiarów (konkretna wartość ) do funkcji przynależności przez określenie stopni przynależności zmiennych lingwistycznych do każdego ze zbiorów rozmytych. Temperatura: T =5 C Np.: Cena_ogrz: p =48zł/MBTU (3) R : IF ( Temperatura is chłodno AND Cena _ ogrz is tanio) THEN ( Grzać is średnio) µ chłodno (T)=.5 µ tanio (p)=.3.5.3 5 C T 48zł/MBtu p 4
µ chłodno (T)=.5 µ tanio (p)=.3.5.3 5 C T 48zł/MBtu p Stopień spełnienia reguły dla wszystkich przesłanek: µ ( ) = min{ µ ( T), µ ( p)} całe chłodno tanio = min{.5,.3} = 3. poziom zapłonu reguły 42
WNIOSKOWANIE Obliczanie stopnia prawdziwości wniosku: Wnioskowanie MIN: µ = wniosku min{ µ, µ } całe średnio µ średnio (h) µ całe =.3 µ wniosku (h) h 43
Wnioskowanie : µ = i µ µ wniosku całe średnio µ średnio (h) µ całe =.3 µ wniosku (h) h 44
AGREGACJA Jeżeli więcej niż jedna reguła ma niezerowy poziom zapłonu, wyniki (zbiory rozmyte) sumuje się. THEN THEN Grzać Grzać THENGrzać is słabo is średnio is mocno µ wniosku słabo średnio mocno h 45
WYOSTRZANIE (defuzzyfikacja) Jeżeli na wyjściu wymagana jest wartość liczbowa, stosuje się jedną z metod wyostrzania: Metoda pierwszego maksimum: 46
WYOSTRZANIE (defuzzyfikacja) Jeżeli na wyjściu wymagana jest wartość liczbowa, stosuje się jedną z metod wyostrzania: Metoda środka maksimum: 47
WYOSTRZANIE (defuzzyfikacja) Jeżeli na wyjściu wymagana jest wartość liczbowa, stosuje się jedną z metod wyostrzania: Metoda środka ciężkości (COG): 48
Tu: µ wniosku słabo COG średnio mocno 57 h COG dla zbiorów ciągłych: µ iac i i i h = A A i powierzchnia zbioru i µ i stopień przynależności do zbioru i c i środek ciężkości zbioru i. i µ i i 49
STEROWNIK ROZMYTY TAKAGI-SUGENO Baza reguł sterownika ma charakter rozmyty tylko w części IF. W części THEN występują zależności funkcyjne. Reguły Mamdaniego: wynikiem jest zbiór rozmyty B: IF =A AND 2 =A 2 n =A n THEN y = B Reguły Takagi-Sugeno: wynikiem jest funkcja f ( i ): IF =A AND 2 =A 2 n =A n THEN y = f (, 2,.. n ) Zwykle są to funkcje liniowe : f ( i ) = y = a +a +a n n 5
Np.: R () : IF prędkość is niska THEN hamowanie = prędkość R (2) : IF prędkość is średnia THEN hamowanie = 4 prędkość R (3) : IF prędkość is wysoka THEN hamowanie = 8 prędkość µ niska średnia wysoka.8.3. 2 Prędkość R () : w =.3; r = 2 R (2) : w 2 =.8; r 2 = 4 2 R (3) : w 3 =.; r 3 = 8 2 w r Hamowanie = 7.2 i w i i = 5
PROJEKTOWANIE BAZ REGUŁ Informacja niezbędna do zaprojektowania sterownika: numeryczna (ilościowa) z czujników pomiarowych; lingwistyczna (jakościowa) od eksperta. Stworzenie bazy wiedzy dla układu rozmytego zadanie nietrywialne... Siatka Indywidualne funkcje 52
Siatki: proste i skuteczne; łączenie danych numerycznych i nienumerycznych poprzez uzupełnianie istniejącej bazy reguł o nowe reguły (na podstawie danych uczących); N k obszarów dla k wymiarów i N funkcji; -często słaba aproksymacja. Funkcje indywidualne: dokładniejsze, lepsza aproksymacja, mniej funkcji; trudniejsze w implementacji. 53
Zadanie: Ustalenie reguł rozmytych tak, by sterownik generował właściwe sygnały wyjściowe.. Określ. zakresu zmienności danych WE i WY [ i-, i+ ] µ( ) µ( 2 ) - + - 2 + 2 2 µ(y) y - y + y 54
2. Podział zakresów na podobszary, np.: n = 2N+ M N,..., M, S, D,..., D N i przyjęcie funkcji przynależności (np. trójkątnej) dla każdego z podobszarów. µ( ) M µ( 2 ) 2 M S D D 2 M 3 M 2 M S D D 2 D 3 - + - 2 + 2 2 µ(y) M 2 M S D D 2 y - y + yd 55
3. Określenie stopnia przynależności każdego z sygnałów WE i WY do każdego z podobszarów. µ( ) M 2 M S D D 2 µ( 2 ) M 3 M 2 M S D D 2 D 3 - + - 2 + (2) () 2 () 2 (2) 2 2 µ(y) M 2 M S D D 2 y - y() y(2) y + y 56
tu: - StPrzyn do D =.8, do D 2 =.2, do innych = ; - ma największy StPrzyn do D, 2 do M -Dla każdej pary danych uczących można napisać jedną regułę. µ( ) M 2 M S D D 2 µ( 2 ) M 3 M 2 M S D D 2 D 3 - + - 2 + (2) () 2 () 2 (2) 2 2 µ(y) M 2 M S D D 2 y - y() y(2) y + y 57
4. Przyporządkowanie stopni prawdziwości (SP) do każdej reguły. µ( ) M 2 M S D D 2 µ( 2 ) M 3 M 2 M S D D 2 D 3 - + - 2 + (2) () 2 () 2 (2) 2 2 µ(y) M 2 M S D D 2 y - y() y(2) y + y 58
Np. dla reguły: IF ( is A AND 2 is A 2 ) THEN y is B ( () ) SP R = µ ( ) µ ( ) µ ( y) =.8.6.9 =.432 D M 2 S ( (2)) µ µ µ S S 2 D SP R = ( ) ( ) ( y) =.7.7 =.49 µ( ) M 2 M S D D 2 µ( 2 ) M 3 M 2 M S D D 2 D 3 - + - 2 + (2) () 2 () 2 (2) 2 2 µ(y) M 2 M S D D 2 y - y() y(2) y + y 59
Jeśli pewne reguły okazują się sprzeczne wybiera się regułę o największym stopniu prawdziwości. 5. Utworzenie bazy reguł rozmytych na podstawie tablicy: D 3 D 2 D 2 S M S M 2 M 3 M 2 M S D D 2 R () : IF ( is D AND is M ) THEN y is S 2 6